06 功率谱密度和白噪声过程
白噪声
物理学概念
01 定义
03 参数 05 应用
目录
02 起源 04 通信中的
白噪声（white noise）是指功率谱密度在整个频域内是常数的噪声。所有频率具有相同能量密度的随机噪声 称为白噪声。
定义
白噪声是指在较宽的频率范围内，各等带宽的频带所含的噪声功率谱密度相等的噪声。
一般在物理上把它翻译成白噪声（white noise）。
人生充满声音和噪声干扰,如轿车鸣喇叭、汪汪狗叫、吵邻打鼾、警报器、大喊大叫.白噪声并不增加烦躁， 而是包含所有同等频率的声音.研究表明,一个稳定、平和的声音流,如白噪声、可过滤和分散噪音，可以帮助减轻 噪音分心，这也正是为什么它用来帮助人们放松、睡眠。
上市销售的白噪声机器产品有睡眠辅助器、私密性增强器以及掩饰耳鸣。
白噪声可以用于放大器或者电子滤波器的频率响应测试，有时它与响应平坦的话筒或和自动均衡器一起使用。 这个设计的思路是系统会产生白噪声，话筒接收到扬声器产生的白噪声，然后在每个频率段进行自动均衡从而得 到一个平坦的响应。这种系统用在专业级的设备、高端的家庭立体声系统或者一些高端的汽车收音机上。
白噪声也作为一些随机数字生成器的基础使用，常用于计算机科学领域。
白噪声的应用领域之一是建筑声学，为了减弱内部空间中分散人注意力并且不希望出现的噪声（如人的交谈)， 使用持续的低强度噪声作为背景声音。
在电子通信中也有白噪声的应用，它被直接或者作为滤波器的输入信号以产生其它类型的噪声信号，尤其是 在信号合成中，经常用来重现有很高噪声成分信号。
白噪声也用来产生冲击响应。为了在一个演出地点保证音乐会或者其它演出的均衡效果，从P A系统发出一 个瞬间的白噪声或者粉红噪声，并且在不同的地方监测噪声信号，这样工程师就能够建筑物的声学效应能够自动 地放大或者削减某些频率，从而就可以调整总体的均衡效果以得到一个平衡的和声。
白噪声
I0 ( x ) = ∫
2π
0
1 exp ( − x cos θ ) dθ 2π
p (θ ) = ∫ p ( r,θ ) dr = ∫
0 2 2
∞
∞
0
( r − A cosθ )2 + ( Asin θ )2 r exp − dr 2 2 2πσ 2σ
循环平稳过程
定义
随机过程X(t)的统计平均值和自相关函数是时 间的周期函数，则称为循环平稳随机过程。
• 如：
X (t ) =
n =−∞
∑ a g ( t − nT )
n
∞
E ( an ) = ma , E an an +k = Ra ( k )
*
循环平稳过程的统计特性
期望 E ( X ( t ) ) = m a 自相关
包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布。
窄带平稳高斯过程（零均值）
包络 R ( t ) = nc ( t ) + ns ( t )
2 2
瑞利分布
ns ( t ) 相位 θ ( t ) = arctg nc ( t ) 均匀分布
r2 p ( r ) = 2 exp − 2 σ 2σ r
, r ≥ 0
要求：
会判断过程是否平稳 会求平稳过程的自相关、功率谱密度 会分析与高斯平稳过程相关的一些性质
1 p (θ ) = 2π
证明
因为nc(t),ns(t)是正交的均值为0，方差为 2的高斯随机变 量，因此它们独立（窄带高斯过程的性质），则
2 nc + ns2 p ( nc , ns ) = exp − 2 2 2πσ 2σ ns 令 r = n2 + n2 , θ = arctg c s nc
白噪声的定义式
白噪声的定义式白噪声是指在频率范围内具有相等功率密度的随机信号。
在数学上，白噪声可以表示为一个具有无限多个随机分量的信号，每个分量具有相同的功率和频率，且彼此完全独立。
因此，白噪声可以被视为一种随机信号的基本形式，它在许多领域中都有重要的应用，包括通信、声音处理、信号处理、物理学等领域。
白噪声的定义式可以用数学语言来描述。
假设我们有一个时间序列{Xt}，其中t表示时间。
如果这个时间序列是一个白噪声，那么它的功率谱密度S(f)应该是一个常数，即：S(f) = K其中K是一个常数，f表示频率。
这个定义式告诉我们，白噪声在不同频率上具有相同的功率密度，因此它被称为“白色”的。
白噪声的功率谱密度是一个重要的概念。
它描述了信号在不同频率上的能量分布情况。
在频率为f的范围内，功率谱密度S(f)表示了信号在该频率范围内的平均功率。
因此，如果一个信号在所有频率范围内的功率谱密度都相等，那么它就是一个白噪声。
白噪声的特点是具有高度的随机性。
在一个白噪声信号中，每个分量都是随机的，且彼此独立。
这意味着白噪声信号中的任何一个分量都不能预测，也不能用其他分量来表示。
因此，白噪声信号是一种极其难以处理的信号。
在实际应用中，我们通常会对白噪声信号进行滤波或降噪处理，以提取出有用的信息。
在通信领域中，白噪声的功率谱密度是一个重要的概念。
在无线通信中，由于信道的噪声和干扰，传输信号可能会被扭曲或损坏。
因此，接收端需要对接收到的信号进行滤波和去噪处理，以提取出有用的信息。
在这个过程中，我们需要了解信道的噪声功率谱密度，以便选择合适的滤波器和去噪算法。
在声音处理和信号处理领域中，白噪声也有着广泛的应用。
例如，在音频处理中，我们通常会使用白噪声来生成随机噪声或模拟自然环境中的噪声。
在信号处理中，白噪声也可以用来测试和评估算法的性能。
总之，白噪声是一种基本的随机信号形式，具有高度的随机性和平均功率谱密度。
它在许多领域中都有着重要的应用，包括通信、声音处理、信号处理、物理学等领域。
通信原理之白噪声
谱密度为：
H
(
f
)
1
0
fc
B 2
f
fc
B 2
其他f
n0 / 2 Pn f
B
o
fc
fc
f
式中： fc － 中心频率，B － 通带宽度则其输出噪声的功率谱密度为
n0
Pn(f )
2
0
fc
B
2
f
fc
B
2
其它f
2.3窄带高斯白噪声
通常，带通滤波器的 B << fc ，因此称窄带滤波器，相
低通白噪声，即其功率谱密度为：
Pn() Nhomakorabean0 2
,
0,
( fH , fH ) 其它
Pn ()
n0 / 2
fH 0 fH
f
H 0 H
由上式可见，白噪声的功率谱密度被限制在| f | fH 内，通常把这样的 噪声也称为带限白噪声。
2.2带通白噪声
白噪声经理想带通滤波器后而形成的噪声，被称为低通白噪声，即其功率
实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系 统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。
如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。
高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间， 不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。
1.3 自相关函数
据：功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏变换对。
应地把带通白高斯噪声称为窄带高斯白噪声。其统计特 性与一般窄带随机过程相同：
平均功率N=n0B
输出噪声功率谱密度计算公式
输出噪声功率谱密度计算公式噪声功率谱密度是衡量信号中噪声强度的一个重要指标，它描述了单位频率范围内的噪声能量分布情况。
通常情况下，噪声功率谱密度用符号$S_n(f)$表示，其中$f$为频率。
计算噪声功率谱密度的公式，可以根据不同类型的噪声进行推导。
以下将分别介绍几种常见类型的噪声功率谱密度计算公式，并给出相关参考内容，帮助读者更好地理解。
1. 热噪声：热噪声又称为白噪声，是由于电阻器等电子器件的热激活引起的。
在频率范围内，热噪声功率谱密度$S_{n}(f)$近似为常数，且与电阻器的温度有关，计算公式为：\[S_{n}(f) = 4kTR\]其中$k$为玻尔兹曼常数，$T$为温度（单位为开尔文），$R$为电阻阻值。
参考内容：《无线电技术基础》（作者：程滨、王月利、王建明），第4章电子元器件的噪声，第4节热噪声的基本概念与分析（页码：25-27）。
2. 线性噪声：线性噪声通常包括热噪声、互模干扰噪声等。
对于线性噪声功率谱密度的计算，可以使用功率谱密度的加法原理，即各个噪声源的功率谱密度相加。
参考内容：《电子技术基础》（作者：高强、刘会森、于勤达），第4章噪声的统计特性，第5节噪声产生与传输（页码：108-109）。
3. 非线性噪声：非线性噪声通常包括互调干扰噪声、截止失真噪声等。
对于非线性噪声功率谱密度的计算，可以采用频域分析的方法，将非线性系统用幅频特性来描述，并进行傅里叶变换得到频率域中的非线性变换函数。
参考内容：《电子线路基础》（作者：郑永图），第13章非线性分析（页码：258-260）。
以上仅是几种常见噪声功率谱密度的计算公式介绍，并附带了相关的参考内容。
实际应用中，由于不同噪声类型、不同系统的复杂性，可能需要更复杂的计算方法和模型。
读者在具体应用时，可以根据具体情况选择合适的计算方法，并参考相关的专业书籍或学术论文进行详细了解和计算。
通信原理第六版课后思考题答案
通信原理第六版课后思考题答案第一章绪论1.1以无线广播和电视为例，说明图1-1模型中的信息源，受信者及信道包含的具体内容是什么在无线电广播中，信息源包括的具体内容为从声音转换而成的原始电信号，收信者中包括的具体内容就是从复原的原始电信号转换乘的声音；在电视系统中，信息源的具体内容为从影像转换而成的电信号。
收信者中包括的具体内容就是从复原的原始电信号转换成的影像；二者信道中包括的具体内容分别是载有声音和影像的无线电波1.2何谓数字信号，何谓模拟信号，两者的根本区别是什么数字信号指电信号的参量仅可能取有限个值；模拟信号指电信号的参量可以取连续值。
他们的区别在于电信号参量的取值是连续的还是离散可数的1.3何谓数字通信，数字通信有哪些优缺点传输数字信号的通信系统统称为数字通信系统；优缺点：数字通行系统的模型见图1-4所示。
其中信源编码与译码功能是提高信息传输的有效性和进行模数转换；信道编码和译码功能是增强数字信号的抗干扰能力；加密与解密的功能是保证传输信息的安全；数字调制和解调功能是把数字基带信号搬移到高频处以便在信道中传输；同步的功能是在首发双方时间上保持一致，保证数字通信系统的有序，准确和可靠的工作。
1-5按调制方式，通信系统分类？根据传输中的信道是否经过调制，可将通信系统分为基带传输系统和带通传输系统。
1-6按传输信号的特征，通信系统如何分类？按信号特征信道中传输的信号可分为模拟信号和数字信号，相应的系统分别为模拟通信系统和数字通信系统。
1-7按传输信号的复用方式，通信系统如何分类？频分复用，时分复用，码分复用。
1-8单工，半双工及全双工通信方式是按什么标准分类的？解释他们的工作方分为并行传输和串行传输。
并行传输是将代表信息的数字信号码元以组成的方式在两条或两条以上的并行信道上同时传输，其优势是传输速度快，无需附加设备就能实现收发双方字符同步，缺点是成本高，常用于短距离传输。
串行传输是将代表信息的数字码元以串行方式一第1/10页个码元接一个码元地在信道上传输，其优点是成本低，缺点是传输速度慢，需要外加措施解决收发双方码组或字符同步，常用于远距离传输。
功率谱密度和白噪声过程 PPT
R() 1
S()cos()d
0
Xtcosct
0, 2
R(
)
1 2
cosc
S()
R()ejd 1
2
cosce jd
1
e e j(c )
j(c )
d
4
2
(
c
)
(
c
)
R() e||
S() R()ejd e||ejd
2 e || 0
cosd222
S()4 1 20 4 29,求 R()
2） |SX Y()|2SX()SY()
3） Re[SXY()]Re[SXY()] 奇函数 Im[SXY()]Im[SXY()] 偶函数
1 ） S X Y() S Y * X () S Y X ()
先证明： R Y *X()R YX()
R YX()y(t)x*(t)f(x,t;y,t)dxdy
2 X
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(t
)dt
T
lim 1 T E[ X 2 (t)]dt T 2T T
P X2 1 T li m 2 1 TE [|F X(,T)|2]d
SX()T li m 2 1 TE|F X(,T)|2
为平稳随机过程X(t)的功率谱密度。
这样，Px又可以写成
W s2 (t)d t ？ |s(t)|d t
E()| F()|2
由巴塞伐尔等式，可得到
s2(t)dt21 |F()|2d
信号的总能量
信号的能谱密度
能量守恒！
能量无限，平均功率有限的信号称 为功率型信号。即
Ps T li m 21T
白噪声的产生
Se (ω ) =
σ2
, −π < ω < π;
a <1
H ( z −1 ) =
假定 e(0) = 0 ，则有： 相关函数计算可得：
σ
1 − az −1
,
a <1
e(k ) = σ [ w(k ) + aw(k − 1) + L + a k −1w(1)] Re (l ) = σ 2 a l 1 − a 2k al 2 ≈ σ 1 − a2 1 − a2
且 C ( z −1 ), D( z −1 ) 的根都在 z 平面的单位圆内。 ● 例子 设平稳有色噪声序列 {e(k )} 的自相关函数为：
1 − a2 则相应的功率谱密度函数为：
Re (l ) =
σ 2a l
, l = 0, ± 1, ± 2,L;
a <1
1 − 2a 2 cos ω + a 2 成型滤波器的脉冲传递函数为：
中科院研究生院 2009～2010 第一学期 随机过程在工程中的应用讲稿
孙应飞
白噪声的产生方法
1.1 白噪声及其产生方法 1.1.1 白噪声的概念 ● 白噪声过程（一系列不相关的随机变量组成的理想化随机过程） 相关函数： RW (τ ) = σ 2δ (τ ) 谱密度： SW (ω ) = σ 2 − ∞ < ω < +∞ 近似白噪声过程
● 重要结果： G ( s ) =
注意 3：不是任何多项式都可以作为生成 M 序列的特征多项式，它必须满足以
4
中科院研究生院 2009～2010 第一学期 随机过程在工程中的应用讲稿
孙应飞
下条件。 ● 必要条件：特征多项式 F ( s ) 是既约多项式 ● 充分必要条件： 特征多项式 F ( s ) 是本原多项式， 即 F ( s ) 是多项式 s N P ⊕ 1 的 一个因子。 ● 满足以上两个条件的部分特征多项式见表 2.11，注意表的使用 1.2.4 M 序列的性质 ● M 序列的循环周期 N P = ( 2 P − 1) bit ● M 序列的“游程” M 序列中某种状态连续出现的段称为“游程”。一个 P 级 M 序列的“游程”总 数为 2 P −1 ，其中“0”游程与“1”游程各占一半。长度为 i bit（ 1 ≤ i ≤ P − 2 ）的 游程占 1 / 2 i ，即有 2 P −1−i 个，但长度为 ( P − 1) bit 的游程只有一个，为“0”游程， 长度为 P bit 游程也只有一个，为“1”游程。 ● M 序列的可加性 所有 M 序列都具有移位可加性（模 2 和）。 1.2.5 M 序列的自相关函数 幅度的选取：作变换： M (i ) = a(1 − 2 xi ) ，幅度变为 a 和 − a 。 ● 计算式： R M (τ ) =
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cos
c
R( )e j d 1
2
cos
c
e
j
d
1
e e j( c )
j( c )
d
4
2
(
c
)
(
c
)
例 2.4-2
随机电报信号自相关函数 R( ) e||
T 2T
T 2T 2T
功率谱密度两种定义的等价条件
只要
| R( ) | d
则上式中第二项为零，故此时
SX ()
R( )e j d
也就是说，平稳随机过程在自相关
函数绝对可积的情况下，维纳-辛
钦公式成立。此时功率谱密度的两
种定义等价。
1、能量型信号
能量型信号
W s2 (t)dt
其中，s(t)为信号，W为在 | s(t) | dt 的情况下，能量型
信号s(t)的傅立叶变换存在，即
F () s(t)e jtdt
称F(ω)为信号s(t)的频谱。
求功率谱密度
S( ) R( )e j d e||e j d
2
e|| cos d
0
2 2 2
例 2.4-3
已知功率谱
S( )
4
2 4 10 2
, 求R( )
9
R( ) 1
2
定义
S
X
(
)
lim
T
1 2T
E
| FX (,T ) |2
为平稳随机过程X(t)的功率谱密度。
这样，Px又可以写成
1
PX 2
SX ()d
平均功率谱 的表达式
平稳过程的功率谱密度
SX () 为双边功率谱密度，但在实际 应用中，负频率不存在，故引入
单边谱密度
Im[SXY ()] Im[SXY ()] 偶函数
1）SXY () SY*X () SYX ()
先证明： RY*X ( ) RYX ( )
RYX ( ) y(t)x*(t ) f (x,t ; y,t)dxdy
令：t t
RY*X ( ) x(t) y(t ) f (x,t; y,t )dxdy RXY ( )
功率谱的意义
R( ) 1 S ()e j d
2 令 0,则
R(0) 1 S()d E{| X (t) |2} 0
2
3、功率谱密度的性质
若过程X(t)是实平稳的，则自相关函
数是实偶函数，因此功率谱密度也 是实偶函数，即
S() S(), S() S()
sT (t)
0
t T
平均功率的谱表示
sT(t)能够满足绝对可积条件。 sT(t) 的频域结构
F(,T )
sT
(t
)e
jt
dt
T s(t)e jtdt
T
sT(t)的平均功率：
PsT
sT2
(t
)dt
平均功率的谱表示
由巴塞伐尔等式，可得到
证明：
S() R*( )e j d R( )e j( )d S()
S() R*( )e j d R( )e j() d S()
功率谱密度的性质
由于R(τ)和S(ω)都是偶数，于是维 纳-辛钦公式还可以写成：
4、功率型信号
能量无限，平均功率有限的信号称 为功率型信号。即
1
Ps
lim T
2T
T s2 (t)dt
T
Ps为信号的平均功率。
5、平均功率的谱表示
功率型信号不满足绝对可积条件。
为了能够利用傅立叶变换给出平均 功率的谱表示式，构造截尾函数：
s(t) | t | T
S
X
(
)
lim
T
1 2T
E
T T
X
(t1 )e
jt1 dt1
T T
X
(t2 )e
jt2 dt2
lim 1 T 2T
T T
T T
E[
X
(t1)
X
(t2
)]e
j (t1 t2
)dt1dt2
1
lim T 2T
T T
RYX
(
)e
j ( )
d
SYX
()
互谱密度函数不是实的、正的偶函数
2) | SXY () | SX ()SY ()
从定义
S XY
()
lim
T
1 2T
E{FX
(,T )FY (,T )}
和施瓦茨不等式
|
S XY
() |2
lim
T
1 2T
W
s2
(t)dt
？
| s(t) | dt
3、信号的能谱密度
能量型信号的能谱E(ω)为
E() | F () |2
由巴塞伐尔等式，可得到
s2 (t)dt 1
|
F ()
|2
d
2
信号的总能量
信号的能谱密度
能量守恒！
6、平稳过程的功率谱密度
平稳随机过程的样本函数是功率型的。
FX (,T )
T X (t )e jt dt
T
1
2T
T X 2 (t)dt 1
T
4 T
|
FX
(,T ) |2
d
我们定义
1
PX
lim
T
E
2T
T
X
2
(t
)dt
T
为平稳过程X(t)的平均功率。
GX
()
2S
X ()
0
0 0
二、谱密度与自相关函数
1、功率谱密度与自相关函数的关 系—维纳-辛钦公式
2、功率谱密度两种定义的等价条件 3、功率谱密度的性质
1、谱密度与自相关函数的关系
平稳随机过程的功率谱密度是它的自 相关函数的傅立叶变换：
S () R( )e j d ①
T T
R(t1
t2
)e
j (t1 t2
)dt1dt2
功率谱密度两种定义的等价条件
通过变量置换，最后得到：
S
X
(
)
lim
T
2T (1 | |)R( )e j d
2T 2T
lim 2T R( )e j d lim 2T | | R( )e j d
RXY
(
)e
j
d
RXY
(
)
1
2
S
XY
()e
j
d
2、互谱密度的维纳-辛钦公式
当 0
RXY
(0)
1
2
SXY ()d E[ X (t)Y (t)]
若X(t)是一个二端电压、Y(t)是流经 该器件的电流，则上式左边就是消 耗的功率。
两个正交随机过程性质
随机过程X(t)和Y(t)正交
RXY ( ) 0, SXY () 0
此时有：
RX Y ( ) RX ( ) RY ( ) SX Y () SX () SY ()
3、互谱密度的性质
1） SXY () SY*X () SYX () 2） | SXY () |2 SX ()SY () 3） Re[SXY ()] Re[SXY ()] 奇函数
S () 20 R( ) cos( )d
R( ) 1
S () cos( )d
0
例 2.4-1
设随机相位余波 X t cosct 的功
率谱密度，其 是在区间 0,2 内均
匀分布.
解：
S( )
R( )
1 2
1、白噪声过程的定义
若一个均值为零的平稳过程
W(t),t 0 具有恒定功率谱密度
S() N0 (, )
2
则称W(t)为白噪声过程。其中N0表 示单边功率谱密度。
相当于《信号与系统》中的冲击响应函数
sT2 (t)dt
1
2
|
F (,T )
|2
d
两边同除以2T，并由截尾函数的定 义，得到
1 T s2 (t)dt 1
|
F (, T
)
|2
d
2T T
4T
平均功率的谱表示
令T趋于无穷，功率型信号s(t)在
(-∞, ∞)上的平均功率可表示为
由于 R( ) R*( ) S () 是实函数
谱密度与自相关函数的关系
由傅立叶逆变换公式，有
R( ) 1 S()e j d
2
②
上述两式统称为 维纳-辛钦公式
注释：对比“信号与系统” 返回 中维纳辛钦公式
2、功率谱密度两种定义的等价条件