小学数学点子图和格子图

规范使用点子图把握概念准确性——由“在点子图上画出两个不同平行四边形”引发的争议与思考

教育实践与研究EducationalPracticeandResearch2015年第29期/A（10）>>>学科教学探索

“点子图”是小学数学中重要的操作工具，也是小学生几何图形学习的有效素材。点子图的设计与运用，尊重了小学生的认知基础，顺应了小学生数学学习的需求；使小学生在观察、操作、探究等活动中，获得几何图形的直观经验，有效地帮助学生建立空间观念。然而，笔者在教学人教版小学四年级数学上册（2014年7月出版）第65页“做一做”第2题时，却引发了学生的争议与笔者的思考。一、争议焦点一：“两个不同平行四边形”的理解（一）生1作品展示：分别画出它们的高并量出来。生1：我在点子图上画的是两个上下边不同的平行四边形。即：先横着用4格画一条平行四边形的边，在从这条边下面往前移动1格用4格画另一边，连接这两条边的两端；用同样的方法再用3格画一个平行四边形的上下两边，连接这两条边的两端，这样就得到两个不同的平行四边形，经测量，它们的高相等。生2：生1这样画的图（1）和图（2）不对，因为图（1）和（2）这两个平行四边形虽然不同，但是它们的四条边不存在任何关系，在点子图上画这样的两个平行四边形，不符合题意的要求；我们要结合学过的内容和做过的第1题，应把画出的两个平行四边形看成是由四根小棒摆成的不同形状的平行四边形，也就是说平行四边形的四条边是确定的，由于高的变化导致了平行四边形的形状不同。生

3：题目中没有明确告诉“平行四边形规范使用点子图把握概念准确性

———由“在点子图上画出两个不同平行四边形”引发的争议与思考

侯木华（容城县西里小学，河北保定071700）摘要：“点子图”是小学数学中重要的操作工具。它能有效地帮助学生探索一些图形的形状、大小和位置关系，了解一些几何形体和平面图形的基本特征，体验几何图形运动变化的过程，使小学生正确建立空间观念，进一步理解数学概念的本质。关键词：点子图；概念准确性；平行四边形；争议与思考中图分类号：G623.5文献标识码：A文章编号：1009-010X（2015）29-0058-03

谈“方格图”在小学数学教学中的有效应用

方格图是指由横线和竖线交织成的网格图形，每个小方格都有一定的大小和数值。在小学数学教学中，方格图被广泛应用于数学问题的认识、分析和解决。本文将从三个方面介绍方格图在小学数学教学中的有效应用。

一、加减法

方格图能够帮助学生理解加减法的本质和规律。学生可以使用方格图来表示和计算数字之间的关系，例如：用方格图画出2+3=5的过程，首先画出2个小方格，再画出3个小方格，并将它们相邻排列在一起，最后计算组合在一起的小方格总数为5个，即2+3=5。同样，可以用方格图画出3-2=1，将3个小方格减去2个小方格后，剩余1个小方格。

二、乘法

三、分数

综上所述，方格图在小学数学教学中具有广泛的应用价值。它不仅能够帮助学生理解加减法、乘法、分数等概念和规律，还可以激发学生的兴趣，提高学习效果。教师可以在教学中灵活运用方格图，结合具体的数学问题，促进学生的数学思维能力和表达能力的提升。

小方格，大智慧——例谈“方格图”在小学数学教学中的有效运用

发布时间：2023-03-27T05:48:52.599Z 来源：《中小学教育》2023年第489期作者：陈健华 [导读] 方格图简洁直观、易操作，不仅使抽象、枯燥的数学知识变得具体形象、生动有趣，而且有利于对静止的图形进行动态的思考，把观察、想象、推理等有机整合在一起。它是学习数学的重要工具，深受广大师生的欢迎。如何把方格图用对、用好，是值得每一位老师思考的问题。

广州市南沙区太石小学广东广州 511466；周子雯华南师范大学附属南沙小学广东广州 511466

摘要：方格图简洁直观、易操作，不仅使抽象、枯燥的数学知识变得具体形象、生动有趣，而且有利于对静止的图形进行动态的思考，把观察、想象、推理等有机整合在一起。它是学习数学的重要工具，深受广大师生的欢迎。如何把方格图用对、用好，是值得每一位老师思考的问题。

关键词：方格图有效运用

纵观整个小学数学教材，无论是数与运算、图形与几何、统计与概率，还是综合与实践，都能看到“方格图”的影子。特别是“图形与几何”，几乎覆盖了该版块的所有学习内容。方格图已成为一种重要的学习工具，善用此工具，能促进课堂教学效率的有效提升。

一、方格图概述

方格图，顾名思义就是由一个个大小相同的小方格按照一定的顺序排列而成的图案。“方格”，只是它的外在表现形式。它的“隐藏式”可以表现为点子图，“拓展式”可以表现为数对图、坐标图等。但无论是哪种形式，方格图作为一种重要的学习工具具有以下两大功能：1.方位感——为学生建立方向感提供参照。方格图上一条条纵横交错的水平线和垂直线，一个个排列整齐的点子，对于更好地体验前后左右、东南西北等提供了直观的支撑。2.距离感——为学生感受距离提供标准。大小相同、排列整齐的方格作为背景，避开了在探索数与形之间、形与形之间的关系时所造成的诸多不必要的干扰，促使教学过程直击概念的核心，提高教学的有效性。

小学数学知识框架图完整版

小学数学知识框架图

HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

小学数学知识结构图（人教版）

数与代数

数一数

1~5的认识和加减法

6~10的认识和加减法

20以内的进位加法一上

20以内的退位减法

数的认识（读、写、顺序、比较整十数加一位数相应的减100以内数的认识

100以内的加法和减法整十数加、减整十数

两位数加一位数、整十数（不两位数减一位数、整十数（不两位数加一位数（进位）

两位数减一位数（退位）

两位数加、减两位数一下 11~20各数的认识数与代数

数的认识

数的运算

常见的量

探索规律

式与方程

比和比例图形与几何

图形的认识

图形的测量

图形的运动

图形的位置统计与概率

数据分析过程

数据分析方法

数据的随机性综合与实践

知识的综合

方法的综合

关注问题解决（用来了解学生数学现实，培养学生对数学的兴趣）

（比大小，认识“<、>”；序数；数的分解和组成；加减法；简单图画应用题；0的认识）

（6和7；8和9；10；连加连减；加减混合）

（简单图画应用题中出现单位名称)

(出现与图画结合，但语言叙述较完整的应用题；出现依据条件提问题的不完整应用题；)

100以内的加法和减法（二）（笔算） (两位数加减两位数；出现竖式；练习中出现纯文字的应用题；连加连减和加减混合运算；出加减法的估

表内乘法（一）乘、除法的初步认识

2~6的乘法口诀（乘加、乘减）二上

表内乘法（二） 7~9的乘法口诀

万以内数的认识 1000以内的数的认识

10000以内的数的认识

整百、整千数的加减法

克与千克表内除法（一）除法的初步认识

用2~6的乘法口诀求商

表内除法（二）用7~9的乘法口诀求商

二下由平均分引入，让学生充分感知除法的情境后才出现正式的除法算式

数对(导学)

第一单元走进军营

——方向和位置

信息窗一用数对表示位置

主备人：初清华

课标语:

在具体情境中，能用数对来表示位置，并能在方格纸上用数对确定位置。

教学目标：

1.学生在具体的情境中，明确统一确定位置方法的必要性；探索确定位置的方法，认识行与列，知道确定第几列、第几行的规则，说出某一物体的位置。

2.结合具体情境，体验用数对确定位置的必要性和简洁性，初步理解数对的含义,能用数对表示具体情境中物体的位置。

3.经历由实物图到圆点图到方格图的抽象过程，并能在方格纸上用数对确定位置。

课型：新授课

教学方法：自主探究、小组合作学习

教学重点：探究确定位置的方法，认识数对

教学难点：理解抽象的“数对”，并能用数对准确地表示出方格图中某一物体的位置。

教具学具：学生导学作业，PPT课件

知识点四维度分析:

1.定义：用一对数来确定物体的位置，所以叫数对。

2.样子：比如（3,2）、（5,6）

3.特征：写的时候要先列后行，两个数之间用逗号隔开，最后用括号把它们括起来。

4.应用：在方格图或点子图中用来描述物体的位置，根据数对标明物体的位置。

导学作业设计:

1.教师5分钟的讲解：

（1）学校要召开新学期家长会，你打算怎样向家长描述你的位置？

（2）交流展示，达成共识：统一确定位置的方法，即横叫行，竖叫列。

2.导学作业布置：

（1）自学课本第2至3页内容，弄清怎样用数对描述位置。

（2）用数对来描述你在班级中的位置。

（3）尝试解决课本第4页第1、2题。

教学过程

一、学习准备

【环节目标】

回顾导学作业的布置及要求，让学生能够做好准备积极的投入到小组合作交流中来。【评价任务】

学生拿出导学作业，做好小组交流的准备。

【活动设计】

1.让学生准备好自己的作业，准备小组检查和交流。

2.课件出示导学作业，学生重温导学作业内容。

格点与面积_小学奥数知道点详解

如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。

一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形，本讲就，学习求格点多边形的面积问题。这种格点多边形的面积计算起来很方便，一般有三种方法：

① 规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积；

② 一些简单而又特殊的格点多边形，可以通过数格子求出面积；

③ 较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。其中数格子的方法比较原始，很少用。

任意格点多边形，只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数，就可用下面的皮克公式算出面积：

格点多边形面积=内格点个数 + 边格点数÷2-1

这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。

皮克定理的证明：

将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆。格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分；而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形，且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆，少了其外角对应的扇形面积，因任意多边形的外角和是360度，正好是个整圆，所以周界上圆在图内的面积为：周界格点数÷2-1

所以格点多边形面积为：

图内格点个数+周界格点数÷2-1。

皮克定理的证明过程比较抽象，孩子难以理解。本讲只要求孩子初步认识格点面积公式，掌握格点面积公式的应用，到初中还会进一步学习皮克定理。

例1：

求下面各图形的面积。

【解析】：

图①是个平行四边形，周界上有10个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图①的面积为：4+10÷2-1=8；

图②是个梯形，周界上有8个格点，图内有2个格点，根据格点面积公式，图②的面积为：2+8÷2-1=5；图③是个三角形，周界上有6个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图③的面积为：4+6÷2-1=6；

数与计算810以内的两岸阵与点子图

数与计算8 10以内的两岸阵与点子图

课程目的：应用形数结合解应用题（两岸阵的运用）课程准备：10个格子的卡片 5个彩笔

重点：点子图与两岸阵的转换计算难点：数形结合

授课流程：

（1）小朋友们大家好，老师手里面有一张纸卡，哪位小朋友到老师这数一下一共有多少个格子呢？好的，老师在一个格子里画上

一个点，我画了4个，还有几个没画上呢？我们用两岸阵怎么表示呢？按照书上p53把点子图画到黑板上，对应出两岸阵。

（2）我们看一下书上的点子图他们不会算，让我们的小朋友算一下，

你会吗？p53想一下我们讲的两岸阵？（3）老师刚才让你们数的这个纸卡上有多少个格子啊？如果所有的

格子内都画上豆子，只有一个没有，我们算一下是多少个豆子呢？让孩子视觉化的感受，然后在变换图卡。我们看一下p54

的格子图中每个图少个多少个豆子呢？

（4）我们算完之后谁能用两岸阵的方法把刚才p45的点子图表示出来？（老师先带着孩子们做一道题，然后让孩子自己做），

（5）下面我们看一下p55的两岸阵怎么算的吧（引导孩子把两岸阵和点子图相结合）

小学数学点子图和格子图

学习必备欢迎下载

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

第5单元：平行与垂直—平行四边形与梯形综合作图专项练习-四年级数学上册典型例题系列(解析版)人教版

四年级数学上册典型例题系列

第五单元：平行与垂直—平行四边形与梯形综合作图

专项练习一：平行与垂直作图

1．过点O分别作两条已知直线的垂线。

【答案】见详解

【分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和O点重合，过O沿直角边向已知直线画直线即可。据此画图即可。

【详解】

【点睛】本题考查了学生过直线外一点向已知直线作垂线的能力。

2．刘家村为了方便，需要从河边铺设水管把水引到村里，怎样铺设水管最节约材料，请在下图上画出来。

【答案】见详解【分析】根据从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，作图即可。

【详解】如图：

【点睛】此题主要考查了垂线段的认识及画法。

3．画一画。

画出线段AB的一条垂线。

【答案】见详解

【分析】过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。

【详解】

【点睛】本题考查过直线外一点作已知直线的垂线的方法，旨在考查学生利用三角尺作图的能力。

4．过点p分别画出直线L1的平行线和L2的垂线。

【答案】见详解

【分析】过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线L1重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可。

过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线L2，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。

【详解】画图如下：

【点睛】此题考查的是过直线外一点作垂线、画平行线，熟练掌握垂直与平行的特点，是解答此题的关键。

5．过点A作已知直线的平行线和垂直线。

【答案】见详解

四年级数学上册典型例题系列之第5单元：平行与垂直、平行四边形与梯形综合作图专项练习(解析版)人教版

四年级数学上册典型例题系列之

第五单元：平行与垂直、平行四边形与梯形综合作图专项练习（解析版）

1．过A点分别画已知直线的平行线和垂线。

【答案】见详解

【分析】（1）把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可。

（2）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可。

【详解】

【点睛】本题考查了平行线和垂线的作法，培养学生的作图能力。

2．过点A分别画出直线的垂线和平行线。

【答案】见详解【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线；

过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的A点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。

【详解】

【点睛】熟练掌握用三角板画平行线和垂线的方法，是解答此题的关键。

3．小东要去河边画画，请你画出从A点处到河边的最短路线。

【答案】见详解

【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要求从A点处到河边的最短路线，则从A向河边作垂线，这条垂线即为所求。

【详解】

【点睛】解决本题的关键是明确从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。这个性质常用于解决求最短路线的问题。

4．阳光小区的居民准备安装天然气管道，为了节省安装费用，请帮助工人叔叔设计出安装管道的最短路线。

【答案】见详解

【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要使装管道的路线最短，则从阳光小区向天然气管道作垂线，这条垂线即为所求。