分式混合运算的技巧
复杂算式分式与整式的混合运算
复杂算式分式与整式的混合运算在数学中，整式和分式是我们经常遇到的两种基本表达方式。
整式是由常数、变量和运算符号组成的代数表达式，而分式则是由整数或多项式分成的两个部分，其中一个作为分子，另一个作为分母。
本文将着重探讨复杂算式分式与整式的混合运算，以帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、复杂算式分式与整式的基本概念在进行复杂算式分式与整式的混合运算之前，我们首先需要了解两者的基本概念。
1. 整式：整式由常数、变量及其相应的运算符号（如加、减、乘、除等）组成。
例如，3x² + 2y - 5是一个整式，它包含了常数项3、变量项x²和y，以及运算符号的运算。
2. 分式：分式由一个分子和一个分母组成，它们分别是整数或多项式。
分子与分母之间用一条横线分隔。
例如，1/2是一个简单的分式，其中1是分子，2是分母。
需要注意的是，分式中的分母不能为0，否则分式将无法计算。
二、混合运算的步骤与方法当我们需要对复杂算式分式与整式进行混合运算时，可以按照以下步骤进行：1. 先进行整式之间的运算：将整式按照运算符的优先级进行计算，例如先进行乘法和除法，再进行加法和减法。
2. 再进行整式与分式之间的运算：将整式与分式相加或相减时，可以将整式视为分母为1的分式，然后进行通分计算。
3. 最后进行分式之间的运算：将分式按照通分的方法进行运算，即将分子和分母分别进行相应的运算，最后再化简结果。
需要注意的是，混合运算中需要遵循数学运算的基本规则，如乘法分配律、加法交换律、结合律等。
三、示例分析为了更好地理解混合运算的方法，我们来看一个具体的示例：例：计算表达式 3x² - 2 + 1/4x + 2/3 的值，其中x=2。
首先，我们将整式和分式分别进行计算，然后将它们相加。
整式部分：3x² - 2分式部分：1/4x + 2/3接下来，将整式和分式通分，得到：3x² - 2 + 1/4x + 2/3 = 3x² - 2 + 3/12x + 8/12然后，将整式和分式相加，得到：3x² - 2 + 3/12x + 8/12 = 3x² + 3/12x + 6/12化简分式的结果，得到：3x² + 3/12x + 6/12 = 3x² + 1/4x + 1/2最后，将x=2代入表达式，计算得到最终结果：3(2)² + 1/4(2) + 1/2 = 12 + 1/2 + 1/2 = 13因此，表达式的值为13。
分式混合运算中的技巧
分式运算的技巧【精练】计算：【分析】本题中有四个分式相加减，如果采用直接通分化成同分母的分式相加减，公分母比较复杂，其运算难度较大.不过我们注意到若把前两个分式相加,其结果却是非常简单的.因此我们可以采用逐项相加的办法.【解】===【知识大串联】1．分式的有关概念设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零,否则分式没有意义分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式,要进行约分化简2、分式的基本性质(M为不等于零的整式）3．分式的运算（分式的运算法则与分数的运算法则类似）．（异分母相加,先通分)；4．零指数5．负整数指数注意正整数幂的运算性质可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、 n可以是O或负整数．分式是初中代数的重点内容之一，其运算综合性强，技巧性大，如果方法选取不当，不仅使解题过程复杂化，而且出错率高．下面通过例子来说明分式运算中的种种策略，供同学们学习参考．1．顺次相加法例1:计算：【分析】本题的解法与例1完全一样。
【解】===2．整体通分法【例2】计算：【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（—a—1）看作一个整体，并提取“—”后在通分会使运算更加简便。
通常我们把整式看作分母是1的分式。
【解】==.3．化简后通分分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多．4．巧用拆项法例4计算:.分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a是整数），联想到，这样可抵消一些项.解：原式====5．分组运算法例5:计算：分析：本题项数较多,分母不相同。
因此，在进行加减时,可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便.解：=====【错题警示】一、错用分式的基本性质例1化简错解:原式分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变"，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质。
分式的加减乘除混合运算课件PPT
1
答乙:工甲程工队程一队天一完天成完这成项这工项程工的程_的______n______1____________,, 两队共同工作一天完成这项工程的 n 3
_________(_1_____1__.) n n3
bd
bd
三、例题学习，提高认知
例 计算 ：
（1）5x x2
3y y2
2x x2 y2
；
解：原式=
(5x
3y) x2 y
2
2
x
3x 3y
= x2 y2
把分子看成一个整体， 先用括号括起来！
=
3(x y) (x y)(x y)
=
3； x y
注意：结果要 化为最简分式！
计算 ：
（2）
分母不变， 分子相加减.
分式加减运算的方法思路：
异分母 通分 相加减 转化为
同分母 分母不变 相加减 转化为
分子（整式）
相加减
分式加减运算的注意事项：
（1）分母是多项式时，能分解因式的要先分解因 式；（2）分子相加减时，如果分子是一个多项式， 要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运 算，可减少出现符号错误；（3）分式加减运算的 结果要约分，化为最简分式（或整式）.
问题2：2001年,2002年,2003年某地的森林 面积(单位:公顷)分别是S1，S2，S3，2003年 与2002年相比,森林面积增长率提高了多少?
答20:0220年03的年森的林森面林积面增积长增率长是率_是_s__2_s__1__s__1_s___3__s____2__s__,2,
分式的混合运算
8x6 y 3 2x y 3 ( ) 27 z 3 ————
2
先乘方，再乘除， 然后加减
3z
分时乘方：把分子、分母分别乘方
3、分式的加减法 1 a3 a 2 a 2 ————
1
2x 1 1 x 1 x 1 ( x y)( x y) ————
★例题
1 1 1 1 （3）( ) ( 2 2 ) a b a b
x2 4 x2 ) （4）( x2 2 x 2x
b a b2 a2 解：原式 ( ) ( 2 2 2 2 ) ab ab ab ab
b a b2 a 2 2 2 ab ab
b a a 2b 2 2 ab b a 2
★例题
15.2 分式的运算
——分式的混合运算
★知识回顾 1、分式的乘除法
6ab 10c 2 5c 3b
4a c ————
xy 1 2 2 2 2 x y x yx y
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
x2 4 x 2 解：原式 x2 2x
( x 2)( x 2) 2 x x2 x2
2x
ab ba
★例题
a b a2 b2 （1）1 2 a 2b a 4ab 4b 2
a b a 2 4ab 4b 2 解：原式 1 a 2b a2 b2
从高到低，从左 到右，括号从小到 大
同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减．
八年级数学 15.2.2分式的混合运算
b d b c bc
同分母加减：b c b c
加减法
aa a
异分母加减：b d bc ad bc ad
a c ac ac ac
一 新课讲解
2
问题：如何计算
2m
n
1 m-n
-
m n
n 4
？
请先思考这道题包含的运算，再确定运算顺 序，并独立完成.
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
2a
a2 b2
巧用公式
一 能力提升
例4.若
2 x2 1
A x 1
B ，求A、B的值. x 1
解析：先将等式两边化成同分母分式，然后对 照两边的分子，可得到关于A、B的方程组.
2.课本p146 习题15.2 第6题
一 课堂练习
1.
计算
1
3x 2y
3x 2y
2y 3x
的结果是（ C
）
2 y 6xy
A. 9x2
2y 3x
B. 2y
3x 2y
C. 3x
3x
D. 2 y
2.
化简(
x y
y) x
x
x
y
的结果是
x y y.3.化简来自1x y x 3y
解：∵ A B x 1 x 1
冀教版八年级数学上册_12.3 第2课时 分式的混合运算PPT课件
x
1
3
x2 x 1
x2 9
(
x
3)2
x3 (x 3)2
x 1 x2
x2 9 x 3 x 1 (x 3)2 x 2
x2 x 6 (x 3)2
x 1 x2
(x
3)(x (x 3)2
2)
x ，原式= 1 .
3
课堂小结
分式的混合运算法则 先算乘除，再算加减；如果有括号先算括号内的.
b2 (a b)
b2 (a b)
= 4ab b2 (a b)
= 4a b(a b)
=
4a ab b2
.
问题2
计算： 1
x
1
1
x
x 2
1
.
解：方法一：
1
1 x 1
x x2 1
= x 11 x x 1 x2 1
= x (x 1)(x 1) x 1;
x 1
x
方法二：1
1 x 1
x x2 1
= 1
1 x 1
x2 1 x
=1 x2 1 1 (x 1)(x 1) = x2 1 x 1 = x2 x x 1.
x x 1
x
xx
x
分式的混合运算法则 先算乘除，再算加减；如果有括号先算括号内的.
注意 （1）对应分式的混合运算，应先将除法转化为乘法运 算，异分母相加减转化为同分母相加减.有括号的先算 括号里面的； （2）有理数的运算顺序及运算律对分式运算同样适用.
AC AC. BB B
讲授新课
一 分式的混合运算
问题1
计算：
2a b
2
a
1
b
a b
人教版八年级上册数学分式混合运算的技巧专题
2＝－12.
[2019·枣庄]先化简，再求值：x2x－2 1÷x－1 1＋1，其中，x 为整数且满足 不等式组x5－－12＞x≥1，－2.
解：原式＝（x＋1）x（2 x－1）÷1＋x－x－1 1＝（x＋1）x（2 x－1）·x－x 1＝x＋x 1，
解不等式组，得 2＜x≤72，∵x 为整数，∴x＝3， ∴原式＝x＋x 1＝3＋3 1＝34.
[2019·遂宁]先化简，再求值：a2－a22－abb＋2 b2÷a2－a ab－a＋2 b，其中 a，b 满
足(a－2)2＋ b＋1＝0. 解：原式＝（a＋（ba）－（b）a－2 b）÷a（a－ a b）－a＋2 b＝aa－＋bb·a－1 b－a＋2 b＝－a＋1 b.
∵(a－2)2＋ b＋1＝0， ∴a＝2，b＝－1，∴原式＝－1.
[2019·本溪]先化简，再求值：(a2－a2－4a4＋4－2－1 a)÷a2－2 2a.其中 a 满足 a2 ＋3a－2＝0.
解：原式＝（a－（2a）－（2）a＋2 2）＋a－1 2·a（a－ 2 2） ＝aa＋ －22＋a－1 2·a（a－ 2 2）＝aa＋ －32·a（a－ 2 2） ＝a（a2＋3）＝a2＋2 3a， ∵a2＋3a－2＝0，∴a2＋3a＝2，
[2019·达州]先化简：(xx2＋－22x－x2＋x－4x1＋4)÷4－x x，再选取 一个适当的 x 的值代入求值．
解：原式＝x（xx－＋22）－（xx＋－21）2·4－x x ＝xx2－（4x－＋x22）＋2x·4－x x ＝x（xx－＋42）2·4－x x＝（x－＋12）2.
当 x＝1 时，原式＝－19.
计算：(1)x－3x4y＋4xy＋－yx－x－7y4y； (2)x－x2 1－x－1；
分式的混合运算
分式的混合运算一、知识回忆1.分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 分式除法法则：分式除以分式，把除式．．的分子、分母颠倒位置后，与被除式 .. 即：a cb d ⋅=； a cb d ÷= = . 2.分式的乘方：()n a b=nn a b .3.分式的加、减法法则：同分母的分式相加， ；异分母的分式相加， .即： = a b a b c c c ±±； = =a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±±.二、知识的运用（练习例题） 例1、计算（1）231649a b b a ⋅ （2）2222524ab a bc cd -÷（3）2222255343m n p q mnp pq mn q ⋅÷ （4）)2(216322b aa bc ab -⋅÷（5）22232()()2a b ab c cd d a ÷⋅- （6）3423232263()()ab a c c d b b--÷⋅(1)221642816282a a a a a a a ---÷⋅++++ （2）226(3)(2)(3)443x x x x x x x-+-÷+⋅-+-（3）x y y x x y y x -÷-⋅--9)()()(3432 （4）22222)(x y x xy y xy x x xy -⋅+-÷-例3、计算 （1）231 33x x x --- （2）22142x x x +--（3）2232 2(2)m n m mn m n m n ----- （4）223693x xx x x x---++（5）233x x x --- （6）22222222a b b ab a b a b a b ++-+--.（1）22211()x y x y x y x y +÷-+- （2）2()224a a aa a a-÷-+-（3）74(3)3xx x x -+-÷- （4）265(2)22x x x x -÷----（5）2222124()244a a a a a a a a a a +----⋅÷--+ （6）2222421()(1)4441x x x x x x x +--+⋅---+-三、问题探究例5、先化简，再求值：（1）222111a a aa a ++---，其中1a =+. （2）53(2)224x x x x ---÷++，其中2x =．例6、根据下列条件求值（1）2221412211a aa a a a--⋅÷+-+-，其中a满足20a a-=.（2）已知:2:3x y=，求2222()()x y x y xx yxy x y--÷[+]÷的值.（3）已知2317x xx++=，求4221x xx++的值.例7、先化简22122()121x x x xx x x x----÷+++，再给x取一个值，求这个代数式的值.例8、若等式4815(1)(5)A B xx x x x-+=+-+-成立，求实数A、B的值.四、（附加题）1.如图，△ABC 中，∠BAC =120°，D 是BC 边的中点，且AD ⊥AC.求证：AC =12AB.2.如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =108°， BD 平分∠ABC 交AC 于D. 求证：AB + CD =BC.CC。
分式的加减乘除混合运算
例2.计算：
1.
2 3x
x
2
y
x y 3x
x
y
x
x
y
分析与解：
巧用分配律
原式
2 3 x
x
2
y
x y 3x
(x
y )
•
x
x
y
2 3x
2
1 3x
1
•
x
x
y
2• x x y
2x x y
2.
(m
2
n)3
1 m
1 n
m2
1 2mn
n2
1 m2
1 n2
mn
m3n3
例1.(1) ( a 2b )3 •（ c ）2 • ( bc )4 c ab a
解：(1)原式 (a 2b)3 • c2 • (bc)4
(c)3 (ab)2
a4
分子、分 母分别乘 方
a6b3 c2 b4c4 ••
c3 a2b2 a4 b5c3
（2）( a
b)3
a2 (
b2
)2
2a
ab3
分析与解：原式
(m
2
n)3
mn mn
(m
1
n)2
m2 m
n2 n2 2
m3n3 mn
(m
2
n)2
1 mn
(m
1
n)2
m2 n2 m2n2
m3n3 mn
2mn m2 n2 mn (m n)2 (m n)2 m n
2mn m2 n2 mn (m n)2 m n mn
(a b)3 • a2b6 8a3 (a2 b2 )2
八年级数学分式的混合运算
1.解法一： a 1 4 a a2 2 2 2 a 2a a 4a 4 a 2a
a 4 a ( a 1) a 2a 2 a ( a 2) 4a
2 2
a4 a ( a 2) 2 a ( a 2) 4a
6
3
2
4
4
b c
5
3
ab 3 a b 2 ) ( ) （2） ( 3 2a ab
2 2
(a b) ab 2 3 2 2 8a (a b ) 3 2 6 (a b) ab 3 2 2 8a (a b) (a b)
3 2 6
b (a b) 2 8a ( a b )
a2 a 1 4 a 1. 2 2 2 a 2a a 4a 4 a 2a x 3 5 2. ( x 2) 2x 4 x 2 x2 x 4 3. 2 2 x x x 4x 4 x 2x 2 4 a 8 a a 1 a 1 4. 2 a a 2 a 1 a 1
1 a2
1.解法二：
a 1 4 a a2 2 2 2 a 2a a 4a 4 a 2a 2 2 a 2 a 2a a 1 a 2a 2 2 a 2a 4 a a 4a 4 4 a a 2 a 1 a = …… 4a a2 4a 1 a2
巧用公式
2a 2 a b2
繁分式的化简：1.把繁分式些成 分子除以分母的形式，利用除法法则 化简；2. 利用分式的基本性质化简。
1 1 1 a 例4. 1 1 a 1
1 1 解法1， 原式 (1 ) (1 ) 1 a a 1 a a 1 a a 1 a 1 a1