1995年复旦大学数学分析与线性代数考研试题
1995-数三真题、标准答案及解析
QQ 7
1 dx.
76 59 7
( D ) − 2.
29 9
【 】
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( A) A 的任意 m 个列向量必线性无关. ( B ) A 的任意 m 阶子式不等于零. ( C ) 若矩阵 B 满足 BA = O, 则矩阵 B = O.
QQ群124503282
【答】
应选 ( C ) .
x + ex + C
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QQ 7
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【答】
( −1) 2 ⋅ n ! n +1 (1 + x )
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一、
填空题
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【详解】 令
QQ群124503282
ln x = t , 则 x = et ,
于是由题设有
f ′(t ) = 1 + et , 即 f ′ ( x ) = 1 + e x ,
f ′′( x) = 2(−1)(−2)(1 + x) −3 , L f
(n)
= 2(−1) n !(1 + x)
n
− ( n +1)
(−1) n ⋅ n ! = . (1 + x)( n +1)
（2）设 z = xyf ⎜ 【答】
⎛ y⎞ ′ x + yz y = ____________________. ⎟ , f (u ) 可导，则 xz ′ ⎝x⎠
QQ 7
76 59 7
Y=
X −µ
σ
~ N ( 0,1) ,
29 9
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−2 x sin x 2 cos x 2 − 1 = 0. = lim x → 0+ 2x 2
最新1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题汇总
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 2sin 0lim(13)xx x →+=______________.(2) 202cos xd x t dt dx =⎰______________.(3) 设()2a b c ⨯⋅=,则[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+=______________. (4) 幂级数2112(3)n n nn nx ∞-=+-∑的收敛半径R =______________. (5) 设三阶方阵A 、B 满足关系式：16A BA A BA -=+,且100310041007A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则B =______________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1) 设有直线3210,:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4230x y z ∏-+-=,则直线L( )(A) 平行于∏ (B) 在∏上 (C) 垂直于∏ (D) 与∏斜交(2) 设在[0,1]上()0f x ''>,则(0)f '、(1)f '、(1)(0)f f -或(0)(1)f f -的大小顺序是()(A) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B) (1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C) (1)(0)(1)(0)f f f f ''->> (D) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>-> (3) 设()f x 可导,()()(1|sin |)F x f x x =+,则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的 ( )(A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件(C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件(4)设(1)ln 1n n u ⎛=-+ ⎝,则级数( )(A) 1n n u ∞=∑与21nn u ∞=∑都收敛 (B) 1n n u ∞=∑与21n n u ∞=∑都发散(C) 1n n u ∞=∑收敛而21nn u ∞=∑发散 (D) 1n n u ∞=∑发散而21n n u ∞=∑收敛(5) 设111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,212223111213311132123313a a a B a a a a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭,1010100001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 2100010101P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则必有( )(A) 12APP B = (B) 21AP P B =(C) 12PP A B = (D) 21P P A B =三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1) 设2(,,),(,,)0,sin y u f x y z x e z y x ϕ===,其中f 、ϕ都具有一阶连续偏导数,且0zϕ∂≠∂,求du dx .(2) 设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设10()f x dx A =⎰,求 11()()xdx f x f y dy ⎰⎰.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)(1) 计算曲面积分zdS ∑⎰⎰,其中∑为锥面z 在柱体222x y x +≤内的部分.(2) 将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦级数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为A .已知MA OA =,且L 过点33,22⎛⎫⎪⎝⎭,求L 的方程.六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在xOy 平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,)t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰,求(,)Q x y .七、(本题满分8分)假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶倒数,并且()0g x ''≠,()()()()f a f b g a g b ===,试证：(1) 在开区间(,)a b 内()0g x ≠；(2) 在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使()()()()f fg g ξξξξ''=''.八、(本题满分7分)设三阶实对称矩阵A 的特征值为11λ=-,231λλ==,对应于1λ的特征向量为1(0,1,1)T ξ=,求A .九、(本题满分6分)设A 是n 阶矩阵,满足T AA E =(E 是n 阶单位阵,T A 是A 的转置矩阵),0A <,求A E +.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1) 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =___________. (2) 设X 和Y 为两个随机变量,且{}30,07P X Y ≥≥=, 4(0)(0)7P X P Y ≥=≥=, 则{}max(,)0P X Y ≥=___________.十一、(本题满分6分)设随机变量X 的概率密度为, 0,()0, 0,x X e x f x x -⎧≥=⎨<⎩求随机变量X Y e =的概率密度()Y f y .1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】6e【解析】这是1∞型未定式求极限,2123sin 3sin 0lim(13)lim(13)x xx xx x x x ⋅⋅→→+=+,令3x t =,则当0x →时,0t →,所以1130lim(13)lim(1)xtx t x t e →→+=+=,故 00266lim6lim6sin sin sin sin 0lim(13)lim x x x x x xxx xx x x eeee →→→→+====.(2)【答案】20224cos 2cos xt dt x x -⎰ 【解析】()220022cos cos x x d d x t dt x t dt dx dx=⎰⎰ ()()20222cos cos 2xt dt x x x =-⋅⎰20224cos 2cos xt dt x x =-⎰.【相关知识点】积分上限函数的求导公式：()()()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dxβαββαα''=-⎰. (3)【答案】4【解析】利用向量运算律有[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+[()]()[()]()a b b c a a b c c a =+⨯⋅+++⨯⋅+()()()()a b b b c a a c b c c a =⨯+⨯⋅++⨯+⨯⋅+ (其中0b b ⨯=) ()()()()a b c a b a a c c b c a =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ ()()a b c b c a =⨯⋅+⨯⋅ ()()4a b c a b c =⨯⋅+⨯⋅=.(4)【解析】令212(3)n n n nna x -=+-,则当n →∞时,有2(1)1111212211112(3)lim lim 2(3)23(1)311lim ,323(1)3n n n n n n n nn n nn n n n n n n xa a nx n x x n +-+++→∞→∞-+→∞++++-=+-⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=⋅⋅=⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦而当2113x <时,幂级数收敛,即||x <,此幂级数收敛,当2113x >时,即||x >时,此幂级数发散,因此收敛半径为R =(5)【答案】300020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【解析】在已知等式16A BA A BA -=+两边右乘以1A -,得16A B E B -=+,即1()6A E B E --=.因为 1300040007A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,所以116()6B A E --=-=1200030006-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=300020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(C)【解析】这是讨论直线L 的方向向量与平面∏的法向量的相互关系问题. 直线L 的方向向量132281477(42)2110i jk l i j k i j k ⎛⎫ ⎪==-+-=--+ ⎪ ⎪--⎝⎭,平面∏的法向量42n i j k =-+,l n ,L ⊥∏.应选(C). (2)【答案】(B)【解析】由()0f x ''>可知()f x '在区间[0,1]上为严格单调递增函数,故(1)()(0),(01)f f x f x '''>> <<由微分中值定理,(1)(0)(),(01)f f f ξξ'-=<<.所以(1)(1)(0)()(0)f f f f f ξ'''>-=>,(01)ξ<<故应选择(B). (3)【答案】(A)【解析】由于利用观察法和排除法都很难对本题作出选择,必须分别验证充分条件和必要条件.充分性:因为(0)0f =,所以0000()(1sin )()(0)()()(0)lim lim lim lim (0)x x x x f x x F x F f x f x f f x x x x→→→→+--'====, 由此可得 ()F x 在0x =处可导.必要性:设()F x 在0x =处可导,则()sin f x x ⋅在0x =处可导,由可导的充要条件知0()sin ()sin lim lim x x f x x f x xx x-+→→⋅⋅=. ① 根据重要极限0sin lim1x xx→=,可得00sin sin lim lim 1x x x x x x --→→=-=-,00sin sin lim lim 1x x x xx x++→→==, ② 结合①,②,我们有(0)(0)f f =-,故(0)0f =.应选(A). (4)【答案】(C)【解析】这是讨论1n n u ∞=∑与21n n u ∞=∑敛散性的问题.11(1)ln 1nn n n u ∞∞==⎛=- ⎝∑∑是交错级数,显然ln(1+单调下降趋于零,由莱布尼兹判别法知,该级数收敛.正项级数2211ln 1n n n u ∞∞==⎛= ⎝∑∑中,2221ln 1~n u n ⎛=+= ⎝. 根据正项级数的比较判别法以及11n n ∞=∑发散,21n n u ∞=⇒∑发散.因此,应选(C).【相关知识点】正项级数的比较判别法：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数,且lim,nn nv A u →∞=则 ⑴ 当0A <<+∞时,1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑同时收敛或同时发散；⑵ 当0A =时,若1n n u ∞=∑收敛,则1n n v ∞=∑收敛；若1n n v ∞=∑发散,则1n n u ∞=∑发散；⑶ 当A =+∞时,若1n n v ∞=∑收敛,则1n n u ∞=∑收敛；若1n n u ∞=∑发散,则1n n v ∞=∑发散.(5)【答案】(C)【解析】1P 是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵,2P 是将单位矩阵的第一行加到第三行所得初等矩阵；而B 是由A 先将第一行加到第三行,然后再交换第一、二行两次初等交换得到的,因此 12PP A B =,故应选(C).三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1)【解析】这实质上已经变成了由方程式确定的隐函数的求导与带抽象函数记号的复合函数求导相结合的问题.先由方程式2(,,)0y x e z ϕ=,其中sin y x =确定()z z x =,并求dz dx. 将方程两边对x 求导得1232cos 0y dzx e x dxϕϕϕ'''⋅+⋅+⋅=, 解得 ()12312cos y dz x e x dx ϕϕϕ''=-⋅+⋅'. ①现再将(,,)u f x y z =对x 求导,其中sin y x =,()z z x =, 可得 123cos du dzf f x f dx dx'''=+⋅+⋅. 将①式代入得()213321cos 12cos y du f f x f dx x e x ϕϕϕ'''=+⋅-⋅''⋅+⋅'. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u vf f x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂； 12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂. (2)【解析】方法一：用重积分的方法.将累次积分11()()xI dx f x f y dy =⎰⎰表成二重积分()()DI f x f y dxdy =⎰⎰,其中D 如右图所示.交换积分次序1()()yI dy f x f y dx =⎰⎰.由于定积分与积分变量无关,改写成10()()xI dx f y f x dy =⎰⎰.⇒ 1110002()()()()xx I dx f x f y dy dx f x f y dy =+⎰⎰⎰⎰111120()()()().dx f x f y dy f x dx f y dy A ===⎰⎰⎰⎰⇒ 212I A =. 方法二：用分部积分法.注意()1()()xdf y dy f x dx =-⎰,将累次积分I 写成()()()111111212()()()()11().22xxxx xx I f x f y dy dx f y dyd f y dy f y dy A ====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)(1)【解析】将曲面积分I 化为二重积分(,)xyD I f x y dxdy =⎰⎰.首先确定被积函数(,)f x y ==对锥面z =而言==. 其次确定积分区域即∑在xOy 平面的投影区域xy D (见右图),按题意：22:2xy D x y x +≤,即22(1)1x y -+≤.xyD I =⎰⎰.作极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==,则:02cos ,22xy D r ππθθ≤≤-≤≤,因此2cos 2cos 322000213I d r rdr r d θππθπθθ-=⋅==⎰(2)【解析】这就是将()f x 作偶延拓后再作周期为4的周期延拓.于是得()f x 的傅氏系数：0(1,2,3,)n b n ==2002200222220222()cos 2(1)cos 222(1)sin sin 2244cos ((1)1)28,21,(21)1,2,3,0,2,l n n n x n a f x dx l x xdxl l n n x d x xdx n n n x n n n k k k n k ππππππππππ==-=-=-==---⎧=-⎪-==⎨⎪=⎩⎰⎰⎰⎰2222000021()(1)(1)022a f x dx x dx x ==-=-=⎰⎰.由于(延拓后)()f x 在[2,2]-分段单调、连续且(1)1f -=.于是()f x 有展开式22181(21)()cos ,[0,2](21)2n n f x x x n ππ∞=-=-∈-∑.五、(本题满分7分)【解析】设点M 的坐标为(,)x y ,则M 处的切线方程为 ()Y y y X x '-=-.令0X =,得Y y xy '=-,切线与y 轴的交点为(0,)A y xy '-.由MA OA =,有y xy '=-.化简后得伯努利方程 212,yy y x x '-=- ()221y y x x'-=-. 令2z y =,方程化为一阶线性方程 ()1z z x x '-=-.解得 ()z x c x =-,即 22y cx x =-,亦即y =又由3322y ⎛⎫⎪⎭= ⎝,得3c =,L 的方程为3)y x <<.六、(本题满分8分)【解析】在平面上LPdx Qdy +⎰与路径无关(其中,P Q 有连续偏导数),⇔P Q y x ∂∂=∂∂,即 2Q x x∂=∂. 对x 积分得 2(,)()Q x y x y ϕ=+,其中()y ϕ待定.代入另一等式得对t ∀, ()()(,1)(1,)(0,0)2(0)2,0()()22t t xydx dy xydx d x y y x y ϕϕ+=+++⎰⎰. ①下面由此等式求()y ϕ.方法一：易求得原函数()()()022222()()2(()()).yyxydx dy ydx dyd x y dd x y x s d x dy y s s y ds ϕϕϕϕ+=+=+=+++⎰⎰于是由①式得 ()()(,1)(1,)2200(0,0)(0,0)()()t t yyx y dsx y d s s sϕϕ+=+⎰⎰.即 120()()tt ds t ds s s ϕϕ+=+⎰⎰,亦即 21()ts t t ds ϕ=+⎰.求导得 )2(1t t ϕ=+,即 ()21t t ϕ=-. 因此 2(,)21Q x y x y =+-.方法二：取特殊的积分路径：对①式左端与右端积分分别取积分路径如下图所示.于是得 ()()120()1()tt dy dy y y ϕϕ+=+⎰⎰.即 12()()tt dy t dy y y ϕϕ+=+⎰⎰,亦即 21()ty t t dy ϕ=+⎰.其余与方法一相同.七、(本题满分8分)【解析】(1)反证法.假设(,)c a b ∃∈,使()0g c =.则由罗尔定理,1(,)a c ξ∃∈与2(,),c b ξ∈使12()()0g g ξξ''==；从而由罗尔定理, 12(,)(,)a b ξξξ∃∈⊂,()0g ξ''=.这与()0g x ''≠矛盾.(2)证明本题的关键问题是：“对谁使用罗尔定理？”换言之,“谁的导数等于零？”这应该从所要证明的结果来考察.由证明的结果可以看出本题即证()()()()f x g x f x g x ''''-在(,)a b 存在零点.方法一：注意到 ()()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x '''''''-=-, 考察()()()()f x g x f x g x ''''-的原函数,令()()()()()x f x g x f x g x ϕ''=-,()x ϕ⇒在[,]a b 可导,()()0a b ϕϕ==.由罗尔定理,(,)a b ξ∃∈,使()0ϕξ'=.即有()()()()0f g f g ξξξξ''''-=,亦即()()()()f fg g ξξξξ''=''.方法二：若不能像前面那样观察到()()()()f x g x f x g x ''''-的原函数,我们也可以用积分来讨论这个问题：[]()()()()(?)()()()()?f x g x f x g x f x g x f x g x dx '''''''''-=⇔-=⎰.[]()()()()()()()()f x g x f x g x dx f x dg x g x df x ''''''-=-⎰⎰⎰()()()()()()()()f x g x g x f x dx f x g x f x g x dx ⎡⎤⎡⎤''''''=---⎣⎦⎣⎦⎰⎰()()()()f x g x f x g x ''=-(取0C =).令()()()()()x f x g x f x g x ϕ''=-,其余与方法一相同.八、(本题满分7分)【解析】设对应于231λλ==的特征向量为123(,,)T x x x ξ=,因为A 为实对称矩阵,且实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量相互正交,故10T ξξ=,即230x x +=.解之得 23(1,0,0),(0,1,1)T T ξξ==-. 于是有 123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=, 所以 1112233123(,,)(,,)A λξλξλξξξξ-=1010010100101101001101101010-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭.九、(本题满分6分)【解析】方法一：根据T AA E =有|||||()|||||||||T T A E A AA A E A A E A A A E +=+=+=+=+,移项得 (1||)||0A A E -+=. 因为0A <,故1||0A ->.所以||0A E +=.方法二：因为()T T T T A E A AA A E A E A +=+=+=+, 所以 A E A E A +=+, 即 (1||)||0A A E -+=. 因为0A <,故1||0A ->.所以||0A E +=.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1)【解析】由题设,因为是独立重复实验,所以X 服从10,0.4n p ==的二项分布.由二项分布的数学期望和方差计算公式,有()4,()(1) 2.4E X np D X np p ===-=,根据方差性质有 22()()[()]18.4E X D X E X =+=. (2)【解析】令{0},{0}A X B Y =<=<,则{max(,)0}1{max(,)0}1{0,0}P X Y P X Y P X Y ≥=-<=-<<.由概率的广义加法公式 ()()()()P A B P A P B P AB =+-,有{max(,)0}1[1()]()()()()P X Y P AB P A B P A p B P AB ≥=--=+=+-4435.7777=+-=十一、(本题满分6分)【解析】方法1：用分布函数法先求Y 的分布函数()Y F y . 当1y ≤时, ()0;Y F y =当1y >时, (){}()X Y F y P Y y P e y =≤=≤{}ln P X y =≤ln ln 011,yy x xe dx e y--==-=-⎰所以由连续型随机变量的概率密度是分布函数的微分,得21, 1,()()0, 1.Y Y y yf y F y y ⎧>⎪'==⎨⎪≤⎩或者直接将ln 0yx e dx -⎰对y 求导数得ln ln 2011.y x y d e dx e dy y y--==⎰ 方法2：用单调函数公式直接求Y 的概率密度.由于x y e =在()0,+∞内单调,其反函数()ln x h y y ==在()1,+∞内可导且其导数为10y x y'=≠,则所求概率密度函数为 ()()()()ln 1,1,,1,0, 1.0, 1.y X Y e y h y f h y y y f y y y -⎧⎧'⋅>⋅>⎪⎪==⎨⎨≤⎪⎪⎩≤⎩21, 1,0, 1.y yy ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.。
1995数学二--考研数学真题详解
从而
t = 2 (1 − cos t )dt = 2sin dt 2 2π t S = ∫ sin dt = 8. 0 2
( 0 ≤ t ≤ 2π ) ,
（6）设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v t = 0 = v0 . 已知阻力与速度成正比（比例常数 为 1） ，问 t 为多少时此质点的速度为 【详解】
0 0 1
2
1
2
x2 , 当x1 > x2时，都有f ( x1 ) > f ( x2 ) 则 （3）设 f ( x ) 在 ( −∞, +∞ ) 内可导，且对任意 x1、
( A) 对任意x, f ' ( x ) > 0. ( C )函数f ( − x ) 单调增加.
【答】 应选（D）.
( B ) 对任意x, f ' ( x ) ≤ 0. ( D )函数-f ( − x ) 单调增加.
F '− ( 0 ) = lim
F ( x ) − F (0) f ( x )(1 − sin x ) − f ( 0 ) = lim x 0 → − x x ⎡ f ( x ) − f ( 0 ) sin x ⎤ = lim ⎢ − ⋅ f ( x )⎥ = f ' ( 0 ) − f ( 0 ) , x →0− x x ⎣ ⎦
相应齐次方程的特征方程为 λ + 1 = 0, 其根为λ1 = i, λ2 = −i,
2 *
由于非齐次项为 −2 x, λ = 0 不是特征根，可设非齐次方程的特解为 y = A + Bx ，代入原 方程解，得 A = 0, B = −2 ，因此通解为
y = −2 x + C1 cos x + C2 sin x .
复旦大学线性代数试卷(1)
（装订线内不要答题）一、ｎ+1阶行列式计算：（共20分，每小题10分）（1）xnxxAn-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=111121111111111（2）xaaaaxaaaaxaaaaaBnnnn⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=211221二、假设BA,为n阶矩阵，且ABIn+可逆，其中nI为n阶单位阵，证明：BAIn+也可逆，并求1)(-+BAIn(14分)三、设=A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11211，（1）求正交阵Q使得AQQ T是对角阵；（2）计算2000A。
（共14分）四、设有两个方程组：（I）⎪⎩⎪⎨⎧=--=----=-+3314623214321421xxxxxxxxxx(II)⎪⎩⎪⎨⎧=--=+--=-++txxnxxxxm xxx434324321211452(1)求出方程组（I）导出的齐次方程组的基础解系，并求出方程组（I）的通解；（2）假设方程组（I）与方程组（II）同解，求出nmt,,。
（20分）第 1 页第 2 页五、设V 是数域P 上的n 维线性空间，τσ,是空间V 上的线性变换，σ在数域P 上有n 个不同的特征值，证明：（1）σ的特征向量都是τ的特征向量的充要条件是τσστ=；（2）若τσστ=，则τ是12,,,,-⋅⋅⋅n σσσε的线性表示，其中ε表示V 上的恒等变换。
（20分）六、设实二次型2212222121),,,(t s s s n l l l l l x x x f ++-⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅，其中),,2,1(t s i l i +⋅⋅⋅=是n x x x ,,,21⋅⋅⋅的一次齐次式，证明：),,,(21n x x x f ⋅⋅⋅的正惯性指数s p ≤，负惯性指数t q ≤。
(12分)。
1995考研数一真题及解析
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 2sin 0lim(13)xx x →+=______________.(2)202cos x d x t dt dx=⎰______________. (3) 设()2a b c ⨯⋅=,则[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+=______________.(4) 幂级数2112(3)n n nn n x ∞-=+-∑的收敛半径R =______________. (5) 设三阶方阵A 、B 满足关系式：16A BA A BA -=+,且100310041007A ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则B = ______________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 设有直线3210,:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4230x y z ∏-+-=,则直线L ( )(A) 平行于∏ (B) 在∏上 (C) 垂直于∏ (D) 与∏斜交 (2) 设在[0,1]上()0f x ''>,则(0)f '、(1)f '、(1)(0)f f -或(0)(1)f f -的大小顺序是( )(A) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B) (1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C) (1)(0)(1)(0)f f f f ''->> (D) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>-> (3) 设()f x 可导,()()(1|sin |)F x f x x =+,则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的 ( ) (A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件(C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (4)设(1)ln 1n n u ⎛=- ⎝,则级数 ( )(A)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛 (B)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散(C)1nn u∞=∑收敛而21nn u∞=∑发散 (D)1nn u∞=∑发散而21nn u∞=∑收敛(5) 设111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,212223111213311132123313a a a B a a a a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭,1010100001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2100010101P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则必有 ( )(A) 12APP B = (B) 21AP P B =(C) 12PP A B = (D) 21P P A B =三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1) 设2(,,),(,,)0,sin yu f x y z x e z y x ϕ===,其中f 、ϕ都具有一阶连续偏导数,且0z ϕ∂≠∂,求du dx. (2) 设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1()f x dx A =⎰,求 11()()xdx f x f y dy ⎰⎰.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.) (1) 计算曲面积分zdS ∑⎰⎰,其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分. (2) 将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦级数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为A .已知MA OA =,且L 过点33,22⎛⎫⎪⎝⎭,求L 的方程.六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在xOy 平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,)t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰,求(,)Q x y .七、(本题满分8分)假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶倒数,并且()0g x ''≠,()()()()f a f b g a g b ===,试证：(1) 在开区间(,)a b 内()0g x ≠；(2) 在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使()()()()f fg g ξξξξ''=''.八、(本题满分7分)设三阶实对称矩阵A 的特征值为11λ=-,231λλ==,对应于1λ的特征向量为1(0,1,1)T ξ=,求A .九、(本题满分6分)设A 是n 阶矩阵,满足T AA E =(E 是n 阶单位阵,T A 是A 的转置矩阵),0A <,求A E +.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1) 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =___________. (2) 设X 和Y 为两个随机变量,且{}30,07P X Y ≥≥=, 4(0)(0)7P X P Y ≥=≥=, 则{}max(,)0P X Y ≥=___________.十一、(本题满分6分)设随机变量X 的概率密度为, 0,()0, 0,x X e x f x x -⎧≥=⎨<⎩求随机变量XY e =的概率密度()Y f y .1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】6e【解析】这是1∞型未定式求极限,2123sin 3sin 0lim(13)lim(13)x xx xx x x x ⋅⋅→→+=+,令3x t =,则当0x →时,0t →,所以1130lim(13)lim(1)xtx t x t e →→+=+=,故 00266lim6lim6sin sin sin sin 0lim(13)lim x x x x x xxx xx x x eeee →→→→+====.(2)【答案】2224cos 2cos xt dt x x -⎰【解析】()220022cos cos x x d d x t dt x t dt dx dx=⎰⎰ ()()20222cos cos 2x t dt x x x =-⋅⎰2224cos 2cos xt dt x x =-⎰.【相关知识点】积分上限函数的求导公式：()()()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dxβαββαα''=-⎰. (3)【答案】4【解析】利用向量运算律有[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+[()]()[()]()a b b c a a b c c a =+⨯⋅+++⨯⋅+()()()()a b b b c a a c b c c a =⨯+⨯⋅++⨯+⨯⋅+ (其中0b b ⨯=) ()()()()a b c a b a a c c b c a =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ ()()a b c b c a =⨯⋅+⨯⋅ ()()4a b c a b c =⨯⋅+⨯⋅=.(4)【解析】令212(3)n n n nn a x -=+-,则当n →∞时,有 2(1)1111212211112(3)limlim 2(3)23(1)311lim ,323(1)3n n n n n n n nn nnn n n n n n n x a a n xn x x n +-+++→∞→∞-+→∞++++-=+-⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=⋅⋅=⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦而当2113x <时,幂级数收敛,即||x <,此幂级数收敛,当2113x >时,即||x >时,此幂级数发散,因此收敛半径为R =(5)【答案】300020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【解析】在已知等式16A BA A BA -=+两边右乘以1A -,得16A B E B -=+,即1()6A E B E --=.因为 1300040007A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,所以116()6B A E --=-=1200030006-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=300020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(C)【解析】这是讨论直线L 的方向向量与平面∏的法向量的相互关系问题.直线L 的方向向量132281477(42)2110i jk l i j k i j k ⎛⎫ ⎪==-+-=--+ ⎪ ⎪--⎝⎭, 平面∏的法向量42n i j k =-+,l n ,L ⊥∏.应选(C).(2)【答案】(B)【解析】由()0f x ''>可知()f x '在区间[0,1]上为严格单调递增函数,故(1)()(0),(01)f f x f x '''>> <<由微分中值定理,(1)(0)(),(01)f f f ξξ'-=<<.所以(1)(1)(0)()(0)f f f f f ξ'''>-=>,(01)ξ<<故应选择(B). (3)【答案】(A) 【解析】由于利用观察法和排除法都很难对本题作出选择,必须分别验证充分条件和必要条件.充分性:因为(0)0f =,所以0000()(1sin )()(0)()()(0)lim lim lim lim (0)x x x x f x x F x F f x f x f f x x x x→→→→+--'====, 由此可得 ()F x 在0x =处可导.必要性:设()F x 在0x =处可导,则()sin f x x ⋅在0x =处可导,由可导的充要条件知00()sin ()sin lim lim x x f x x f x xx x-+→→⋅⋅=. ①根据重要极限0sin lim1x xx→=,可得0sin sin lim lim 1x x x x x x --→→=-=-,00sin sin lim lim 1x x x xx x++→→==, ② 结合①,②,我们有(0)(0)f f =-,故(0)0f =.应选(A). (4)【答案】(C) 【解析】这是讨论1nn u∞=∑与21nn u∞=∑敛散性的问题.11(1)ln 1nn n n u ∞∞==⎛=- ⎝∑∑是交错级数,显然ln(1+单调下降趋于零,由莱布尼兹判别法知,该级数收敛.正项级数2211ln 1n n n u ∞∞==⎛=+ ⎝∑∑中,2221ln 1~n u n ⎛=+= ⎝.根据正项级数的比较判别法以及11n n ∞=∑发散,21n n u ∞=⇒∑发散.因此,应选(C).【相关知识点】正项级数的比较判别法：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数,且lim,nn nv A u →∞=则⑴ 当0A <<+∞时,1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；⑵ 当0A =时,若1nn u∞=∑收敛,则1nn v∞=∑收敛；若1nn v∞=∑发散,则1nn u∞=∑发散；⑶ 当A =+∞时,若1nn v∞=∑收敛,则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散.(5)【答案】(C)【解析】1P 是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵,2P 是将单位矩阵的第一行加到第三行所得初等矩阵；而B 是由A 先将第一行加到第三行,然后再交换第一、二行两次初等交换得到的,因此12PP A B =,故应选(C).三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1)【解析】这实质上已经变成了由方程式确定的隐函数的求导与带抽象函数记号的复合函数求导相结合的问题.先由方程式2(,,)0yx e z ϕ=,其中sin y x =确定()z z x =,并求dz dx. 将方程两边对x 求导得1232cos 0y dzx e x dxϕϕϕ'''⋅+⋅+⋅=, 解得()12312cos y dz x e x dx ϕϕϕ''=-⋅+⋅'. ① 现再将(,,)u f x y z =对x 求导,其中sin y x =,()z z x =, 可得123cos du dzf f x f dx dx'''=+⋅+⋅. 将①式代入得()213321cos 12cos y du f f x f dx x e x ϕϕϕ'''=+⋅-⋅''⋅+⋅'. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u v f f x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂； 12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂. (2)【解析】方法一：用重积分的方法.将累次积分11()()xI dx f x f y dy =⎰⎰表成二重积分()()DI f x f y dxdy =⎰⎰,其中D 如右图所示.交换积分次序10()()yI dy f x f y dx =⎰⎰.由于定积分与积分变量无关,改写成10()()xI dx f y f x dy =⎰⎰.⇒ 1110002()()()()xx I dx f x f y dy dx f x f y dy =+⎰⎰⎰⎰111120()()()().dx f x f y dy f x dx f y dy A ===⎰⎰⎰⎰⇒ 212I A =. 方法二：用分部积分法.注意()1()()xdf y dy f x dx=-⎰,将累次积分I 写成()()()111111212()()()()11().22xxxx xx I f x f y dy dx f y dyd f y dy f y dy A ====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.) (1)【解析】将曲面积分I 化为二重积分(,)xyD I f x y dxdy =⎰⎰.首先确定被积函数(,)f x y ==对锥面z =而言==.其次确定积分区域即∑在xOy 平面的投影区域xy D (见右图),按题意：22:2xy D x y x +≤,即22(1)1x y -+≤.xyD I =.作极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==,则:02cos ,22xy D r ππθθ≤≤-≤≤,因此2cos 2cos 322000213I d r rdr r d θππθπθθ-=⋅==⎰. (2)【解析】这就是将()f x 作偶延拓后再作周期为4的周期延拓.于是得()f x 的傅氏系数：0(1,2,3,)n b n ==2002200222220222()cos 2(1)cos 222(1)sin sin 2244cos ((1)1)28,21,(21)1,2,3,0,2,l n n n x n a f x dx l x xdxl l n n x d x xdx n n n x n n n k k k n k ππππππππππ==-=-=-==---⎧=-⎪-==⎨⎪=⎩⎰⎰⎰⎰2222000021()(1)(1)022a f x dx x dx x ==-=-=⎰⎰.由于(延拓后)()f x 在[2,2]-分段单调、连续且(1)1f -=.于是()f x 有展开式22181(21)()cos ,[0,2](21)2n n f x x x n ππ∞=-=-∈-∑.五、(本题满分7分)【解析】设点M 的坐标为(,)x y ,则M 处的切线方程为 ()Y y y X x '-=-.令0X =,得Y y xy '=-,切线与y 轴的交点为(0,)A y xy '-.由MA OA =,有y xy '=-.化简后得伯努利方程 212,yy y x x '-=- ()221y y x x'-=-. 令2z y =,方程化为一阶线性方程 ()1z z x x'-=-.解得 ()z x c x =-,即 22y cx x =-,亦即y =又由3322y ⎛⎫⎪⎭=⎝,得3c =,L 的方程为(03)y x =<<.六、(本题满分8分) 【解析】在平面上LPdx Qdy +⎰与路径无关(其中,P Q 有连续偏导数),⇔P Q y x ∂∂=∂∂,即 2Q x x∂=∂. 对x 积分得 2(,)()Q x y x y ϕ=+,其中()y ϕ待定.代入另一等式得对t ∀,()()(,1)(1,)(0,0)2(0)2,0()()22t t xydx dy xydx d x y y x y ϕϕ+=+++⎰⎰. ①下面由此等式求()y ϕ.方法一：易求得原函数()()()022222()()2(()()).yyxydx dy ydx dyd x y dd x y x s d x dy y s s y ds ϕϕϕϕ+=+=+=+++⎰⎰于是由①式得 ()()(,1)(1,)22(0,0)(0,0)()()t t yyx y dsx y d s s sϕϕ+=+⎰⎰.即 12()()tt ds t ds s s ϕϕ+=+⎰⎰,亦即 21()ts t t ds ϕ=+⎰.求导得 )2(1t t ϕ=+,即 ()21t t ϕ=-. 因此 2(,)21Q x y x y =+-.方法二：取特殊的积分路径：对①式左端与右端积分分别取积分路径如下图所示.于是得 ()()1200()1()t t dy dy y y ϕϕ+=+⎰⎰. 即 1200()()t t dy t dy y y ϕϕ+=+⎰⎰,亦即 21()ty t t dy ϕ=+⎰.其余与方法一相同.七、(本题满分8分)【解析】(1)反证法.假设(,)c a b ∃∈,使()0g c =.则由罗尔定理,1(,)a c ξ∃∈与2(,),c b ξ∈ 使12()()0g g ξξ''==；从而由罗尔定理, 12(,)(,)a b ξξξ∃∈⊂,()0g ξ''=.这与 ()0g x ''≠矛盾.(2)证明本题的关键问题是：“对谁使用罗尔定理？”换言之,“谁的导数等于零？” 这应该从所要证明的结果来考察.由证明的结果可以看出本题即证()()()()f x g x f x g x ''''-在(,)a b 存在零点.方法一：注意到 ()()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x '''''''-=-,考察()()()()f x g x f x g x ''''-的原函数,令()()()()()x f x g x f x g x ϕ''=-,()x ϕ⇒在[,]a b 可导,()()0a b ϕϕ==.由罗尔定理,(,)a b ξ∃∈,使()0ϕξ'=.即有()()()()0f g f g ξξξξ''''-=,亦即 ()()()()f fg g ξξξξ''=''. 方法二：若不能像前面那样观察到()()()()f x g x f x g x ''''-的原函数,我们也可以用积分来讨论这个问题：[]()()()()(?)()()()()?f x g x f x g x f x g x f x g x dx '''''''''-=⇔-=⎰.[]()()()()()()()()f x g x f x g x dx f x dg x g x df x ''''''-=-⎰⎰⎰()()()()()()()()f x g x g x f x dx f x g x f x g x dx ⎡⎤⎡⎤''''''=---⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()()()()f x g x f x g x ''=-(取0C =).令()()()()()x f x g x f x g x ϕ''=-,其余与方法一相同.八、(本题满分7分)【解析】设对应于231λλ==的特征向量为123(,,)T x x x ξ=,因为A 为实对称矩阵,且实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量相互正交,故10T ξξ=,即230x x +=.解之得 23(1,0,0),(0,1,1)T T ξξ==-.于是有 123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=,所以 1112233123(,,)(,,)A λξλξλξξξξ-= 1010010100101101001101101010-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭.九、(本题满分6分)【解析】方法一：根据T AA E =有 |||||()|||||||||T T A E A AA A E A A E A A A E +=+=+=+=+,移项得 (1||)||0A A E -+=. 因为0A <,故1||0A ->.所以||0A E +=.方法二：因为()T T T TA E A AA A E A E A +=+=+=+,所以 A E A E A +=+,即 (1||)||0A A E -+=. 因为0A <,故1||0A ->.所以||0A E +=.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1)【解析】由题设,因为是独立重复实验,所以X 服从10,0.4n p ==的二项分布.由二项分布的数学期望和方差计算公式,有 ()4,()(1) 2.4E X np D X np p ===-=,根据方差性质有 22()()[()]18.4E X D X E X =+=.(2)【解析】令{0},{0}A X B Y =<=<,则{max(,)0}1{max(,)0}1{0,0}P X Y P X Y P X Y ≥=-<=-<<.由概率的广义加法公式 ()()()()P A B P A P B P AB =+-,有{max(,)0}1[1()]()()()()P X Y P AB P A B P A p B P AB ≥=--=+=+-4435.7777=+-=十一、(本题满分6分) 【解析】方法1：用分布函数法先求Y 的分布函数()Y F y .当1y ≤时, ()0;Y F y =当1y >时, (){}()X Y F y P Y y P e y =≤=≤{}ln P X y =≤ln ln 0011,yy x x e dx e y--==-=-⎰ 所以由连续型随机变量的概率密度是分布函数的微分,得21, 1,()()0, 1.Y Y y y f y F y y ⎧>⎪'==⎨⎪≤⎩或者直接将ln 0yx e dx -⎰对y 求导数得ln ln 2011.y x y d e dx e dy y y--==⎰ 方法2：用单调函数公式直接求Y 的概率密度.由于xy e =在()0,+∞内单调,其反函数()ln x h y y ==在()1,+∞内可导且其导数为 10y x y'=≠,则所求概率密度函数为 ()()()()ln 1,1,,1,0, 1.0, 1.y X Y e y h y f h y y y f y y y -⎧⎧'⋅>⋅>⎪⎪==⎨⎨≤⎪⎪⎩≤⎩21, 1,0, 1.y y y ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.。
1995考研数学真题+答案
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷一）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 0lim >-x xx sin 2)31(+ =6e .(2) dx d dt xt x ⎰022cos = 2224cos 2cos xt dt x x -⎰.(3) 设 2)(=⋅⨯c b a , 则 )()]()[(a c c b b a +⋅+⨯+ = 4 .(4) 幂级数121)3(2-∞=∑-+n n nnx n 的收敛半径R =3.(5) 设三阶方阵A B 、 满足关系式16A BA A BA -=+，且A =1/30001/40001/7⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，则=B 300020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 有直线L ：⎩⎨⎧=+--=+++031020123z y x z y x 及平面π：0224=-+-z y x ，则直线L (C)(A) 平行于π. (B) 在π上 (C) 垂直于π. (D) 与π斜交(2) 设在]10[，上0)(>''x f ，则)0(f '、)1(f '、)0()1(f f -和)1()0(f f -的大小顺序是 (B) (A) )0()1()0()1(f f f f ->'>'. (B) )0()0()1()1(f f f f '>->'. (C) )0()1()0()1(f f f f '>'>-. (D) )0()1()0()1(f f f f '>->'.(3) 设()f x 可导，()()(1sin )F x f x x =+，则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的 (A) (A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件 (C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (4) 设)11ln()1(nu n n +-=，则级数 (C)(A) ∑∞=1n nu 与∑∞=12n nu都收敛. (B)∑∞=1n nu 与∑∞=12n nu都发散(C)∑∞=1n nu收敛而∑∞=12n nu发散. (D)∑∞=1n nu发散而∑∞=12n nu收敛.(5) 设A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ，B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a ，P 1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001010，P 2=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001，则必有 (C)(A) A P 1P 2 = B (B) A P 2P 1 = B (C) P 1P 2A = B (D) P 2P 1A = B. 三、(本题共2小题，每小题5分，满分10分) (1) 设(,,)u f x y z =,2(,,)0,sin y x e z y x ϕ==,其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数，且z∂∂ϕ≠0，求dxdu . 解：,du f z dy f dz dx x y dx z dx ∂∂∂=++∂∂∂……2分 1231cos ,(2cos )y dy dz x x e x dx dx ϕϕϕ''==-+⋅', ……4分 故sin 1231cos (2cos )x du f z f x x e x dx x y z ϕϕϕ∂∂∂''=+-+⋅∂∂∂'. ……5分(2) 设()f x 在区间[]1,0上连续，并设10()f x dx A =⎰，求11()()xdx f x f y dy ⎰⎰.解：更换积分次序，可得1111()()()()()()yxxdx f x f y dy dy f x f y dx dx f x f y dy ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,……2分于是111112()()()()()()x xxdxf x f y dy dx f x f y dy dx f x f y dy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1120()()dx f x f y dy A ==⎰⎰……4分 所以1121()()2xdx f x f y dy A =⎰⎰. ……5分四、(本题共2小题，每小题6分，满分12分) (1) 计算曲面积分zdS ∑⎰⎰，其中∑为锥面22z x y =+222x y x +≤内的部分.解：∑在xoy 平面上的投影区域为22D 2x y x +≤：，221()()2z z dS d d x yσσ∂∂=++=∂∂. 于是222zdS x y d σ∑=+⎰⎰⎰⎰……3分 2cos 22022d r dr πθπθ-=⎰32016322cos 239d πθθ==……6分(2) 将函数()1(02)f x x x =-≤≤展成周期为4的余弦级数.解：2002(1)0,2a x dx =-=⎰ ……1分222000222(1)cos (1)sin sin2222n n x n x n xa x dx x d dx n n πππππ=-=-=-⎰⎰⎰224[(1)1]n n π=-- ……4分2202(1,2,)821(21)n k k n k k π=⎧⎪==⎨-=-⎪-⎩ .22181(21)()cos ,[0,2](21)2k k xf x x k ππ∞=-=-∈-∑. ……6分注：展开式也可写作2214(1)1()cos ,[0,2]2n n n xf x x n ππ∞=--=∈∑.五、(本题满分7分)设曲线L 位于xoy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为A.已知MA = OA ，且L 过点)23,23(，求L 的方程.解：设点M 的坐标为(,)x y ，则切线MA 的方程为()Y y y X x '-=-.令0X =，则'Y y xy =-，故点A 的坐标为(0,')y xy -.……2分 由MA OA =，有22'(0)(')y xy x y y xy -=-+-+即212'yy y x x-=-. ……4分令2z y =，得dz zx dx x -=-. 解得11()()dxdx x x z e xe dx c x x c -⎰⎰=-+=-+⎰，即22y x cx =-+……6分由于所求曲线在第一象限内,故2.y cx x =-再以条件33()22y =代入得3c =，于是L 的方程为23.(03)y x x x -<<……7分注：不写(03)x <<不扣分.六、(本题满分8分)设函数),(y x Q 在xoy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分⎰+Ldy y x Q xydx ),(2与路径无关，并且对任意t 恒有()()()()dy y x Q xydx dy y x Q xydx t t ⎰⎰+=+,10,01,0,0),(2),(2，求),(y x Q .解：由曲线积分与路径无关的条件知(2)2Q xy x x y∂∂==∂∂. ……2分于是，2Q(,)()x y x c y =+，其中()c y 为待定函数. ……3分又(,1)1122(0,0)002(,)[()](),t xydx Q x y dy t c y dy t c y dy +=+=+⎰⎰⎰(1,)2(0,0)2(,)[1()]()t ttxydx Q x y dy c y dy t c y dy +=+=+⎰⎰⎰.……6分故由题设知12()()tt c y dy t c y dy +=+⎰⎰.两边对t 求导得21(),()21t c t c t t =+=-从而()21c y y =-，所以2(,)21Q x y x y =+-.……8分七、(本题满分8分)假设函数)(x f 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数，并且()0g x ''≠，()()()()0f a f b g a g b ====，试证：(1) 在开区间(,)a b 内()0g x ≠； (2) 在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使()()()()f fg g ξξξξ''=''. 证：(1) 用反证法. 若存在点(,)c a b ∈，使()0g c =，则对()g x [,]a c 和[,]c b 上分别 应用罗尔定理，知存在1(,)a c ξ∈和2(,)c b ξ∈，使12()()0g g ξξ''==. ……2分再对'()g x 在12[,]ξξ在上应用罗尔定理，知存在3123(,),''()0g ξξξξ∈=使， 这与题设''()0g x ≠矛盾，故在(,)a b 内()0g x ≠.……4分 (2) 令()()'()'()()x f x g x f x g x ϕ=-，……6分易见()()0a b ϕϕ==，对()x ϕ在[,]a b 上应用罗尔定理，知存在(,)a b ξ∈，使'()0ϕξ=. 即()''()-''()()0f g f g ξξξξ=.因()0,''()0g g ξξ≠≠，故得()()()()f fg g ξξξξ''=''. ……8分八、(本题满分7分)设三阶实对称阵A 的特征值为1231,1λλλ=-==，对应于1λ的特征向量为1(0,1,1)T ξ=，求A .解：对应于231λλ==有两个线性无关的特征向量23,ξξ，它们都与1ξ正交， 故可取23(1,0,0),(0,1,1)T T ξξ==-，.……3分令0101/2021/202P ⎛⎫ ⎪= ⎪ -⎝，……5分则1T PP -=，于是1010100021/210020201010000100101020201/22A PAP -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ---⎝⎭⎝⎭⎝⎝.……7分 九、(本题满分6分)设A 是n 阶矩阵，满足AA I '=（I 是n 阶单位阵，A '是A 的转置矩阵），0A <，求I A +.解：因||||||||A I A AA A I A ''+=+=+……2分 |||()|||||A I A A I A '=+=+，……4分 所以(1||)||0A I A -+=.由因1||0A ->，故||0I A +=.……6分十、(本题共2小题，每小题3分，满分6分)(1) 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4 ，则2X 的数学期望 )(2X E ＝ 18.4 .(2) 设X 和Y 为两个随机变量，且73}0,0{=≥≥Y X P ，74}0{}0{=≥=≥Y P X P ，则{max (,)0}57P X Y ≥=/.十一、(本题满分6分)设X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-00)(x x e x f xX ，求Xe Y =的概率密度)(yf Y .解：(){}{}X Y F y P Y y P e y =≤=≤……1分 0,1{ln },1y P X y y <⎧=⎨<≥⎩，……3分故1y ≥时，ln 0(){ln }yx Y F y P X y e dx -=<=⎰，21()()Y Y f y F y y'==……5分因此20,1()1,1Y y f y y y <⎧⎪==⎨≥⎪⎩.……6分数 学（试卷二）一、填空题【 同数学一 第一题 】 二、选择题【 同数学一 第二题】三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分) (1)【 同数学一 第三、(1) 题 】(2) 求曲面222y x z +=平行于平面022=-+z y x 的切平面方程.解：2200000(,,).{,2,1}.2x P x y z z y P x y =+-设切点为于是曲面在点的法矢量为因所给平面的法矢量为{2,2,1}-.故由条件知0021.221x y -==- 所以切点坐标为22000002,1,32x x y z y ===+=.……3分 于是所求切平面方程为2(2)2(1)(3)0,x y z -+---=即2230x y z +--=. ……5分(3) 计算二重积分 2Dx ydxdy ⎰⎰，其中D 是由双曲线122=-y x 及直线y = 0, y = 1所围成的平面区域. 解：22112201y yDx ydxdy dy ydx ++=⎰⎰⎰……2分1351222200222(1)(1)(421)31515y y dy y =+=+=⎰. ……5分四、(本题满分12分)【 同数学一 第四题 】 五、(本题满分7分)【 同数学一 第五题 】 六、(本题满分8分)【 同数学一 第六题 】 七、(本题满分8分)【 同数学一 第七题 】 八、(本题共2小题，每小题7分，满分14分)(1) 设 1234234243211233x x x x x ax ax x x +++=⎧⎪+-=-⎨⎪+=⎩，问a 为何值时方程组有解，并在有解时求出方程组的通解.解：因1321113211011012221203300221a aa a⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--→--⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，……3分所以2a≠时，方程组有解，……4分其通解为1234710232221112aaxaxk axx a-⎛⎫⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=+-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎪⎝⎭，其中k为任意常数. ……7分(2)【同数学一第八题】九、(本题满分6分)【同数学一第九题】数 学（试卷三）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 设221cos()siny x x=，则y '=22221122sin()sinsin cos()x x x x x x --. (2) 微分方程x y y 2-=+''的通解为x c x c x y sin cos 221++-=.(3) 曲线 231x t y t ⎧=+⎨=⎩在2t =处的切线方程为370x y --=. (4) ∞→n lim (112++n n + 222++n n ++ nn n n ++2 ) =21.(5) 曲线22x y x e -=的渐近线方程为y =.二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设()f x 和()x ϕ在(,)-∞+∞内有定义，()f x 为连续函数，且()0f x ≠，()x ϕ有间断点，则 （D ）(A) [()]f x ϕ必有间断点 （B ）2[()]x ϕ必有间断点 (C) [()]f x ϕ必有间断点 （D ）)()(x f x ϕ 必有间断点(2) 曲线(1)(2)y x x x =--与x 轴所围图形的面积可表示为 (C)(A) 2(1)(2).x x x dx ---⎰（B ）⎰⎰-----1021.)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x(C) 1201(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰； （D ）dx x x x )2)(1(2--⎰(3) 设()f x 在(,)-∞+∞内可导，且对任意12,x x ，当12x x >时，有12()()f x f x >，则 （D ）(A) 对任意x ，()0f x '>. (B) 对任意x ，()0f x '-<. (C) 函数()f x -单调增加. (D) 函数()f x --单调增加.(4) 设在[0,1]上()0f x '''>(0)=0f ''，则)1(f '、)0(f ' 、)0()1(f f - 和)1()0(f f - 的大小顺序是 (B) (A) )0()1()0()1(f f f f ->'>'. ( B ) )0()0()1()1(f f f f '>->' (C) )0()1()0()1(f f f f '>'>-. ( D ) )0()1()0()1(f f f f '>->'. (5) 设()f x 可导，()()(1sin )F x f x x =+，若()F x 在0x =处可导，则必有 (A)(A)(0)0f =. (B).0)0('=f (C)(0)'(0)0.f f += (D)(0)'(0)0.f f -=三、(本题共6小题，每小题5分，满分30分) (1) 求)cos 1()cos(1lim 0x x x x --+→.解：原式0lim (1cos )(1cos )x x x x +→=-+……1分2012lim 1(1cos 2x x x x x +→=⋅⋅+ ……4分12=. ……5分(2) 设函数()y y x =方程()f y yxee =确定，其中f 具有二阶导数，且,1'≠f 求22d ydx. 解：方程两边取对数，得ln ()x f y y +=. 对x 求导，得1'()''f y y y x+=从而1'(1'())y x f y =- ……2分故222231'()''()'(1'())''()''(1'())[1'()]f y xf y y f y f y y x f y x f y ----=-=---. ……5分(3) 设2ln )1(222-=-x x x f ，且x x f ln )]([=ϕ， 求⎰dx x )(ϕ解：因为222(1)1(1)ln (1)1x f x x -+-=--，所以1()ln1x f x x +=-. ……1分 又()1()11[()]lnln ,,()=()1()11x x x f x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ+++===---从而. ……3分 于是21()2ln(1)(ln(1))1x x dx dx x x c x x c x ϕ+==-++=-++-⎰⎰或 ……5分(4) 设21,0()0,0xarctg x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，试讨论'()f x 在0x =处的连续性. 解：因为201'(0)lim2x xarctg x f x π→==， ……2分 2240012lim '()lim()12x x x f x arctg x x π→→=-=+, ……4分所以'()f x 在0x =处是连续的. ……5分(5) 求摆线⎩⎨⎧-=-=tt y tx sin cos 1一拱（0π2≤≤t ）的弧长.解：sin ,1cos ,dx dy t t dt dt==- ……1分所以22sin (1cos )ds t t dt =+-2(1cos )2sin (02)2tt dt dt t π=-=≤≤. ……3分 从而202sin 82ts dt π==⎰.……5分(6) 设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 00v v t ==.已知阻力与速度成正比（比例常数为1），问t 为多少时此质点的速度为3v ？并求到此时刻该质点所经过的路程. 解：设质点的运动速度为()v t .由题设,有00()()0t v t v t v v ='+=⎧⎨⎢=⎩. ……2分解此方程,得0()t v t v e -=. ……3分 由03t v v e -=，解得ln 3t = ……4分到此时刻该质点所经过的路程ln300023t s v e dt v -==⎰.……5分四、(本题满分8分) 求函数()f x =⎰--2)2(x t dt e t 的最大值和最小值.解：因为(),()).f x f x ∞是偶函数故只需求在[0,+内的最大值与最小值 ……2分令22'()2(2)0x f x x x e -=-=，故在区间(0,)+∞内有唯一驻点2x =而当02x <<'()0f x >；当2x >'()0f x <，所以2x =.……4分最大值为22200(2)(2)(2)t t tf t e dt t e e dt ---=-=--⎢-⎰⎰21e -=+. ……6分又因为000(2)(2)211t t t t e dt t e e +∞--+∞-+∞-=--⎢+⎢=-=⎰，(0)0f =，故(0)0f =是最小值.……8分五、(本题满分8分)设xy e =是微分方程x y x p xy =+)('的一个解，求此微分方程满足条件ln 20x y =⎢=的特解.解：以x y e =代入原方程，得()x xxe p x e x +=，解出().x p x xe x -=-……2分代入原方程，得'().x xy xe x y x -+-= 解其对应的齐次方程'(1)0x y e y -+-=，有(1),ln ln x x dye dx y c e x y--=-+-=+，得齐次方程的通解x x e y ce -+=. ……5分 所以原方程的通解为xx x e y e ce -+=+. ……6分于是由ln20x y =⎢=，得12220e c +=，即12c e-=-，故所求特解为12x x e xy e e-+-=-. ……8分六、(本题满分8分)如图，设曲线L 的方程为()y f x =，且.0''>f 又MT 、MP 分别为该曲线在点M （x 0,y 0）处的切线和法线.已知线段MP 的长度为232))(1(y y '''+，（其中，)(''''),(0000x y y x y y ='='），试推导出点),(ηξP 的坐标表达式. 解：由题设得232200020(1)()()y x y y ξη'+-+-='' (1)又PM MT ⊥，所以000'x y y ξη-=-- (2) ……4分2220020(1)(1),(2) ()y y y η'+-=''由解得.200001''0,L 0,y y y y y ηη'+>-<-=-''由于曲线是凹的,故从而. ……6分又2000000(1)()y y x y y y ξη''+'-=--=''，于是得200002000(1)(1)y y x y y y y ξη⎧''+=-⎪''⎪⎨'+⎪=+⎪''⎩.……8分七、(本题满分8分) 设0sin ()x tf x dt tπ=-⎰，计算⎰π0)(dx x f .解：00()()'()f x dx xf x xf x dx πππ=⎢-⎰⎰……3分 00sin sin x xdx x dx x x πππππ=---⎰⎰……6分 00sin sin 2x xdx xdx x ππππ-===-⎰⎰. ……8分八、(本题满分8分) 设1)(lim=→xx f x ，且0)(''>x f , 证明()f x x ≥. 证：因为()f x 连续且具有一阶导数，所以由0()lim 1x f x x→=，知(0)0f =. 从而有00()(0)()'(0)limlim 10x x f x f f x f x x→→-===-.……3分令()()F x f x x =-，则(0)0F =. 由于'()'()1F x f x =-，所以(0)0F '=.又由()()0F x f x ''''=>……5分(0)()'().()F F x F x F x 知是的极小值和单调故只有一个驻点，(0)F 从而是()F x 的最小值.因此()(0)0,()F x F f x x ≥=≥即. ……8分数 学（试卷四）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设1()1x f x x-=+，则()()n f x =1(1)2!(1)n n n x +-⋅⋅+. (2) 设()yz xyf x=，()f u 可导，则zz y z x y x 2='+'.(3) 设x x f +=1)(ln '，则()f x =x x e c ++. (4) A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡543022001，A*是A 的伴随矩阵，则( A* )1-=1/10001/51/503/101/51/2⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(5) 设12,,,n X X X 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，其中参数μ和2σ未知，记X =∑=ni i X n 11，∑=-=ni i X X Q 122)(，则假设0:0=μH 的t 检验应使用统计量t =(1)Xn n Q-.二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 设()f x 为可导函数，且满足条件 12)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为 (D) (A) 2 （B ）-1 （C ）12. (D) -2 (2) 下列广义积分发散的是 (A)(A)⎰-11.sin 1dx x (B)121dx x--⎰ (C)2x edx +∞-⎰(D)221ln dx x x+∞⎰(3) 设矩阵A m ×n 的秩为R(A) = m < n ，I m 为m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是 (C)(A) A 的任意m 个列向量必线性无关 (B) A 的任意一个m 阶子式不等于零 (C) 若矩阵B 满足BA=0，则B=0(D) A 通过初等行变换，必可以化为（I m 0）的形式(4) 设随机变量X 和Y 独立同分布，记U =X -Y,V =X +Y ，则随机变量U 与V 必然 (D)(A) 不独立(B) 独立 (C) 相关系数不为零(D) 相关系数为零(5) 设随机变量X 服从正态分布N （2,σμ）,则随着σ的增大，概率P{}σμ<-X (C )(A) 单调增大(B) 单调减小 (C) 保持不变(D) 增减不定三、(本题满分6分)设()f x =2202(1cos ),01,01cos ,0xx x x x t dt x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪⎪>⎩⎰若若若，试讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性. 解：(1) 由2002sin lim (1cos )lim 1,x x x x x x--→→-== ……1分 220001cos lim cos lim 11x x x x t dt x ++→→==⎰, ……2分 可知0lim ()1(0)x f x f →==，于是，函数()f x 在0x =处连续 ……3分(2) 分别求()f x 在0x =处的左右导数，2230012(1cos )2(1cos )(0)lim [1]lim x x x x x f x x x---→→---'=-= 20002sin 22cos 2sin lim lim lim 0363x x x x x x x x x ---→→→---====， ……4分222000cos 11(0)lim cos 1lim xx x x t dt x f t dt x x x+++→→-⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭⎰⎰2200cos 12sin lim lim 022x x x x x x ++→→--===. ……5分 由于左、右导数都等于0,可见()f x 在0x =处可导.且'(0)0f =.……6分注：若只说明()f x 在0x =处可导，并说明可导一定连续，仍给满分.四、(本题满分6分)已知连续函数)(x f 满足条件320()()3xx t f x f dt e =+⎰,求)(x f .解：两端同时对x 求导数，得一阶线性微分方程2()3()2x f x f x e '-=……1分 解此方程,有()f x 233332(2)(2)2.x x x x x x xe e dx c e e dx c e ce e --=⋅+=+=-⎰⎰……4分 由于(0)1, 3.f c ==可得 ……5分 于是x x e e x f 2323)(-=.……6分五、(本题满分6分)将函数2ln(12)y x x =--)展成x 的幂级数，并指出其收敛区间. 解：2ln(12)ln(12)(1)ln(1)ln(12)x x x x x x --=-+=++-……1分231ln(1)(1),(-1,1];23nn x x x x x n++=-+-+-+ 其收敛区间为 ……3分 231(2)(2)(2)ln(12)(2)(1)23nn x x x x x n+----=--+-+-+ ,11,).22其收敛区间为[-……5分 于是有,2111(2)ln(12)[(1)(1)]n n n n n x x x x n n ∞++=---=-+-∑ 11(1)211,[,).22n n n n x n +∞=--=-∑其收敛区间为……6分六、(本题满分5分) 计算{}22()min ,xy x y e dxdy +∞+∞-+-∞-∞⎰⎰.解：2222yxy x x y I edy xedx e dx yedy +∞+∞-----∞-∞-∞-∞=+⎰⎰⎰⎰……2分 22222211.22y x x e dy e dx e dx +∞+∞+∞----∞-∞-∞=--=-⎰⎰⎰ ……3分作换元,令,22t dtx dx ==，有22221222t t I e dt e dt ππ+∞+∞---∞-∞=-=⎰ ……4分 2,2ππ==-……5分2212t edt π+∞--∞=⎰.七、(本题满分6分)设某产品的需求函数为()Q Q P =,收益函数为R PQ =,其中P 为产品价格,Q 为需求量（产品的产量），()Q P 是单调减函数，如果当价格为0P 时，边际收益00|Q Q dRa dQ==>,收益对价格的边际效应0P P dRc dP==<,需求对价格的弹性为1p E b =>，求0P 和0Q .解：由收益R PQ =对Q 求导，有dR dP P QdQ dQ =+P =+dP P dQ Q ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1()(1)pP P E -=-，于是001(1)Q Q dR P a dQ b =⎢=-=. 即0.1abP b =- ……3分又由收益R PQ =对Q 求导，有()(1)p dQdR dQ Q Q P Q Q Q E dP dP dPP=+=--=-，故00(1).P P p dR Q E c dP =⎢=-= ……5分 因此0.1cQ b=-……6分 八、(本题满分6分)设()f x 、()g x 在区间 [,]a a -(0a >) 上连续，()g x 为偶函数，且()f x 满足条件()()f x f x A +-= (A 为常数)(1) 证明:()()()aaaf xg x dx A g x dx -=⎰⎰；(2) 利用(1)的结论计算定积分⎰=22.sin ππdx arctge x x证：(1) 0()()()()()()aaaaf xg x dx f x g x dx f x g x dx --=+⎰⎰⎰而()()()()()()aaax t f x g x dx f t g t dt f x g x dx -=----=-⎰⎰⎰.……2分()()()()()()aaa af xg x dx f x g x dx f x g x dx -=-+⎰⎰⎰于是[()()]()()a af x f xg x dx A g x dx =+-=⎰⎰.……3分(2) 取(),()sin ,2x f x arctge g x x a π===，则(),()f x g x 在[,]22ππ-上连续，且()g x 为偶函数. 由于(arctge +arctge )=0x x -'，故arctge +arctge =A x x -， ……4分令0x =，得21arctg A =，故.2A π=从而()().2f x f x π+-=……5分于是有222sin sin 2xxarctge dx xdx ππππ-=⎰⎰2200sin (cos )222xdx x πππππ==-⎢=⎰. ……6分九、(本题满分9分)已知向量组(I)123,,ααα；(II)1234,,,αααα；(III)1235,,,αααα.如果各向量组的秩分别 为R(I)= R(II)=3，R(III)=4. 证明:向量组12354,,,ααααα-的秩为4.证：因R(I)= R(II)=3，所以123,,ααα线性无关.而1234,,,αααα线性相关，故存在数123,,λλλ使2423131λλααααλ=++. （1）……3分设有数1234,,,k k k k ，使得123123454)(0k k k k ααααα+++=-，将（1）代入上式，化简得11421232433445)((0())k k k k k k k ααλλααλ--+++-=. 由R(III)=4，知1235,,,αααα线性无关.……6分所以11422433440000k k k k k k k λλλ-=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪=⎩，于是有12340k k k k ====.故12354,,,ααααα-线性无关，即其秩为4.……9分十、(本题满分10分)已知二次型=),,(321x x x f 323121232284434x x x x x x x x +-+-.(1) 写出二次型f 的矩阵表达式；(2) 用正交变换把二次型f 化为标准型，并写出相应的正交矩阵.解：(1) f 的矩阵表达式为112312323022(,,)(,,)244243x f x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭， ……2分(2) 二次型的矩阵为022244243-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A ， A 的特征方程为222||244(1)(36)0243λλλλλλ--=---=--=-+I A ，由此得A 的特征值为1231,6,6λλλ===-.对应的特征向量为1201α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,2152α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3112α⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭； ……6分对应的单位特征向量为1505β=⎪ ⎪，2303030β=，3666β=. 由此可得正交矩阵1235306(,03065306P βββ==,).……8分对二次型f 作正交变换112233x y x P y x y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……9分则二次型f 可以化为如下标准型222123123(,,)66f x x x y y y =+-. ……10分十一、(本题满分8分)假设一厂家生产的每台仪器，以概率为0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试， 经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n ( n ≥2 ) 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：(1) 全部能出厂的概率α；(2) 其中恰好有两件不能出厂的概率β； (3) 其中至少有两件不能出厂的概率θ.解：对于新生产的每台仪器，引进事件：A=｛仪器需进一步调试｝，B={仪器能出厂}， 则A ＝｛仪器能直接出厂｝，AB ＝｛仪器经调试后能出厂｝.由条件知,B A AB =+；()0.30,(|)0.80,P A P B A ==()()(|)0.300.800.24P AB P A P B A ==⨯=，()()()0.700.240.94P B P A P AB =+=+=，……3分设X 为所生产的n 台仪器中能出厂的台数，则X 作为n 次独立试验成功（仪器能出厂）的次数，服从参数为(,0.94)n 的二项分布，因此{}0.94n P X n α===，……4分 222{2}0.940.06n n P X n C β-==-=⋅⋅，……6分1{2}1{1}{}10.940.060.94n n P X n P X n P X n n θ-=≤-=-=--==-⋅⋅-.……8分十二、(本题满分8分)已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为4,01,01(,)0,xy x y x y ϕ≤≤≤≤⎧=⎨⎩若其他 ,求X 和Y 的联合分布函数(,)F x y .解：(1) 对于00x y <<或，有(,){,}0F x y P X x Y y =≤≤=. ……1分 (2) 对于01,1x y ≤≤≤≤0，有220(,)4xyF x y uvdudv x y ==⎰⎰，……３分 (3) 对于1,1x y >>，有(,)1F x y =.……４分 (4) 对于1,1x y >≤≤0，有2(,){1,}F x y P X Y y y =≤≤=. ……６分 (5) 对于1,1y x >≤≤0，有2(,){,1}F x y P X x Y x =≤≤=.……８分故X 和Y 的联合分布函数22220,0001,1(,)1,11,111,1x y x y x y F x y x x y y x y x y <<⎧⎪≤≤≤≤⎪⎪=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪>>⎪⎩或000.数 学（试卷五）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设 ⎰∞-∞→=+a t axx dt te xx ,)1(lim 则常数a = 2 .(2) 【 同数学四 第一、(2) 题 】 (3) 【 同数学四 第一、(3) 题 】 (4) 【 同数学四 第一、(4) 题 】(5) 设X 是一个随机变量，其概率密度为1,10()1,010,x x f x x x +-≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩若若其他,则方差=X D 16. 二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 【 同数学四 第二、(1) 题 】 (2) 【 同数学四 第二、(2) 题 】(3) 设n 维行向量11(,0,0)22α= ,矩阵T A I αα=-,2TB I αα=+,其中I 为n 阶单位矩阵，则AB 等于 (C) (A) 0(B) I -(C) I(D) TI αα+(4) 设矩阵A m ×n 的秩为R(A) = m < n, I m 为m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是 (C)(A) A 的任意m 个列向量必线性无关 (B) A 的任意一个m 阶子式不等于零(C) 非齐次线性方程组AX = b 一定有无穷多组解 (D) A 通过初等行变换，必可以化为（I m 0）的形式. (5) 【 同数学四 第二、(5) 题 】三、(本题满分6分)【 同数学四 第三题 】 四、(本题满分6分) 求不定积分⎰dx x 2)(arcsin .解：222(arcsin )(arcsin )1x dx x x dx x=--⎰……2分222(arcsin )(1)1x x x x=+--……3分 22(arcsin )212x x x x dx =+--⎰……5分 22(arcsin )212x x x x x c =+--+.……6分五、(本题满分7分)【 同数学四 第八题 分值不同 】 六、(本题满分6分)【 同数学四 第七题 】 七、(本题满分5分)设)(x f 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使)()()()(ξξξf f ab a af b bf '+=--.证：做辅助函数()()F x x f x =， ……1分 则()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，从而在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()()'().F b F a F b aξ-=-……3分 由于()()()F x f x xf x ''=+. ……4分可见()()()'()bf b af a f f b aξξξ-=+-.……5分 八、(本题满分9分)求二元函数2(,)(4)z f x y x y x y ==--在由直线6x y +=，x 轴和y 轴所围成的闭区域 Ｄ上的极值、最大值与最小值.解：由方程组222(,)2(4)0(,)(4)0xy f x y xy x y x y f x y x x y x y ⎧'=---=⎪⎨'=---=⎪⎩，得0,(06)(4,0),(2,1).x y =≤≤及点因点(4,0)及线段0x =在D 的边界上，故只有点(2,1)是可能的极值点. 由于222862,834,2xx xy yy f y xy y f x x xy f x ''''''=--=--=-……3分故在点(2,1)处，有22186260x xx y A f y xy y ==''==--⎢=-<，2218344,x xy y B f x x xy ==''==--⎢=-22128x yy y C f x ==''==-⎢=-，21648320B AC -=-=-<.因而点(2,1)是极大值点，其极大值为 (2,1)4f =.……5分显然在边界0(06)x y =≤≤和0(06)y x =≤≤上，有(,)0f x y =；而在边界6x y +=上，6y x =-，代入(,)f x y 中有，32212(06)Z x x x =-≤≤.……6分由2'6240Z x x =-=，得0,4x x ==，又44Z''1224240x x x ==⎢=-⎢=>，所以点(4,2)是边界6x y +=上的极小值点，极小值为(4,2)64f =-. ……8分 经比较得，最大值为(2,1)4f =，最小值为(4,2)64.f =-……9分九、(本题满分8分)对于线性方程组123123123322x x x x x x x x x λλλλ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩，讨论λ取何值时，方程组无解、有唯一解和有无穷解？在方程组有无穷解时，试用导出组的基础解系表示全部解.解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换：113112112A λλλλ⎛-⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭112011000(2)(1)3(1)λλλλλλ⎛-⎫⎪→→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭……2分（1）当21λλ≠-≠且时，()()3R A R A ==，从而方程组有唯一解. ……3分 （2）当2λ=-时，()2,()3R A R A ==，由于()()R A R A ≠，方程组无解.……4分（3）当1λ=时，有A 111200000000⎛-⎫⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭.此时()()13R A R A ==<，故此时方程组有无穷多组解.……5分又由此可得与原方程组同解的方程组为1232x x x =---. 令230x x ==，得特解0(2,0,0)T u =-.……6分而与原方程组的导出组同解的方程组为123x x x =--，由此可得导出组的基础解系为12(1,1,0),(1,0,1)T T v v =-=-. 于是，原方程组的全部解为0112212211010001x u c v c v c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中12,c c 为任意常数.……8分十、(本题满分8分)设三阶矩阵A 满足),3,2,1(==i ia Aa i i 其中列向量1(1,2,2)T α=，2(2,2,1)T α=-，3(2,1,2)T α=--，试求矩阵A .解：由(1,2,3)i i A i i αα==，可得123123(,,)(,2,3)A αααααα=. ……2分记123123(,,),(,2,3)P B αααααα==.上式可写为AP B =.因123122|||,,|221270212P ααα-==--=-≠……3分所以矩阵P 可逆，由此可得1A BP -=.……4分而112212219212P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.……7分 所以1461227/302/3124322105/32/392262122/32/32A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=---=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭.……8分 注：由i α是A 的对应于特征值i 的特征向量(1,2,3)i =，得到123,,ααα线性无关，说明矩阵P 可逆，可得3分.十一、(本题满分8分)【 同数学四 第十一题 】 十二、(本题满分7分)假设随机变量X 服从参数为2的指数分布，证明：Xe Y 21--=在区间(0,1)上服从均匀分布.证：X 的分布函数21,0()00x e x F x x -⎧->=⎨≤⎩，21x y e -=-是单调增函数，其反函数ln(1)2y x -=-. ……2分设()G y Y 是的分布函数，则2(){}{1}xG y P Y y P e y -=≤=-≤0,0ln(1){},121,1y y P X y y ≤⎧⎪-⎪=≤-<<⎨⎪≥⎪⎩若若0若， ……5分0,0,11,1y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩若若0若. 于是，Y 服从(0,1)均匀分布.……7分。
1995年考研数学一真题及答案
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 2sin 0lim(13)xx x →+=______________.(2)202cos x d x t dt dx=⎰______________. (3) 设()2a b c ⨯⋅=,则[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+=______________.(4) 幂级数2112(3)n n nn nx ∞-=+-∑的收敛半径R =______________. (5) 设三阶方阵A 、B 满足关系式：16A BA A BA -=+,且100310041007A ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则B = ______________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 设有直线3210,:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4230x y z ∏-+-=,则直线L ( )(A) 平行于∏ (B) 在∏上 (C) 垂直于∏ (D) 与∏斜交 (2) 设在[0,1]上()0f x ''>,则(0)f '、(1)f '、(1)(0)f f -或(0)(1)f f -的大小顺序是( ) (A) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B) (1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C) (1)(0)(1)(0)f f f f ''->> (D) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>-> (3) 设()f x 可导,()()(1|sin |)F x f x x =+,则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的 ( ) (A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件(C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (4)设(1)ln 1n n u ⎛=-+⎝,则级数 ( )(A)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛 (B)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散(C)1nn u∞=∑收敛而21nn u∞=∑发散 (D)1nn u∞=∑发散而21nn u∞=∑收敛(5) 设111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,212223111213311132123313a a a B a a a a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭,1010100001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2100010101P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则必有 ( )(A) 12APP B = (B) 21AP P B =(C) 12PP A B = (D) 21P P A B =三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1) 设2(,,),(,,)0,sin yu f x y z x e z y x ϕ===,其中f 、ϕ都具有一阶连续偏导数,且0z ϕ∂≠∂,求du dx. (2) 设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1()f x dx A =⎰,求11()()xdx f x f y dy ⎰⎰.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.) (1) 计算曲面积分zdS ∑⎰⎰,其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分. (2) 将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦级数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为A .已知MA OA =,且L 过点33,22⎛⎫⎪⎝⎭,求L 的方程.六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在xOy 平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,)t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰,求(,)Q x y .七、(本题满分8分)假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶倒数,并且()0g x ''≠,()()()()f a f b g a g b ===,试证：(1) 在开区间(,)a b 内()0g x ≠； (2) 在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使()()()()f fg g ξξξξ''=''.八、(本题满分7分)设三阶实对称矩阵A 的特征值为11λ=-,231λλ==,对应于1λ的特征向量为1(0,1,1)T ξ=,求A .九、(本题满分6分)设A 是n 阶矩阵,满足T AA E =(E 是n 阶单位阵,T A 是A 的转置矩阵),0A <,求A E +.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1) 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =___________. (2) 设X 和Y 为两个随机变量,且{}30,07P X Y ≥≥=, 4(0)(0)7P X P Y ≥=≥=, 则{}max(,)0P X Y ≥=___________.十一、(本题满分6分)设随机变量X 的概率密度为, 0,()0, 0,x X e x f x x -⎧≥=⎨<⎩求随机变量XY e =的概率密度()Y f y .参考答案一、(1)【答案】6e【解析】这是1∞型未定式求极限,2123sin 3sin 0lim(13)lim(13)x xx xx x x x ⋅⋅→→+=+,令3x t =,则当0x →时,0t →,所以1130lim(13)lim(1)xtx t x t e →→+=+=,故 00266lim6lim6sin sin sin sin 0lim(13)lim x x x xxxxxxx x x eeee →→→→+====.(2)【答案】2224cos 2cos xt dt x x -⎰【解析】()220022cos cos x x d d x t dt x t dt dx dx=⎰⎰ ()()20222cos cos 2xt dt x x x =-⋅⎰ 2224cos 2cos xt dt x x =-⎰.(3)【答案】4【解析】利用向量运算律有[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+[()]()[()]()a b b c a a b c c a =+⨯⋅+++⨯⋅+()()()()a b b b c a a c b c c a =⨯+⨯⋅++⨯+⨯⋅+ (其中0b b ⨯=) ()()()()a b c a b a a c c b c a =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ ()()a b c b c a =⨯⋅+⨯⋅ ()()4a b c a b c =⨯⋅+⨯⋅=.(4) 【解析】令212(3)n n n nn a x -=+-,则当n →∞时,有2(1)1111212211112(3)limlim 2(3)23(1)311lim ,323(1)3n n n n n n n nn n nn n n n n n n xa a nx n x x n +-+++→∞→∞-+→∞++++-=+-⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=⋅⋅=⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦而当2113x <时,幂级数收敛,即||x <,此幂级数收敛,当2113x >时,即||x >时,此幂级数发散,因此收敛半径为R =(5)【答案】300020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【解析】在已知等式16A BA A BA -=+两边右乘以1A -,得16A B E B -=+,即1()6A E B E --=.因为 1300040007A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,所以116()6B A E --=-=1200030006-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=300020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.二、(1)【答案】(C)【解析】这是讨论直线L 的方向向量与平面∏的法向量的相互关系问题.直线L 的方向向量132281477(42)2110i jk l i j k i j k ⎛⎫ ⎪==-+-=--+ ⎪ ⎪--⎝⎭, 平面∏的法向量42n i j k =-+,l n ,L ⊥∏.应选(C). (2)【答案】(B)【解析】由()0f x ''>可知()f x '在区间[0,1]上为严格单调递增函数,故(1)()(0),(01)f f x f x '''>> <<由微分中值定理,(1)(0)(),(01)f f f ξξ'-=<<.所以(1)(1)(0)()(0)f f f f f ξ'''>-=>,(01)ξ<<故应选择(B). (3)【答案】(A)【解析】由于利用观察法和排除法都很难对本题作出选择,必须分别验证充分条件和必要条件.充分性:因为(0)0f =,所以000()(1sin )()(0)()()(0)limlim lim lim (0)x x x x f x x F x F f x f x f f x x x x→→→→+--'====, 由此可得 ()F x 在0x =处可导.必要性:设()F x 在0x =处可导,则()sin f x x ⋅在0x =处可导,由可导的充要条件知0()sin ()sin lim lim x x f x x f x xx x-+→→⋅⋅=. ① 根据重要极限0sin lim1x xx→=,可得0sin sin lim lim 1x x x x x x --→→=-=-,00sin sin lim lim 1x x x xx x++→→==, ② 结合①,②,我们有(0)(0)f f =-,故(0)0f =.应选(A). (4)【答案】(C) 【解析】这是讨论1nn u∞=∑与21nn u∞=∑敛散性的问题.11(1)ln 1nn n n u ∞∞==⎛=- ⎝∑∑是交错级数,显然ln(1+单调下降趋于零,由莱布尼兹判别法知,该级数收敛.正项级数2211ln 1n n n u ∞∞==⎛=+ ⎝∑∑中,2221ln 1~n u n ⎛=+= ⎝. 根据正项级数的比较判别法以及11n n ∞=∑发散,21n n u ∞=⇒∑发散.因此,应选(C).(5)【答案】(C)【解析】1P 是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵,2P 是将单位矩阵的第一行加到第三行所得初等矩阵；而B 是由A 先将第一行加到第三行,然后再交换第一、二行两次初等交换得到的,因此12PP A B =,故应选(C).三、(1)【解析】这实质上已经变成了由方程式确定的隐函数的求导与带抽象函数记号的复合函数求导相结合的问题.先由方程式2(,,)0yx e z ϕ=,其中sin y x =确定()z z x =,并求dz dx. 将方程两边对x 求导得1232cos 0y dzx e x dxϕϕϕ'''⋅+⋅+⋅=, 解得()12312cos y dz x e x dx ϕϕϕ''=-⋅+⋅'. ① 现再将(,,)u f x y z =对x 求导,其中sin y x =,()z z x =, 可得123cos du dzf f x f dx dx'''=+⋅+⋅. 将①式代入得()213321cos 12cos y du f f x f dx x e x ϕϕϕ'''=+⋅-⋅''⋅+⋅'. (2)【解析】方法一：用重积分的方法.将累次积分11()()xI dx f x f y dy =⎰⎰表成二重积分()()DI f x f y dxdy =⎰⎰,其中D 如右图所示.交换积分次序10()()yI dy f x f y dx =⎰⎰.由于定积分与积分变量无关,改写成10()()xI dx f y f x dy =⎰⎰.⇒ 1110002()()()()xx I dx f x f y dy dx f x f y dy =+⎰⎰⎰⎰111120()()()().dx f x f y dy f x dx f y dy A ===⎰⎰⎰⎰⇒ 212I A =. 方法二：用分部积分法.注意()1()()xdf y dy f x dx=-⎰,将累次积分I 写成()()()11111001212()()()()11().22x xxx xx I f x f y dy dx f y dyd f y dy f y dy A ====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰四、(1)【解析】将曲面积分I 化为二重积分(,)xyD I f x y dxdy =⎰⎰.首先确定被积函数 2222(,)12x y f x y z z z x y =++=+,对锥面22z x y =+而言, 22222222112xyx y z z x y x y ++=++=++.其次确定积分区域即∑在xOy 平面的投影区域xy D (见右图),按题意：22:2xy D x y x +≤,即22(1)1x y -+≤.222xyD I x y dxdy =+⎰⎰.作极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==,则:02cos ,22xy D r ππθθ≤≤-≤≤,因此 2cos 2cos 3220002132222239I d r rdr r d θππθπθθ-=⋅==⎰⎰⎰. (2)【解析】这就是将()f x 作偶延拓后再作周期为4的周期延拓.于是得()f x 的傅氏系数：0(1,2,3,)n b n ==2002200222220222()cos 2(1)cos 222(1)sin sin 2244cos ((1)1)28,21,(21)1,2,3,0,2,l n n n x n a f x dx l x xdxl l n n x d x xdx n n n x n n n k k k n k ππππππππππ==-=-=-==---⎧=-⎪-==⎨⎪=⎩⎰⎰⎰⎰2222000021()(1)(1)022a f x dx x dx x ==-=-=⎰⎰.由于(延拓后)()f x 在[2,2]-分段单调、连续且(1)1f -=.于是()f x 有展开式22181(21)()cos ,[0,2](21)2n n f x x x n ππ∞=-=-∈-∑.五、【解析】设点M 的坐标为(,)x y ,则M 处的切线方程为 ()Y y y X x '-=-.令0X =,得Y y xy '=-,切线与y 轴的交点为(0,)A y xy '-.由MA OA =,有y xy '=-.化简后得伯努利方程 212,yy y x x '-=- ()221y y x x'-=-. 令2z y =,方程化为一阶线性方程 ()1z z x x'-=-.解得 ()z x c x =-,即 22y cx x =-,亦即y = 又由3322y ⎛⎫⎪⎭= ⎝,得3c =,L 的方程为3)y x =<<. 六、【解析】在平面上LPdx Qdy +⎰与路径无关(其中,P Q 有连续偏导数),⇔P Q y x ∂∂=∂∂,即 2Q x x∂=∂. 对x 积分得 2(,)()Q x y x y ϕ=+,其中()y ϕ待定.代入另一等式得对t ∀,()()(,1)(1,)(0,0)2(0)2,0()()22t t xydx dy xydx d x y y x y ϕϕ+=+++⎰⎰. ①下面由此等式求()y ϕ.方法一：易求得原函数()()()022222()()2(()()).yyxydx dy ydx dyd x y dd x y x s d x dy y s s y ds ϕϕϕϕ+=+=+=+++⎰⎰于是由①式得 ()()(,1)(1,)22(0,0)(0,0)()()t t yyx y dsx y d s s sϕϕ+=+⎰⎰.即 12()()tt ds t ds s s ϕϕ+=+⎰⎰,亦即 21()ts t t ds ϕ=+⎰.求导得 )2(1t t ϕ=+,即 ()21t t ϕ=-. 因此 2(,)21Q x y x y =+-.方法二：取特殊的积分路径：对①式左端与右端积分分别取积分路径如下图所示. 于是得()()120()1()tt dy dy y y ϕϕ+=+⎰⎰.即 12()()t t dy t dy y y ϕϕ+=+⎰⎰,亦即 21()ty t t dy ϕ=+⎰.其余与方法一相同. 七、【解析】(1)反证法.假设(,)c a b ∃∈,使()0g c =.则由罗尔定理,1(,)a c ξ∃∈与2(,),c b ξ∈ 使12()()0g g ξξ''==；从而由罗尔定理, 12(,)(,)a b ξξξ∃∈⊂,()0g ξ''=.这与()0g x ''≠矛盾.(2)证明本题的关键问题是：“对谁使用罗尔定理？”换言之,“谁的导数等于零？” 这应该从所要证明的结果来考察.由证明的结果可以看出本题即证()()()()f x g x f x g x ''''-在(,)a b 存在零点.方法一：注意到 ()()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x '''''''-=-,考察()()()()f x g x f x g x ''''-的原函数,令()()()()()x f x g x f x g x ϕ''=-,()x ϕ⇒在[,]a b 可导,()()0a b ϕϕ==.由罗尔定理,(,)a b ξ∃∈,使()0ϕξ'=.即有()()()()0f g f g ξξξξ''''-=,亦即()()()()f fg g ξξξξ''=''. 方法二：若不能像前面那样观察到()()()()f x g x f x g x ''''-的原函数,我们也可以用积分来讨论这个问题：[]()()()()(?)()()()()?f x g x f x g x f x g x f x g x dx '''''''''-=⇔-=⎰.[]()()()()()()()()f x g x f x g x dx f x dg x g x df x ''''''-=-⎰⎰⎰()()()()()()()()f x g x g x f x dx f x g x f x g x dx ⎡⎤⎡⎤''''''=---⎣⎦⎣⎦⎰⎰()()()()f x g x f x g x ''=-(取0C =).令()()()()()x f x g x f x g x ϕ''=-,其余与方法一相同.八、【解析】设对应于231λλ==的特征向量为123(,,)Tx x x ξ=,因为A 为实对称矩阵,且实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量相互正交,故10Tξξ=,即230x x +=. 解之得 23(1,0,0),(0,1,1)T Tξξ==-.于是有 123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=,所以 1112233123(,,)(,,)A λξλξλξξξξ-=1010010100101101001101101010-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭.九、【解析】方法一：根据TAA E =有|||||()|||||||||T T A E A AA A E A A E A A A E +=+=+=+=+,移项得 (1||)||0A A E -+=. 因为0A <,故1||0A ->.所以||0A E +=.方法二：因为()T T T T A E A AA A E A E A +=+=+=+, 所以 A E A E A +=+, 即 (1||)||0A A E -+=. 因为0A <,故1||0A ->.所以||0A E +=. 十、(1)【解析】由题设,因为是独立重复实验,所以X 服从10,0.4n p ==的二项分布.由二项分布的数学期望和方差计算公式,有()4,()(1) 2.4E X np D X np p ===-=,根据方差性质有 22()()[()]18.4E X D X E X =+=. (2)【解析】令{0},{0}A X B Y =<=<,则{max(,)0}1{max(,)0}1{0,0}P X Y P X Y P X Y ≥=-<=-<<.由概率的广义加法公式 ()()()()P AB P A P B P AB =+-,有{max(,)0}1[1()]()()()()P X Y P AB P A B P A p B P AB ≥=--=+=+-4435.7777=+-=十一、【解析】方法1：用分布函数法先求Y 的分布函数()Y F y . 当1y ≤时, ()0;Y F y =当1y >时, (){}()XY F y P Y y P e y =≤=≤{}ln P X y =≤ln ln 011,yy x xe dx e y--==-=-⎰所以由连续型随机变量的概率密度是分布函数的微分,得21, 1,()()0, 1.Y Y y y f y F y y ⎧>⎪'==⎨⎪≤⎩或者直接将ln 0yxe dx -⎰对y 求导数得ln ln 2011.y x y d e dx e dy y y--==⎰方法2：用单调函数公式直接求Y 的概率密度.由于xy e =在()0,+∞内单调,其反函数()ln x h y y ==在()1,+∞内可导且其导数为10y x y'=≠,则所求概率密度函数为 ()()()()ln 1,1,,1,0, 1.0, 1.y XY e y h y f h y y y f y y y -⎧⎧'⋅>⋅>⎪⎪==⎨⎨≤⎪⎪⎩≤⎩21, 1,0, 1.y y y ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩。
1995考研数一真题答案及详细解析
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】6e【解析】这是1∞型未定式求极限,2123sin 3sin 0lim(13)lim(13)x xx xx x x x ⋅⋅→→+=+,令3x t =,则当0x →时,0t →,所以1130lim(13)lim(1)xtx t x t e →→+=+=,故00266lim6lim6sin sin sin sin 0lim(13)lim x x x x x xxx xx x x eeee →→→→+====.(2)【答案】2224cos 2cos xt dt x x -⎰【解析】()220022cos cos x x d d x t dt x t dt dx dx=⎰⎰()()20222cos cos 2xt dt x x x =-⋅⎰20224cos 2cos xt dt x x =-⎰.【相关知识点】积分上限函数的求导公式：()()()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dx βαββαα''=-⎰.(3)【答案】4【解析】利用向量运算律有[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+ [()]()[()]()a b b c a a b c c a =+⨯⋅+++⨯⋅+ ()()()()a b b b c a a c b c c a =⨯+⨯⋅++⨯+⨯⋅+ (其中0b b ⨯=)()()()()a b c a b a a c c b c a =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ ()()a b c b c a =⨯⋅+⨯⋅ ()()4a b c a b c =⨯⋅+⨯⋅=.【解析】令212(3)n n n nn a x -=+-,则当n →∞时,有2(1)1111212211112(3)limlim2(3)23(1)311lim ,323(1)3n n n n n n n nn nnn n n n n n n x a a n xn x x n +-+++→∞→∞-+→∞++++-=+-⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=⋅⋅=⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦而当2113x <时,幂级数收敛,即||x <2113x >时,即||x >时,此幂级数发散,因此收敛半径为R =(5)【答案】300020001⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭【解析】在已知等式16A BA A BA -=+两边右乘以1A -,得16A B E B -=+,即1()6A E B E --=.因为1300040007A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,所以116()6B A E --=-=1200030006-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=300020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(C)【解析】这是讨论直线L 的方向向量与平面∏的法向量的相互关系问题.直线L 的方向向量132281477(42)2110i jk l i j k i j k ⎛⎫ ⎪==-+-=--+ ⎪ ⎪--⎝⎭,平面∏的法向量42n i j k =-+,l n ,L ⊥∏.应选(C).(2)【答案】(B)【解析】由()0f x ''>可知()f x '在区间[0,1]上为严格单调递增函数,故(1)()(0),(01)f f x f x '''>> <<由微分中值定理,(1)(0)(),(01)f f f ξξ'-=<<.所以(1)(1)(0)()(0)f f f f f ξ'''>-=>,(01)ξ<<故应选择(B).(3)【答案】(A)【解析】由于利用观察法和排除法都很难对本题作出选择,必须分别验证充分条件和必要条件.充分性:因为(0)0f =,所以000()(1sin )()(0)()()(0)limlim lim lim (0)x x x x f x x F x F f x f x f f x x x x →→→→+--'====,由此可得()F x 在0x =处可导.必要性:设()F x 在0x =处可导,则()sin f x x ⋅在0x =处可导,由可导的充要条件知00()sin ()sin limlim x x f x xf x xxx-+→→⋅⋅=.①根据重要极限0sin lim1x xx→=,可得sin sin lim lim 1x x x x xx --→→=-=-,00sin sin lim lim 1x x x xx x++→→==,②结合①,②,我们有(0)(0)f f =-,故(0)0f =.应选(A).(4)【答案】(C)【解析】这是讨论1nn u∞=∑与21nn u∞=∑敛散性的问题.11(1)ln 1nn n n u ∞∞==⎛=-+ ⎝∑∑是交错级数,显然ln(1单调下降趋于零,由莱布尼兹判别法知,该级数收敛.正项级数2211ln 1n n n u ∞∞==⎛=+ ⎝∑∑中,2221ln 1~n u n ⎛=+= ⎝.根据正项级数的比较判别法以及11n n∞=∑发散,21n n u ∞=⇒∑发散.因此,应选(C).【相关知识点】正项级数的比较判别法：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数,且lim,nn nv A u →∞=则⑴当0A <<+∞时,1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；⑵当0A =时,若1nn u∞=∑收敛,则1nn v∞=∑收敛；若1nn v∞=∑发散,则1nn u∞=∑发散；⑶当A =+∞时,若1nn v∞=∑收敛,则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散.(5)【答案】(C)【解析】1P 是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵,2P 是将单位矩阵的第一行加到第三行所得初等矩阵；而B 是由A 先将第一行加到第三行,然后再交换第一、二行两次初等交换得到的,因此12PP A B =,故应选(C).三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1)【解析】这实质上已经变成了由方程式确定的隐函数的求导与带抽象函数记号的复合函数求导相结合的问题.先由方程式2(,,)0yx e z ϕ=,其中sin y x =确定()z z x =,并求dz dx.将方程两边对x 求导得1232cos 0y dzx e x dxϕϕϕ'''⋅+⋅+⋅=,解得()12312cos y dz x e x dxϕϕϕ''=-⋅+⋅'.①现再将(,,)u f x y z =对x 求导,其中sin y x =,()z z x =,可得123cos du dzf f x f dx dx'''=+⋅+⋅.将①式代入得()213321cos 12cos y du f f x f dxx e x ϕϕϕ'''=+⋅-⋅''⋅+⋅'.【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u v f f x u x v x x x ∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂；12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂.(2)【解析】方法一：用重积分的方法.将累次积分11()()xI dx f x f y dy =⎰⎰表成二重积分()()D I f x f y dxdy =⎰⎰,其中D 如右图所示.交换积分次序1()()yI dy f x f y dx =⎰⎰.由于定积分与积分变量无关,改写成10()()xI dx f y f x dy =⎰⎰.⇒11102()()()()xxI dx f x f y dy dx f x f y dy=+⎰⎰⎰⎰111120()()()().dx f x f y dy f x dx f y dy A ===⎰⎰⎰⎰⇒212I A =.方法二：用分部积分法.注意()1()()xdf y dy f x dx=-⎰,将累次积分I 写成()()()111111212()()()()11().22xxxx xx I f x f y dy dx f y dyd f y dy f y dy A ====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)(1)【解析】将曲面积分I 化为二重积分(,)xyD I f x y dxdy =⎰⎰.首先确定被积函数(,)f x y ==对锥面z =而言,=.xyOD1y x=其次确定积分区域即∑在xOy 平面的投影区域xyD (见右图),按题意：22:2xy D x y x +≤,即22(1)1x y -+≤.xyD I =⎰⎰.作极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==,则:02cos ,22xy D r ππθθ≤≤-≤≤,因此2cos 2cos 3220213I d r rdr r d θππθπθθ-=⋅==⎰.(2)【解析】这就是将()f x 作偶延拓后再作周期为4的周期延拓.于是得()f x 的傅氏系数：0(1,2,3,)n b n == 2002200222220222()cos 2(1)cos 222(1)sin sin 2244cos((1)1)28,21,(21)1,2,3,0,2,ln n n x n a f x dx l x xdxl l n n x d x xdx n n n x n n n k k k n k ππππππππππ==-=-=-==---⎧=-⎪-==⎨⎪=⎩⎰⎰⎰⎰ 2222000021()(1)(1)022a f x dx x dx x ==-=-=⎰⎰.由于(延拓后)()f x 在[2,2]-分段单调、连续且(1)1f -=.于是()f x 有展开式22181(21)()cos ,[0,2](21)2n n f x x x n ππ∞=-=-∈-∑.五、(本题满分7分)【解析】设点M 的坐标为(,)x y ,则M 处的切线方程为()Y y y X x '-=-.令0X =,得Y y xy '=-,切线与y 轴的交点为(0,)A y xy '-.由MA OA =,有y xy '=-.Oyx1xyD化简后得伯努利方程212,yy y x x '-=-()221y y x x'-=-.令2z y =,方程化为一阶线性方程()1z z x x'-=-.解得()z x c x =-,即22y cx x =-,亦即y =又由3322y ⎛⎫⎪⎭=⎝,得3c =,L的方程为3)y x =<<.六、(本题满分8分)【解析】在平面上LPdx Qdy +⎰与路径无关(其中,P Q 有连续偏导数),⇔P Qy x∂∂=∂∂,即2Qx x∂=∂.对x 积分得2(,)()Q x y x y ϕ=+,其中()y ϕ待定.代入另一等式得对t ∀,()()(,1)(1,)(0,0)2(0)2,0()()22t t xydx dy xydx d x y y x y ϕϕ+=+++⎰⎰.①下面由此等式求()y ϕ.方法一：易求得原函数()()()222202()()2(()()).yyxydx dy ydx dyd x y dd x y x s d x dy y s s y ds ϕϕϕϕ+=+=+=+++⎰⎰于是由①式得()()(,1)(1,)2200(0,0)(0,0)()()t t y yx y ds x y d s s sϕϕ+=+⎰⎰.即1200()()tt ds t ds s s ϕϕ+=+⎰⎰,亦即21()ts t t ds ϕ=+⎰.求导得)2(1t t ϕ=+,即()21t t ϕ=-.因此2(,)21Q x y x y =+-.方法二：取特殊的积分路径：对①式左端与右端积分分别取积分路径如下图所示.于是得()()12()1()t tdy dy y y ϕϕ+=+⎰⎰.OxyOyxt(,1)t 1(1,)t即12()()tt dy t dy y y ϕϕ+=+⎰⎰,亦即21()ty t t dy ϕ=+⎰.其余与方法一相同.七、(本题满分8分)【解析】(1)反证法.假设(,)c a b ∃∈,使()0g c =.则由罗尔定理,1(,)a c ξ∃∈与2(,),c b ξ∈使12()()0g g ξξ''==；从而由罗尔定理,12(,)(,)a b ξξξ∃∈⊂,()0g ξ''=.这与()0g x ''≠矛盾.(2)证明本题的关键问题是：“对谁使用罗尔定理？”换言之,“谁的导数等于零？”这应该从所要证明的结果来考察.由证明的结果可以看出本题即证()()()()f x g x f x g x ''''-在(,)a b 存在零点.方法一：注意到()()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x '''''''-=-,考察()()()()f x g x f x g x ''''-的原函数,令()()()()()x f x g x f x g x ϕ''=-,()x ϕ⇒在[,]a b 可导,()()0a b ϕϕ==.由罗尔定理,(,)a b ξ∃∈,使()0ϕξ'=.即有()()()()0f g f g ξξξξ''''-=,亦即()()()()f fg g ξξξξ''=''.方法二：若不能像前面那样观察到()()()()f x g x f x g x ''''-的原函数,我们也可以用积分来讨论这个问题：[]()()()()(?)()()()()?f x g x f x g x f x g x f x g x dx '''''''''-=⇔-=⎰.[]()()()()()()()()f xg x f x g x dx f x dg x g x df x ''''''-=-⎰⎰⎰()()()()()()()()f x g x g x f x dx f x g x f x g x dx ⎡⎤⎡⎤''''''=---⎣⎦⎣⎦⎰⎰()()()()f x g x f x g x ''=-(取0C =).令()()()()()x f x g x f x g x ϕ''=-,其余与方法一相同.八、(本题满分7分)【解析】设对应于231λλ==的特征向量为123(,,)Tx x x ξ=,因为A 为实对称矩阵,且实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量相互正交,故10Tξξ=,即230x x +=.解之得23(1,0,0),(0,1,1)T T ξξ==-.于是有123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=,所以1112233123(,,)(,,)A λξλξλξξξξ-=1010010100101101001101101010-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭.九、(本题满分6分)【解析】方法一：根据TAA E =有|||||()|||||||||T T A E A AA A E A A E A A A E +=+=+=+=+,移项得(1||)||0A A E -+=.因为0A <,故1||0A ->.所以||0A E +=.方法二：因为()TTTTA E A AA A E A E A +=+=+=+,所以A E A E A +=+,即(1||)||0A A E -+=.因为0A <,故1||0A ->.所以||0A E +=.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1)【解析】由题设,因为是独立重复实验,所以X 服从10,0.4n p ==的二项分布.由二项分布的数学期望和方差计算公式,有()4,()(1) 2.4E X np D X np p ===-=,根据方差性质有22()()[()]18.4E X D X E X =+=.(2)【解析】令{0},{0}A X B Y =<=<,则{max(,)0}1{max(,)0}1{0,0}P X Y P X Y P X Y ≥=-<=-<<.由概率的广义加法公式()()()()P A B P A P B P AB =+- ,有{max(,)0}1[1()]()()()()P X Y P AB P A B P A p B P AB ≥=--=+=+-4435.7777=+-=十一、(本题满分6分)【解析】方法1：用分布函数法先求Y 的分布函数()Y F y .当1y ≤时,()0;Y F y =当1y >时,(){}()X Y F y P Y y P e y =≤=≤{}ln P X y =≤ln ln 011,yy x xe dx e y--==-=-⎰所以由连续型随机变量的概率密度是分布函数的微分,得21, 1,()()0, 1.Y Y y yf y F y y ⎧>⎪'==⎨⎪≤⎩或者直接将ln 0yxe dx -⎰对y 求导数得ln ln 2011.y x y d e dx e dy y y--==⎰方法2：用单调函数公式直接求Y 的概率密度.由于xy e =在()0,+∞内单调,其反函数()ln x h y y ==在()1,+∞内可导且其导数为10y x y'=≠,则所求概率密度函数为()()()()ln 1,1,,1,0, 1.0,1.yX Y e y h y f h y y y f y y y -⎧⎧'⋅>⋅>⎪⎪==⎨⎨≤⎪⎪⎩≤⎩21, 1,0, 1.y y y ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.。