2010年重庆市高考理科数学试卷及答案(Word版)

绝密★启用前 解密时间：2010年6月7日17：00 【考试时间：6月7日15：00—17：00】2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理工农医类）解析数学试题卷（理工农医类）共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）在等比数列}{n a 中，201020078a a =，则公比q 的值为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、8【命题意图】本题考查等比数列的概念，基础题. 【解析】∵8320072010==q a a ，∴2q =，选A. （2）已知向量b a ,满足2||,1||,0===⋅b a b a ，则=-|2|b a （ ） A 、0B 、22C 、4D 、8【命题意图】本题考查向量的有关概念和基本运算.【解析】∵|2|(2a b a -=-===，∴选B. （3）=⎪⎭⎫⎝⎛---→2144lim 22x x x （ ）A 、1-B 、41-C 、41D 、1 【命题意图】本题考查函数极限的概念、运算法则、0型极限的求法以及转化与化归思想.【解析】2222241211lim lim lim 42(4)(2)24x x x x x x x x x →→→--⎛⎫-===-⎪---++⎝⎭，选B. （4）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥,03,01,0y x y x y 则y x z +=2的最大值为（ ）A 、2-B 、4C 、6D 、8【命题意图】本题考查线性规划的求解问题.作为选择题，要准确快速求解，可利用端点处取得最值（函数的思想）来求解则更好，从而要求考生对性规划的问题有较深刻的认识.【解析】不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥,03,01,0y x y x y 表示的平面区域是如图所示的ABC ∆，当直线y x z +=2过点(3,0)A 的时，z 取得最大值6，故选C.（5）函数xx x f 214)(+=的图象（ ）A 、关于原点对称B 、关于直线x y =对称C 、关于x 轴对称D 、关于y 轴对称【命题意图】本题考查函数的概念和奇偶性、幂的运算性质和计算能力.【解析】∵)(241214)(x f x f xxx x =+=+=---，∴()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，选D （6）已知函数sin()y x ωϕ=+（0,||2πωϕ><）的部分图象如题（6）图所示，则（ ）A 、6,1πϕω==B 、6,1πϕω-==C 、6,2πϕω==D 、6,2πϕω-==【命题意图】本题考查sin()y A x ωϕ=+的图像和性质，数形结合思想等，这是高考的常考题型，但又是学生的软肋，注意复习，多加训练. 【解析】由图像可知，周期74()123T πππ=-=，∴2ω=，由五点作图法知232πϕπ=+⨯，解得6πϕ=-，所以2ω=，6πϕ=-，选D.（7）已知0x >，0y >，228x y xy ++=，y x 2+的最小值是（ ）A 、3B 、4C 、29D 、211 【命题意图】本题考查均值不等式的灵活应用、一元二次不等式的解法以及整体思想.【解析】由均值不等式，得2228)2(82⎪⎭⎫⎝⎛+-≥⋅-=+y x y x y x ，整理，得()()0322422≥-+++y x y x ，即()()08242≥++-+y x y x ，又02>+y x ，所以24x y +≥，选B.（8）直线233+=x y 与圆心为D 的圆33,13,x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（[0,2)θπ∈）A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（ ）A 、π67B 、π45 C 、π34D 、π35【命题意图】本题考查直线的倾斜角、斜率、方程，圆的标准方程和参数方程，直线与圆的位置关系以及数形结合的思想方法.【解析】画出图形，301-=∠α，βπ-+=∠302由圆的性质可知21∠=∠βπα-+=-∴ 3030，故=+βα43π，选C.（9）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天. 若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（ ）A 、504种B 、960种C 、1008种D 、1108种【命题意图】此题是一个排列组合问题.既考查了分析问题，解决问题的能力，更侧重于考查学生克服困难解决实际问题的能力和水平.【解析】分两类：①甲乙排1、2号或6、7号，共有4414222A A A ⨯种不同的安排方法；②甲乙排中间，丙排7号或不排7号，共有)(43313134422A A A A A +种方法，故共有1008种不同的排法，选C.（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）A 、直线B 、椭圆C 、抛物线D 、双曲线【命题意图】本题考查空间中线与线，线与面的垂直，动点的轨迹的求法，同时考查空间想象力. 【解析】（直接法）记这两直线为1l ，2l ，异面直线的距离为k ，平面α为过1l 且平行于2l 的平面，设α上某个点P 满足条件。

将2l 正投影到平面α上，其投影记为3l ，设P 到1l 及2l 的距离为t ，到3l 的距离为u ，则222u k t +=，即222t u k -=，这里k 为定值，t ，u 分别正是P 到α上两垂直直线1l ，2l 的距离，而1l 和3l 可看作α上的直角坐标系，由此可知，P 的轨迹就是双曲线.（排除法）轨迹是轴对称图形，排除A 、C ，轨迹与已知直线不能有交点，排除B ，故选D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上. （11）已知复数,1i z +=则=-z z2____________. 【命题意图】本题考查复数概念和基本运算，其中分母实数化是求解的关键. 【解析】i i i i i211112-=---=--+，答案为：2i -. （12）设}0|{},3,2,1,0{2=+∈==mx x U x A U ，若}2,1{=A C U ，则实数=m _________.【命题意图】此题题型来自于课本习题，考查集合的概念和运算、方程的解法等基础知识. 【解析】∵}2,1{=A C U ，∴ A={0,3}，故3m =-.答案为：3-.（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为2516，则该队员每次罚球的命中率为_____________.【命题意图】本题考查对立事件的概率、独立事件的概率以及计算能力和推理能力.当有“至少”、“最多”等字眼时，常从反面入手，化难为易. 【解析】由251612=-p ，解得53=p ，答案为：35 （14）已知以F 为焦点的抛物线x y 42=上的两点B A 、满足3AF FB =，则弦AB 的中点到准线的距离为___________.【命题意图】本题考查抛物线的定义、标准方程、几何性质等，灵活应用平面几何知识是解决本题的关键，向量仅仅是一件外衣，本题是平面几何知识的应用.【解析】设BF m =，由抛物线的定义，知13AA m =，1BB m =，ABC ∆∴中，2AC m =，4AB m =， 由相似三角形性质，得224m m m m -=，解得43m =， 根据梯形中位线定理，得弦AB 的中点到准线的距离为38223m m m +==，答案为：83.（15）已知函数)(x f 满足：1(1)4f =，4()()()()f x f y f x y f x y =++-（,x y R ∈），则=)2010(f __________.【命题意图】本题考场抽象函数的周期性，函数与数列的关系，研究抽象函数最有效的办法是：特殊值法. 【解析】取x=1， y=0，得21)0(=f ， 法一：通过计算)........4(),3(),2(f f f ，寻得周期为6法二：取x=n ，y=1，有f(n)=f(n+1)+f(n-1)，同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)联立得f(n+2)= —f(n-1) ，所以T=6 ，故()()1201002f f ==，答案为：21. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分.） 设函数22()cos()2cos 32xf x x π=++，x R ∈. （Ⅰ）求)(x f 的值域；（Ⅱ）记ABC ∆的内角C B 、、A 的对边长分别为c b a 、、，若3,1,1)(===c b B f ，求a 的值.【命题意图】此题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、和（差）角公式、正弦定理、由余弦定理以及函数思想和方程思想，同时考查基本运算能力．【解析】（Ⅰ）1cos 32sin sin 32coscos )(++-=x x x x f ππ 1cos sin 23cos 21++--=x x x1sin 23cos 21+-=x x 1)65sin(++=πx ，因此)(x f 的值域为]2,0[. （Ⅱ）由1)(=B f 得11)65sin(=++πB ，即0)65sin(=+πB ，又因π<<B 0， 故6π=B .解法一：由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得0232=+-a a ，解得1=a 或2.解法二：由正弦定理C cB b sin sin =，得3,23sin π==C C 或32π. 当3π=C 时，2π=A ，从而222=+=c b a ；当32π=C 时，6π=A ，又6π=B ，从而1==b a .故a 的值为1或2.（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求： （Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；（Ⅱ）甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望.【命题意图】本小题主要考查等可能事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力.其中第（2）问是课本上常见的类型题.【解析】（Ⅰ）设A 表示“甲、乙的演出序号至少一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的序号为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得 545111)(1)(2623=-=-=-=C C A P A P .（Ⅱ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且513)2(,1544)1(,315)0(262662=========C P C P C P ξξξ，1511)4(,1522)3(2626======C P C P ξξ.从而知ξ有分布列所以，31541535215130=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . （18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.） 已知函数)1ln(1)(+++-=x ax x x f ，其中实数1-≠a . （Ⅰ）若2=a ，求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；（Ⅱ）若)(x f 在1=x 处取得极值，试讨论)(x f 的单调性.【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力． 【解析】（Ⅰ）22(1)111()()1()1x a x a f x x a x x a x +--+'=+=+++++.当1=a 时，47101)20(12)0(2/=++++=f ，而21)0(-=f ， 因此曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为)0(47)21(-=--x y 即0247=--y x .（Ⅱ）1-≠a ，由（Ⅰ）知2111111)1(1)(2/++=++++=a a a x f ，即02111=++a ， 解得3-=a .此时)1ln(31)(++--=x x x x f ，其定义域为),3()3,1(+∞- ，且)1()3()7)(1(11)3(2)(22/+---=++--=x x x x x x x f ，由0)(/=x f 得7,121==x x .当11<<-x 或7>x 时，0)(/>x f ；当71<<x 且3≠x 时，0)(/<x f .由以上讨论知，)(x f 在区间),7[],1,1(+∞-上是增函数，在区间]7,3(),3,1[上是减函数.（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）如题（19）图，四棱锥ABCD P -为矩形，⊥PA 底面ABCD ，6==AB PA ，点E 是棱PB 的中点.（Ⅰ）求直线AD 与平面PBC 的距离；（Ⅱ）若3=AD ，求二面角D EC A --的平面角的余弦值.【命题意图】本题考查直线与平面垂直、二面角、三棱锥的性质及体积等基础知识.求解第（1）问的关键是将点到面的距离转化为三棱锥的高，等体积法是这类问题的杀手.第（2）问只需用“三垂线”即可找到二面角的平面角. 【解析】解法一： （Ⅰ）如答（19）图1 ，在矩形ABCD 中，//AD 平面PBC ， 故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离.因⊥PA 底面ABCD ，故，由AB PA =知PAB ∆为等腰三角 形，又点E 是棱PB 中点，故PB AE ⊥.又在矩形ABCD 中，AB BC ⊥，而AB 是PB 在底面ABCD 内的射影，由 三垂线定理得PB BC ⊥，从而⊥BC 平面PAB ，故AE BC ⊥.从而⊥AE 平面PBC ，故AE 之长即为直线AD与平面PBC 的距离.（Ⅱ）过点D 作CE DF ⊥，交CE 于F ，过点F 作CE FG ⊥，交AC 于G ，则DFG ∠为所求的二面角的平面角.由（Ⅰ）知⊥BC 平面PAB ，又BC AD //，得⊥AD 平面PAB ，故AE AD ⊥，从而622=+=AD AE DE .在CBE Rt ∆中，622=+=BC BE CE .由6=CD ，所以CDE ∆为等边三角形，故F 为CE 的中点，且2233sin=⋅=πCD DF . 因为⊥AE 平面PBC ，故CE AE ⊥，又CE FG ⊥，知AE FG 21//，从而23=FG ，且G 点为AC的中点.连接DG ，则在ADC Rt ∆中，23212122=+==CD AD AC DG . 所以362cos 222=⋅⋅-+=FG DF DG FG DF DFG .解法二：（Ⅰ）如答（19）图2，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 立空间直角坐标系xyz A -.设)0,,0(a D ，则)0,,6(),0,0,6(a C B ，)26,0,26(),6,0,0(E P . 因此)6,0,6(),0,,0(),26,0,26(-===PC a BC AE 则0,0=⋅=⋅PC AE BC AE ，所以⊥AE 平面PBC. 又由BC AD //知//AD 平面PBC ，故直线AD 与平面 PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离，即为3||=AE .（Ⅱ）因为3||=AD ，则)0,3,6(),0,3,0(C D .设平面AEC 的法向量),,(1111z y x n =，则0,011=⋅=⋅AE n AC n .又)26,0,26(),0,3,6(==AE AC ，故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,02626,0361111z x y x 所以1111,2x z x y -=-=. 可取21-=z ，则)2,2,2(-=n . 设平面DEC 的法向量),,(2222z y x n =，则0,022=⋅=⋅DE n DC n . 又)26,3,26(),0,0,6(-==DE DC ，故 所以2222,0y z x ==. 可取12=y ，则)2,1,0(2=n .故36||||,cos 212121=⋅>=<n n n n n n .所以二面角D EC A --的平面角的余弦值为36. （20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 已知以原点O 为中心，)0,5(F 为右焦点的双曲线C 的离心率25=e . （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题（20）图，已知过点),(11y x M 的直线44:111=+y y x x l 与过点),(22y x N （其中12x x ≠）的直线44:222=+y y x x l 的交点E 在双曲线OGH ∆的面积.解析几何的基本思想方法和综合解题能力．圆锥曲线问题的求解一般思考方法是合理设元（设点或直线等）、几何条件代数化、建立恰当的关系式、围绕目标合理处理关系式（包括代入转化与恒等变形等）．【解析】（Ⅰ）设C 的标准方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，则由题意25,5===a c e c ，因此1,222=-==a c b a ，C 的标准方程为1422=-y x .C 的渐近线方程为x y 21±=，即02=-y x 和02=+y x .（Ⅱ）解法一：如答（20）图，由题意点),(E E y x E 在直线44:111=+y y x x l 和44:222=+y y x x l 上，因此有4411=+E E y y x x ，4422=+E E y y x x ，故点M 、N 均在直线44=+y y x x E E 上，因此直线MN 的方程为44=+y y x x E E . 设G 、H 分别是直线MN 与渐近线02=-y x 及02=+y x 的交点，由方程组⎩⎨⎧=-=+02,44y x y y x x E E 及⎩⎨⎧=+=+,02,44y x y y x x E E解得EE H E E G y x y y x y 22,22--=+=.设MN 与x 轴的交点为Q ，则在直线44=+y y x x E E 中，令0=y 得EQ x x 4=（易知)0≠E x . 注意到4422=-E E y x ，得2|4|||2||4|2121|||4||||2122=-⋅=-++⋅=-⋅⋅=∆E E E E E E E E E H G OGH y x x x y x y x x y y OQ S . 解法二：设),(E E y x E ，由方程组⎩⎨⎧=+=+,44,442211y y x x y y x x 解得122121122112,)(4y x y x x x y y x y x y y x EE --=--=， 因12x x ≠，则直线MN 的斜率EE y xx x y y k 41212-=--=.故直线MN 的方程为)(411x x y x y y EE--=-， 注意到4411=+E E y y x x ，因此直线MN 的方程为44=+y y x x E E . 下同解法一.（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 在数列}{n a 中，11a =，11(21)n n n a ca c n ++=++（n N *∈），其中实数0≠c .（Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若对一切*∈N k 有122->k k a a ，求c 的取值范围.【命题意图】本题主要考查数列的定义、数列通项公式、数学归纳法、不等式的解法以及方程和函数思想.本题的实质是：已知递推公式1()n n a pa f n +=+（p ，q 为常数）求通项公式. 【解析】（Ⅰ）解法一：由c c c c c ca a a +-=+=⋅+==2222121)12(33,1，23233323)13(85c c c c c ca a +-=+=⋅+=，34234434)14(157c c c c c ca a +-=+=⋅+=，猜测*-∈+-=N n c c n a n n n ,)1(12.下用数学归纳法证明.当1=n 时，等式成立；假设当k n =时，等式成立，即12)1(-+-=k k k c c k a ，则当1+=k n 时，)12(])1[()12(1121`1+++-=++=+-++k c c c k c k c ca a k k k k k kk k k k c c k c c k k +-+=++=++1212]1)1[()2(， 综上， 12)1(-+-=n n n c c n a 对任何*∈N n 都成立.解法二：由原式得)12(11++=++n ca c a n n n n . 令nn n c a b =，则)12(,111++==+n b b c b n n ，因此对2≥n 有112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=--- c n n 13)32()12(+++-+-= c n 112+-=， 因此12)1(-+-=n n n c c n a ，2≥n .又当1=n 时上式成立.因此*-∈+-=N n c c n a n n n ,)1(12.（Ⅱ）解法一：由122->k k a a ，得221221222]1)12[(]1)2[(---+-->+-k k k k c c k c c k ，因022>-k c ，所以01)144()14(222>-----c k k c k . 解此不等式得：对一切*∈N k ，有k c c >或/k c c <，其中 )14(2)14(4)144()144(22222--+--+--=k k k k k k c k ，)14(2)14(4)144()144(22222/--+-----=k k k k k k c k .易知1lim =∞→k k c ， 又由144)14(4)14()14(4)144(2222222+=+-+-<-+--k k k k k k ，知 12848)14(214)144(22222<--=-++--<k k k k k k k c k ，因此由k c c >对一切*∈N k 成立得1≥c . 又0)14(4)144()144(22222/<-+--+---=k k k k k c k ，易知/k c 单调递增，故/1/c c k ≥对一切*∈N k 成立，因此由/k c c <对一切*∈N k 成立得6131/1+-=<c c . 从而c 的取值范围为),1[)6131,(+∞+--∞ .解法二：由122->k k a a ，得221221222]1)12[(]1)2[(---+-->+-k k k k c c k c c k ，因022>-k c ，所以014)(4222>-+-+-c c ck k c c 对*∈N k 恒成立.记14)(4)(222-+-+-=c c cx x c c x f ，下分三种情况讨论.（ⅰ）当02=-c c 即0=c 或1=c 时，代入验证可知只有1=c 满足要求.（ⅱ）当02<-c c 时，抛物线)(x f y =开口向下，因此当正整数k 充分大时，0)(<x f不符合题意，此时无解. （ⅲ）当02>-c c 即0<c 或1>c 时，抛物线)(x f y =开口向上，其对称轴 )1(21c x -=必在直线1=x 的左边. 因此，)(x f 在),1[+∞上是增函数. 所以要使0)(>k f 对*∈N k 恒成立，只需0)1(>f 即可.由013)1(2>-+=c c f 解得6131--<c 或6131+->c .结合0<c 或1>c 得6131+-<c 或1>c . 综合以上三种情况，c 的取值范围为),1[)6131,(+∞+--∞ .。