基于最小二乘均衡原理

基于最小二乘（LS ）估计的信道均衡原理
1、最小二乘估计原理
考虑短波数字通信系统的均衡问题，传输信道与均衡器的简化框图如图 1所示。

图 1 基于LS 估计的信道均衡
设均衡器采用图 2所示的N+M+1抽头的FIR 横向滤波器。

均衡器工作在训练模式，d(n)为训练序列，也即均衡器的期望输出响应。

均衡器的输入信号可以表示为卷积过程
u (n )=ℎ(n )∗d (n )+v (n )
式中，h(n)是信道的等效冲击响应，v(n)是加性白噪声过程。

均衡器的作用即是降低短波信道h(n)造成的码间干扰等不利影响。

图 2 N+M+1抽头系数的横向均衡器（滤波器）
现有输入信号u(n)的L 个输入数据u(0), u(1), …, u(L-1)，期望响应（训练序列）d(n)的L 个样本d(0), d(1), …, d(L-1)。

一般情况下要求L>2N+2M+1。

定义n 时刻的输入信号向量为
u ⃗ (n )=[u (n +M ) u (u +M −1) ⋯ u (n ) ⋯ u (n −N )]T
均衡器（滤波器）的权向量为（注意不是h(n)的权向量，无需计算信道h(n)的权向量）
w ⃗⃗ =
[w −M w −M+1 ⋯ w 0 ⋯ w N ]T
于是均衡器的估计输出为
d ̂(n )=w ⃗⃗ H u ⃗
(n )=u ⃗ T (n )w ⃗⃗ ∗=∑w k ∗u (n −k )N
k=−M
(1)
上式中，d
̂(n )为存在码间干扰的均衡器估计输出。

第n 时刻的估计值需要输入第n 时刻之前的M 个样本值和第n 时刻之后的N 个样本值。

注意M 可以取值为0。

估计误差为
e (n )=d (n )−d ̂(n )=d (n )−u ⃗ T (n )w ⃗⃗ ∗
实际上进行滤波时，仅考虑当输入信号u(n)完全进入均衡器各节点的情况，即进入均衡器的样本数大于或等于N+M+1，此时各时刻的滤波估计误差为：
当n=N 时(根据图 2，第一个输出时刻是n=N,不是n=M)，有
e (N )=d (N )−d ̂(N )=d (N )−u ⃗ T (N )w ⃗⃗ ∗=d (N )−∑w k ∗u (N −k )N
k=−M
当n=N+1时，有
e (N +1)=d (N +1)−d ̂(N +1)=d (N +1)−u ⃗ T (N +1)w ⃗⃗ ∗
⋯⋯
当n=L-M-1时
e (L −M −1)=d (L −M −1)−∑w k ∗u (L −M −1−k )N
k=−M
将以上各式写成方程组的形式，并取共轭，有 ()()()()()()()
()()
()()()
()
()()*
*
*
110111111121M M N e N d N u N M u N M u w e N d N u N M u N M u w e L M d L M u L u L u L M N w --+++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥---------⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎣⎦⎣
⎦
（2）
定义误差向量e 和期望响应（训练序列）向量d
分别为 e =[e (N ) e (N +1) ⋯ e (L −M −1)]H d =[d (N ) d (N +1) ⋯d (L −M −1)]H 定义数据矩阵
()()()()()()
()()()
()
()()*
111121110H
u N M u N M u u N M u N M u u L u L u A u N u N u L M L M N ++-⎡⎤
⎢
⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
-----⎢⎥
⎣⎡⎤=+⎦--⎣⎦
= 由式（1）定义估计输出向量ˆd
为 ()()()H
ˆˆˆˆ11d d N d N d L M Aw ⎡⎤=+--=⎣
⎦
所以式（2）可以表示为
ˆe d d
d Aw =-=-（3） 均衡器的设计原则是，寻找权向量w ⃗⃗ 使得误差信号e(n)在某种意义下取得极小值。

注意
到式（2）或者上式是由L-M-N 个方程构成的线性方程组，未知量w k ,k =−M,…,0,…,N 的个数是滤波器的抽头个数N+M+1。

一般来说，输入数据的个数总是比滤波器权值的个数大得多，即L-M-N>N+M+1。

此时对于式（2）或者式（3）来说，方程组的个数大于未知量的个数。

此时，若令e =0，由式（3）可得方程组=Aw d ，但是该方程组在一般意义下无解，即找不到一个向量w ⃗⃗ 满足全部L-M-N 个方程。

尽管不能找到一个解w ⃗⃗ ，使得方程=Aw d 成立，但是可以找到一个w ⃗⃗ 的估计值ˆw
，使得
误差向量
ˆe d Aw
=- 在某种意义下取得极小值。

在最小二乘（LS ）意义下，使估计误差的模的平方和
()()ˆˆH
H
J e e d Aw
d Aw
==-- 取得极小值，所得到的解称为最小二乘解。

要得到J 的极小值，首先求J 关于w ⃗⃗ 的梯度
*
2
22H H J
J A d A Aw w
∂∇==-+∂ 令0J ∇=，得
ˆH H A Aw
A d = （4） 上式是使J 取得极小值时,w ⃗⃗ 必须满足的条件，称为确定性正则方程。

当L-M-N>N+M+1时，
如果方阵A H A 是非奇异的，那么在最小二乘意义下，确定性正则方程的解为
()1
ˆH H LS w
A A A d -= （5） 经常将ˆˆd
Aw =称为对期望响应向量d 的最小二乘估计，简称LS 估计。

2、最小二乘问题的求解
在工程实现时，如要获得均衡器的权向量估计值ˆw
，就要求解式4。

如果直接求解确定性正则方程（式4）ˆH
H A Aw
A d =，需要进行矩阵求逆运算，因此必须考虑A H A 的奇异性。

如果A H A 是非奇异的，矩阵求逆运算不仅计算量大，还有可能发散，工程实现上也不易实现。

式4的求解可以使用奇异值分解来求解，也可以使用递归最小二乘（RLS ）算法（求解算法很多，暂时不考虑其他算法）。

本节将讨论RLS 算法。

RLS 算法使用迭代的方法求解最小二乘的确定性正则方程（式4），其基本思路是，已知
n -1时刻的均衡器权向量的最小二乘估计()ˆ1w
n -，利用当前n 时刻新得到的观测数据，用迭代的方法计算出n 时刻的滤波器权向量的最小二乘估计()ˆw
n 。

这里忽略推导过程，直接给出RLS 算法： 步骤1 初始化：()()()
111
0M N M N P I C
δ++⨯++-=∈，δ是小的正数（0.005左右），P 是
输入数据的时间相关矩阵的逆；()ˆ0=0w
，遗忘因子λ一般取值接近于1，如λ=0.98，λ=0.998等。

遗忘因子使得离当前时刻近的观测值，对相关矩阵和互相关向量的影响较大，而较久远的值则影响较小。

步骤2 当n = 0, 1, 2, …, L-1时，完成如下的迭代运算：
()()()
()()()
()()()()()()()()()()()()()
11*11111ˆ1ˆˆ111H H H P n u n k n u n P n u n e n d n w
n u n w
n w n k n e n P n P n k n u n P n λλλλ-----=
+-=--=-+=---
式中，()k n 常被称为增益向量。

步骤3 令n=n+1，转步骤2。

3、自适应均衡算法的实现
利用RLS 算法，图 2可以改为图 3所示的自适应均衡器。

在该均衡器中，d(n)最初为训
练序列，u(n)为图 1中的接收序列。

此时均衡器工作在训练模式。

当训练序列结束后，均衡器的滤波器系数已经接近最佳值。

训练模式结束后，均衡器工作在跟踪模式。

此时d(n)为判决输出的用户数据。

跟踪模式下，均衡器的自适应算法就可以跟踪不断变化的信道。

为了保证能有效的消除符号间干扰，均衡器需要周期性地做重复训练。

图 3 自适应均衡器原理框图。