数列常考点及易错点 -学生版

数列常考点及易错点考点等差数列的判定或证明例题、已知数列{}na的前n项和为nS且满足a n＋2S n·S n－1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：1nS⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(2)求{}n a的通项公式．[审题视点] (1)化简所给式子，然后利用定义证明．(2)根据S n与a n之间关系求a n.等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题中简单判断．【训练】已知数列{a n}的前n项和S n是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6.(1)求S n；(2)证明：数列{a n}是等差数列．考点 等比数列的判定或证明例题、(2012·长沙模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．[审题视点] 第(1)问把b n ＝a n ＋1－a n 中a n ＋1换为a n －1＋a n2整理可证；第(2)问可用叠加法求a n .证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．【训练】(2011四川)设d 为非零实数a n ＝1n[C 1n d ＋2C 2nd 2＋…＋(n －1)11n n n C d --＋n C n n d n ](n ∈N *)． (1)写出a 1，a 2，a 3并判断{a n }是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由； (2)设b n ＝nda n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .考点 数列中最值问题的求解从近几年新课标高考可以看出，对求数列中的最大项是高考的热点，一般难度较大．解决这类问题时，要利用函数的单调性研究数列的最值，但要注意数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号．例题、 (2010·辽宁)已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为________．例题、示例 (2011·浙江)若数列()243nn n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭中的最大项是第k 项，则k ＝________.【训练】已知数列{a n }的通项()10111nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(n ∈N ＋)，试问该数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由． [审题视点] 作差：a n ＋1－a n ，再分情况讨论．数列与不等式的综合应用例题、(2011·惠州模拟)在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ； (3)是否存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S n n＜k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出k 的最小值，若不存在，请说明理由．[审题视点] 第(1)问由等比数列的性质转化为a 3＋a 5与a 3a 5的关系求a 3与a 5；进而求a n ；第(2)问先判断数列{b n }，再由求和公式求S n ；第(3)问由S n n确定正负项，进而求S 11＋S 22＋…＋S n n的最大值，从而确定k 的最小值．解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理．【训练】 (2012·岳阳模拟)已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1＞50成立的正整数n 的最小值．考点数列与解析几何、三角的交汇问题从近几年新课标高考试题可以看出，不同省市的高考对该内容要求的不尽相同，考生复习时注意把握．数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决．一、数列与解析几何交汇例题、(2011·陕西)如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝e x于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；P n，Q n.记P k点的坐标为(x k,0)(k＝1,2，…，n)．(1)试求x k与x k－1的关系(2≤k≤n)；(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|P n Q n|.二、数列与三角交汇例题、(2011·安徽)在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作T n，再令a n＝lg T n，n≥1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝tan a n·tan a n＋1，求数列{b n}的前n项和S n.考点等差与等比数列的综合性问题【问题研究】等差数列和等比数列既相互区别，又相互联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，将两类数列综合起来考查是高考的重点.这类问题多属于两者基本运算的综合题以及相互之间的转化.【解决方案】首先求解出两个数列的基本量：首项和公差及公比，再灵活利用性质转化条件，以及利用等差、等比数列的相关知识解决.例题、(本题满分12分)(2011·湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列54nS⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列．正确设等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差d，从而求出数列{b n}的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问．关于等差(比)数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件．容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，不注意对根的符号进行判断；二是不能灵活运用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．【训练】 (1)已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a ＞0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3，若数列{a n }唯一，求a 的值；(2)是否存在两个等比数列{a n }，{b n }，使得b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列？若存在，求{a n }，{b n }的通项公式；若不存在，说明理由．易错点——忽视a n 与S n 中的条件n ≥2而致误【问题诊断】 在数列问题中，数列的通项a n 与其前n 项和S n 之间存在下列关系：⎩⎨⎧≥-==→-)2(,)1(,11n S S n a a S n n n n ，这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n ＝1和n ≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点.【防范措施】 由a n ＝S n －S n －1求出a n 后，一定不要忘记验证n ＝1是否适合a n .【示例】►(2009·安徽改编)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式． 错因 求a n 、b n 时均未验证n ＝1. 实录 ∵a n ＝S n －S n －1，∴a n ＝2n 2＋2n －2(n －1)2－2(n －1)＝4n . 又T n ＝2－b n ，∴b n ＝T n －T n －1＝2－b n －2＋b n －1，即b n ＝12b n －1，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝21－n .正解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋2n －2(n －1)2－2(n －1)＝4n ， 又a 1＝S 1＝4，故a n ＝4n ，当n ≥2时，由b n ＝T n －T n －1＝2－b n －2＋b n －1，得b n ＝12b n －1，又T 1＝2－b 1，∴b 1＝1，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝21－n .【试一试】 已知在正整数数列{a n }中，前n 项和S n 满足： S n ＝18(a n ＋2)2.(1)求证：{a n }为等差数列．(2)若b n ＝12a n －30.求数列{b n }的前n 项和的最小值．[尝试解答] (1)证明：当n ＝1时，S 1＝a 1＝18(a 1＋2)2，∴(a 1－2)2＝0，∴a 1＝2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝18(a n ＋2)2－18(a n －1＋2)2，∴a n －a n －1＝4， ∴{a n }为等差数列．(2)由(1)知：a n ＝a 1＋(n －1)4＝4n －2， 由b n ＝12a n －30＝2n －31≤0得n ≤312.∴{b n }的前15项之和最小，且最小值为－225.易错点——未对q ＝1或q ≠1讨论出错【问题诊断】 错位相减法适合于一个由等差数列{a n }及一个等比数列{b n }对应项之积组成的数列．考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等．【防范措施】 两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的n －1项是一个等比数列．【示例】►(2010·四川)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 错因 未对q ＝1或q ≠1分别讨论，相减后项数、符号均出现了错误． 实录 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝6，a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4， 即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得a 1＝3，d ＝－1，∴a n ＝4－n . (2)由(1)知b n ＝n ·q n －1，∴S n ＝1＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1，qS n ＝1·q ＋2·q 2＋3·q 3＋…＋n ·q n ，两式相减得：(1－q )S n ＝1＋q ＋q 2＋…＋q n －1＋n ·q n ＝1－q n 1－q ＋n ·q n .∴S n ＝1－q n 1－q 2＋n ·q n 1－q . 正解 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝6，a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得a 1＝3，d ＝－1，故a n ＝3－(n －1)＝4－n . (2)由(1)知，b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1， 若q ≠1，上式两边同乘以q .qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n ，两式相减得：(1－q )S n ＝1＋q 1＋q 2＋…＋q n －1－n ·q n ＝1－q n 1－q －n ·q n . ∴S n ＝1－q n1－q 2－n ·q n 1－q＝n ·q n ＋1－n ＋1q n ＋11－q 2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋12q ＝1，nqn ＋1－n ＋1q n ＋11－q 2q ≠1.【试一试】 (2011·齐齐哈尔模拟)已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比q ＝14的等比数列，设b n＋2＝3log 14a n (n ∈N *)，数列{c n }满足c n ＝a n ·b n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{c n }的前n 项和S n .。