2017年南通市数学学科基地命题高考模拟试卷(2)(含详解)

2017年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1． 若集合2{|11},{|20}M x x N x x x =-≤≤=-≤，则MN = ▲ ．2． 已知复数(2)z i i =--，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限. 3． 某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 ▲ ．4． 双曲线22132x y -=的离心率为 ▲ ． 5． 执行右边的伪代码后，输出的结果是 ▲ ．6． 从2个黄球，2个红球，一个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的 概率是 ▲ ．7． 若一个圆锥的母线长为2，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为 ▲ ． 8． 在等比数列{}n a 中，已知3754,2320a a a =--=，则7a = ▲ ． 9． 若函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f ln )(=，则不等式e xf -<)(的解集为 ▲ ．10. 已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．11．设函数π()π)3f x x =+和π()sin(π)6g x x =-的图象在y 轴左、右两侧靠近y 轴的交点 分别为M 、N ，已知O 为原点，则OM ON ⋅= ▲ ．12．若斜率互为相反数且相交于点(1,1)P 的两条直线被圆O ：224x y +=所截得的弦长之比为2，则这两条直线的斜率之积为 ▲ ． 13． 设实数1m ≥，不等式||2x x m m -≥-对[1,3]x ∀∈恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 14．在斜三角形ABC 中，若114tan tan tan A B C+=,则sinC 的最大值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）己知向量(1,2sin ),(sin(),1)3a b πθθ==+，R θ∈．(1)若a b ⊥，求tan θ的值：(2)若//a b ，且(0,)2πθ∈，求以||a 、||b 为边，夹角为θ的三角形的面积．xyAB CO16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P - ABC 中，已知平面PBC ⊥平面ABC ． (1)若AB ⊥BC ，CP ⊥PB ，求证：CP ⊥PA ：(2)若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l //平面PBC ．17.(本小题满分14分）如图，ABCD 是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一半径为90米的底面为扇形 小山（P 为圆弧TS 上的点），其余部分为平地.今有开发商想在平地上建一个两边落在BC 及 CD 上的长方形停车场PQCR ..（1）设PAB θ∠=,试将矩形PQCR 面积表示为θ的函数； （2）求停车场PQCR 面积的最大值及最小值. .18．(本小题满分14分）如图，点A （1，3）为椭圆1222=+ny x 上一定点，过点A 引两直线与 椭圆分别交于B 、C 两点.（1）求椭圆方程;（2）若直线AB 、AC 与x 轴围成以点A 为顶点的等腰三角形.()i 求直线BC 的斜率；()ii 求△ABC 的面积最大值，并求出此时直线BC 的方程.19．(本小题满分16分）已知数列{n a }中，121,a a a ==，且12()n n n a k a a ++=+对任意正整数n都成立，数列{n a }的前n 项和为Sn.（1）若12k =，且20172017S =，求a ； （2）是否存在实数k ，使数列{n a }是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由； （3）若1,2n k S =-求.20．(本小题满分16分）已知函数'()ln ,()f x x a x f x =+为()f x 的导数，()f x 有两个零点1212,,()x x x x < ，且1202x x x +=.（1）当3a =-时，求 ()f x 的单调区间；（2）证明：'0()0f x > ；（3）证明：02(,),t x x ∃∈使得'020()()f x f t x x =--.第II 卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．. A ，（选修4-1；几何证明选讲）如图，AB 为圆O 的切线，A 为切点，C 为线段AB 的 中点，过C 作圆O 的割线CED （E 在C ，D 之间）.求证：∠CBE =∠BDE ．B ．（选修4-2：矩阵与变换） 已知矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a A 203，A 的逆矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-10311b A （1）求a,b 的值；（2）求A 的特征值.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程） 己知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为532cos 272sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下， 圆N 是以点3,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，且过点)2,2(π的圆．（1）求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； （2）求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．D ．（选修4-5：不等式选讲）已知x,y,z 都是正数且xyz =8,求证：(2+x )(2+y )(2+z )≥64【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．甲、乙两人投篮命中的概率为别为与，各自相互独立，现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后，甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．23．对于给定的大于1的正整数n ，设2012n n x a a n a n a n =++++，其中i a ∈{0,1,2,,1n -}，1,2,,0,,1i n n =-，且0n a ≠，记满足条件的所有x 的和为A n .（1）求A 2（2）设n A =(1)()2n n n f n -，求f （n ）.2017年高考模拟试卷(2)参考答案一、填空题1．[]0,1 2．四 3．16 43 5．286． 4/5. 1—（2222C C +）/25C =4/5 .7．.圆锥母线长2，可求底面半径为1，故高. 8． 64. 先得公比q 2=4,知7a =64 .9． (,-∞-e). 11()ln 1,(0,),(,),().f x x f e e e e'=++∞=为减区间为增区间 由于)(x f 是奇函数，结合函数图像得，不等式的解集是(,-∞-e) . 10. [1,7].根据可行域知，目标函数化为z=x-y+3(去掉绝对值是关键） 11． -8/9.令f(x)-g(x)=0,化简得2sin()0,,,66x x k k Z πππππ+=+=∈则15(,(, -)6262M N -，故OM ON ⋅=158(,(, -)=-62629-⋅12. -9或-1/9.设斜率为k,-k,则两条直线方程为kx-y+1-k=0,kx+y-1-k=0,两条弦心距为12d d ==，弦长12l l ==代入弦长之比 得231030k k -+=，求出k=3,或k=-1/3,故结果为-9或-1/9.13． 7(1,2][,)2+∞.（1）当12m ≤≤时，不等式显然成立；（2）当3m ≥时，由1(1)32(2)3m m m m -≥-⎧⎨-≥-⎩得72m ≥；（3）当23m <<时，由02m ≥-得m<2, 矛盾， 综上，7[1,2][,)2m ∈+∞..切化弦得22232()c a b =+，222221cos 263a b c a b C ab ab +-+==≥，于是知sinC 二、解答题15．(1)因为⊥a b ，所以=0⋅a b ，所以π2sin sin 03θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即5sin 022θθ+=．因为cos 0θ≠，所以tan 5θ=-．(2)由a ∥b ，得π2sin sin 13θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即2ππ2sin cos2sin cos sin 133θθθ+=，即()131cos 2sin 2122θθ-+=， 整理得，π1sin 262θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 又π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2,666θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以ππ266θ-=，即π6θ=． 所以三角形的面积=2112sin 3022=16．（1）因为平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC平面ABC BC =，AB ⊂平面ABC ，AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面PBC ． 因为CP ⊂平面PBC ，所以CP ⊥AB .又因为CP ⊥PB ，且PBAB B =，,AB PB ⊂平面PAB , 所以CP ⊥平面PAB ，又因为PA ⊂平面PAB ， 所以CP ⊥PA ．（2）在平面PBC 内过点P 作PD ⊥BC ，垂足为D ．因为平面PBC ⊥平面ABC ，又平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，PD ⊂平面PBC ，所以PD ⊥平面ABC ．又l ⊥平面ABC ，所以l //PD ． 又l ⊄平面PBC ，PD ⊂平面PBC ， 所以l //平面PBC ．17.(1)S P Q C R ＝f （θ）＝（100－90cos θ）（100－90sin θ）＝8100sin θcos θ－9000（sin θ＋cos θ）＋10000 , θ∈[0，2π]. （2）由（1）知S P Q C R ＝f （θ）＝8100sin θcos θ－900（sin θ＋cos θ）＋10000 ,θ∈[0，2π] .令sin θ＋cos θ＝t ，则t ＝2sin （θ＋4π）∈[1， 2]. ∴S P Q CR ＝28100t 2－9000t ＋10000－28100当t ＝910时，S P Q CD 最小值为950（m 2）当t ＝2时，S P Q CD 最大值为14050－90002 （m 2）.答:停车场面积的最大值和最小值分别为 14050－90002 （m 2）和950（m 2）.APC BDxyAB CO18． (1)把点A （1，3）代入1222=+n y x 得n ＝6，故椭圆方程为22126x y +=. （2）（i ）显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x 轴垂直， 因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为1k 、2k ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-162)1(3221y x x k y得点B 的横坐标为33261211++-=k k x （1=x 为点A 的横坐标），∴点B 的纵坐标为3632321121++-=k k k y ，即)36323,33261(21121211++-++-k k k k k B . 同理可得点C 的坐标为)36323,33261(22222222++-++-k k k k k C ∵ 021=+k k ,∴ 直线BC 的斜率为3=BC k .(ii)设直线BC 的方程为m x y +=3，代入方程16222=+y x 得0632622=-++m mx x ， ∴ 212332||m BC -=又点A 到直线BC 的距离为2||m d =∴ 36)6(63)12(63||212222+--=-=⋅=m m m d BC S ∴ 当62=m ，即6=m 或6-=m 时，△ABC 面积取得最大值为3.此时，直线BC 的方程为63±=x y .19．⑴12k =时，121()2n n n a a a ++=+，211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 是等差数列， 此时首项11a =，公差211d a a a =-=-，数列{}n a 的前n 项和是1(1)(1)2n S n n n a =+--，故12017201720172016(1)2a a =+⨯⨯-，得1a =；⑵设数列{}n a 是等比数列，则它的公比21a q a a ==，所以1m m a a -=，1m m a a +=，12m m a a ++=， ①若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+，解得1a =，不合题意；②若m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+，化简得：220a a +-=，解得2a =-,1a =（舍去）；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ③若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112m m m a a a +-=+，化简得：2210a a --=，解得12a =-；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； 综上可得，满足要求的实数k 有且仅有一个，25k =-； ⑶12k =-则121()2n n n a a a ++=-+， 211()n n n n a a a a ++++=-+，32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+，当n 是偶数时， 12341n n n S a a a a a a -=++++++12341()()()n n a a a a a a -=++++++12()(1)22n na a a =+=+， 当n 是奇数时， 12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++1231()2n a a a -=++1121[()]2n a a a -=+-+11(1)2n a -=-+，1n =也适合上式， 综上可得，n S ⎧=⎨⎩11(1),2(1),2n a n a --++n n 是奇数是偶数．20．(1) '3()3ln ,()x f x x x f x x-=-=，可得f (x)的单调减区间为（0,3），单调增区间为（3，+∞）. (2) 设2(1)()ln (1)1x x x x x ϕ-=->+，可证此函数在（1，+∞）是增函数，且(1)0ϕ>，令211x x x =>，代入得到211221ln ln 2x x x x x x -+<-，D而由21112221ln ,ln ln ln x x x a x x a x a x x -=-=-⇒=-->122x x +-,故有12''12012122(22()(1102x x x x af x f x x x x +-+==+>+=++. (3)令2200()ln()x G x x x x x =--，'2020(,),()ln 0,xx x x G x x ∈=>G(x)是增函数， 令201x t x =>，则有0022()[ln (1)]01()[ln (1)]0G x x t t G x x t t =--<⎧⎪⎨=-->⎪⎩（用到lnx<x-1）, 由零点定理知，存在02(,),()0t x x G t ∈=， 即20202020ln ln ln ln 111x x x x aa tx x t x x --=⇔+=+--即'020()()f x f t x x =--.第II 卷（附加题，共40分）21.A .因为CA 为圆O 的切线，所以2CA CE CD =⋅， 又CA CB =， 所以2CB CE CD =⋅， 即CB CDCE CB=， 又BCD BCD ∠=∠， 所以BCE ∽DCB ， 所以∠CBE =∠BDE ．B ．（1）因为A A －1＝⎣⎡⎦⎤302a ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0 b 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 023＋ab a ＝⎣⎡⎦⎤1001．所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，23＋ab ＝0．解得a ＝1，b ＝－23． （2）由（1）得A ＝⎣⎡⎦⎤3021，则A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－30－2 λ－1＝(λ－3)( λ－1)．令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝1，λ2＝3． C ．（1）⊙M ：22537()()422x y -+-=，(3,)3π对应直角坐系下的点为33(,)22, (2,)2π对应直角坐系下的点为(0,2)，∴⊙N ：2233()()122x y -+-= （2）PQ =MN -3=431-=.D ．因为x 为正数，所以2＋x ≥22x ．同理 2＋y ≥22y ，2＋z ≥22z ．（5分）所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥22222288x y z xyz = 因为xyz ＝8， 所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥64．22．( 1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个，有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球． 比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率： p=++=．（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3， P （ξ=0）=+++==，P （ξ=1）=+++=，P （ξ=3）==，P （ξ=2）=1﹣P （ξ=0）﹣P （ξ=1）﹣P （ξ=3）=1﹣=，∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 PEξ==1．11 23．⑴当2n =时，01224x a a a =++，0{0,1}a ∈，1{0,1}a ∈，21a =， 故满足条件的x 共有4个，分别为004x =++，024x =++，104x =++，124x =++, 它们的和是22．⑵由题意得，0121,,,,n a a a a -各有n 种取法；n a 有1n -种取法，由分步计数原理可得0121,,,,n a a a a -,n a 的不同取法共有 (1)(1)n n n n n n n ⋅⋅⋅-=-，即满足条件的x 共有(1)n n n -个，当0a 分别取0,1,2,,1n -时，121,,,n a a a -各有n 种取法，n a 有1n -种取法，故n A 中所有含0a 项的和为21(1)(0121)(1)2n n n n n n n --++++--=； 同理，n A 中所有含1a 项的和为21(1)(0121)(1)2n n n n n n n n n --++++--⋅=⋅； n A 中所有含2a 项的和为2122(1)(0121)(1)2n n n n n n n n n --++++--⋅=⋅； n A 中所有含1n a -项的和为2111(1)(0121)(1)2n n n n n n n n n n n ----++++--⋅=⋅； 当n a 分别取1,2,,1i n =-时，0121,,,,n a a a a -各有n 种取法，故n A 中所有含n a 项的和为1(1)(121)2n n n n n n n n n n +-+++-⋅=⋅； 所以n A =2121(1)(1)(1)22n n n n n n n n n n n n +---+++++⋅； 21(1)1(1)212n n n n n n n n n n n +---=⋅+⋅-1(1)(1)2n n n n n n n +-=+- 故1()1n n f n nn +=+-．。