离散数学 关系闭包共18页文档
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离散数学关系-PPT
离散数学关系
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
返回第5、3节目录
五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
返回总目录
一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
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五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
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一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
离散数学第二章关系
例9 .设A={1,2,3,4} ，B={2,4,6,8,10} 。 R={(1,2),(2,4),(3,6)}。
则 (R) = {1,2,3}A ， (R) = {2,4,6}B 。
二.关系的一些关联性质 17
离散数学
定理1. 设R1,R2 A×B是两个关系。若 R1 R2 ，则
(1)保序性： (R1) (R2) ； (2)保序性： (R1) (R2) ；
注：笛卡尔(1596-1650 )，法国数学家， 1637年发表《方法论》之 一《几何学》，首次提出坐标及变量概念。这里是其概念的推广。
定义2. • 二个集合A，B的(二维或二重)叉积定义为 A×B ={(a, b): a A bB} ； •其元素——二元组(a, b)通常称为序偶或偶对(ordered
故 (R1)∩ (R2) = {1,2 }
21
离散数学
所以 (R1)∩ (R2) (R1 ∩ R2) 。
元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)：
R(a)={b : bBaRb }B ；
(2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。
•当A=B时，即RA×A，则称R是A上的一个二元关 系。
例1 . 设A是西安交通大学全体同学组成的集合。 11
离散数学
R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A 于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。
例2 . 设A是某一大家庭。
R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A 于是，
离散数学如何求r的传递闭包
离散数学如何求r的传递闭包离散数学的传递闭包是指在一个关系 R 上，通过不断地迭代是否存在一些元素关系可以联通，扩展出一个新的关系闭包集合，使得 R 中任何两个元素之间都存在一条路径。
其中，R 是原始关系，而 R 的传递闭包是所有可以从 R 中的元素得到的路径的集合。
传递闭包是在关系上的一个重要属性，因为它可以表示元素之间的隐含关系，从而有助于更详细地分析和描述数据。
计算 R 的传递闭包有多种方法，其中最经典的是 Warshall 算法。
下面是使用Warshall 算法计算 R 的传递闭包的步骤。
1）建立一个大小为n × n 的布尔矩阵 T，其中 T[i][j] 表示从 i 到 j 是否存在一条路径。
2）将布尔矩阵 T 的初始值设置为 R 的布尔矩阵。
3）进行 n 次迭代，每次迭代更新布尔矩阵 T 的值。
具体地，对于 T 中的每一个元素 T[i][j]，如果存在一个 k 使得 T[i][k] 和 T[k][j] 均为 true，则将 T[i][j] 设为 true。
4）最终的 T 就是 R 的传递闭包。
下面是 Warshall 算法的详细代码实现：```int[][] transitiveClosure(int[][] R) {int n = R.length;int[][] T = new int[n][n];// 初始化 T 为 R 的布尔矩阵for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if (R[i][j] == 1) {T[i][j] = 1;}}}// 根据 Warshall 算法进行迭代for (int k = 0; k < n; k++) {for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {T[i][j] |= (T[i][k] & T[k][j]);}}}return T;}```该算法的时间复杂度为 O(n^3)，其中 n 是 R 的大小。
离散数学33.关系的闭包
关系的闭包
一、关系的闭包
关系的闭包有3种: 自反闭包, 对称闭包,传递闭包. 1、定义3-8.1 设R是集合X上的二元关系,如果有另一个关系 R满足: 1) R是自反的(对称的,可传递的); 2) RR; 3)对于任何自反的(对称的,可传递的)关系R ,如果R R, 就 有R R ,则称R是R的自反(对称,传递)闭包. 记为r(R),s(R),t(R).
• 所以R是对称的.
• ② R =R∪RcR.
• ③ 设R是对称的，且RR ，要证 R R.
• 任取<a,b>∈R∪Rc<a,b>∈R∨<a,b>∈Rc
• <a,b>∈ R∨<b,a>∈R
• <a,b>∈ R ∨<b,a>∈ R
• <a,b>∈ R ∨<a,b>∈ R <a,b>∈ R
下证 R∪R(2)∪… 是传递的. 事实上，对任意 <x, y>,<y, z>, (<x, y> R∪R (2)∪…)∧(<y, z> R∪R (2) ∪…)
(t) (<x, y>R (t)) ∧ (s)(<y, z>R (s)) (t) (s)(<x, z> R (t) R (s)) (t) (s)(<x, z> R (t+s)) <x, z> R∪R (2)∪… 从而 R∪R (2)∪… 是传递的. 因t(R)是传递闭包， 故t(R) R∪R2∪…. 由以上两方面知, t(R) ＝ R∪R2∪… .
R的自反闭包r(R)-----Reflexive Closure 对称闭包s(R)-----Symmetric Closure 传递闭包t(R)-----Transitive Closure
一、关系的闭包
关系的闭包有3种: 自反闭包, 对称闭包,传递闭包. 1、定义3-8.1 设R是集合X上的二元关系,如果有另一个关系 R满足: 1) R是自反的(对称的,可传递的); 2) RR; 3)对于任何自反的(对称的,可传递的)关系R ,如果R R, 就 有R R ,则称R是R的自反(对称,传递)闭包. 记为r(R),s(R),t(R).
• 所以R是对称的.
• ② R =R∪RcR.
• ③ 设R是对称的，且RR ，要证 R R.
• 任取<a,b>∈R∪Rc<a,b>∈R∨<a,b>∈Rc
• <a,b>∈ R∨<b,a>∈R
• <a,b>∈ R ∨<b,a>∈ R
• <a,b>∈ R ∨<a,b>∈ R <a,b>∈ R
下证 R∪R(2)∪… 是传递的. 事实上，对任意 <x, y>,<y, z>, (<x, y> R∪R (2)∪…)∧(<y, z> R∪R (2) ∪…)
(t) (<x, y>R (t)) ∧ (s)(<y, z>R (s)) (t) (s)(<x, z> R (t) R (s)) (t) (s)(<x, z> R (t+s)) <x, z> R∪R (2)∪… 从而 R∪R (2)∪… 是传递的. 因t(R)是传递闭包， 故t(R) R∪R2∪…. 由以上两方面知, t(R) ＝ R∪R2∪… .
R的自反闭包r(R)-----Reflexive Closure 对称闭包s(R)-----Symmetric Closure 传递闭包t(R)-----Transitive Closure
离散第28讲 闭包及等价关系
第28讲 等价关系
-12-
等价类
对任何集合A， EA有|A|个不同的等价类，每个等 价类都是单元素集；
对任何集合A，AA只有一个等价类A； 对每一元素aA，任何A上的等价关系R，[a]R≠
，因为R自反，恒有a[a] R； 同一等价类可以有不同的代表元素，即不同的元
素可能有相同的等价类
求R的自反、对称、传递闭包
r(R) = { <1,2>, <2,3> , <3,4> , <1,1> , <2,2> , <3,3> , <4,4> } s(R) = { <1,2>, <2,3> , <3,4> , <2,1> , <3,2> , <4,3> } t(R) = { <1,2> , <2,3> , <3,4>, <1,3> , <2,4> , <1,4> }
自反性 对称性 传递性
1、自己和自己总在同一班中，所以 对R中任一元素x，都有<x, x> R
2、如果<x, y> R，表明x和y在一 个学员队中，那么y和x也在一个学 员队中，得到<y, x> R
3、如果<x, y> R，x和y在一个学 员队中；且<y, z> R ，y和z也在一 个学员队中，那么x和z也在一个学 员队中，得到<x, z> R
i 1
<x,y>Ri，<y,z>Rj，所以<x,z> Ri◦ Rj = Ri+j，从而<x,z>
离散数学课件第四章 关系
Discrete Mathematics
关系的性质
例 2 (1) A上的全域关系EA,恒等关系IA及空关系都是A 上的对称关系;IA和 同时也是A上的反对称关系. (2)设A={1,2,3},则 R1={<1,1>,<2,2>}既是A上的对称关系,也是A上 的反对称关系; R2= {<1,1>,<1,2>,<2,1>}是对称的,但不是反对 称的; R3 ={<1,2>,<1,3>}是反对称的,但不是对称的; R4= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}既不是对称的也不是 反对称的.
❖ 二、关系的表达方式 1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例 1 设A={1,2,3,4},试列出下列关系R的元素。 (1) R={<x,y> | x是y的倍数} (2) R={<x,y> | (x-y)2 A } (3) R={<x,y> | x/y是素数}
Discrete Mathematics
关系
第四章 二元关系
第一节 有序对与笛卡尔积
❖ 定义 1 由两个元素x和y（允许x＝y）按顺序排列成 的二元组叫做一个有序对，记为<x, y>。
❖ 有序对的性质： 1.当 x ≠ y时，<x, y> ≠ <y, x>。 2.<x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。
Discrete Mathematics
笛卡尔积
❖ 定义 2 设A, B是集合。由A中元素作为第一元素，B 中元素作为第二元素组成的所有有序对的集合，称 为集合A与B的笛卡尔积（或直积），记为A×B。 即 A×B={<x,y>|x A y B}
关系的性质
例 2 (1) A上的全域关系EA,恒等关系IA及空关系都是A 上的对称关系;IA和 同时也是A上的反对称关系. (2)设A={1,2,3},则 R1={<1,1>,<2,2>}既是A上的对称关系,也是A上 的反对称关系; R2= {<1,1>,<1,2>,<2,1>}是对称的,但不是反对 称的; R3 ={<1,2>,<1,3>}是反对称的,但不是对称的; R4= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}既不是对称的也不是 反对称的.
❖ 二、关系的表达方式 1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例 1 设A={1,2,3,4},试列出下列关系R的元素。 (1) R={<x,y> | x是y的倍数} (2) R={<x,y> | (x-y)2 A } (3) R={<x,y> | x/y是素数}
Discrete Mathematics
关系
第四章 二元关系
第一节 有序对与笛卡尔积
❖ 定义 1 由两个元素x和y（允许x＝y）按顺序排列成 的二元组叫做一个有序对，记为<x, y>。
❖ 有序对的性质： 1.当 x ≠ y时，<x, y> ≠ <y, x>。 2.<x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。
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笛卡尔积
❖ 定义 2 设A, B是集合。由A中元素作为第一元素，B 中元素作为第二元素组成的所有有序对的集合，称 为集合A与B的笛卡尔积（或直积），记为A×B。 即 A×B={<x,y>|x A y B}
离散数学第讲2
(3)设R2是任何一个关系，且有RR2A×A，R2是传递的。 对任意<a,b>∈R1，存在Rj(1≤j＜)，使得<a,b>∈Rj，
所以存在c1,c2,c3,…,cj-1∈A，使得：
2022/10/25
计算机学院
7
<a,c1>∈R,<c1,c2>∈R,<c2,c3>∈R,....,<cj-1,b>∈R。 因RR2，所以 <a,c1>∈R2,<c1,c2>∈R2,<c2,c3>∈R2,…,<cj-1,b>∈R2。 由R2是传递的，有： <a,c2>∈R2,<c2,c3>∈R2,<c3,c4>∈R2,…,<cj-1,b>∈R2。 一直下去，最终有：<a,b>∈R2。 所以，R1R2。
由归纳法知，对任意有的i∈N+,有Ri t(R)。
R1,所以
1) r(R)＝{<a,b>,<b,b>,<b,c>,<a,a>,<c,c>}； (2) 对任意a,b,c∈A，若<a,b>∈R1，<b,c>∈R1,
j:=j+1; j=2,A的第二列有两个1,即A(1,2)=A(3,2)=1
1)r(R1) r(R2)
3）集合A上的关系的对称传递闭包定义为st(R) ＝s(t(R)) 同上，我们还可定义sr(R),tr(R),ts(R),…
定理4.9 设R是集合A上的关系，则：
1)rs(R)＝sr(R)
2)rt(R)＝tr(R)
3)st(R)ts(R)
2022/10/25
离散数学文档1
（1）关系的表示
（2）关系的性质和运算
（3）等价关系和集合的划分
（4）偏序关系
第1章关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.2二元关系及其表示
1.3关系的运算
1.4关系的性质
1.5关系的闭包
1.6等价关系与集合的划分
1.7相容关系
1.8偏序关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.1.1有序n元组
定义1.1由两个固定次序的个体x，y组成的序列称为序偶，
R◦S={<2，2>，<4，3>}。
如图所示：
1.3关系的运算
1.3.2关系的复合运算
（2）设R，S都是A上的关系，A={1，2，3，4}。
R={<1，2>，<1，3>，<3，4>}，S={<1，1>，<2，2>，<3，3>，
<4，4>}，即S为A上的恒等关系，则R◦S=S◦R=R。
如图所示：
定理1.3设A，B，C，D为四个非空集合，则A×BC×D的充
1.2.1二元关系的概念
定义1.6设IA为集合A上的二元关系，且满足IA={<x，x>xA}
，则称IA为集合A上的恒等关系。
1.2二元关系及其表示
1.2.2二元关系的表示
1．关系矩阵表示法
设给定集合A={a1，a2，…，an}，集合B={b1，b2，…，bm}，R为
从A到B的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。用集合A的元素标
A∪~B。
1.3集合的运算
1.3.4集合的对称差文氏图
定义1.10设A、B是两个集合，集合A和B的对称差记作A♁B，
它是一个集合，其元素或属于A，或属于B，但不能既属于A又
（2）关系的性质和运算
（3）等价关系和集合的划分
（4）偏序关系
第1章关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.2二元关系及其表示
1.3关系的运算
1.4关系的性质
1.5关系的闭包
1.6等价关系与集合的划分
1.7相容关系
1.8偏序关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.1.1有序n元组
定义1.1由两个固定次序的个体x，y组成的序列称为序偶，
R◦S={<2，2>，<4，3>}。
如图所示：
1.3关系的运算
1.3.2关系的复合运算
（2）设R，S都是A上的关系，A={1，2，3，4}。
R={<1，2>，<1，3>，<3，4>}，S={<1，1>，<2，2>，<3，3>，
<4，4>}，即S为A上的恒等关系，则R◦S=S◦R=R。
如图所示：
定理1.3设A，B，C，D为四个非空集合，则A×BC×D的充
1.2.1二元关系的概念
定义1.6设IA为集合A上的二元关系，且满足IA={<x，x>xA}
，则称IA为集合A上的恒等关系。
1.2二元关系及其表示
1.2.2二元关系的表示
1．关系矩阵表示法
设给定集合A={a1，a2，…，an}，集合B={b1，b2，…，bm}，R为
从A到B的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。用集合A的元素标
A∪~B。
1.3集合的运算
1.3.4集合的对称差文氏图
定义1.10设A、B是两个集合，集合A和B的对称差记作A♁B，
它是一个集合，其元素或属于A，或属于B，但不能既属于A又