离散数学-关系-1
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离散数学关系
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
返回第5、3节目录
五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
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一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
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五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
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一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
离散数学第二章关系
例9 .设A={1,2,3,4} ，B={2,4,6,8,10} 。 R={(1,2),(2,4),(3,6)}。
则 (R) = {1,2,3}A ， (R) = {2,4,6}B 。
二.关系的一些关联性质 17
离散数学
定理1. 设R1,R2 A×B是两个关系。若 R1 R2 ，则
(1)保序性： (R1) (R2) ； (2)保序性： (R1) (R2) ；
注：笛卡尔(1596-1650 )，法国数学家， 1637年发表《方法论》之 一《几何学》，首次提出坐标及变量概念。这里是其概念的推广。
定义2. • 二个集合A，B的(二维或二重)叉积定义为 A×B ={(a, b): a A bB} ； •其元素——二元组(a, b)通常称为序偶或偶对(ordered
故 (R1)∩ (R2) = {1,2 }
21
离散数学
所以 (R1)∩ (R2) (R1 ∩ R2) 。
元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)：
R(a)={b : bBaRb }B ；
(2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。
•当A=B时，即RA×A，则称R是A上的一个二元关 系。
例1 . 设A是西安交通大学全体同学组成的集合。 11
离散数学
R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A 于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。
例2 . 设A是某一大家庭。
R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A 于是，
离散数学中的关系
离散数学中的关系
离散数学中的关系指的是集合之间元素的联系或对应关系。
这种关系可以描述为有序对的集合，其中每个有序对都由一对元素组成。
在离散数学中常见的关系包括等价关系、偏序关系、全序关系等。
等价关系是一种自反、对称和传递的关系，即元素之间具有相等的性质。
例如，集合中两个元素的相等关系就是一种等价关系。
偏序关系是一种自反、反对称和传递的关系，即对元素之间存在一种偏序或排序关系。
例如，在集合中，可以通过元素之间的比较来确定它们的顺序关系。
全序关系是一种偏序关系，它不仅是自反、反对称和传递的，还具有完备性，即对于集合中任意两个元素，它们之间必定存在一种顺序关系。
离散数学中还有其他类型的关系，如函数关系、包含关系等。
函数关系是一种特殊的关系，它对于集合中的每个元素，都存在唯一的映射元素。
包含关系则描述了两个集合之间的包含或包含于关系。
通过对这些关系的研究和分析，可以帮助理解和解决离散数学中的问题。
同时，关系的性质和特征也为其他学科如计算机科学、逻辑学等提供了基础。
离散数学28.关系的性质1
例如，集合X上的全域关系EX、 恒等关系IX都不是X上的反 自反关系.
2）若关系R不是反自反的，关系R也不一定是自反的，反之也 成立.
XZ-{0}时，整除关系 R2={<x,y>x,yX∧x整除y}. 都是自反关系.
(3) 数集X上的小于关系 R3= {<x,y>x,yX∧xy}. 不是自反的.
若集合X上的二元关系R是自反的充要条件： • 1） R是自反的恒等关系IX R. • 2） R是自反的关系R的关系矩阵MR的主对角线全是1. • 3） R是自反的关系R的关系图中每个结点都有上的二元关系,如果对于每 个x∈X，有<x,x>R，则称二元关系R是反自反的.
R在X上反自反 (x)(xX <x,x>R ). 例如，数集X上的小于关系 R3={<x,y>x,yX∧xy} 空关系 ，均为反自反关系.
若集合X上的二元关系R是反自反的充要条件： • 1） R是反自反的恒等关系IX R= . • 2） R是反自反的关系R的关系矩阵MR的主对角线全是0. • 3） R是反自反的关系R的关系图中每个结点都没有自回路.
设 X={1,2,3}, R1={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} 是X上的自反关系; R2={<1,3>} 是X上的反自反关系; R3 ={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<2,3>} 既不是自反的，也不是反自反的.
注意：
1）一个关系R如果是自反的，一定不是反自反的；如果是反自 反 的，则一定不是自反的.
关系的性质
一、关系的性质
关系的性质主要有5种：自反性、反自反性、对称性、反对 称性、传递性.
2）若关系R不是反自反的，关系R也不一定是自反的，反之也 成立.
XZ-{0}时，整除关系 R2={<x,y>x,yX∧x整除y}. 都是自反关系.
(3) 数集X上的小于关系 R3= {<x,y>x,yX∧xy}. 不是自反的.
若集合X上的二元关系R是自反的充要条件： • 1） R是自反的恒等关系IX R. • 2） R是自反的关系R的关系矩阵MR的主对角线全是1. • 3） R是自反的关系R的关系图中每个结点都有上的二元关系,如果对于每 个x∈X，有<x,x>R，则称二元关系R是反自反的.
R在X上反自反 (x)(xX <x,x>R ). 例如，数集X上的小于关系 R3={<x,y>x,yX∧xy} 空关系 ，均为反自反关系.
若集合X上的二元关系R是反自反的充要条件： • 1） R是反自反的恒等关系IX R= . • 2） R是反自反的关系R的关系矩阵MR的主对角线全是0. • 3） R是反自反的关系R的关系图中每个结点都没有自回路.
设 X={1,2,3}, R1={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} 是X上的自反关系; R2={<1,3>} 是X上的反自反关系; R3 ={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<2,3>} 既不是自反的，也不是反自反的.
注意：
1）一个关系R如果是自反的，一定不是反自反的；如果是反自 反 的，则一定不是自反的.
关系的性质
一、关系的性质
关系的性质主要有5种：自反性、反自反性、对称性、反对 称性、传递性.
离散数学 关系的性质
关系矩阵中以主对角线对称的元素不能同时为1。
(3). 关系图的特点：
关系图中如果两个顶点之间有边一定是一条有向边。
实例：
恒等关系IA，空关系都是A上的反对称关系。
2021/5/27
12
例2 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3和R4都是A上的关系, 其中 R1＝{<1,1>,<2,2>}， R2＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>} R3＝{<1,2>,<1,3>}， R4＝{<1,2>,<2,1>,<1,3>}
2021/5/27
3
(2). 关系矩阵的特点：
关系矩阵中主对角线上的元素全为1。
(3). 关系图的特点：
关系图中每个顶点都有环。
实例： A上的全域关系EA, 恒等关系IA，小于等于关系 LA, 整除关系DA都是自反关系：
2021/5/27
4
2．反自反的二元关系
(1). 定义： R是Ａ上的二元关系，若x(x∈A→<x,x>R),
例如 Ａ＝｛a,b,c｝, R={ (a,a),(b,b),(c,c),(a,b)}，
则Ｒ是自反的。
又如Ａ＝｛1,2,3｝, R是Ａ上的整除关系，
显然，Ｒ是自反的，因为（1, 1）,（2, 2）,（3, 3）
都属于R。 2021/5/27
2
注意，在关系的自反性定义中，要求对于A中 的每一个元素a都有(a,a) ∈R。所以当A={a,b,c}，而 R={(a,a),(b,b)}时，R并不是自反的，因为(c,c) R。 又如A={1,2,3}，R是A上的二元关系，当a,b∈A， 且a和b都是素数时，(a,b) ∈R。 可见Ｒ＝{(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)}，Ｒ也不是自反关 系，因为(1,1) R。
(3). 关系图的特点：
关系图中如果两个顶点之间有边一定是一条有向边。
实例：
恒等关系IA，空关系都是A上的反对称关系。
2021/5/27
12
例2 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3和R4都是A上的关系, 其中 R1＝{<1,1>,<2,2>}， R2＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>} R3＝{<1,2>,<1,3>}， R4＝{<1,2>,<2,1>,<1,3>}
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3
(2). 关系矩阵的特点：
关系矩阵中主对角线上的元素全为1。
(3). 关系图的特点：
关系图中每个顶点都有环。
实例： A上的全域关系EA, 恒等关系IA，小于等于关系 LA, 整除关系DA都是自反关系：
2021/5/27
4
2．反自反的二元关系
(1). 定义： R是Ａ上的二元关系，若x(x∈A→<x,x>R),
例如 Ａ＝｛a,b,c｝, R={ (a,a),(b,b),(c,c),(a,b)}，
则Ｒ是自反的。
又如Ａ＝｛1,2,3｝, R是Ａ上的整除关系，
显然，Ｒ是自反的，因为（1, 1）,（2, 2）,（3, 3）
都属于R。 2021/5/27
2
注意，在关系的自反性定义中，要求对于A中 的每一个元素a都有(a,a) ∈R。所以当A={a,b,c}，而 R={(a,a),(b,b)}时，R并不是自反的，因为(c,c) R。 又如A={1,2,3}，R是A上的二元关系，当a,b∈A， 且a和b都是素数时，(a,b) ∈R。 可见Ｒ＝{(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)}，Ｒ也不是自反关 系，因为(1,1) R。
离散数学-第1章
27
练习1解答
提示： 分清复合命题与简单命题 分清相容或与排斥或 分清必要与充分条件及充分必要条件
答案: (1) 是简单命题
(2) 是合取式
(3) 是析取式（相容或）(4) 是析取式（排斥或）
设 p: 交通阻塞，q: 他迟到
(5) pq,
(6) pq或qp
(7) qp 或pq, (8) qp或pq
假命题 真命题 不是命题 不是命题
不是命题 不是命题
命题，但真值现在不知道
5
命题分类
命题分类：简单命题（也称原子命题）与复合命题 简单命题符号化
用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示简单命题
用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令
p： 2是有理数，则 p 的真值为0，
p q p pq (pq) (pq)q
00 1 1
0
0
01 1 1
0
0
10 0 0
1
0
11 0 1
0
0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
24
公式的类型
定义1.10 (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
30
练习3解答
(1) pr(qp)
pqr
qp (qp) pr(qp)
000
1
0
0
001
1
0
0
010
0
1
0
011
0
1
0
100
1
0
0
101
练习1解答
提示： 分清复合命题与简单命题 分清相容或与排斥或 分清必要与充分条件及充分必要条件
答案: (1) 是简单命题
(2) 是合取式
(3) 是析取式（相容或）(4) 是析取式（排斥或）
设 p: 交通阻塞，q: 他迟到
(5) pq,
(6) pq或qp
(7) qp 或pq, (8) qp或pq
假命题 真命题 不是命题 不是命题
不是命题 不是命题
命题，但真值现在不知道
5
命题分类
命题分类：简单命题（也称原子命题）与复合命题 简单命题符号化
用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示简单命题
用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令
p： 2是有理数，则 p 的真值为0，
p q p pq (pq) (pq)q
00 1 1
0
0
01 1 1
0
0
10 0 0
1
0
11 0 1
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成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
24
公式的类型
定义1.10 (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
30
练习3解答
(1) pr(qp)
pqr
qp (qp) pr(qp)
000
1
0
0
001
1
0
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010
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0
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离散数学讲解第一章
B7=B000111={a4,a5,a6} B12=B001100={a3,a4}
2018/12/20 21
集合族: 由集合构成的集合.
{{6}, {1,5} , {2,4}, {1,2,3}} 幂集都是集族.
2018/12/20
22
指标集(index set): 设A是集合族, 若 A = { Ai | iK }, 则K称为A的指标集.
全集是相对的, 视情况而定, 因此不唯一.
2018/12/20
24
1.4集合之间的运算
1. 并集: 设有集合A、B，属于A或属于B的所有元素 组成的集合，称为A与B的并集，记作AB AB = { u | uA 或 uB}
AB
2018/12/20
25
2. 交集：设有集合A、B，属于A同时又属于B的所有 元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A B AB = { u | u A 且 u B }
2018/12/20 15
对任意集合A, A 证明: 反证法（设结论不成立，推出矛盾）
假设空集不是集合A的子集，即 A 根据定义1-2，存在x ， x A， 这与空集的定义矛盾 假设不成立，应有A，原结论成立。
2018/12/20
16
定理: 空集是唯一的.
证明: 设1与2都是空集, 则 12 且 21 1=2 .
2018/12/20
5
2. 集合的表示
列举法:
列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分 开，然后用花括号括起来，例如: A={a,b,c,d,…,x,y,z} B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} C={2,4,6,…}
2018/12/20
6
描述法
给定一个条件P(x) ，当且仅当a使条件P(a)成立 时，a∈A。
2018/12/20 21
集合族: 由集合构成的集合.
{{6}, {1,5} , {2,4}, {1,2,3}} 幂集都是集族.
2018/12/20
22
指标集(index set): 设A是集合族, 若 A = { Ai | iK }, 则K称为A的指标集.
全集是相对的, 视情况而定, 因此不唯一.
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1.4集合之间的运算
1. 并集: 设有集合A、B，属于A或属于B的所有元素 组成的集合，称为A与B的并集，记作AB AB = { u | uA 或 uB}
AB
2018/12/20
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2. 交集：设有集合A、B，属于A同时又属于B的所有 元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A B AB = { u | u A 且 u B }
2018/12/20 15
对任意集合A, A 证明: 反证法（设结论不成立，推出矛盾）
假设空集不是集合A的子集，即 A 根据定义1-2，存在x ， x A， 这与空集的定义矛盾 假设不成立，应有A，原结论成立。
2018/12/20
16
定理: 空集是唯一的.
证明: 设1与2都是空集, 则 12 且 21 1=2 .
2018/12/20
5
2. 集合的表示
列举法:
列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分 开，然后用花括号括起来，例如: A={a,b,c,d,…,x,y,z} B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} C={2,4,6,…}
2018/12/20
6
描述法
给定一个条件P(x) ，当且仅当a使条件P(a)成立 时，a∈A。
离散数学-第四章 关系-内容提要
{}
传递。
(5)如 果 VJ
:IT{∶ ∶ ∶ ∶ 蚕 ⒈11∶⒈ ∶ Ll ;, 翕 罐 ∶ ∶ ∶ 置 R在 A上
:I∶
:: 1∷
Vj V石
(Π
、 、 y,z)∈ R→ 〈 R∧ 〈 J,z〉 ∈ R),则 称 Π ,y,z∈ A∧ 〈 ,j〉 ∈
1亠
判别法
:
利用关系表达式判别 (1)R在 A上 白反 ㈡rA∈ R。
,
系:简 称全胛 蜮 线序 曳
柙
\宀
:'艹
° Γ ˉ叽
抖 ¨ ‰ 艹 渺 冖妒 ”
^讷
p¨ ¨
¨
i
∶
^¨
Ⅱ… ¨
=艹
)。
`呻
/
‘ :° f耷
一
^A’
工 < ′
工 < ′
Ι ⒕
,
、
\′
I纟
:
轱
/廴
跃
:
h,如 果 J≤ y∨ y※ J,贝 刂 ∈ 称
J与 j可 比。
称 y覆 盖 J。
偏序集中的特殊元素
得 ⒎ 则
:
y,z〉 ∈ S))。 ∈ R∧ 〈
有关基本运算的定理 ・ 定理 4.1 设 F是 任意的关系 ,则
(1)(Fˉ l)ˉ ^l=F。
・
(2)domFˉ ˉ ∴ =ranF,ranF~l=domF。
定理 4.2 设 F,G,Ⅳ 是任意的关系 ,则 (1)(F° G)° H=Fo(G° H), (2)(FoG)ˉ l=G^loF_ˉ
:
(2)R在 (3)R在 (4)R在 (5)R在 (1)R在 (2)R在 (3)R在 (4)R在
A上 反 自反 ⑶R∩ rA=¤ 。 A上 对称 山R=Rl。 ; A上 反对称 ㈡R∩ R~l∈ A上 传递 ㈡R。 R∈ R。
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二元关系的复合运算
定理3-6.2 设X，Y，Z，W是集合，RX×Y，SY×Z，T Z×W，则 (RS)T= R(ST) 证明：<x,w>∈(RS)T(z)(<x,z>∈RS∧<z,w>∈T) (z)((y)(<x,y>∈R∧<y,z>∈S)∧<z,w>∈T) (z)(y)((<x,y>∈R∧<y,z>∈S)∧<z,w>∈T) (y)(z)(<x,y>∈R∧(<y,z>∈S∧<z,w>∈T)) (y)(<x,y>∈R∧(z)(<y,z>∈S∧<z,w>∈T)) (y)(<x,y>∈R∧<y,w>∈ST)<x,w>∈R(ST) 所以 (RS)T=R(ST)
二元关系的复合运算
定义3-6.2 设R是A上的二元关系，n为自然数，R的n次幂记为Rn，定义 为： ⑴ R0=IA ⑵ Rn+1= RnR 由定义3-6.2可以看出，A上的任何二元关系的0次幂都相等，等于 A上的恒等关系IA。由定义3-6.2还可以看出： R1= R0 R=IAR=R R2= R1R= RR R3= R2R=(RR)R …… 因为复合运算满足结合律，所以R3又可以写成： n个R的复合 R3= RRR R 同样的道理Rn也可以写成： Rn= R R
MR=
例中的二元关系R是A上的二元关系， 只需看成A到A的二元关系，利用上述 定义，就可以方便地写出它的关系矩 阵。A上的二元关系和A到B的二元关 系的关系矩阵的定义是相同的。
二元关系的表示
4.用图表示二元关系 如果A和B是有限集，R是A到B二元关系，还可 以用图表示二元关系R。表示二元关系R的图叫 做R的关系图。A到B二元关系的关系图和A上的 二元关系的关系图的定义是不一样的。分别描 述如下：
二元关系的表示
例6 设A=a1,a2,a3,a4，B=b1,b2,b3，R是A到B的二元关 系，定义为： R=<a1,b1>,<a1,b3>,<a2,b2>,<a2,b3>, <a3,b1>,<a4,b1>,<a4,b2> 写出R的关系矩阵。 解: R的关系矩阵为：
MR= 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0
二元关系的复合运算
例如,在例4.6中 R2=RR=<1,2>,<2,2> S2 =SS=<4,5>,<3,3>,<1,1> R3=RRR=<1,2>,<2,2> 定理3-6.5 设A是具有n个元素的有限集，R是A上的二元关系，则必存在 n2 自然数s和t，使得Rs=Rt，0≤s＜t≤2 。
… 证明：R是A上的二元关系，对任何自然数k，由复合关系的定义知，Rk 仍然是A上的二元关系，即RkA×A。另一方面，根据定理4.1.1， n2 A上的二元关系仅有2 种。列出R的各次幂R0，R1， 2 2 2 n，共有2 n＋1个，必存在自然数s和t，使得Rs=Rt， 2 ，…， R R2 0≤s＜t≤2 n 。
二元关系的复合运算
定理3-6.3 设R是A上的二元关系，RIA=IAR=R 证明：先证RIA=R <x,y>∈RIA(z)(<x,z>∈R∧<z,y>∈IA) (z)(<x,z>∈R∧z=y)<x,y>∈R 所以 RIAR <x,y>∈R<x,y>∈R∧<y,y>∈IA<x,y>∈RIA 所以 RRIA 故 RIA=R 类似的，可以证明IAR= R
二元关系的表示
1.用列举法表示二元关系 例4 设A=a,b，B=1,2， A到B的全域关系：E=A×B=<a,1>,<a,2>,<b,1>,<b,2> A上的恒等关系： IA=<a,a>,<b,b> 都是用列举法表示的。 2.用描述法表示二元关系 例5 设R是实数集， LR = <x,y>|x∈R∧y∈R∧x≤y， LR是实数集R上的二元关系。
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H=<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,3>,<3,1>,<4,4>,<4,2>
二元关系的复合运算
定义3-6.1 设X，Y，Z是集合，RX×Y，SY×Z，集合 <x,z>x∈X∧z∈Z∧(y)(y∈Y∧<x,y>∈R∧<y,z>∈S) 叫做R和S的复合关系。记为RS,RSX×Z, RS是X到Z的二元关系。 例2 X=1,2,3,4,5，X上的二元关系R和S定义如下： R=<1,2>,<3,4>,<2,2> S=<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3> 试求RS，SR，R(SR)，(RS)R，RR，SS，RRR 解: RS=<1,5>,<3,2>,<2,5>； SR=<4,2>,<3,2>,<1,4> (RS)R=<3,2>； R(SR)=<3,2> RR=<1,2>,<2,2>； SS=<4,5>,<3,3>,<1,1> RRR =<1,2>,<2,2> 可以看出,RS≠SR,这说明,二元关系的复合运算不满足交换律。
二元关系的复合运算
例 A= 1,2,3,4，A上的二元关系R定义如下： R=<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4> 求二元关系R的各次幂，验证定理4.2.5。 解：|A|=4 R0=IA=<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4> R1=R=<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4> R2=R1 R= RR=<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4> R3= R2R =<1,2>,<2,1>,<2,3>,<1,4> R4=R3 R=<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>=R2， 2 0≤2＜4≤216=2 4 R5=R4R=R2R=R3 R6=R5R=R3R=R4= R2 …… R2n=R2 R2n+1=R3, n =1,2,3,…
二元关系的复合运算
定理3-6.6设R是A上的二元关系，m，n为自然数，则 ⑴ RmRn =Rm+n ⑵ (Rm)n=Rmn 证明: ⑴ 对任意给定的m∈N，关于n进行归纳证明： 当n=0时，Rm R0=Rm IA=Rm=Rm+0 设n=k时，RmRk=Rm+k。下证n=k+1时，结果也对。 RmRk+1=Rm(RkR)=(RmRk)R=Rm+kR= Rm+k+1 ⑵ 对任意给定的m∈N，关于n进行归纳证明： 当n=0时，(Rm)0=IA=R0=Rm×0 设n=k时，(Rm)k=Rmk。下证n=k+1时，结果也对。 (Rm)k+1=(Rm)k Rm=RmkRm=Rmk+m=Rm(k+1)
关系的运算
例1 设X=1,2,3,4，X上的二元关系H和S定义如下，试求 H∪S，H∩S， ~H，S-H。 H=<x,y> | x y 是整数
2
S=<x,y> | x y 是正整数 解: 将H和S用列举法表示： S=<4,1> H∪S=<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,3>,<3,1>,<4,4>,<4,2>,<4,1> H∩S = φ ~H=X2-H=<1,2>,<1,4>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>,<4,1> S－H=<4,1>
二元关系的复合运算
定理3-6.4 设R，S，T是A上的二Байду номын сангаас关系, 则 ⑵ (R∪S)T=RT∪ST ⑷ (R∩S)TRT∩ST ⑴ R(S∪T)=RS∪RT; ⑶ R(S∩T)RS∩RT;
证明：仅证明⑶，类似地可证明⑴、⑵和⑷。 <x,y>∈R(S∩T)(z)(<x,z>∈R∧<z,y>∈S∩T) (z)(<x,z>∈R∧(<z,y>∈S∧<z,y>∈T)) (z)((<x,z>∈R∧<z,y>∈S)∧(<x,z>∈R∧<z,y>∈T)) (z)(<x,z>∈R∧<z,y>∈S)∧(z)(<x,z>∈R∧<z,y>∈T) <x,y>∈RS∧<x,y>∈RT <x,y>∈RS∩RT 故 R(S∩T)RS∩RT
A到B二元关系的关系图
⑴ A到B二元关系R的关系图 设A=a1,a2,…,am，B=b1,b2,…,bn，R是A到B二元 关系，R的关系图的绘制方法如下： ① 画出m个小圆圈表示A的元素，再画出n个小圆圈表示 B的元素。这些小圆圈叫做关系图的结点(下同)。 ② 如果<ai,bj >∈R，则从ai到bj 画一根有方向(带箭头)的线。这些 有方向(带箭头)的线叫做关系图的 边(下同)。