数列的概念及函数特性共46页文档
数列的概念与运算
数列的概念与运算数学中，数列是由一系列按特定规律排列的数字组成的序列。
数列在数学理论与实际应用中都有着重要的地位，它常用于描述数值或事物的递增或递减规律。
本文将介绍数列的概念、分类以及常见的数列运算。
一、数列的基本概念数列是指按照一定的规律排列的一系列数字。
通常，我们用字母"a" 表示数列中的一个通项，而使用下标 "n" 来表示通项所在的位置。
例如，数列 a₁, a₂, a₃, ..., aₙ 表示数列中的第一项、第二项、第三项，依此类推。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
有限数列是只含有有限个数字的数列，而无限数列则是包含无穷多个数字的数列。
常见的无限数列有等差数列、等比数列等。
二、常见的数列分类1. 等差数列等差数列是指数列中的每一项与其前一项之差恒定的数列。
设首项为 a₁，公差为 d，则等差数列 a₁, a₂, a₃, ..., aₙ 满足 aₙ = a₁ + (n-1)d。
其中，n 表示通项所在的位置。
等差数列可以用以下的公式来表示通项：aₙ = a₁ + (n-1)d。
例如，对于等差数列 3, 7, 11, 15, ...，其中首项 a₁ = 3，公差 d = 4，第 n 项 aₙ 可以表示为 aₙ = 3 + (n-1)4。
2. 等比数列等比数列是指数列中的每一项与其前一项之比恒定的数列。
设首项为 a₁，公比为 r，则等比数列 a₁, a₂, a₃, ..., aₙ 满足 aₙ = a₁ * r^(n-1)。
其中，n 表示通项所在的位置。
等比数列可以用以下的公式来表示通项：aₙ = a₁ * r^(n-1)。
例如，对于等比数列 2, 6, 18, 54, ...，其中首项 a₁ = 2，公比 r = 3，第 n 项 aₙ可以表示为 aₙ = 2 * 3^(n-1)。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，其前两项为 1，从第三项开始，每一项都是前两项之和。
数学数列与函数概念
数学数列与函数概念数学数列与函数是高中数学中的重要概念，它们在数学的各个分支中都扮演着重要的角色。
本文将详细介绍数学数列与函数的概念以及它们的应用。
一、数学数列的概念和性质数学数列是按照一定的规律排列的一组数。
数列中的每个数称为数列的项，用An表示。
数列可以是无穷的，也可以是有穷的。
对于无穷数列，我们通常用通项公式来表示，即An=f(n)，其中f(n)是关于n的函数。
数列有许多重要的性质和概念。
其中最基本的是数列的公差和通项公式。
公差是指相邻两项之间的差值，通项公式是用来表示数列中第n 项的公式。
另外，数列还有等差数列和等比数列，它们的特点分别是相邻两项之间的差值或比值相等。
根据数列的性质，可以进一步推导出数列的前n项和以及数列的极限等重要概念。
数列的前n项和表示数列前n项的总和，极限是指当n趋向于无穷大时，数列的项趋向于的值。
二、函数的概念和性质函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。
函数可以看作是一种映射关系，将输入值映射为输出值。
函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数的定义域是指所有自变量可能的取值范围，值域是指函数所有可能的输出值。
函数还可以有图像，函数的图像是将自变量和因变量的所有可能的取值连成的曲线。
从图像中可以看出函数的性质和规律。
函数有很多不同的类型，如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
每种函数都有其独特的特点和性质。
例如，线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线。
函数的性质包括奇偶性、单调性和周期性等。
奇偶性指的是函数关于原点对称还是关于y轴对称，单调性指的是函数的增减性，周期性指的是函数的值在一定范围内重复出现。
三、数学数列与函数的应用数学数列与函数在数学的各个分支中都有广泛的应用。
在代数中，数列与函数可以用来解方程和不等式，求解未知数的值。
在几何中，数列与函数可以用来描述图形的形状和性质，如直线的斜率和曲线的切线。
数学数列的概念和性质
数学数列的概念和性质数学教案：数学数列的概念和性质引言：数列是数学中一种重要的概念，它贯穿于数学的各个分支。
本节课将围绕数列的概念和性质展开，帮助学生深入理解数列的本质，并掌握数列相关的基本操作和性质。
一、数列的概念1. 数列的定义数列是一种有序的数的排列，通常用a₁, a₂, a₃,…来表示。
每个数叫做数列的项，项的位置编号是这个项的下标。
2. 等差数列和等比数列介绍等差数列和等比数列的定义和特点，给出相应的通项公式。
3. 数列的初项和公差（公比）数列的第一个项叫做初项，用a₁表示；相邻两项的差叫做公差，用d表示（对于等比数列来说，公差就是公比，用r表示）。
二、数列的性质1. 数列的有界性定义数列的上界、下界和有界数列，讲解单位1上界和下界的含义。
2. 数列的递增和递减性介绍递增数列和递减数列的定义，重点探讨等差数列和等比数列的递增性和递减性。
3. 数列的通项求法讲解如何根据已知条件求解数列的通项公式，引导学生理解通项公式的推导过程。
4. 数列求和问题探讨等差数列和等比数列求和公式的推导方法和应用，引导学生理解求和公式的本质。
三、数列的应用1. 数列在几何问题中的应用介绍数列在几何问题中的应用，如等差数列在等边三角形边长的应用等。
2. 数列在数学建模中的应用通过一些典型的例题，引导学生了解数列在数学建模中的应用，并培养学生的实际问题解决能力。
四、数列的拓展1. 质数数列定义质数数列，介绍其性质和应用，引导学生思考质数数列的无穷性和分布规律。
2. 斐波那契数列介绍斐波那契数列的定义和性质，探讨斐波那契数列在自然界和艺术中的应用。
总结：通过本节课的学习，学生将深入理解数列的概念和性质，并掌握数列求和及应用问题的解决方法。
在今后的数学学习中，数列的概念和性质将为学生打下坚实的基础，为进一步学习数学提供必要的支持。
教案结束。
数列的概念与函数特性
∴am＋ n＝am＋ [(m＋ n)－m]· d＝ n＋ n· (－1)＝0.
规律方法
由等差数列的通项公式可证明： an－ am＝(n－
an－am m)d(n、m∈N＋，n≠m)或 d＝ ，当 m＝1 时，即为 an n－m ＝a1＋(n－1)d.
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高考真题
专
高考真题
解
(1)法一 设首项为 a1，公差为 d，则
a1＝ 1， 解得 d＝ 2.
a3＝ a1＋ 2d＝ 5， a7＝ a1＋ 6d＝ 13，
∴ an＝a1＋ (n－ 1)d＝1＋ (n－ 1)×2＝ 2n－1. ∴通项公式是 an＝2n－ 1. 法二 a7－ a3 13－5 ∵ d＝ ＝ ＝ 2， 7－ 3 7－ 3
an－1≥ an， 用不等式组 找到数列的最小项． an≤ an＋ 1，
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专题二 等差数列通项公式
1．等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，其中包含四 个元素：an，a1，n和d，很显然我们可以做到“知三求 一”． 2．在解题时，我们往往通过解方程(组)来确定a1和d，从 而就可以确定等差数列了，但是，有时这种解法运算 过程稍微复杂了一点，如果能够灵活使用另一个公式 an＝am＋(n－m)d可以简化运算．
2
9 2 105 ＋ 9n＋ 3＝－ 2n－ ＋ . 4 8
由于函数
9 2 105 9 f(x) ＝－ 2 x－ ＋ 在 0， 上是增函数，在 4 8 4
9 ，＋∞ 上是减函数，故当 4
n＝ 2 时，f(n)＝－ 2n2＋ 9n＋ 3 取
4m－2 2 2m－1 即 n＝ ＝ . 3 3 令 2m－1＝3t，∵(2m－1)∈N＋为奇数， 3t＋1 ∴t∈N＋ 且为奇数，∴m＝ ，n＝2t. 2 而 1≤m≤40,1≤n≤40，
数列的概念和特点
数列的概念和特点数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的数学概念。
数列在数学中起着重要的作用，广泛应用于代数、微积分、离散数学等领域，同时也在现实生活中有着许多应用，如金融领域的利息计算、物理领域的运动规律等。
本文将介绍数列的概念和特点，以及数列的分类和常见的数列类型。
数列的概念数列是一组按照一定规律排列的数字的有序集合。
数列可以用数学符号表示为{a1, a2, a3, ...}或者{an}，其中ai表示数列中的第i个数。
数列中的每一个元素都称为数列的项，而数列中不同位置的项的排列顺序称为数列的顺序。
数列中的项可以是整数、小数、分数或者是代数式，但是它们通常是按照一定的规律排列的，这种规律通常是由一个通项公式或者递推关系来描述的。
数列的特点数列的特点包括有限性、无限性、公式、递推关系等。
首先，数列可以是有限的，也可以是无限的。
有限数列是指数列中的项是有限个数的数列，而无限数列是指数列中的项是无限个数的数列。
其次，数列通常是有规律的排列的，这种规律可以用一个通项公式来表示，也可以用递推关系来描述。
通项公式是指可以通过一定的公式或者函数来确定数列中的任意一项，而递推关系是指通过数列中前一项来确定下一项的关系。
另外，数列还有等差数列、等比数列等不同的类型，这些类型在数列的规律和特点上有着各自的特点。
数列的分类根据数列中项的性质和规律的不同，可以将数列分为不同的类型。
常见的数列类型包括等差数列、等比数列、等差数列、调和数列等。
等差数列是指数列中相邻两项之差是一个常数的数列，其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1是数列中的第一项，d是数列中的公差，n是项数。
等比数列是指数列中相邻两项之比是一个常数的数列，其通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1是数列中的第一项，r是数列中的公比，n是项数。
等差数列和等比数列是数学中最为常见的数列类型，它们在代数、几何、金融等领域有着广泛的应用。
数列的应用数列在数学中有着广泛的应用。
1.数列概念与函数特性
12017年高考第一轮复习第七章 数列（一） 数列的概念与函数特性一、知识与方法1.数列：按一定次序排列的一列数叫做数列, 简记为{}n a ,数列可视为特殊函数，它的定义域是正整数集或其子集;2.表示方法：列表法，解析法，图像法;3.数列的分类:（1）按数列项数：有穷数列，无穷数列；（2）按单调性：递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；（3）按有界性：有界数列，无界数列. （4）按周期性：周期数列，非周期数列.3.通项公式：表示n a 与项数n 之间关系的表达式()n a f n =. （这种关系实质是一种映射（函数）关系）;有的数列不能写出通项公式，有的数列通项公式不唯一. 4.数列的前n 项和12n n S a a a =+++ .n S 与n a 的关系：11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩25.递推公式与递推函数：给出起始项(一项或几项)以及各项与起始项的关系. 若数列的递推关系是通过函数()f x 给出的，则()f x 称为递推函数.即1a a =，1()n n a f a +=等.这是确定数列的一种方式，例如斐波那契数列{}n F ：121F F ==,11(2,)n n n F F F n n N +-+=+≥∈. 6.数列的单调性：（1）若对任意的正整数n ，都有1n n a a +>,则数列{}n a 单调递增；若对任意的正整数n ，都有1n n a a +<,则数列{}n a 单调递减.（2）求最大项⎩⎨⎧≥≥-+11n nn n a a a a (也可只用一个1n n a a -≥来求,要验证等号是否成立)（3）由通项公式求最大,小项,可利用函数单调性,导数法等.求最小项类似. 二、题型与问题分析 （一）基础自测1.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝ .32．数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A ．310B ．19 C.119D.10603．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N ＋)，则“λ＜1”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n项之积为T r ，则T 2 016的值为( )A ．－12B ．－1 C.12 D ．1（二）能力训练1. 已知数列{}n a ，1(0,)2n a ∈，当2n ≥时，213182n n a a -=+.求证：数列{}n a 递增.4证明 a n ＋1－a n ＝83＋21a n 2－a n ＝21（a n －1）2－81.∵0＜a n ＜21，∴－1＜a n －1＜－21.∴81＜21（a n －1）2＜21. ∴21（a n －1）2－81＞0. ∴a n ＋1－a n ＞0，即a n ＜a n ＋1对一切自然数n 都成立, 数列{a n }递增.2.已知函数167()44x f x x +=+，数列{}n a 、{}n b 满足10a >，10b >，1()n n a f a -=,求1a 的取值范围，使得对任意的正整数n ，都有1n n a a +>.分析：可以求出通项公式，但运算量较大。
数列的定义与性质
数列的定义与性质数列是数学中常见的一种数学对象，它由一系列按照顺序排列的数构成。
在数列中，每个数被称为序列的项。
数列是数学研究中的重要工具，在各个学科领域都有广泛的应用。
本文将探讨数列的定义与性质。
一、数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一系列数的集合。
数列可用数学符号表示为{an}或(an)，其中an表示第n个项。
数列中的每一项可以是整数、分数、无理数、实数甚至复数，取决于具体的问题和上下文。
二、数列的分类数列可以按照多种方式进行分类，常见的分类方法有以下几类：1. 等差数列：等差数列又称为等差数列，它的每两个相邻的项之间的差值都是相同的，差值称为公差。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项的位置。
2. 等比数列：等比数列是指数列中，每两个相邻的项之间的比值都是相同的，这个比值称为公比。
等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项的位置。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两个项是1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
4. 平方数列：平方数列是指数列中，每一项都是一个数的平方。
三、数列的性质数列具有许多重要的性质和规律，下面将介绍数列的一些常见性质：1. 有界性：数列可以是有界的，也可以是无界的。
有界数列是指存在上界和下界，即序列的项都小于等于某个上界，大于等于某个下界。
无界数列是指没有上界和下界。
2. 单调性：数列可以是单调递增的，也可以是单调递减的。
单调递增数列是指序列的每一项都比前一项大，单调递减数列是指序列的每一项都比前一项小。
3. 有限和无限性：数列可以是有限的，也可以是无限的。
有限数列是指序列的项只有有限个，无限数列是指序列的项有无穷多个。
4. 极限：对于一个数列，如果存在一个实数L，使得数列中的每一项都无限地接近L，那么L被称为这个数列的极限。
五、数列的应用数列在实际问题中有广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：1. 等差数列可以用来描述物体在匀速直线运动中的位置与时间的关系。
数列的概念与性质
数列的概念与性质数列，是指按照一定规律排列的一组数。
数列的概念与性质是数学中非常重要的内容之一，对于我们深入了解数学的本质和应用具有重要意义。
本文将重点介绍数列的概念以及数列的常见性质。
一、数列的概念数列是指按照一定的规律排列的一组数，数列中的每一个数称为该数列的项。
通常用字母 a，b，c，... 表示数列的项，a₁表示数列的第一项，a₂表示数列的第二项，以此类推。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
数列的规律可以通过给出递推公式或者直接给出数列的项来表示。
递推公式是指通过前一项或前几项计算得到下一项的公式，例如斐波那契数列的规律可以表示为 aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂。
直接给出数列的项可以是通过某种规律或者特征得到的，例如等差数列的项可以通过一个常数 d 与前一项的和得到。
二、数列的性质1. 通项公式：数列中的每一项都可以通过一个公式来表示，该公式称为数列的通项公式。
通项公式可以通过数列的规律或者特性来推导得到，能够用通项公式表示的数列称为解析数列。
2. 公差和公比：对于等差数列和等比数列，分别有公差和公比的概念。
等差数列是指数列的相邻两项之差都相等，该公差称为等差数列的公差。
等比数列是指数列的相邻两项之比都相等，该比值称为等比数列的公比。
3. 首项和末项：数列的第一项称为首项，最后一项称为末项。
根据数列的规律，我们可以求得数列的首项和末项。
4. 有界性：数列可以是有界的，也可以是无界的。
有界的数列是指数列的项存在上界和下界，即数列的项的取值范围是有限的；无界的数列是指数列的项没有上界或下界，即数列的项的取值范围是无限的。
5. 单调性：数列可以是单调递增的，也可以是单调递减的。
单调递增的数列是指数列的项随着项的增加而增加；单调递减的数列是指数列的项随着项的增加而减小。
6. 求和公式：对于一些特殊的数列，我们可以求得其所有项的和。
例如等差数列和等比数列都存在求和公式，可以直接计算数列的和。
7. 排列组合：数列的性质可以与排列组合问题结合，解决一些问题。
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31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
数列的概Байду номын сангаас及函数特性
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。