单跨静定梁、多跨静定梁受力分析
结构力学课件-单跨静定梁的内力分析
FSK
ql 2
qx
cos
0
x
l
FNK
FAy sin
qx sin 0
FNK
ql 2
qx
sin
0
x
l
③作内力图
MK
ql 2
x
qx2 2
0
x
l
FSK
ql 2
qx
cos
0
x
l
ql sinFNKFra bibliotekql 2
qx
sin
0
x
l
2
ql 2 M图 8
ql cos 2
➢将斜梁与相应水平梁作比较：
q 'l
q 'l
2
2
q 'l tan 2
q 'l2
M图 8cos
FS图
q 'l tan
2
FN图
总结斜梁内力分析的特点：
➢截面内力的计算：截面法 ➢沿水平向布置的竖向荷载作用下，简支斜梁的支座反力和相应水平梁的
支座反力相同，弯矩图相同 ➢沿水平向布置的竖向荷载作用下，斜梁的剪力和轴力是相应水平梁剪力
13.805kN
M max 13.805kN.m
单选题 1分
静定结构在荷载作用下均会产生内力，而且内力大小与杆件截面尺 寸及截面材料均无关。
A 正确 B 错误
提交
四、 简支斜梁的计算 1、斜梁应用：楼梯、屋面斜梁、及具有斜杆的刚架结构中
简支斜梁
2、斜梁所受分布荷载
q q' A
沿水平方向均布荷 载q：活载（人群、 雪载）
Fy 0 FA 10 10 4 33.75 10 2 0 FA 36.25kN ()
梁的内力分析
FQ 3 为负剪力， M 3 为正弯矩。
在计算梁的剪力和弯矩时，可以通过下面的结论直接计算： （1）某截面上的剪力等于该截面左侧（或右侧）梁段上所 有横向外力的代数和。（左上右下剪力为正；反之则为负） 以该截面左侧杆段上的外力进行计算时，则向上的外力产生 正剪力，反之为负。以该截面右侧杆段的外力计算时，则 向下的外力产生正剪力，反之为负。 (2)某截面上的弯矩等于该截面左侧（或右侧）所有外力对该 截面之矩的代数和。（左顺右逆弯矩为正；反之则为负） 以左侧的外力进行计算时，则绕截面顺转的外力产生正弯矩， 反之为负。以右侧的外力计算时，绕截面逆转的外力产生 正弯矩，反之为负。
F
Q1
、 M 1 为正值，表示该截面上剪力和弯矩与所设方向一致，故为正剪力，正弯矩。
例 7－ 1
（3）求 2-2 截面的内力。用截面法把梁从 2-2 截面处切成两段，取左段为研究对象，受 力如图 7－6c。图中剪力和弯矩都假设为正。由平衡方程得 ∑Fy＝0,
FA － F Q 2 ＝0, F Q 2 ＝ FA =2 kN
FQ1 FA 2kN M1 FA 2 2 2 4kN m
图
FQ2=FA－F＝2－3＝－1kN
M 2 FA 2 2 2 4kN m
(3)求3－3和4－4截面的剪力和弯矩，取右侧计算。
FQ 3 FB 1kN
M3 FB 4 m 1 4 2 2kN m
MA 0
MB ql ql 2 l 0 2 2 ql l q l ql 2 M C ( )2 2 2 2 2 8
当x ＝l 时
当x＝l/2时,
时将三点用一光滑曲线连成一抛物线即得梁的弯矩图，见图7－9c。
本章主要介绍了单跨静定梁和多跨静定梁的内力分析计算1
图10
图11
图12
3.3.2
多跨静定梁的内力计算
由层次图可见，作用于基本部分上的荷载，并不 影响附属部分，而作用于附属部分上的荷载，会以支 座反力的形式影响基本部分，因此在多跨静定梁的内 力计算时，应先计算高层次的附属部分，后计算低层 次的附属部分，然后将附属部分的支座反力反向作用 于基本部分，计算其内力，最后将各单跨梁的内力图 联成一体，即为多跨静定梁的内力图。
例6 试作出如图13(a)所示的四跨静定梁的弯矩图和剪 力图。
解：（1） 绘制层次图，如图13(b)所示。
（2） 计算支座反力，先从高层次的附属部分开 始，逐层向下计算：
① EF段：由静力平衡条件得
∑ME=0: ∑Y=0: YF×4-10×2=0 YF=5kN YE=20+10-YF=25kN
解：（1）求支座反力 先假设反力方向如图所示，以 整梁为研究对象： ∑X=0: XA-P=0 XA=P=4kN ∑MB=0: YA*l-q*l*0.5*l=0 YA=0.5ql =0.5×3×4kN=6kN ∑Y=0: YA+YB=ql YB=ql-VA =(3×4-6) kN=6kN
即:
q′l′=ql q=q′l′/l=q′/cosα
下面以承受沿水平向分布的均布荷载的斜梁为例进 行内力分析，如图(b)所示。 根据平衡条件，可以求出支座反力为： XA=0, YA=YB=1/2ql
则距A支座距离为x的截面上的内力可由取隔离体求出。 如图(c)所示，荷载qx、YA，在梁轴方向（t方向）的分 力分别为qxsinα、YAsinα；在梁法线方向（n方向） 的分力分别为：qxcosα、YAcosα。则由平衡条件得： ∑T=0： YAsinα-qxsinα+NX=0 NX=(qx-1/2ql)sinα ∑N=0: YAcosα-qxcosα-QX=0 QX=(1/2ql-qx)cosα ∑MX=0: YAx-qx· x/2-MX=0 MX=1/2qx(1-x)
第3章 多跨静定梁和静定平面刚架
A
q
YB
MB
MA
O
YA
+
M
YB
M M
M
MA
MB
M M M
（二） 多跨静定梁的组成形式及分层关系图 单跨静定梁组成的多跨静定梁形式：
（三） 多跨静定梁的受力分析及内力图的绘制
多跨静定梁的受力分析要利用分层关系图。 从力的传递来看：荷载作用在基本部分时，附 属部分不受影响；荷载作用在附属部分时，则基本部 分产生内力。 多跨静定梁的计算是先计算附属部分，后计算 基本部分。将附属部分的支座反力反向，就得附属部 分作用于基本部分的载荷。 先利用分层关系拆成单跨梁，从附属程度最高 跨开始，向下逐跨计算。
dM Q dx d 2M q 2 dx
（2）增量关系
Q P
M m
（3）积分关系 由d Q = – q· dx
MA
q(x)
MB
QB QA q( x) dx
xA
xB
由d M = Q· dx
QA QB
M B M A Q( x) dx
xA
xB
弯矩和剪力的图形特征： 1. 在无荷载的梁段上，剪力为常量，Q图是一水平直线，M 图为一倾斜直线。 2. 在均布荷载的梁段上，Q图是一倾斜直线，弯矩图为二次 抛物线形，曲线的凸向与荷载指向相同。 3. 在集中荷载作用处，Q图有突变呈阶形变化，突变数值等 于集中力的大小，而M图有一转折点，其尖顶的突出方向 与荷载的指向相同。 4. 在集中力偶作用处，Q图无变化，而M图有阶形突变，突 变数值等于集中力偶的大小，集中力偶两侧M图的切线相 互平行。
Q 图没有变化。
Q 图为斜直线，荷载向
结构力学 第3章静 定梁、平面刚架受力分析
q 与 q’间的转换关系：
qdx qds q q
cos
第3章
[例题] 试绘制图示斜梁内力图。
q
B
C
A
α
D VB
HA
l/3 l/3
l/3
VA
（1）求支座反力：
解：
X 0 MB 0 MA 0
HA 0
VA
ql 6
()
VB
ql 6
()
校核：
Y
qj 6
qj 6
ql 3
0
第3章
（2）AC段受力图：
（3）AD段受力图：
HAcosα HAsinα
HA VAsinα
VA VAcosα
MC
C
NC
α QC
HAcosα
dx
d2M dx2
q(x)
（1）在无荷区段q(x)＝０，剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线。
（2）在q(x)＝常量段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。其凹下去的曲 线象锅底一样兜住q(x)的箭头。
（3）集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点；集中力偶作用点两 侧，弯矩值突变、剪力值无变化。
解：
10KN/m A HA=0
4m VA=26.25kN
30KN.m
20KN
C
D
B
E
2m
2m
32.5 2.5
3m VB=33.75KN 60
（1）计算支座反力
大工16春《工程的力学二》在线作业
大工16春《工程力学（二）》在线作业1一、单选题（共5 道试题，共20 分。
）1. 梁在纯弯曲时，横截面上（）。
A. 只有正应力B. 只有切应力C. 有正应力和切应力D. 以上都不对正确答案：A 满分：4 分2. 材料不同的两物块A和B叠放在水平面上，已知物块A重0.5kN，物块B重0.2kN，物块A、B间的摩擦系数f1=0.25，物块B 与地面间的摩擦系数f2=0.2，拉动B物块所需要的最小力为（）。
A. 0.14kNB. 0.265kNC. 0.213kND. 0.237kN正确答案：A 满分：4 分3. 力系的合力为零是平面汇交力系平衡的（）。
A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 以上都不对正确答案：C 满分：4 分4. 平面一般力系向其作用平面内任意一点简化，下列选项中不正确的是（）。
A. 平面一般力系向其作用平面内任一点简化得到一个力和一个力偶B. 主矢等于原力系中各力的矢量和C. 主矩等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和D. 主矩为原力系的合力偶矩正确答案：D 满分：4 分5. 组成力偶的一对力所不具有的特点是（）。
A. 大小相等B. 方向相反C. 作用线平行不共线D. 方向相同正确答案：D 满分：4 分二、多选题（共5 道试题，共40 分。
）1. 材料力学根据构件的典型受力情况及横截面上的内力分量，归纳出的基本变形（受力）形式包括（）。
A. 拉伸或压缩B. 剪切C. 扭转D. 弯曲正确答案：A B C D 满分：8 分2. 根据梁的约束特点不同进行分类，常见的静定梁形式有（）。
A. 简支梁B. 悬臂梁C. 外伸梁D. 纯弯曲梁正确答案：A B C 满分：8 分3. 根据梁约束特点不同进行分类，常见的静定梁形式有（）。
A. 纯弯曲梁B. 简支梁C. 悬臂梁D. 外伸梁正确答案：B C D 满分：8 分4. 以下属于力偶性质的是（）。
A. 有合力B. 不能用一个力来代替C. 不能与一个力相平衡D. 在任一轴上的投影总等于零正确答案：B C D 满分：8 分5. 杆件在外力作用下，其基本变形形式有（）。
《结构力学》第三章 单跨静定梁
l
l/2 l/2
MM
l
l
练习: 利用微分关系等作弯矩图
M
1 ql2 2
P 1 ql2
4
l
l/2 l/2
l
M
2M
MM
l
l
lM
M
l
练习: 利用微分关系等作弯矩图
1 ql2 2
P 1 ql2
4
q
1 ql2
l
l/2 l/2
2l
l
M
2M
M
MM
M
M
M
M MM
M
l
l
MM
练习: 利用微分关系,叠加法等作弯矩图
M图
Q图
例: 作内力图
铰支座有外 力偶,该截面弯矩 等于外力偶.
M图 Q图
无剪力杆的 弯矩为常数.
M图
自由端有外
力偶,弯矩等于外
Q图 力偶
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
5.叠加法作弯矩图
注意:
是竖标相加,不是 图形的简单拼合.
练习:
1 ql2 16
种结构型式?
简支梁(两个并列) 多跨静定梁
连续梁
例.对图示静定梁,欲使AB跨的最大正弯矩与支座B截
面的负弯矩的绝对值相等,确定铰D的位置.
q
A
D
B
C
x
l
l
RD
q
q(l x)2 / 8
RD
B
解: RD q(l x) / 2()
M B qx2 / 2 q(l x)x / 2 q(l x)2 / 8 qx2 / 2 q(l x)x / 2
5.2多跨静定梁的内力计算与内力图绘制(精)
5.2 多跨静定梁的内力计算与内力图绘制一、多跨静定梁的组成单跨静定梁多使用于跨度不大的情况，如门窗、楼板、屋面大梁、短跨的桥梁以及吊车梁等。
通常将若干根单跨梁用铰相连，并用若干支座与基础连接而组成的静定结构称为多跨静定梁。
如图5. 19(a)所示为房屋建筑中一木檩条的结构图，在各短梁的接头处采用斜搭接加螺栓系紧。
由于接头处不能抵抗弯矩，因而视为铰结点。
其计算简图如图5. 19(b)所示。
从几何组成上看，多跨静定梁的组成部分可分为基本部分和附属部分。
如图5. 19(b)所示，其中梁AB 部分，有三根支座链杆直接与基础（屋架）相连，不依赖其它部分构成几何不变体系，称为基本部分；对于梁的EF 和IJ 部分，因它们在竖向荷载作用下，也能独立保持平衡，故在竖向荷载作用下，可以把它们当作基本部分；而短梁CD 和GH 两部分支承在基本部分之上，需依靠基本部分才能保持其几何不变性，故称为附属部分。
为了清楚地看到梁各部分之间的依存关系和力的传递层次，可以把基本部分画在下层，把附属部分画在上层，如图5.19(c)所示，称为层次图。
BCDEFG H I(f)(g)AB CD E F GHA BCDE F GHII(a)(b)(c)(d)(e)ABCDEF GHIA B C D E F G H I JABCD EFG H IJ檩条屋架上弦图5.19二、多跨静定梁的内力计算从受力分析看，由于基本部分能独立地承受荷载而维持平衡，故当荷载作用于基本部分时，由平衡条件可知，将只有基本部分受力，附属部分不受力。
而当荷载作用于附属部分时，则不仅附属部分受力，其反力将通过铰结处传给基本部分，使基本部分同时受力。
由上述基本部分和附属部分力的传递关系可知，多跨静定梁的计算顺序应该是先计算附属部分，后计算基本部分。
计算附属部分时，应先从附属程度最高的部分算起；计算基本部分时，把计算出的附属部分的约束力反其方向，作为荷载作用于基本部分。
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B
M图 (kN·m)
精选课件
x=0
x=0.5 x=1
M=-10
M=-2.5 M=0
23
20kN/m
A 1m
20
A
10 2.5
A
B
受力特征
AB上有均布的线荷载
B Q图(kN)
内力图特征 斜直线 两端点
M图
曲线
B (kN·m)
三点（两端点和杆件的中点）
精选课件
24
(3)悬臂梁在集中力偶作用下 10kN·m
A
C
x
1m
B MC
10kN·m C
QC 1-x
Σy=0 ΣMC=0
QC=0 kN 0≤x≤1 MC=-10 kN·m
剪力方程 弯矩方程
精选课件
25
A
C
x
1m
0
A
10
A
B 10kN·m
QC=0kN
0≤x≤1
MC=-10kN·m
Q图(kN) B
M图 B (kN·m)
精选课件
26
3.弯矩、剪力和分布荷载集度之间的微分关系
精选课件
C 10kN C
16
结论：
➢ 任一截面上的剪力等于截面以左(或以右)梁上外 力的代数和。 ➢ 任一横截面的弯矩等于此截面以左(或以右)梁上 的外力对该截面形心力矩的代数和。
精选课件
17
2.绘制梁的内力图――剪力图和弯矩图
➢ 悬臂梁 ➢ 简支梁
精选课件
18
1. 悬臂梁
(1)集中荷载作用 AC x 1m
VB
Σx=0
HA=0
3VB -20×1×0.5 -10 -10×4 =0 VB=20 kN
Σy=0
VA+VB-20×1-10=0
VA=10 kN
精选课件
11
20kN/m
10kN·m
10kN
A 1m D 1m 10 （1）求D截面的内力
E 1m B 1m C 20
取AD为隔离体
20kN/m QD
A 1m D 10
Σy=0 ΣMC=0
QC=20(1-x) kN
0≤x≤1
MC=-20×(1-x)×(1-x)/2
=-10×(1-x)2 kN·m 精选课件
剪力方程 弯矩方程
22
20kN/m
A
C
x
1m
20
A
10 2.5
A
QC=20(1-x) B
0≤x≤1
MC=-10(1-x)2
x=0 B Q图(kN) x=1
Q=20 Q=0
MC C QC 1m
精选课件
10 3 300 B
8
MC C
NC
QC
1m
10 3
300 B
Σx=0
NC103C3 o00 s0 NC 15kN 压力
Σy=0
QC103Si3n000
QC 5 3kN
ΣMC=0
M C10 3S3 in 00 10
MC5 3kNm 逆时针
精选课件
9
例2：外伸梁如图，求D、B和E截面（左侧和右侧）的内力.
20kN B
20kN
C MC
B
QC 1-x
Σy=0 ΣMC=0
QC=20 kN
剪力方程 0≤x≤1
MC=-20×(1-x) kN·m
弯矩方程
精选课件
19
AC x 1m
20
A
20
A
20kN B
Q=20 M=-20×(1-x)
注意: 弯矩图不标正负, 标在受拉侧
B Q图(kN) Q=20
B
M图 (kN·m)
NE右取AE右为隔离体
Σx=0 Σy=0
NE右=0 QE右=10-20×1=-10 kN
ΣME=0
ME右=10×2-20×1×1.5+10=0 kN·m
精选课件
14
20kN/m
10kN·m
10kN
A 1m D 1m E 1m B 1m
10
20
（3）求B左和B右截面的内力 MB左
B
取B左C为隔离体 QB左 NB左 20 1m
静定梁结构的内力分析
精选课件
1
1. 基本概念
➢ 梁的受力变形特点
阳台挑梁
门窗过梁
精选课件
2
➢ 受力变形特点
梁的轴线
P
纵向对称面
变形后的轴线
受力特征： 所受的外力作用在梁的纵向对称平面。 变形特征： 梁的轴线变成对称面内的一条平面曲线。
精选课件
3
➢ 静定梁的基本形式
A
（1）简支梁
HA
VA
（2）悬臂梁 HA
NE左=0
20
ME左 NE左取AE左为隔离体
Σy=0
QE左=10-20×1=-10kN
ΣME=0
ME左=10×2-20×1×1.5=-10kN·m
精选课件
13
20kN/m
10kN·m
10kN
A 1m D 10 20kN/m
A 1m D 10
1m E 1m B 1m C
20 10kN·m ME右
E 1m QE右
Σx=0 Σy=0 ΣMB=0
NB左=0 QB左=10-20=-10 kN MB左=-10×1=-10 kN·m
精选课件
C 10kN C
15
20kN/m
10kN·m
10kN
A 1m D 1m 10
取B右C为隔离体
E 1m B 1m
20 MB右
B QB右 NB右 1m
Σx=0 Σy=0 ΣMB=0
NB右=0 QB右=10 kN MB右=-10×1=-10 kN·m
A
MA VA
（3）外伸梁
A
HA
V 精选课件A
B
VB B
B
VB
4
2. 截面法求平面弯曲梁的内力
P1
P2
AK
B
取左边隔离体
AK HA
QK VA
MK NK
NK 轴力 QK 剪力
MK 弯矩
拉为正
使隔离体顺时 针转动为正 使隔离体上压 下拉为正
精选课件
5
m P1
P2
AK
B
m
取右边隔离体
MK K
P1
NK
QK
MC ND
Σx=0 Σy=0
ND=0
10-20×1-QD=0 QD=-10kN
ΣMD=0
MD=10×1-
20×1×0.5=0kN·m
精选课件
12
20kN/m
10kN·m
10kN
A 1m D 1m E 1m B 1m C
10
（2）求E左和E右截面的内力
20kN/m
QE左
A 1m D 1m E
10
Σx=0
P2 B
VB
精选课件
6
隔离体(左边) 隔离体(右边) 取左边的好
AK
MK
HA
QK
NK
VA
MK K
P1
NK
QK
B VB
力的平衡方程求解
Σx=0
NK Σy=0
QK ΣMK=0
精选课件
P2
MK
7
实例
例1： 简支梁如图，试求C截面的内力。
10 3kN
AC
300
B
1m
1m
NC
分析：
区别
左边隔离体 含支座否 右边隔离体
20kN/m
10kN·m
10kN
HA A
D
1m
1m
EB
C
1m
1m
VA
VB
分析：
1. 左边或右边隔离体 都含支座,先求支座反力
2. B、E截面分左右侧 B、E点上有力作用,则左侧 精选和课件右侧的隔离体受力不同 10
20kN/m
10kN·m
10kN
HA
A
D
EB
C
1m
1m
1m
1m
VA 求支座反力
ΣMA=0
精选课件
x=0 M=-20
x=1 M=0
20
A
1m
20
A
20
A
20kN B
受力特征
仅在杆件端部有集中 荷载，而AB间无荷载
内力图特征
B Q图(kN) 水平直线 一点
B M图
斜直线
(kN·m) 两端点
精选课件
21
(2)悬臂梁在均布荷载作用下
20kN/m
A
C
x
1m
20kN/m
B MC
C
B
QC 1-x