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专题09分式方程(2大考点4种题型)(原卷版)
专题09分式方程（2大考点+4种题型）思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一：分式方程及其解法考点二：分式方程应用题题型一：分式方程的解法题型二：根据分式方程解的情况求值题型三：分式方程无解问题题型四：分式方程的实际应用考点一：分式方程及其解法1、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2、解分式方程的方法通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解．3、增根的概念分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根．4、解分式方程的一般步骤（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．5、分式方程组的概念由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组．6、解分式方程组的方法找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验．考点二：分式方程应用题列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系”（1）利用题目中的关键语句寻找相等关系；（2）利用公式、定理寻找相等关系；（3）从生活、生产实际经验中寻找相等关系．题型一：分式方程的解法题型二：根据分式方程解的情况求值题型三：分式方程无解问题值．题型四：分式方程的实际应用【例4】．（2022下·上海·八年级上海市田林第三中学校考期中）5G的速度很快，比4G速度每秒多95MB，一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒，求5G的速度．【变式1】．（2022下·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）若A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，且甲比乙早出发2小时．如果乙比甲每小时多行2千米，那么两人恰好在AB中点相遇．求甲、乙两人的速度各是每小时多少千米？【变式2】．（2022下·上海普陀·八年级校考期中）一项工程，如果甲、乙两队单独完成，甲队比乙队多用5天，如果甲、乙两队合作，6天可以完成.求两队单独完成此项工程各需多少天？【变式3】．（2023下·上海静安·八年级统考期末）某公司先从甲地用9000元购买了一批商品，后发现乙地同一商品每件比甲地便宜，因此又用12000元从乙地补购了一批同样的商品．公司按每件200元售完这两批商品后，共赚了11000元．(1)设该公司从甲地购进x件商品，请用含字母x的代数式表示从乙地购进的商品件数是______；(2)如果乙地同一商品每件比甲地便宜30元，求该公司分别从甲乙两地购进这种商品各多少件．A．1-B．3C．1-或3D．无法确定22．（2023下·上海黄浦·八年级校考阶段练习）甲乙两人各加工30个零件，甲比乙少用1小时完成任务；乙改进操作方法，使生产效率提高了一倍，结果乙完成30个零件的时间比甲完成24个零件所用的时间少1小时．问甲乙两人原来每小时各加工多少个零件．23．（2022下·上海·八年级期末）学校到学习基地的公路距离为15千米，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘坐汽车出发，结果他们同时到达，如果汽车的平均速度与自行车的平均速度的比是3:1，问：汽车与自行车的平均速度分别是多少？24．为庆祝“六一”活动,镇活动中心需要600个环保纸袋,原计划由初二(1)班全体同学制作完成、在实际制作时,又有初二(2)班10名同学自愿加入参与制作,这样,实际参加制作的同学人均制作的数量比原计划少5个,那么初二(1)班共有多少名同学?25．（2021下·上海·八年级上海市西南模范中学校考期中）学校开展“书香校园”活动，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费了10000元，购买文学类图书花费了9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普类图书的数量比购买文学类图书数量少100本，科普类图书平均每本的价格是多少元？26．（2022下·上海宝山·八年级校考阶段练习）如图反映了甲、乙两名自行车爱好者同时骑车从A 地到B 地进行训练时行驶路程y （千米）和行驶时间x （小时）之间关系的部分图像，根据图像提供的信息，解答下列问题：（1）求乙的行驶路程y 和行驶时间x ()13x ≤≤之间的函数解析式；（2）如果甲的速度一直保持不变，乙在骑行3小时之后又以第1小时的速度骑行，结果两人同时到达B 地，求A 、B 两地之间的距离．。
分式的专项训练
分式专项训练【题型1：分式基本性质的理解应用】1．（辨析题）不改变分式的值，使分式y x yx 913110151+-的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（ ）A ．10B ．9C ．45D ．902．（探究题）以下等式：①()c b a c b a --=--；②xyx x y x -=-+-；③c b a c b a +-=+-；④mnm m n m --=--中，成立的是（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④3．（探究题）不改变分式3253232-+-+-x x xx 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，准确的是（ ）A ．2252332-+++x x x xB ．3252332-++-x x x xC ．3252332+--+x x x xD ．3252332+---x x x x【题型2：分式的约分】4．（辨析题）分式a x y 434+，1142--x x ，yx y xy x ++-22，2222b ab ab a -+中是最简分式的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．（技能题）约分：（1）99622-++x x x ； （2）mm m m -+-2223．（3）222693b ab a ab a +-- （4）ba b a b a 2442222++--知识点二：分式的乘除法 1.以下运算准确的是（ ）A.326x x x =B.0=++y x y xC.1-=-+-y x y xD.bax b x a =++2.以下分式运算，结果准确的是（ ）A 、n m m n n m =⋅3454B.bc ad d c b a =⋅ C 、222242b a a b a a -=⎪⎭⎫⎝⎛- D.3334343y x y x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 3.已知0≠-b a ，且032=-b a ，则代数式ba ba --2的值是（ ） A.-12 B.0 C.4 D.4或-124.已知72=y x ，则222273223yxy x y xy x +-+-的值是（ ） A.10328 B.1034 C.10320 D.1037 5.如果1-=x xy ,那么用y 的代数式表示x 为（ ）A.1+-=y y x B.1--=y y x C.1+=y y x D.1-=y y x 7.若将分式x x x +22化简得1+x x，则x 应满足的条件是（ ）A.0>xB.0<xC.0≠xD.1-≠x8.计算：(1)222210522y x ab b a y x -⋅+； （2）44246322+++÷--x x x x x（3）91629968122+⋅+-÷++-a a a a a a （4）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-÷-÷+--a b ab b a a b ab aba 222222（5）62296422+-÷++-a a a a a （6）()()y x y x y x y x x y x y ++÷-+--22229、若m 等于它的倒数，求分式22444222-+÷-++m mm m m m 的值。
资料---分式方程应用题归类及常见题型
列分式方程解应用题的常见类型分析列分式方程解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题的思考和处理过程是类似的，只是多了对分式方程的根的检验。
这里的检验应包括两层含义：第一，检验得到的根是不是分式方程的根；第二，检验得到的根是不是使实际问题有意义。
一、路程问题：这类问题涉及到三个数量：路程、速度和时间。
它们的数量关系是：路程=速度×时间。
列分式方程解决实际问题要用到它的变形公式：速度=路程/时间，时间=路程/速度。
例1 A、B两地相距60千米。
甲骑自行车从A地出发到B地，出发1小时后，乙骑摩托车也从A地出发到B地，且比甲早到3小时。
已知乙的速度是甲的3倍，求甲、乙的速度。
相等关系：二、工程问题这类问题也涉及三个数量：工作量、工作效率和工作时间。
它们的数量关系是：工作量=工作效率×工作时间。
列分式方程解决实际问题用它的变形公式：工作效率=工作量/工作时间。
特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，工作效率=1/工作时间。
例2某项工作，甲、乙两人合作3天后，剩下的工作由乙单独来做，用1天即可完成。
已知乙单独完成这项工作所需天数是甲单独完成这项工作所需天数的2倍。
甲、乙单独完成这项工作各需多少天？相等关系：三、销售问题:解决这类问题，首先要弄清一些有关的概念：商品的进价：商店购进商品的价格；商品的标价：商店销售商品时标出的价格；商品的售价：商店售出商品时的实际价格；利润：商店在销售商品时所赚的钱；利润率：商店在销售商品时利润占商品进价的百分率；打折：商店在销售商品时的实际售价占商品标价的百分率。
其次，还要弄清它们之间的关系：商品的售价=商品的标价×商品的打折率；商品的利润=商品的售价-商品的进价；商品的利润率=商品的利润/商品的进价。
例3 某超市销售一种钢笔，每枝售价为12元。
后来，钢笔的进价降低了4%，从而使超市销售这种钢笔的利润率提高了5%。
这种钢笔原来每枝进价是多少元？本题中的主要等量关系：练习：1.某地为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？2.甲乙两车在A、B两城间连续往返行驶，甲车从A城出发，乙车从B城出发，且比甲车早出发1小时，两车在途中分别距离200千米和240千米的C处第一次相遇。
分式方程应用题题型
分式方程应用题的常见类型题型1 工程问题1、政府计划对运动公园进行改造，这项工程先由甲工程队施工10天，完成了公园工程的1/4，为了加快工程进度，乙工程队也加入了施工，甲乙两工程队合作完成了剩下的工程，求乙工程队单独完成这项工程需要几天？解：设乙工程队单独完成需要x 天1114110420x x +=-= 经检验20x =是原方程的根所以乙工程队单独完成这项工程需要20天。
2、某工程队修建一条1 200 m 的道路，采用新的施工方式，工效提高了50%，结果提前4天完成任务．(1)求这个工程队原计划每天修建道路多少米？(2)在这项工程中，如果要求工程队提前两天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？解：(1)设这个工程队原计划每天修建道路x 米，得1 200x ＝ 1 200（1＋50%）x ＋4，解得x ＝100.经检验，x ＝100是原方程的解．答：这个工程队原计划每天修建100 m .(2)设实际平均每天修建道路的工效比原计划增加y%，可得1 200100＝ 1 200100＋100y%，解得y ＝20.经检验，y＝20是原方程的解．答：实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之二十．3、一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102 000元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用的时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1 500元．(1)甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？(2)若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？解：(1)设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天．根据题意，得1 x＋11.5x＝112，解得x＝20，经检验，x＝20是方程的解且符合题意．1．5x＝30.答：甲公司单独完成此项工程需20天，乙公司需30天．(2)设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为(y－1 500)元，根据题意，得12(y＋y－1 500)＝102 000，解得y＝5 000.甲公司单独完成此项工程所需的施工费为20×5 000＝100 000(元)；乙公司单独完成此项工程所需的施工费为30×(5 000－1 500)＝105 000(元)．∴甲公司的施工费较少．类型2 行程问题1、甲、乙两同学与学校的距离均为3 000米，甲同学先步行600米然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的12，公交车速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．(1)求乙骑自行车的速度．(2)当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？解：(1)设乙骑自行车的速度为x 米/分钟，则甲步行速度是12x 米/分钟，公交车的速度是2x 米/分钟，根据题意，得60012x＋3 000－6002x＝3 000x －2， 解得x ＝300.经检验，x ＝300是方程的解．答：乙骑自行车的速度为300米/分钟．(2)300×2＝600(米)．答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．2、从贵阳到广州，乘特快列车的行程约为1 800 km ，高铁开通后，高铁列车的行程约为860 km ，运行时间比特快列车所用的时间减少了16 h ．若高铁列车的平均速度是特快列车平均速度的2.5倍，求特快列车的平均速度．解：设特快列车的平均速度为x km/h，根据题意可列出方程为1 800 x＝8602.5x＋16，解得x＝91.检验：当x＝91时，2.5x≠0.所以x＝91是方程的解．答：特快列车的平均速度为91 km/h.类型3销售问题1、某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用的文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1 936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1 936元．请问该学校九年级学生有多少人？解：设九年级学生有x人，根据题意，得1 936x×0.8＝1 936x＋88，整理得0.8(x＋88)＝x，解得x＝352.经检验，x＝352是方程的解．答：这个学校九年级学生有352人．2、华昌中学开学初在金利源商场购进A、B两种品牌足球，购买A品牌足球花费了2 500元，购买B品牌足球花费了2 000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A 品牌足球多花30元．(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；(2)华昌中学为响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A 、B 两种品牌足球共50个．恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，A 品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B 品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果这所中学此次购买A 、B 两种品牌足球的总费用不超过3 260元，那么华昌中学此次最多可购买多少个B 品牌足球？解：(1)设购买一个A 品牌足球需x 元，则购买一个B 品牌足球需(x ＋30)元，根据题意，得2 500x ＝2 000x ＋30×2，解得x ＝50.经检验，x ＝50是原方程的解．则x ＋30＝80.答：购买一个A 品牌足球需50元，购买一个B 品牌足球需80元．(2)设本次购买a 个B 品牌足球，则购进A 品牌足球(50－a)个，根据题意，得50×(1＋8%)(50－a)＋80×0.9a ≤3 260，解得a ≤3119.∵a 取正整数，∴a 最大值为31.答：此次华昌中学最多可购买31个B 品牌足球．3、(常德中考)某服装店用4 500元购进一批衬衫，很快售完．服装店老板又用2 100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．(1)这两次各购进这种衬衫多少件？(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1 985元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？解：(1)设第二次购进衬衫x 件，则第一次购进衬衫2x 件，根据题意，得4 5002x －2 100x ＝10，解得x ＝15.经检验，x ＝15是此方程的解，则2x ＝30.答：第一次购进衬衫30件，第二次购进衬衫15件．(2)设第二批衬衫每件售价为y 元，根据题意，得30×(200－4 50030)＋15(y －2 10015)≥1 985，解得y ≥17213.答：第二批衬衫每件至少要售17213元．。
初二数学八上第十五章分式知识点总结复习和常考题型练习.doc
第十五章分式二、知识概念：A1•分式：形如一，A 、B 是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫 B做分式的分子，3叫做分式的分母. 2. 分式有意义的条件：分母不等于0.3. 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值 不变.4. 约分：把一个分式的分子和分母的公因式（不为1的数）约去，这种变形称为约分.5. 通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6. 最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 7. 分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减•用字母表示为：a .b a±b—士 —— ---C C C⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同ci c ad + cb分母分式的加减法法则进行计算•用字母表示为： -±-=b d bd ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为n r CLC积的分母•用字母表示为：-x- = —b d bd⑷分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字 e 士一“ a c a d ad 母表不为： 5 = —X —=b d bc be/ 、川n⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方•用字母表示为：兰=二0丿b n8. 整数指数幕：列式实际问题分式类比分 数性质列方程｛分氏丽目标分式基本性质|类比分数輕分式的运算去分每整式戈程H 标；-］分'式方程的解-检矍解整式方程转式方租的解Wa m xa H =a m+n 5、n是正整数）⑵（/）" = /"（加、斤是正整数）⑶（ah）n =a n h n（〃是正整数）⑷ a m a n = a tn^n（QH O, m> 刃是正整数，m> n）（5）［-| =—（〃是正整数）⑹b n（6）«-w =—（dH（）, n 是正整数）a n9.分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法：①去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）；②按解整式方程的步骤求出未知数的值；③验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根）.常考例题精选1. （2015 •宜昌屮考）若分式二有意义，则a的取值范围是（） a+1A.a=0B. a=lC. aHTD. aHO2-（2015 •丽水中考）把分式方程丘三转化为-元-次方程时，方程两边需同乘A. xB. 2xC. x+4D. X （x+4）3.（2015 •宜宾中考）分式方程芫-令匕的解为（）X2-9 x-3 x+3A. 3B. -3C.无解D. 3 或-34.（2015 •海南中考）今年我省荔枝喜获丰收，有甲、乙两块而积相同的荔枝园,分别收获荔枝8 600kg 和9 800kg,甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg,问甲 荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg?设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg,根据题意, 可得方程（）8 600 9 800 X X+60 8 600_9 800 x-60 x5-（2015 •河池中考）若分式幺有意义，则x 的取值范围是 --------------6. （2015 •白银中考）若代数式丄-1的值为零，则x 二X-1-----------------------7. （2015 •齐齐哈尔中考）若关于x 的分式方程三二壬-2有非负数解，则a 的取x-1 2x-2值范围是 ___________ .9. （2015 •连云港中考）先化简，再求值:_iv m^-Zmn+n^ 其中旷一3,旷5.m n/ mn10. （2015 -凉山州中考）某车队要把4000t 货物运到雅安地震灾区（方案定后，每天的运量不变）.（1）从运输开始，每天运输的货物吨数n （单位：t ）与运输时间t （单位：天）之间 有怎样的函数关系式？8 600 9 800 X X-60 8 600_9 800 x+60 x8. （2015 •呼和浩特中考）化简:（2）因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%,则推迟1天完成 任务，求原计划完成任务的天数.11. （2015 •重庆中考）先化简，再求值：（乎-岂片泊三石，其中x 是不等式 3x+7>l 的负整数解.12. （2015 •玉溪中考）某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师 去购买一些篮球和排球•回校后，王老师和李老师编写了一道题：同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元?13. （2015 •娄底屮考）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的 垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4 800元.已知 甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，>1.乙车每趟运费比甲 车少200元.（1） 求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？ （2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？李老师说:“用1000元购买的排球个数和 用1600元购买的蓝球个數相等:“篮球的单价比排球的单价多：・）元”1・（2015-黔西南州）分式七有意义，则x 的取值范围是（）X 1A ・x>lB ・xHl C. x<l D ・一切实数 2 •下列各分式与?相等的是（）db 2 b+2 ab a+bCQ3•下列分式的运算正确的是（）a —3a -2A • a—2c B. a+2 C. ~a —3 [2_ 3 a +b —a+bB.= a+b3—a _____ 1 ^*a 2—6a+9 3 —a4 • (2015-泰安)化简(a+[二。
分式方程应用题题型大全
分式方程应用题题型大全一、营销类应用性问题例1 某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料0.5kg 少3元，比乙种原料0.5kg 多1元，问混合后的单价0.5kg 是多少元？解：设混合后的单价为0.5kg x 元，则甲种原料的单价为0.5kg (3)x +元，混合后的总价值为(2000＋4800)元，混合后的重量为x 48002000+斤，甲种原料的重量为32000+x ，乙种原料的重量为14800-x ，依题意，得：32000+x ＋14800-x =x 48002000+，解得17x =，经检验，17x =是原方程的根，所以17x =．二、工程类应用性问题例2 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共5500元．⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为x 天，y 天，z 天，可列出分式方程组．解：⑴设甲队单独做需x 天完成，乙队单独做需y 天完成，丙队单独做需z 天完成，依题意可得：116()11110()11125()3x y y zx z ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩，①，②．③①×61＋②×101＋③×51，得x 1＋y 1＋z 1=51．④ ④－①×61，得z 1=301，即z = 30， ④－②×101，得x 1=101，即x = 10，④－③×51，得y 1=151，即y = 15．经检验，x = 10，y = 15，z = 30是原方程组的解．⑵设甲队做一天厂家需付a 元，乙队做一天厂家需付b 元，丙队做一天厂家需付c 元，根据题意，得6()870010()95005()5500a b b c c a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，，．⇒800650300a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，．由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．此工程由甲队单独完成需花钱108000a =元；此工程由乙队单独完成需花钱159750b =元．所以，由甲队单独完成此工程花钱最少．评析：在求解时，把x 1，y 1，z 1分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解．三、行程中的应用性问题例3 甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度．分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等．解：设普通快车车的平均速度为x km ／h ，则直达快车的平均速度为1.5x km ／h ，依题意，得x x 6828-=x 5.1828，解得46x =，经检验，46x =是方程的根，且符合题意．∴46x =，1.569x =，即普通快车车的平均速度为46km ／h ，直达快车的平均速度为69km ／h ．列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解，要要检验是否符合题意，即满足实际意义．四、轮船顺逆水应用问题例4 轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度分析：此题的等量关系很明显：顺水航行30千米的时间= 逆水中航行20千米的时间，即顺水航行速度千米30=逆水航行速度千米20．设船在静水中的速度为x 千米／时，又知水流速度，于是顺水航行速度、逆水航行速度可用未知数表示，问题可解决．解：设船在静水中速度为x 千米／时，则顺水航行速度为(2)x +千米／时，逆水航行速度为(2)x -千米／时，依题意，得230+x =220-x ，解得10x =．经检验，10x =是所列方程的根．即船在静水中的速度是10千米／时．五、浓度应用性问题例5 要在15%的盐水40千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为20%．分析：浓度问题的基本关系是：溶液溶质=浓度．此问题中变化前后三个基本量的关系如下表：设加入盐x 千克．根据基本关系即可列方程． 解：设应加入盐x 千克，依题意，得x x ++⨯40%1540=10020．100(40×15%＋x ) = 20(40＋x )，解得25x =．． 经检验，25x =．是所列方程的根，即加入盐2.5千克． 六、货物运输应用性问题例6 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别运2a 次、a 次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180t ；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270t ．问：⑴乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍；⑵现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？(按每运1t 付运费20元计算) 分析：解题思路应先求出乙车与甲车每次运货量的比，再设出甲车每次运货量是丙车每次运货量的n 倍，列出分式方程．解：⑴设这批货物共有T t ，甲车每次运x t ，乙车每次运y t ．212a x T a y T x y ===∵，∶ ∴∶∶，即乙车每次运货量是甲车的2倍．⑵甲车每次运货量是丙车每次运货量的n 倍，乙车每次运货量是丙车每次运货量的2n 倍．则180＋n 180= 270＋n 2170，解得12n =． 所以这批货物总量为180＋180×2 = 540 (t)．∵甲车运180t ，丙车运540－180 =360 (t)，∴丙车每次运货量也是甲车的2倍．∴甲车车主应得运费：540×51×20 = 2160(元)，乙、丙两车主各得运费：540×52×20 = 4320(元)．即应付甲车主运费2160元，付乙、丙两车车主运费各4320元．1、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900千克和1500千克，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300千克，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克？2、甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地。
分式经典题型分类练习题
分式经典题型分类练习题分式的运算一、分式的定义及有关题型题型一：考查分式的定义分式的定义是指分子和分母都是代数式的算式。
例如，下列代数式中，x-y和2x+y-a+b是分式。
题型二：考查分式有意义的条件当分母不等于0时，分式才有意义。
例如，当x不等于-4时，分式(x-4)/(x+4)有意义。
题型三：考查分式的值为的条件当分式的值为0时，分子等于0.例如，当x=1或x=-3时，分式(x-1)/(x+3)的值为0.题型四：考查分式的值为正、负的条件当分式的分子和分母都大于0或者都小于0时，分式的值为正；当分子和分母符号不同，分式的值为负；当分子等于0时，分式的值为0.练：1.当分母不等于0时，下列分式有意义：1) (x-3)/(6|x|-3)2) (3-x)/[(x+1)+12]3) 1/(x^2-1)2.当分子等于0时，下列分式的值为0：1) (x+4)/(x-5)2) (25-x^2)/(x^2-6x+5)3.解不等式：1) |x|-2<=x+12) (x+5)/(x^2+2x+3)>2/(x+3)二、分式的基本性质及有关题型1.分式的基本性质：分式可以化简、加减乘除。
2.分式的变号法则：分式的分子和分母同乘或同除一个非零数时，分式的值不变；分子和分母同变号时，分式的值也不变。
题型一：化分数系数、小数系数为整数系数为了方便计算，可以把分数系数、小数系数化为整数系数，但不改变分式的值。
题型二：分数的系数变号为了方便计算，可以把分式的分子和分母的首项的符号变为正号，但不改变分式的值。
题型三：化简求值题通过化简分式，可以求出分式的值。
例如，已知(12x-3xy+2y)/(yx+2xy+y)的值为5，求1/(x*y)的值。
练：1.把下列分式的分子、分母的系数化为整数，但不改变分式的值：1) 0.03x-0.2y/0.08x+0.5y2) 3/0.4a+b/5修改后的文章：分式的运算一、分式的定义及有关题型题型一：考查分式的定义分式的定义是指分子和分母都是代数式的算式。
分式方程重点题型解析
分式易考题型※【典例剖析】例1（分式概念）（1） 当x 时，分式x -13无意义； （2）当x 时，分式392--x x 的值为零. 随堂练习11要使式子33-+x x ÷42-+x x 有意义，x 的取值应为 。
2、当x 时，分式33+-x x 的值为0。
3、使分式1122+-a a 有意义的a 的取值是（ ） A 、a ≠1 B 、a ≠±1 C 、a ≠－1 D 、a 为任意实数4、当x = －3时，下列分式中有意义的是（ ）A 、33-+x xB 、33+-x x C 、)2)(3()2)(3(--++x x x x D 、)2)(3()2)(3(-++-x x x x 5、判断下列各分式中x 取什么值时，分式的值为0？x 取什么值时，分式无意义⑴)1)(3(2x x x --+； ⑵2522+-x x ； ⑶2231--+x x ．例2（分式的约分） 已知311=-y x ，求yxy x y xy x ---+55的值.随堂练习21、下列变形不正确的是( ) A.2222+-=---a a a a B.11112--=+x x x (x ≠1) C.1212+++x x x =21 D.2126336-+=-+y x y x 2、若2x =－y ，则分式22y x xy -的值为________. 3、化简求值：（1）222222484y x y xy x -+- 其中x =2，y =3. （2）已知yx =2，求222263y xy x y xy x +++-的值.例3（分式的乘除法）使分式22222)(y x ay ax y a x a y x ++⋅--的值等于5的a 的值是( ) A.5 B.－5 C.51 D.－51 随堂练习3计算：(1)(xy －x 2)÷xy y x - (2)24244422223-+-÷+-+-x x x x x x x x例4（分式加减法）例4-1化简求值：当x =21时，求1121122-+-++-x x x x x 的值.例4-262)1(33)1)(1()1(3)1)(1(313)1)(1(313132--=+--=-++--+-=---+-=----x x x x x x x x x x x x x x x x （1）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误：（2）从B 到C 是否正确； 。
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（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义1【例1】下列代数式中：x,12x y,aabb,2xx2yy,xxyy，是分式的有：.题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）xx44（2）3x2x 2（3）2x21（4）|6x |x3（5）x11x题型三：考查分式的值为0 的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）xx13（2）| x2x| 24（3）22xx2x5x36题型四：考查分式的值为正、负的条件4【例4】（1）当x 为何值时，分式为正；8 x（2）当x 为何值时，分式3 5(xx21)为负；练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）6| 1x | 3（2）(x31)x2 1（3）111x2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）5 | x 1x 4|（2）252x2x6x5（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：ABABMMABMM2．分式的变号法则：abababab题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）1213xx2314yy（2）0.2a0 .03b0.04ab题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）xxyy（2）aab（3）ab题型三：化简求值题1 1 【例3】已知： 5x y ，求2xx3xy2xy2yy的值.1【例4】已知：x 2 ，求x2 1x 的值.2x【例5】若| x y 1 | (2x 3)2 0 ，求 14x 2 y的值.练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）0. 03x0. 08x0.2 y0.5 y（2）0.4a14a35110bb 12．已知：x 3，求x4x2xx21的值.1 13．已知： 3a b，求2a 3ab 2bb ab a的值.2 a b b24．若a 2 6 10 0，求2a3ab5b的值.5．如果1 x 2 ，试化简|x22x||x 1 | x|x 1 | x. （三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分（1） c2ab ,b a,2 53a c b2c；（2）aa bb, ；2b 2a（3）1 x 2, ,2 x x x x2 2x x 1 22；（4）a 2,21a题型二：约分（1）216x320xyyn；（）32m2mn；（3）xx22xx26.题型三：分式的混合运算（1）(2a b3)c(2c)ab2 bca() 4 ；（2）(3ax3)y3(x 2 y 2 ) (yyxx)2 ；（3）m2n n2mn m m n nm2a；（4） a1a 1；（5）31 1 2x4x82 4 11 x 1 x1 x1 x7x8x；（6）(x11)( x1) ( x11)( x 3) ( x13)( x 5)；2 2x 4 1 x 2x（7）)( ) (2x 4x 4 x 2 x 1题型四：化简求值题2 （1）已知：x 1 ，求分子1)]8 x 411[( 1) (2 xxx 4 42 的值；（2）已知：x2y3z4，求x y2x2yz2y3xz2z的值；1 12 a 2（3）已知： 3 1 0 a )(a 的值.a ，试求( )2aa题型五：求待定字母的值【例5】若1 3x M2xx1x 1N1，试求M ,N的值.练习（1）2a2(a51)a2( a11)2a2(a31)；（2）22ab2ababba；（3）a b c a 2b 3c b 2ca b c b c a c a b；（4）a b22ba b；4ab 4ab（5）)(a b )(a b ；（6）a b a b111 x1 x122x；（7）(x12)( x3) (x21)( x 3) (x11)( x2).2.（1）aa12 2 a2a 42a 1 2 a112a，其中 a 满足a0 .2 2x yx y3) ]x2y) [( x y)(xyx（2）已知x : y 2 :3 ，求的值.(3．已知：(x 5x41)( 2x1) xA1B2x 1，试求 A 、B 的值.4．当a 为何整数时，代数式399 aa8052的值是整数，并求出这个整数值.（四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1） 2 ) ( )3 1 3(a bc （2）3 2 1) 2 (5 )2 3 (3x y z xy z2（3）[ (a(a b)b)32((aa54b)b)2] （4）[( x y) x yx y 3( ) 2 ]2( )3( )2 ]2( )6题型二：化简求值题【例2】已知x x 1 5 ，求（1）x2 x 2 的值；（2）求x4 x 4 的值. 题型三：科学记数法的计算【例3】计算：（1） 3 2 2(3 10 ) (8 .2 10 ) ；（2）3 2 2 3(4 10 ) (2 10 ) .练习：1．计算：（1）(1315) (15)12 | (1 3)( 0.25)2007 42008|3（2）(3 1 m3n 2) 2 ( m 2 n) 3 （3）2( 2ab3(3a b)2)2 (a(ab22b)3)2（4）[[4(x2( x2y)y)(x1( x2y)y)]2]2 2 x2．已知x 5 1 0，求（1）1x x ，（2）2 x 2x的值.第二讲分式方程【知识要点】1. 分式方程的概念以及解法;2. 分式方程产生增根的原因3. 分式方程的应用题【主要方法】 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数;2. 解分式方程的关健是化分式方程为整式方程; 方程两边同乘以最简公分母.3. 解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）1x13x21；（2）x3xx 14；（3）12x 1x1；（4）5xx3x45x提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程x 4x 4 （1） 4x 1 x；（2）xx76xx98xx109xx65 x提示：（1）换元法，设yx 1 ；（2）裂项法，xx7611x 6.【例3】解下列方程组。