高三数学竞赛讲义教案及练习 §8函数方程
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
2021年高中数学竞赛培训资料函数
高中数学竞赛培训资料 函数例一． 定义在R 上函数f(x)满足:f(x －x 1)=x 2+21x（对所有x ≠0） 则f(x)表达式是函数f(x)对任意正实数x, y 满足f(xy)=f(x)+f(y), 且f(2)=1, 求f( )之值。
设f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d, 其中a, b, c, d 是常数, 若f(1)=10, f(2)=20, f(3)=30, 求f(10)+f(－6)对于每个实数x, 设f(x)是4x+1, x+2, －2x+4三个函数中最小值, 则f(x)最大值是多少？（91年全国联赛试题）设函数y=f(x)对一切实数x 都满足: f(3+x)=f(3－x), 方程f(x)=0恰有6个不同实根, 则这6个实根之和为（A ） 18 （B ） 12 （C ） 9 （D ） 0(A) 例六. （88年全国联赛试题）设有三个函数, 第一种是y= , 它反函数就是第二个函数, 而第三个函数图象与第二个函数图象关于直线x+y=0对称, 那么第三个函数是(B) y=)(x ϕ （B ）y=－)(x -ϕ (C) y=－)(1x -ϕ (D) y=－)(1x --ϕ例七. 设f(x)= , 求f( )+f( )+f( ) f( ) 之值。
1． 例八. 定义在R 上函数y=f(x)具备如下性质2． 对任何x ∈R 均有f (x 3 ) = f 3 (x)对任何x1, x2 R 且x1≠x2 均有f (x1)≠f (x2)则f 2（－1）+f 2（0）+f 2（1）=例九. 若a ＞0,a ≠1, F(x)是一种奇函数, 则G(x)=F(x) 是（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）与a 取值关于例十. 已知函数y=f(x), x R, f(0)≠0, 且对于任意实数x1, x2均有f(x1)+f(x2)=2f( )×f( ), 则此函数是（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）奇偶性不拟定例十一. 已知实数 x,y 满足(3x+y)2+x5+4x+y=0, 求证: 4x+y=0例十二. 已知函数f(x)满足: 1）f( )=12）值域为[]1,1-3）严格递减,4）f(xy)=f(x)+f(y)试求不等式f －1(x) f －1(x -11)≤21解集。
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高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
数学竞赛题目高中讲解教案
数学竞赛题目高中讲解教案
教案：
一、题目分析
这道题目要求求出数列{a_n}的通项公式，通过已知的前n项和的公式f(x)=x^2-x+1来推
导出a_n的表达式。
二、解题思路
根据已知的前n项和的公式f(x)=x^2-x+1，我们可以利用数列的性质来推导出a_n的表达式。
根据数列的性质，我们知道a_n = f(n) - f(n-1)。
因此，我们可以先找到f(n)和f(n-1)，然后利用这两个表达式来计算a_n。
三、解题步骤
1. 计算f(n)和f(n-1)：
f(n) = n^2 - n + 1
f(n-1) = (n-1)^2 - (n-1) + 1 = n^2 - 3n + 3
2. 计算a_n：
a_n = f(n) - f(n-1) = n^2 - n + 1 - (n^2 - 3n + 3) = 2n - 2
因此，数列{a_n}的通项公式为a_n = 2n - 2。
四、答案验证
可以通过代入一些自然数n来验证我们得到的通项公式是否正确。
比如当n=1时，a_1 =
2*1 - 2 = 0；当n=2时，a_2 = 2*2 - 2 = 2；当n=3时，a_3 = 2*3 - 2 = 4。
可以发现结果符
合我们得到的通项公式。
五、总结
通过这道题目的解答，我们学会了利用已知前n项和的公式来推导数列的通项公式的方法。
在解题过程中，要注意细致地计算每一步的结果，并通过验证来确认答案的正确性。
江苏省数学竞赛提优教案：第08讲 几个基本初等函数(新)
(1998年江苏省数学夏令营数学竞赛)
分析通过解三个对数方程，求出x、y、z，再比较三个数得大小。
解log2loglogx=0，loglogx=1，
logx=，x==；
log3loglogx=0，loglogx=1，
logx=，y==；
log5loglogz=0，loglogz=1，
A．(0，1)B．(1，2)C．(0，2)D．［2，＋∞
B类例题
例4下列表中的对数值只有两个是错误的，请予纠正：
x
0.021
0.27
1.5
2.8
lgx
2a+b+c－3
6a－3b－2
3a－b+c
1－2a+2b－c
x
3
5
6
7
lgx
2a－b
a+c
1+a－b－c
2(a+c)
x
8
9
Байду номын сангаас14
lgx
3－3a－3c
4a－2b
⑵－2a+1=0，a=，
即当a=时，④有相等实根x1=x2=，但x=不满足②．故此时原方程无解；
⑶－2a+1<0，a>，即当a>时，④无实根，此时，原方程无解．
综上可知，当a≥时，原方程无解，当0<a<时原方程有两解，当a≤0时，原方程有一解．
说明转化成二次方程时，要注意未知数的取值范围得变化。
分析方程得解的问题可以转化为研究函数图象的交点问题。
第8讲几个基本初等函数
本节主要内容有指数和对数的运算，幂函数y=xn、指数函数 （ ）和对数函数 （ ），指数方程和对数方程，指数不等式和对数不等式等．
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高考数学第2章函数、导数及其应用第8节函数与方程教学案文(含解析)北师大版
第八节函数与方程[考纲传真] 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：把函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数f(x)的图像与x轴有公共点⇔函数y ＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与零点的关系1．函数f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的曲线，则“f(a)·f(b)＜0”是函数f(x)在区间(a，b)内有零点的充分不必要条件．2．若函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．( )(2)函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)⊆D内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)＜0．( )(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)函数f (x )＝e x＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3B [∵f (－1)＝1e －3＜0，f (0)＝1＞0，∴f (x )在(－1,0)内有零点，又f (x )为增函数，∴函数f (x )有且只有一个零点．]3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1A [由于y ＝sin x 是奇函数，y ＝ln x 是非奇非偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，只有y ＝cos x 是偶函数又有零点．]4．函数f (x )＝3x－x 2的零点所在区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(－2，－1)D ．(－1,0)D [∵f (－2)＝－359，f (－1)＝－23，f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，∴f (0)f (1)＞0，f (1)f (2)＞0，f (－2)f (－1)＞0，f (－1)f (0)＜0，故选D.]5．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [∵函数f (x )的图像为直线，由题意可得f (－1)f (1)＜0，∴(－3a ＋1)·(1－a )＜0，解得13＜a ＜1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.]1．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内A [∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a ，b )和(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点，因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A ．]2．设x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝x 的解，则x 0所在的范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 B [构造函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－x ， 因为f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130－0＝1＞0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1313－13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1313－⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312－⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＜0.所以由零点存在性定理可得函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12上存在零点，即x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，故选B ．]3．设函数y 1＝x 3与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图像的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N，则x 0所在的区间是________．(1,2) [设f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则f (x )在R 上是增函数， 又f (1)＝1－2＝－1＜0，f (2)＝8－1＝7＞0， 则x 0∈(1,2)．]4．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，g (x )＝[x ]为取整函数，x 0是函数f (x )＝ln x －2x的零点，则g (x 0)＝________.2 [f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－23＞0，则x 0∈(2,3)，故g (x 0)＝2.]【例1】 (1)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)(2019·兰州模拟)已知函数f (x )满足： ①定义域为R ；②任意x ∈R，都有f (x ＋2)＝f (x )； ③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－|x |＋1.则方程f (x )＝12log 2|x |在区间[－3,5]内解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8(3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0x 2－2，x ≤0的零点个数是______．(1)B (2)A (3)3 [(1)令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x. 设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一直角坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．(2)由f (x ＋2)＝f (x )知函数f (x )是周期为2的函数，在同一直角坐标系中，画出y 1＝f (x )与y 2＝12log 2|x |的图像，如图所示．由图像可得方程解的个数为5，故选A ．(3)当x ＞0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图像，由图知，当x ＞0时，f (x )有2个零点；当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去) 所以在(－∞，0]上有一个零点，综上知f (x )有3个零点．](1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)(2019·泰安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．(1)B (2)(1，＋∞) [(1)法一：由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.因此函数f (x )共有2个零点．法二：函数f (x )的图像如图所示，由图像知函数f (x )共有2个零点．(2)问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图像有且只有一个交点，作出函数f (x )的图像(如图所示)，结合函数图像可知a ＞1.]►考法1 根据零点的范围求参数【例2】 若函数f (x )＝log 2x ＋x －k (k ∈Z)在区间(2,3)上有零点，则k ＝________. 4 [函数f (x )＝log 2x ＋x －k 在(2,3)上单调递增，所以f (2)·f (3)＜0，即(log 22＋2－k )·(log 23＋3－k )＜0，整理得(3－k )(log 23＋3－k )＜0，解得3＜k ＜3＋log 23，而4＜3＋log 23＜5，因为k ∈Z，故k ＝4.]►考法2 已知函数零点或方程根的个数求参数【例3】 (2019·青岛模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．(3，＋∞) [作出f (x )的图像如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.](1)函数f (x )＝2x－x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)(1)C (2)D [(1)∵函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上是增加的，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，∴(－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，∴0＜a ＜3，故选C ．(2)函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＝m －x 的根，在同一坐标系中画出函数f (x )和y ＝m －x 的图像，如图所示，由图像知，当m ≤0或m ＞1时方程f (x )＝m －x 有根，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点，故选D.]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B ．13C ．12D ．1C [法一：f (x )＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)＝(x －1)2＋a [ex －1＋e－(x －1)]－1，令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t＋e －t)－1. ∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t＋e t)－1＝g (t )， ∴函数g (t )为偶函数．∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点． 又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12.故选C ．法二：f (x )＝0⇔a (e x －1＋e－x ＋1)＝－x 2＋2x .ex －1＋e－x ＋1≥2ex －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a >0，则a (ex －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一．故选C ．]2．(2014·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)B [f ′(x )＝3ax 2－6x ，当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－6x ＝3x (3x －2)，则当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，23时，f ′(x )<0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )>0，注意f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝59>0，则f (x )的大致图像如图(1)所示．图(1)不符合题意，排除A 、C ．当a ＝－43时，f ′(x )＝－4x 2－6x ＝－2x (2x ＋3)，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32时，f ′(x )<0，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－32，0时，f ′(x )>0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，注意f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎪⎫－32＝－54，则f (x )的大致图像如图(2)所示．图(2)不符合题意，排除D.]。
高中数学竞赛专题精讲8函数方程(含答案)
8函数方程许多函数方程的解决仅以初等数学为工具，解法富于技巧，对人类的智慧具有明显的挑战意味，因此，函数方程是数学竞赛中一种常见的题型。
1、确定函数的形式尚无一般解法，需因题而异，其解是多样的：有无限多解的，有有限个解的，有可能无解（如：方程01)()(22=+-+x f x f 无解）。
2、确定函数的性质3、确定函数值三、求函数的解析式1、换元法2、赋值法四、研究函数的性质 例题讲解1．设函数)(x f 满足条件x x f x f 2)1(2)1(3=-+-，求)(x f 。
2．设函数)(x f 定义于实数集R ，且)(x f 满足条件x x xf x f +=-+1)1()(，求)(x f 。
3．函数)(x f 在0=x 处没有定义，但对所有非零实数x 有：x x f x f 312)(=⎪⎭⎫⎝⎛+，求)(x f 。
4．求满足条件422)1()(x x x f x f x -=-+的)(x f 。
5．设函数)(x f 定义于实数集R 上，且1)0(=f ，若对于任意实数m 、n ，都有： )12()()(+--=-n m n m f n m f ，求)(x f 。
6．设函数)(x f 定义于自然数集N 上，且1)1(=f ，若对于任意自然数x 、y ，都有：xy y f x f y x f ++=+)()()(，求)(x f 。
7．设函数)(x f 定义于R 上，且函数)(x f 不恒为零，0)2(=πf ，若对于任意实数x 、y ，恒有：)2()2(2)()(y x f y x f y f x f -⋅+=+。
① 求证：)()2(x f x f =+π② 求证：)()(x f x f -=③ 求证：1)(2)2(2-=x f x f8．对常数m 和任意x ，等式)(1)(1)(x f x f m x f -+=+都成立，求证：函数)(x f 是周期函数。
9．设函数)(x f 定义于实数集R 上，函数)(x f 不恒为零，且对于任意实数1x 、2x ，都有：)()()2()2(212121x x f x x f x f x f -⋅+=+，求证：)()(x f x f -=。
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§8函数方程
许多函数方程的解决仅以初等数学为工具，解法富于技巧，对人类的智慧具有明显的挑战
意味，因此，函数方程是数学竞赛中一种常见的题型。
1、确定函数的形式
尚无一般解法，需因题而异，其解是多样的：有无限多解的，有有限个解的，有可能无解（如：方程01)()(22=+-+x f x f 无解）。
2、确定函数的性质
3、确定函数值
三、求函数的解析式
1、换元法
2、赋值法
四、研究函数的性质
例题讲解
1．设函数)(x f 满足条件x x f x f 2)1(2)1(3=-+-，求)(x f 。
2．设函数)(x f 定义于实数集R ，且)(x f 满足条件x x xf x f +=-+1)1()(，求)(x f 。
3．函数)(x f 在0=x 处没有定义，但对所有非零实数x 有：x x f x f 312)(=⎪⎭
⎫
⎝⎛+，求)(x f 。
4．求满足条件422)1()(x x x f x f x -=-+的)(x f 。
5．设函数)(x f 定义于实数集R 上，且1)0(=f ，若对于任意实数m 、n ，都有： )12()()(+--=-n m n m f n m f ，求)(x f 。
6．设函数)(x f 定义于自然数集N 上，且1)1(=f ，若对于任意自然数x 、y ，都有：xy y f x f y x f ++=+)()()(，求)(x f 。
7．设函数)(x f 定义于R 上，且函数)(x f 不恒为零，0)2
(=π
f ，若对于任意实数x 、y ，恒有：)2
()2(2)()(y x f y x f y f x f -⋅+=+。
① 求证：)()2(x f x f =+π
② 求证：)()(x f x f -=
③ 求证：1)(2)2(2-=x f x f
8．对常数m 和任意x ，等式)
(1)(1)(x f x f m x f -+=
+都成立，求证：函数)(x f 是周期函数。
9．设函数)(x f 定义于实数集R 上，函数)(x f 不恒为零，且对于任意实数1x 、2x ，都有：)()()2()2(212121x x f x x f x f x f -⋅+=+，求证：)()(x f x f -=。