复习(第八章 常微分方程)
第8章 常微分方程—8-8(习题课)
习题5
求解
y a y 2 0 y x 0 0 , y
x 0
1
提示: 令 则方程变为 1 积分得 a x C1 , 利用 p x 0 y x 0 1 得 C1 1 p dy 1 , 并利用 y x 0 0 , 定常数 C2 . 再解 dx 1 ax
y y x,
xπ 2
y 4 y 0 , x π 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ满足条件
处连续且可微的解. 例4 设函数 数, 且 内具有连续二阶导
(1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程 2 d x dx 3 ( y sin x)( ) 0 2 dy dy
变换为 y＝y(x) 所满足的微分方程 ;
dp f ( x, p ) dx
2. 二阶线性微分方程的解法
• 常系数情形 • 欧拉方程
齐次
非齐次
代数法
x 2 y p x y q y f ( x) d t 令 x e ,D dt t y D( D 1) pD q f (e )
例3 求微分方程
利用 y x 0 0, y x 0 0, 得
处的衔接条件可知,
解满足
y 4 y 0
其通解:
y C1 sin 2 x C2 cos 2 x
) cos 2 x, x y 1 sin 2 x ( 1 2 2 2
定解问题的解: 故所求解为
y 1 ) cos 2 x , sin 2 x ( 1 2 2
高等数学A
第8章 常微分方程
习 题 课
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
微分方程习题课
第八章常微分方程的数值解法
y( xn1 )
15
Euler法的收敛性
称初值问题(8.1.1)的数值解法是收敛的，如:
h0 ( n )
lim yn y ( x)
其中： x xn x0 nh , x [ x0 , b]
16
例考察以下初值问题Euler法的收敛性
dy y dx y (0)＝y0 ( 0)
★
可得： h (k ) ( k 1) y y | f ( xn 1 , yn ) f ( x , y 1 n 1 n 1 ) | 2 hL ( k ) hL k 1 (1) ( k 1) (0) | yn 1 yn 1 | ( ) | yn 1 yn 1 | 2 2 hL k 1 ( k 1) 从而 : lim( ) 0 , 故有 lim yn 1 y n 1 。 k 2 k
★
由y0＝y( x0 ), 假定yn＝y( xn ), 往证：
y0 yn 1 y ( xn 1 ) xn 1； x0
14
证明
yn yn1 yn hf ( xn , yn ) yn h xn 1 1 yn (1 h ) y( xn )(1 h ) xn xn y0 y0 1 xn (1 h ) ( xn h) x0 xn x0 y0 xn 1 x0
8
局部截断误差
假设第n步在点xn的值计算没有误差,即yn y( xn ), 由单步法计算出yn1 , 则
Tn1 y( xn1 ) yn1 称为点xn1上的局部截断误差.
从初值y( x0 ) y0出发，由单步法显式或隐式 逐步计算，得xn 1的值yn 1 , 则
n1 y( xn1 ) yn1
第8章 常微分方程—8-2(齐次、一阶线性)
dv y 1 v 2 dy
x 令v , y
dx dv v y dy dy
积分得 故有
故反射镜面为旋转抛物面.
ln ( v 1 v 2 ) ln y ln C 2 y 2y v y 2 2 1 ( v ) 1 v 2 C C C 得 y 2 2 C ( x C ) (抛物线) 2
2 2
dy 2 求方程 ( 4 x y 1 ) 的通解。 例８ dx 解 令u 4 x y 1, 则u 4 y, y u 4, du 2 原方程可化为 u 4 u , 即 4 u2 . dx 分离变量并积分得 du 1 u dx u2 4 2 arctan 2 x C1
当c c1 0时,
2.解法
令x X h, （其中h和k是待定的常数） y Y k， dx dX , dy dY
dY aX bY ah bk c f( ) dX a1 X b1Y a1h b1k c1
可化为齐次的方程
ah bk c 0, a1h b1k c1 0, a b (1) 0, 有唯一一组解. a1 b1
u 2 tan(2 x C ) , (C 2C1 )
而u 4 x y 1, 故原方程通解为
4 x y 1 2 tan(2 x C ) .
代回原方程, 得齐次方程的解 y u0 x.
例 1 求解微分方程
y y ( x y cos )dx x cos dy 0. x x
例2 解微分方程
例 3 求解微分方程
dx dy 2 . 2 2 x xy y 2 y xy
例 ４ 求方程
第八章：常微分方程
第八章：常微分方程本章重点是微分方程求解．由于不同类型的方程对应有不同的、确定的解法，所以识别类型，应用相应的解法是关键．§8.1 一阶微分方程本节的重点是求一阶微分方程的通解或在给定初始条件下的特解．● 常考知识点精讲一、常微分方程的概念含有一元未知函数导数的方程称为常微分方程；方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶．若记自变量为x ，未知函数为()y y x =，则n 阶微分方程的一般形式是 ()(,,,,)0n F x y y y '=若函数()f x 在I 上存在n 阶导数，且满足方程()(,(),(),,())0n F x f x f x f x '≡ ，()x I ∈则称()f x 是微分方程()(,,,,)0n F x y y y '= 在I 上的一个解．含有与方程阶数相同个数的独立的任意常数的解称为方程的通解，不含任意常数的解称为方程的特解，由通解确定特解的条件称为定解条件．二、一阶微分方程的类型及其解法1．变量可分离的一阶微分方程形如：()()dyf xg y dx=或1122()()()()0M x N y dx M x N y dy +=的方程，称为变量可分离的微分方程． 解法：分离变量法． 2．一阶线性微分方程形如：()()y P x y Q x '+=的方程，叫一阶线性微分方程．解法：通解由公式()()[()]P x dx P x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰给出．3．全微分方程（数一） ⑴ 全微分方程及其解法如果一阶微分方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=满足Q Px y∂∂=∂∂，则称为全微分方程． 解法：通解由公式00(,)(,)xyx y P x y dx Q x y dy C +=⎰⎰给出．⑵ 积分因子如果条件Q Px y∂∂=∂∂不能满足，即方程不是全微分方程，这时若有一个适当的函数(,)u x y ，使方程(,)(,)(,)(,)0u x y P x y dx u x y Q x y dy ⋅+⋅=成为全微分方程，则称(,)u x y 是微分方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的积分因子．⑶ 求积分因子 求积分因子，一般说来不是一件容易的事，通常只要求掌握用观察法求积分因子就行了． ① 当方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的左端含有xdx ydy +的项，而其它项中都含有因式22x y +，则方程可能有积分因子221x y +．② 当方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的左端含有ydx xdy +的项，而其它项中都含有因式xy ，则方程可能有积分因子1xy． ③ 当方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的左端含有ydx xdy -的项，而其它项中都含有因式xy ，则方程可能有积分因子1xy． ④ 当方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的左端含有ydx xdy -的项，而其它项都只是含x （或y ）的微分表达式，则方程可能有积分因子21x （或21y）． ⑤ 当方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的左端含有ydx xdy -的项，而其它项中都含有因式22x y +（或22x y -），则方程可能有积分因子221x y +（或221x y -）．4．一阶齐次微分方程形如()yy f x'=的一阶微分方程，叫一阶齐次微分方程． 解法：设yu x=，将方程化为可分离变量方程． 5．贝努利方程（数一）形如()()(0,1)ny P x y Q x y n '+=≠的方程叫贝努利方程． 解法：令1nz y-=，将方程化为z 的一阶线性方程．6．可化为一阶齐次的微分方程形如111222()a x b y c y f a x b y c ++'=++且11220a b a b ≠的一阶微分方程叫可化为一阶齐次的微分方程． （当11220a b a b =时，读者自己考虑如何求解）[例1.1] 求下列方程的通解⑴ ()()0x y x x y y e e dx e e dy ++-++= ⑵sin cos x y y x e -'+= 解：⑴ 方程变形为 (1)(1)0y x x y e e dx e e dy -++= 这是可分离变量的微分方程，分离变量得(1)(1)x yx y e e dx dy e e -=+-上式两端求不定积分(1)(1)x yx y e e dx dy e e -=+-⎰⎰所以 ln(1)ln(1)ln x y e e c +=--+ 故原方程通解为 (1)(1)xye e c +-=；⑵ 方程是一阶线性微分方程，其通解为cos cos sin ()xdx xdxx y e e e dx c --⎰⎰=+⎰sin sin sin sin ()()xx x x e e e dx c e x c ---=+=+⎰．●● 常考题型及其解法与技巧一、变量可分离的方程变量可分离的方程()()dyf xg y dx=求通解的思路：①变量分离，将原方程化为()()dy f x dx g y =；②两端积分()()dyf x dxg y =⎰⎰，可得． [例8.1.1] 求微分方程sin cos ln 0x xdx y ydy -=的通解 解：将方程分离变量，得ln sin cos dy dxy y x x=等式两端分别求不定积分ln sin cos dy dxy y x x=⎰⎰即有 2ln ln ln tan ln cos tan dxy x c x x ==+⋅⎰所以方程通解为 t a nc x y e =．[例8.1.2] 求方程221dyx y xy dx=-+-满足初始条件(0)1y =的特解． 解：方程变形为2(1)(1)dyx y dx=-+ 分离变量得2(1)1dyx dx y=-+ 等式两端分别求不定积分2(1)1dyx dx y =-+⎰⎰即有 21arctan 2y x x c =-+ 由(0)1y =，可得4c π=，所以方程的特解为21tan()24y x x π=-+． 二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程求通解的一般思路就是利用通解公式完成．[例8.1.3] 求微分方程ln (ln )0x xdy y x dx +-=满足条件()1y e =的特解． 解：将方程化为11ln dy y dx x x x+=，这是一阶线性微分方程，其通解为 112ln ln 111[](ln )ln 2dx dx x x x x y e e dx c x c x x -⎰⎰=+=+⎰ 由()1y e =可得12c =．所以方程的特解为 11ln 22ln y x x=+[例8.1.4] 求微分方程2412dy y dx y xy+=-的通解． 解：此微分方程既不是齐次微分方程也不是变量可分离的微分方程．若以y 为未知函数也不是一阶线性微分方程．但注意到其特点，把它改写成以x 为未知函数的微分方程，即4221dx y xy dy y -=+，也就是422211dx y y x dy y y+=++． 这是以x 为未知函数的一阶线性微分方程，由通解公式得 22224511225[]15(1)yydydy y y y y cx ee dy c y y -++⎰⎰+=+=++⎰ 评注：在判定一个微分方程是否为一阶线性微分方程时，应注意适当选择变量作函数．三、通过变量代换求解的方程Ⅰ 齐次微分方程齐次微分方程()dy yf dx x=求通解的思路：①令y u x =，则原方程化为()xu f u u '=-（*）；②求方程（*）的通解；③将上通解中的u 用yx代换即得原方程的通解．[例8.1.5] 求微分方程22dy xy dx x y=-满足(0)1y =的特解． 解：方程是一阶齐次微分方程，令yu x=，则原方程变为 21du u u x dx u +=-，即321du u x dx u=-， （*） 求得方程（*）的通解为 212u cux e-=，即222x y cy e-=， 由于(0)1y =，所以，1c =，从而所求特解为222x y y e -=．Ⅱ 可化为齐次的微分方程 方程111222()a x b y c y f a x b y c ++'=++且11220a b a b ≠求通解的思路：①解方程组11122200a x b y c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩得x h y k =⎧⎨=⎩；②令x X h y Y k=+⎧⎨=+⎩，原方程变为1122()a X bY dY f dX a X b Y +=+ （*）；③求方程（*）的通解；④将上通解中的,X Y 分别用,x h y k --代换即得原方程的通解． [例8.1.6] 求微分方程13x y y x y ++'=--的通解．解：解方程组1030x y x y ++=⎧⎨--=⎩得1,2x y ==-令1,2x X y Y =+=-，则原方程变为dY X YdX X Y+=- （*） 令Y u X =，则dY duu X dX dX=+，方程（*）变为21111du u u X u dX u u++=-=-- （**） 可求得方程（**）的通解为21arctan ln(1)ln 2u u X c -+-= 所以方程（*）的通解为221arctan ln()2Y X Y c X -+= 因此原方程的通解为： 2221arctan ln(245)12y x y x y c x +-+-++=-． Ⅲ 贝努利方程贝努利方程()()(0,1)n y P x y Q x y n '+=≠求通解的思路：① 令1n z y -=，则原方程化为(1)()(1)()dz n P x z n Q x dx+-=- （*）；②求方程（*）的通解；③将上通解中的z 用1ny -代换即得原方程的通解．[例8.1.7] 求微分方程43sec tan y y x y x '-=的通解． 解：令3z y -=，所给方程化为一阶线性方程为：sec tan dzz x x dx +=- 新方程的通解为 c o s 1s i n()1sin cos cos x x z x c x x x=--+++ 因此原方程的通解为 3c o s 1s i n ()1sin cos cos x x y x c x x x-=--+++． [例8.1.8] 求方程2223(23)0dy x x y xy y dx--+=的通解． 解：若将x 看成自变量，y 看成因变量，则是不为我们熟习的基本类型．此时交换自变量与因变量的位置得2223230x x y xy dxy dy--+=，即22332()dx x x dy y y y -=- 这是贝努利方程，令1z x=，则上方程变为32123dz z dy y y y+=- 上方程为一阶线性微分方程，通解为()()[()]p y dyp y dyz e Q y e dy c -⎰⎰=+⎰12[3ln ]y c y y=--+ 所以原方程通解为23ln y y c x y=--+． 评注：在判定一个方程是否为贝努利方程时，应注意适当选择变量作函数． Ⅳ 其它情形 [例8.1.9] 求微分方程2221dy x y dx y x -+=-+的通解． 分析：此微分方程的形式类似于[例8.1.6]，但21021-=-，不是可化为一阶齐次的情形．解：作代换2x y u -=，则2dy du dx dx =-，于是方程化为 221du u dx u +-=-，即31du u dx u =- 这是变量可分离的方程，容易求得其通解为 1ln 3u u x c -=+ 用2u x y =-回代，得原方程的通解为 ln 2y x x y c ++-=．[例8.1.10] 求微分方程22()()0y xy dx x x y dy ++-=的通解．分析：此方程不是我们在常考知识点中介绍的类型，可考虑作变量代换． 解：将方程改写成(1)(1)dy y xy dx x xy +=- 发现方程右端的分子分母中都含有xy 的一次式，这就启示我们，可考虑尝试变量代换xy u =，此时21()dy du x u dx x dx=⋅-，原方程变为 221(1)()(1)du u u x u x dx x u +⋅-=-，即221du u x dx u =- 这是可分离变量的方程．易求得其通解为 21ln ln u cx u+=所以原方程的通解为 1xy xc e y=．[例8.1.11] 求微分方程(1)yx dye xe dx-+=的通解． 分析：此方程不是我们在常考知识点中介绍的六种类型之一，可考虑作变量代换． 解：将方程改写成1x y dyxe dx+=- 方程的右端含有x y +，可考虑尝试变量代换u x y =+，此时1dy du dx dx=-，于是方程化为u duxe dx= 这是变量可分离的方程，易求得其通解为 212ue x c --=+ 从而原方程的通解为 ()2102x y ex c -+++=． 四、全微分方程全微分方程求通解可以利用公式求，也可以将方程化为0du =，从而得到通解(,)u x y c =．[例8.1.12] 求微分方程2322(2sin 3)(cos )0x y x y dx x x y y dy ++++=的通解．解：令2322(,)2sin 3,(,)cos P x y x y x y Q x y x x y y =+=++，则它们在整个平面上都有连续一阶偏导数，且22cos 3P Q x y x y x∂∂=+=∂∂，故方程是全微分方程，它的通解为0(,0)(,)xy P x dx Q x y dy c +=⎰⎰，即3231sin 3x y x y y c ++=．[例8.1.13] 求微分方程224(144)0xdx y x y y dy +++=的通解． 解：这不是全微分方程．将其改写成3224()0xdx ydy y x y dy +++= 方程有积分因子221(,)u x y x y =+，用它乘方程的两端得32240xdx ydy y dy x y++=+即有 2241[ln()]02d x y y ++= 所以原方程通解为2241ln()2x y y c ++=． [例8.1.14] 设()f x 有一阶连续导数，(0)1f =，又设2()(()2)0y xy dx f x xy dy +++=是全微分方程，求()f x 及该全微分方程的通解． 解：由题设知2(()2)()f x xy y xy x y∂∂+=+∂∂ 即 ()f x x '=，所以21()2f x x c =+ 又(0)1f =，从而1c =，故21()12f x x =+．代入原方程，得221()(21)02y xy dx x xy dy ++++=从而可得 221()02d xy x y y ++=所以原方程的通解为 2212xy x y y c ++=．五、一阶微分方程综合题型Ⅰ 由自变量的改变量与函数改变量的关式式确定的方程此类题的解题思路：① 由导数的定义，通过所给关系式，建立微分方程；②求解微分方程．[例8.1.15] 已知函数()y f x =在任意点x 处的增量()1yy x o x x∆=∆+∆+(0)x ∆→， (0)1y =，则(1)y =（A ）1- （B ） 0 （C ）1， （D ）2解：由于()1yy x o x x∆=∆+∆+，所以 ()1y y o x x x x∆∆=+∆+∆ 上是两端令0x ∆→可得1y y x'=+这是变量可分离的一阶微分方程，其通解为(1)y c x =+， 又因为(0)1y =，所以1c =，从而(1)2y =，故应选（D ）． [例8.1.16] 设()y y x =满足21()2x y x o x x x-∆=∆+∆-，且(0)0y =，则1()_____y x dx =⎰．解：由于21()2x y x o x x x-∆=∆+∆-，所以21()2y x o x x x x x∆-∆=+∆∆- 因此上式中令0x ∆→可得212x y x x-'=-，于是 22y x x C =-+又(0)0y =，从而0c =， 所以22y x x =-．故11122000()21(1)y x dx x x dx x dx =-=--⎰⎰⎰1sin 02202cos cos cos 4x tt tdt udu πππ-=-===⎰⎰．Ⅱ 积分方程求解积分方程的一般思路：①积分方程两端求导数，去掉方程中的积分号，然后化成微分方程；②对微分方程求解（一般情况下是求特解）． [例8.1.17] 已知()f x 满足0()()xf x x f x t dt =+-⎰，则()______f x =．解：由于0()()xf x x f x t dt =+-⎰，令x t u -=可得()()x f x x f u du =-⎰上式两端对x 求导得()1()f x f x '=+这是一阶线性微分方程，求得其通解为()1xf x ce =-， 由积分方程可得(0)0f =，从而1c =，故()f x =1xe -．[例8.1.18] 设()f t 连续，且2222()()[1]Df x y f t x dxdy x y +=++⎰⎰，其中 222:,0,0.(0)D x y t x y t +≤≥≥>，求()f x ．解：由于22222200()()()[1]cos [1]t Df x y f r f t x dxdy d r rdr x y r πθθ+=+=++⎰⎰⎰⎰ 2220cos ()cos ttd r dr d f r dr ππθθθθ=+⎰⎰⎰⎰3()3t t f r dr =+⎰ 所以 3()()3t t f t f r dr =+⎰上式两端求导可得：2()()f t t f t '=+，且(0)0f = 微分方程是一阶线性微分方程，可求得其通解为2()(22)t t t t f t e t e te e c ---=---+，由(0)0f =可得2c =，所以2()(222)x x x x f x e x e xe e ---=---+．Ⅲ 含分段函数的微分方程含分段函数的微分方程解题思路：①在分段函数定义域内的不同段上分别求微分方程的通解；②利用方程通解的连续性，确定不同段上对应的通解中的任意常数之间的关系；③写出微分方程的通解．[例8.1.19] 设有微分方程2()y p x y x '+=，其中1,1()1,1x p x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，求在(,)-∞+∞内的连续函数()y y x =，使其满足所给的微分方程，且满足条件(0)2y =．解：当1x ≤时，微分方程为2y y x '+=，这是一阶线性微分方程，该方程的通解为2211()[(22)]dx dx x xy e x e dx c e x x e c --⎰⎰=+=-++⎰当1x >时，微分方程为21y y x x'+=，这是一阶线性微分方程，该方程的通解为 11241211()()4dx dx xx y ex e dx c x c x -⎰⎰=+=+⎰ 由于方程的解在点1x =处连续，所以2111lim [(22)]lim x xx x e x x e c -+-→→-++=4211()4x c x + 从而12134c c e -=+所以原方程通解为23122,1113(),144x x x ce x y x ce x x --⎧-++≤⎪=⎨++>⎪⎩ 由于(0)2y =，所以0c =，所以满足条件的函数为2322,113,144x x x y x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩． Ⅳ 已知函数在一点可导，求函数表达式此类题解题思路：①利用导数的定义，建立所求函数的微分方程；②求解该微分方程． [例8.1.20] 已知()f x 在(,)-∞+∞内有定义，且对任意,x y 满足()()()y x f x y e f x e f y +=+又()f x 在0x =可导，(0)f e '=，求函数()f x ． 解：由()()()y x f x y e f x e f y +=+，可得(0)0f =()()()limx f x x f x f x x→+-'=0()()()l i m x x x e f x e f x f x x →+-=0(1)()[()(0)]l i mx x x e f x e f x f x→-+-=1()(0)()xx f x e f f x e +'=+=+所以建立函数的微分方程为1()()x f x f x e+'=+，且(0)0f =这是一阶线性微分方程，可求得其通解为 1()x x f x xece +=+由(0)0f =，可得0c =，所以1()x f x xe +=．§8.2 可降阶的高阶微分方程 本节重点是三种特殊类型的高阶微分方程的解法．● 常考知识点精讲一、形如()()n y f x =的可降解这类微分方程用降阶法只要积分n 次就得到方程的通解． [例2.1] 求微分方程x y xe '''=的通解．解： 1x x xy xe dx xe e c ''==-+⎰112()2x x x xy xe e c dx xe e c x c '=-+=-++⎰2121231(2)32x x x xy xe e c x c dx xe e c x c x c =-++=-+++⎰故微分方程的通解为2123132xxy xe e c x c x c =-+++． 二、不显含函数y 的二阶可降阶的方程 (,)y f x y '''=这类方程特点是不显含y ，若令y p '=，则dpy p dx'''==，于是所给方程可降为一阶方程，再按一阶微分方程的方法求解．三、不显含自变量x 的二阶可降阶的方程 (,)y f y y '''=这类方程特点是不显含x ，若令y p '=，则dp dy dp y p dy dx dy''=⨯=，于是所给方程可降为一阶方程，再按一阶微分方程的方法求解． [例2.2] 求微分方程21yy y '''+=的通解． 解：设y p '=，则dp dy dpy p dy dx dy''=⨯=，原方程化为 21dp ypp dy +=，即21pdp dy p y=- ⑴ 当1y p '=>时，211ln(1)ln ln 2p y c -=+，即2211()p c y -= 所以 211()dyc y dx=±+ ① 1y '>时 ，211()dy c y dx =+， 即211()dy dx c y =+21112ln(1())c y c y c x c ++=+所以 1212()12c x c c x c e e c y +-+-=②1y '<-时，211()dy c y dx =-+， 即211()dy dx c y =-+21112ln(1())c y c y c x c ++=-+所以 1212()12c x c c x c e e c y -+--+-=⑵ 当1y p '=<时，21pdp dy p y -=-，即221(1)21d p dyp y -=- 211ln(1)ln 2p c y -=，即2211()p c y -= 211()dyc y dx=±- ① 当01y <<时，211()dy c y dx =-，即211()dy dx c y =-所以 112sin()c y c x c =+ ② 当10y -<<时，211()dy c y dx =--，即211()dydx c y =--所以 112sin()c y c x c =-+．●● 常考题型及其解法与技巧一、方程()()n y f x =此类微分方程求通解一般思路：方程两端分别积分n 次，即得通解，注意每积分一次要加上一个任意常数． [例8.2.1] 求微分方程211y x'''=+的通解． 解：方程两边积分可得 12arctan 1dxy x c x ''==++⎰再积分得1arctan y xdx c x '=+⎰12arctan 1xx x dx c x x =-++⎰ 2121arctan ln(1)2x x x c x c =-+++继续积分一次，得方程通解为 2121(arctan ln(1))2y x x x c x c dx =-+++⎰222221222111arctan ln(1)221212c x x x x dx x x dx x c x x x =--++++++⎰⎰ 222123111arctan ln(1)(arctan )2222c x x x x x x x c x c =-++-+++． 二、方程(,)y f x y '''=此类微分方程求通解一般思路：①令p y '=，原方程变为(,)p f x p '= （*）；②求方程（*）的通解，不妨设为1(,)y P F x C '== （**）；③求出方程（**）的通解，即为原方程的通解．[例8.2.2] 求方程ln()y xy y x''''=的通解 解：方程不显含y ，令y p '=，于是所给方程化为 ln pxp p x'= （*） 方程（*）是齐次方程，令pu x=，则方程（*）变为 ln duu x u u dx+= （**） 方程（**）是变量可分离的微分方程，可求得其通解为 1ln 1u c x =+ 从而 11c xy xe +'=于是原方程的通解为111112211(1)c xc x y xedx c x e c c ++==-+⎰． [例8.2.3] 求微分方程22()0y x y '''+=满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==-的特解． 解：方程不显含y ，令y p '=，于是所给方程化为220p xp '+= （*）方程（*）是变量可分离的微分方程，可求得其通解为 211p x c =-由1(0)2y '=-，得12c =，即有 212y x '=- 所以 2212ln 2222dx x y c x x -==+-+⎰由(0)1y =可得21c =，故原方程的特解为 12ln1222x y x -=++．[例8.2.4] 0x →时，方程2(32)6x y xy '''+=与1xe -等价无穷小的解是____．解：方程不显含y ，令y p '=，于是所给方程化为2(32)6x p xp '+=， （*） 方程（*）是变量可分离的一阶微分方程，可求得通解为21(32)p c x =+，即21(32)y c x '=+ 所以原方程通解为 31122y c x c x c =++．又由33211211211000221lim lim lim(32)1x x x x c x c x c c x c x c c x c e x →→→++++===+-，可得 2110,2c c ==，故所求特解为312y x x =+． 三、方程(,)y f y y '''=此类微分方程求通解一般思路：①令p y '=，原方程变为(,)dppf y p dy= （*）；②求方程（*）的通解，不妨设为1(,)y P F y C '== （**）；③求出方程（**）的通解，即为原方程的通解．[例8.2.5] 设函数()y x 在区间[0,)+∞上有连续导数，并且满足关系式 0()12()()()xy x x x t y t y t dt '=-++-⎰求()y x ．解：对所给方程变形()12()()2()()xxy x x x y t y t dt ty t y t dt ''=-++-⎰⎰方程两端对x 求导得()12()()xy x y t y t dt ''=+⎰继续求导得()2()()y x y x y x '''=，(0)1,(0)1y y '=-= 微分方程不显含自变量x ，令p y '=，方程可化为 2dpppy dy= 这是变量可分离的微分方程，求得通解为21p y c =+，即21y y c '=+ 由(0)1,(0)1y y '=-=可得，10c =，从而2y y '=，所以21y x c =-+． 再由(0)1y =-，得21c =，故函数11y x =-+为所求特解．§8.3 高阶线性微分方程本节重点是高阶线性微分方程解的结构定理、二阶线性常系数齐次微分方程、二阶线性常系数非齐次微分方程．● 常考知识点精讲一、线性微分方程的概念形如()(1)(2)12()()()()n n n n y p x y p x y p x y f x --++++= 的微分方程称为n 阶线性微分方程．当()(1,2,3,)i p x i n = 都是常数时，又称方程为n 阶线性常系数微分方程．若方程右端的函数()f x 恒为零，则方程称为n 阶线性齐次微分方程，否则称为n 阶线性非齐次微分方程．二、线性微分方程解的结构定理1：设12,y y 是n 阶线性齐次微分方程()(1)(2)12()()()0n n n n y p x y p x y p x y --++++=的两个解，则1122y c y c y =+也是该方程的解，这里12,c c 是任意常数． 定理2：设12,,,n y y y 是n 阶线性齐次微分方程()(1)(2)12()()()0n n n n y p x y p x y p x y --++++=的n 个线性无关的解，则1122n n y c y c y c y =+++ 是该方程的通解，这里12,,n c c c 是任意常数．定理3：如果1y 是方程()(1)(2)121()()()()n n n n y p x y p x y p x y f x --++++= 的解，2y 是方程()(1)(2)122()()()()n n n n y p x y p x y p x y f x --++++= 的解，则12y y +是方程 ()(1)(2)1212()()()()()n n n n y p x y p x y p x y f x f x --++++=+ 的解．定理4：设*y 是非齐次线性方程()(1)(2)12()()()()n n n n y p x y p x y p x y f x --++++= 的一个特解，1122n n c y c y c y +++ 是该非齐次方程对应的齐次方程的通解，则该非齐次方程的通解为*1122n n y c y c y c y y =++++[例3.1] 设1()y x ，2()y x 为二阶线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的两个特解，则由1()y x ，2()y x 能构成该方程的通解，其充分条件是（A ）1221()()()()0y x y x y x y x ''-= （B ）1221()()()()0y x y x y x y x ''-≠ （C ）1221()()()()0y x y x y x y x ''+= （D ）1221()()()()0y x y x y x y x ''+≠ 解：1()y x ，2()y x 能构成线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=通解的条件是二者线性无关，即12()()y x k y x ≠（常数），所以12()[]0()y x y x '≠，即1221()()()()0y x y x y x y x ''-≠，故应选（B ）． 三、常系数齐次线性微分方程1．二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程的形式为：0y py qy '''++=，其中,p q 为常数，其特征方程为 20p q λλ++=方程通解为：⑴ 特征方程有两个相异的实根12,λλ时，通解形式为1212()xxy x C e C eλλ=+⑵ 特征方程有两个相同的实根12λλ=时，通解形式为 212()()xy x C C x eλ=+⑶ 特征方程有一对共轭复根i αβ±时，通解形式为 12()(cos sin )x y x e C x C x αββ=+ 2．n 阶常系数齐次线性方程此种方程的一般形式为：()(1)(2)120n n n n y p y p y p y --++++= ，其中(1,2,)i p i n = 为常数，相应的特征方程为：1110n n n n p p p λλλ--+++= 特征根与通解的关系为：⑴ 若12,,n λλλ 是n 个互异实根，则方程通解为 1212()n x xxn y x C e C eC e λλλ=+++⑵ 若0λλ=为特征方程的()k k n ≤重实根，则方程通解中含有： 0112()xk k C C x C x eλ-+++⑶ 若i αβ±为特征方程的k 重共轭复根，则方程通解中含有111212[()cos ()sin ]x k k k k e C C x C x x D D x D x x αββ--+++++++四、二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数非齐次线性线性方程一般形式为()y py qy f x '''++=其中,p q 是常数根据线性微分方程解的结构，该方程的通解为对应齐次方程的通解加上自身的一个特解．其对应齐次方程的通解上面已讨论过了，现在只要求出该方程的一个特解问题就解决了． 下面介绍求特解*y 的待定系数法：⑴ 若()()x m f x P x e α=其中()m P x 为x 的m 次多项式，则待定特解*y 形式为 *()kxm y x Q x eα=其中()m Q x 是与()m P x 同次的多项式，调节系数0,12k ααα⎧⎪=⎨⎪⎩当不是特征方程的特征根，当是特征方程的单特征根，当是特征方程的二重特征根将*()k x m y x Q x e α=代入方程()y py qy f x '''++=，就可以求出()m Q x ．⑵ ()[()cos ()sin ]x n m f x e P x x Q x x αββ=+，其中()n P x ，()m Q x 分别为x 的n 次，m 次多项式，则有*[()cos ()sin ]k x l l y x e M x x N x x αββ=+其中{}max ,l m n =，()l M x ，()l N x 是两个待定的l 次多项式，调节系数 0,1i k i αβαβ+⎧=⎨+⎩当不是特征方程特征根时，当是特征方程特征根时[例3.2] 求下列方程的一个特解⑴x e x y x y x y 3)(9)(6)(-=+'+'' ⑵sin x y y e x ''+= 解：⑴ 特征方程为2690λλ++=，特征根为123λλ==-．由于方程的非齐次项形如()()x m f x P x e α=，设待定特解为*23xy Ax e-=，代入原方程得332xx Ae e --=，从而12A =． 故方程的一个特解为2312x y x e -=⑵ 特征方程为210λ+=，特征根为12i λ=±．由于方程的非齐次项形如()[()cos ()sin ]x n m f x e P x x Q x x αββ=+，其中1,1αβ==，0m n ==，因此1i i αβ±=±不是特征根，所以原方程有形*()(sin cos )xy x B x A x e =+形式的特解，代入原方程得[(2)cos (2)sin ]sin xxxe B A x B A x e e x ++-=所以 22052115A B A B A B ⎧=-⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩，故原方程的一个特解为*12()(sin cos )55x y x x x e =-． 五、欧拉方程（仅适用数一）形如()1(1)2(2)121()n n n n n n n n x y p x y p x y p xy p y f x -----'+++++= 的方程为欧拉方程．这个方程可以通过变换tx e =化为以t 为自变量的常系数线性方程，求出后代回原来的变量即得欧拉方程的解．●● 常考题型及其解法与技巧一、线性微分方程解的结构定理[例8.3.1] 设线性无关的函数123(),(),()y x y x y x 都是二阶线性非齐次方程()y p x y '''++()()q x y f x =的解，12,c c 是任意常数，则该非齐次方程的通解为（A ）11223c y c y y ++ （B ） 112212()c y c y c c y +-+ （C ）1122123(1)c y c y c c y +--- （D ） 1122123(1)c y c y c c y ++-- 解：（A ）中因为12,y y 不是该二阶线性非齐次方程对应的齐次方程的解，所以（A ）被排除； （B ）中1122123113223()()()cy c y c c y c y y c y y +-+=-+-它仅是对应齐次方程的通解，故（B ）被排除；（C ）中11221231132233(1)()()c y c y c c y c y y c y y y +---=+++-的3y -不是该非齐次方程的特解，113223()()c y y c y y +++也不是对应的齐次方程的通解，故仍排除，由排除法可得应选（D ）．事实上，11221231132233(1)()()c y c y c c y c y y c y y y ++--=-+-+，由解的结构定理可知，它是该非齐次方程的特解．[例8.3.2] 已知221233,3,3x y y x y x e ==+=++都是微分方程22(2)(2)(22)66x x y x y x y x '''---+-=-的解，则该方程的通解为______ 解：根据解的结构定理方程的通解为121232112()()3x y C y y C y y y C x C e =-+-+=++．[例8.3.3] 已知微分方程(21)"(42)'80x y x y y ++--=有多项式形式的特解和形如mxe (m为常数)的特解，求该方程通解． 解：设mxy e=是方程的解，代入原方程得：2[(21)(42)8]0mx m x x m e ++--=所以22240280m m m m ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，从而2m =-，因此2x y e -=是方程的一个解；又设2012(),(0)n n n P x a a x a x a x a =+++≠ 是方程的解，代入原方程得223(21)(232(1))n x a a x n n x -++⨯+-+112(42)(2)n n x a a x na x --++ 20128()0n n a a x a x a x -+++=所以(48)0n n a -=，由于0n a ≠，从而2n =．设2012()Q x a a x a x =++是方程的解，代入原方程可得2212012(21)2(42)(2)8()0x a x a a x a a x a x ++-+-++=所以10a =，204a a =，因此可取2()41Q x x =+为方程的一个解． 根据解的解构定理，原方程的通解为2212(14)x y C e C x -=++． [例8.3.4] 设二阶常系数线性微分方程"'x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1),x x y e x e =++试确定,,αβγ并求通解． 解：由于2(1),xx y e x e =++是方程"'x y y y e αβγ++=的一个解，将其代入原方程可得222(43)(22)()xx x x x xx xx xee x e e e x e e e x e eαβγ++++++++=所以 4203210αβαβγαβ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩321αβγ=-⎧⎪⇒=⎨⎪=-⎩．原方程变为"3'21xy y y e -+=-，所以通解为 212xx y c e c e=++2(1)x x e x e ++．二、高阶常系数线性齐次方程[例8.3.5] 求微分方程20y ky y '''++=的通解，其中k 为实常数． 解：所给微分方程的特征方程2210k λλ++=的两个特征根为221,224412k k k k λ-±-==-±-当1k >时，方程通解为22(1)(1)12k k xk k xy c ec e -+----=+；当1k =时，方程通解为12()kx y c c x e -=+； 当1k <时，方程通解为2212(cos 1sin 1)kxy ec k x c k x -=-+-．[例8.3.6] 设函数()y y x =满足440,(0)0,(0)1y y y y y ''''++===，则()_____y x dx +∞=⎰．解：特征方程为2440λλ++=，特征根为122λλ==-，所以方程的通解为 212()x y c c x e -=+设()y x 是方程440y y y '''++=解，显然有lim ()0,lim ()0x x y x y x →+∞→+∞'==所以()4()4()0y x dx y x dx y x dx +∞+∞+∞'''++=⎰⎰⎰，即(0)4(0)4()0y y y x dx +∞'--+=⎰，故1()4y x dx +∞=⎰． [例8.3.7] 求微分方程(4)340y y y ''--=的通解．解：所给微分方程的特征方程为42340λλ--= 特征根1,22λ=±，3,4i λ=±，故方程的通解为221234cos sin x x y c e c e c x c x -=+++三、二阶常系数线性非齐次方程二阶常系数线性非齐次方程求通解的一般方法：①先求出对应齐次方程的通解Y ；②求出方程的一个特解*y ，则通解*y Y y =+． [例8.3.8] 求微分方程32xy y y xe '''-+=的通解解：相应的齐次方程的特征方程为2320λλ-+=，特征根为121,2λλ==，故对应齐次方程的通解为212x x Y c e c e =+设*()x y x ax b e =+是原方程的一个特解，代入原方程得 (22)x x ax a b e xe -+-=于是21,20a a b -=-=，即12a =-，1b =-，故*1(1)2xy x x e =-+． 所以原方程的通解为 2121(1)2x x xy c e c e x x e =+-+．[例8.3.9] 求微分方程44ax y y y e '''++=的通解，其中a 为实数．分析：方程为非齐次方程，当a 取不同值时，方程的特解形式可能不同，应加以讨论． 解：相应的齐次方程的特征方程为2440λλ++=，特征根为122λλ==-，故对应齐次方程的通解为212()x Y c c x e -=+当2a ≠-时，设*ax y Ae =是原方程的一个特解，代入原方程得 2(44)ax ax A a a e e ++= 于是21(2)A a =+，故*21(2)ax y e a =+，所以原方程的通解为 21221()(2)xaxy c c x e e a -=+++ 当2a =-时，设*22xy Bx e -=是原方程的一个特解，代入原方程得222xx Be e --=于是12B =，故*2212x y x e -=，所以原方程的通解为 222121()2xx y c c x e x e --=++[例8.3.10] 求方程2sin y a y x ''+=的通解，其中常数0a >．分析：方程为非齐次方程，当a 取不同值时，方程的特解形式可能不同，应加以讨论． 解：相应的齐次方程的特征方程为220a λ+=，特征根为1,2ai λ=±，故对应齐次方程的通解为12cos sin Y c ax c ax =+当1a ≠时，设*sin cos y A x B x =+是原方程的一个特解，代入原方程得 22(1)sin (1)cos sin A a x B a x x -+-=于是211A a =-，0B =，故*21sin 1y x a =-，所以原方程的通解为 1221cos sin sin 1y c ax c ax x a =++- 当1a =时，设*sin cos y Ax x Bx x =+是原方程的一个特解，代入原方程得 2cos 2sin sin A x B x x -=于是10,2A B ==-，故*1cos 2y x x =-，所以原方程的通解为 121cos sin cos 2y c ax c ax x x =+-．[例8.3.11] 求微分方程cos y y x x ''+=+的通解分析：右端的函数是两项的和，因此方程特解是y y x ''+=和cos y y x ''+=相应特解的和． 解：相应的齐次方程的特征方程为210λ+=，特征根为1,2i λ=±，故对应齐次方程的通解为12cos sin Y c x c x =+设方程y y x ''+=的特解为*1y ax b =+，代入方程得ax b x +=于是1,0a b ==，故*1y x =；设方程cos y y x ''+=的特解为*2sin cos y mx x nx x =+，代入方程得2cos 2sin cos m x n x x -=于是1,02m n ==，故*21sin 2y x x =． 綜上可得***121sin 2y y y x x x =+=+是原方程的一个特解，所以原方程通解为121cos sin sin 2y c x c x x x x =+++．四、欧拉方程欧拉方程求通解的思路：①令tx e =将自变量由x 换成t ，得到一个关于y 与t 的微分方程，新的微分方程为常系数线性方程；②求新方程的通解；③上通解中将t 用ln x 代回，得原方程的通解．[例8.3.12] 设0x >，微分方程2222x y xy y x '''-+=+的通解为____．解：这是欧拉方程．设tx e =，记dD dt=，则2,(1)xy Dy x y D D y ''==-，从而原方程变为2322t D y Dy y e -+=+ （*）它对应的特征方程为2320r r -+=，特征根为121,2r r ==，于是方程（*）对应的齐次方程的通解为212t t Y c e c e =+设*t y Ate B =+是方程（*）的特解，代入（*）得 22ttAe B e -+=+于是1,1A B =-=，故*1t y te =-+，所以方程（*）的通解为2121t t t y c e c e te =+-+故原方程的通解为 212ln 1y c x c x x x =+-+．五、常系数线性微分方程反问题Ⅰ 已知常系数齐次线性微分方程特解，求微分方程解此类题一般思路：①由给出的特解确定出特征根；②由特征根导出特征方程；③由特征方程导出常系数线性齐次方程[例8.3.13] 设12(sin cos )x y e c x c x =+（12,c c 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次方程的通解，则该方程为______．解：由已知条件可得，函数sin xe x ，cos xe x 是所求二阶常系数线性齐次方程的特解，从而1i ±是方程对应的特征方程的特征根，因此方程的特征方程为2(1)10λ-+=． 故所求二阶常系数线性齐次方程为 220y y y '''-+=．[例8.3.14] 以四个函数1()x y x e =，2()2x y x xe =，3()3cos3y x x =，4()4sin3y x x =为解的四阶常系数线性齐次方程是_____．解：由于所给四个函数线性无关且明显分为两组1()xy x e =、2()2x y x xe =；3()3cos3y x x =、4()4sin3y x x =．于是所求微分方程的特征方程的特征根为1,21λ=，3,43i λ=±，从而方程的特征方程为22(1)(9)0λλ-+=，即4322101890λλλλ-+-+=．故所求四阶常系数线性齐次方程是(4)(3)2101890y y y y y '''-+-+=． Ⅱ 已知线性方程的通解，求微分方程[例8.3.15] 以2212()x y C C x x e -=++（其中12,C C 为任意常数）为通解的二阶线性微分方程为____． 解：建立方程组22122212222122()(2222)(444482)x xx y C C x x e y C C x x C x ey C C x x C x e ---⎧=++⎪'=---++⎨⎪''=++--+⎩，由此可得 222(2)x y y C x e -'+=+ （1） 224(482)x y y C x e -''-=--+ （2）所以4(1)(2)+得2442x y y y e -'''++=这就是所求的二阶线性微分方程．六、高阶线性微分方程综合题[例8.3.16] 设()f u 有连续的二阶导数，且(sin )xz f e y =满足方程22222x z ze z x y∂∂+=∂∂，求()f u ．解：令 sin xu e y =，则()sin (),cos ()x x zzf u e y uf u e yf u x y∂∂'''===∂∂； 222()()z f u u f u u x ∂'''=+∂， 2222()()cos x z uf u f u e y y∂'''=-+∂． 所以：22222()xz z f u e x y∂∂''+=∂∂，由已知条件得：22()()x x f u e f u e ''=，即()()f u f u ''=，从而12()uuf u c e c e-=+．[例8.3.17] 作变换tan t x =把微分方程2422cos 2cos (1sin cos )tan d y dyx x x x y x dx dx+-+=变换成y 关于t 的微分方程，并求原微分方程的通解．解：2(sec )dy dy dt dy x dx dt dx dt =⨯=，2224222sec tan sec d y dy d y x x x dx dt dt=+ 所以原方程变为222d y dyy t dt dt++=．解之得12()2t y c c t e t -=++- 故原方程的通解为tan 12(tan )tan 2x y c c x e x -=++-． [例8.3.18] 设连续函数()f x 满足关系式0()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰，求()f x ．解：这是含“变上限定积分”的方程，首先去掉被积函数中的参变量得 0()sin ()()xxf x x x f t dt tf t dt =-+⎰⎰ （1）（1）式两端对x 求导得 0()cos ()xf x x f t dt '=-⎰（2）（2）式两端对x 求导得()sin ()f x x f x ''=-- （3） 由（1）、（2）可得(0)0,(0)1f f '==可求得方程（3）的通解为12()cos sin cos 2xf x C x C x x =++ 由(0)0,(0)1f f '==可得1210,2C C ==，从而1()sin cos 22xf x x x =+．[例8.3.19] 设()f x 具有二阶连续导数，(0)0,(0)1f f '==，且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=是全微分方程，求()f x 及此全微分方程的通解． 解：微分方程是全微分方程的充要条件是2[()()][()]xy x y f x y f x x y y x∂∂'+-=+∂∂， 即2()()f x f x x ''+=， 求得其通解212()cos sin 2f x c x c x x =++-． 再由初始条件(0)0,(0)1f f '==定得2()2cos sin 2f x x x x =++-．于是原方程成为22[(2cos sin )2](2sin cos 2)0xy x x y y dx x x x x y dy -+++-+++=可求得此方程的通解为2212(2sin cos )2x y xy x x y c ++-+=．§8.4 微分方程的应用● 常考知识点精讲一、微分方程的应用1．几何上的应用在一定的已知条件下求曲线的微分方程．而这些已知条件往往涉及到与导数密切相关的曲线切线、法线、曲率、弧长及曲线所围面积等概念与性质． 2．力学上应用主要利用牛顿第二定律建立微分方程来求质点的运动规律或运动速度． 3．其它应用利用一些基本定理或由变化率问题引出的微分方程．二、用微分方程解决实际问题的步骤一是根据相关条件，建立微分方程，与此同时，一般还要找出相应的初始条件；二是判定微分方程的类型，求解微分方程．●● 常考题型及其解法与技巧一、几何上的应用Ⅰ 导数几何意义的应用[例8.4.1] 若一条曲线上任一点(,)M x y 处的切线斜率为2()xyx y +，且过点1(,1)2，求此曲线方程．又当x 取何值时 ，切线的斜率为14． 解：所求曲线方程为下列定解问题的解21,()1()2dy xy y dx x y ==+ 令xv y=，方程可化为 21dv v ydy v+= （*） 可求得方程（*）的通解为2121v yv c e +=从而原方程的通解为2432xyy xy Ce+=，由1()12y =，得2c e =，故所求曲线方程为24322xy y xy e e+=。
(整理)常微分方程(含解答)
第八章 常微分方程【教学要求】一、了解微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的阶、解、特解、通解、初始条件和初值问题，线性微分方程。
二、熟练掌握一阶可分离变量微分方程的解法。
三、熟练掌握一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的解法——常数变易法和公式法。
四、理解线性微分方程解的性质和解的结构。
五、熟练掌握二阶线性常系数齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的解法——特征根法。
会根据特征根的三种情况，熟练地写出方程的通解，并根据定解的条件写出方程特解。
六、熟练掌握二阶线性常系数非齐次微分方程qy y p y +'+'')(x f =，当自由项f (x )为某些特殊情况时的解法——待定系数法。
所谓f (x )为某些特殊情况是指f (x )为多项式函数，指数函数或它们的和或乘积形式、三角函数x x x ββαsin cos ,e 。
关键是依据f (x )的形式及特征根的情况，设出特解y *,代入原方程，定出y *的系数。
【教学重点】 一阶可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性常系数微分方程的解法。
【典型例题】。
的阶数是微分方程例)(e )(12x y y y =-'+''2.1.B A 4.3.D C 解：B。
的特解形式是微分方程例)(e 232x x y y y +=+'-'' x x x b ax B b ax A e )(.e ).(++x x c b ax D cx b ax C e ).(e ).(++++解：C是一阶线性微分方程。
下列方程中例)(,3 x x y y x B y A yx cos sin 1.e .2=+'='+ y x y D y y x y C ='=+'+''.0.解：B ⎩⎨⎧=='++1)1(0)1(4y y x y y 求解初值问题例 ⎰⎰-=+x x y y y d )1(d 解：由变量可分离法得c x y y ln ln 1ln+-=+∴ 代入上式得通解为由21ln ln 1)1(=⇒=c yx y y 211=+ 的特解。
高等数学11单元第八章常微分方程
授课11单元教案第一节微分方程的基本概念教学过程一、引入新课初等数学中就有各种各样的方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求取方程的解。
方程的定义：含有未知数的的等式。
它表达了未知量所必须满足的某种条件。
根据对未知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。
引例1二、新授课1、微分方程的定义：含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程如果未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数的微分方程式称为偏微分方程。
例如，22;d yx y x dx=+=dx 和是常微分方程dyzxy x∂=∂是偏微分方程. 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程式的阶。
一阶微分方程的一般形式为 (,,)0F x y y '= 例如：2354()0y x y x '+-=，2()20dy dyx y x dx dx-+=都是一阶微分方程。
二阶微分方程的一般形式为 (,,,)0F x y y y '''= 例如：222sin 0d y dyyx dx dx-+=，2223()(2)y k y '''=+都是二阶微分方程。
类似可写出n 阶微分方程的一般形式 ()(,,,,)0n F x y y y y '''=。
其中F 是n +2个变量的函数。
这里必须指出，在方程()(,,,,)0n F x y y y y '''=中，()n y 必须出现，而,,,x y y '(1),n y y -''等变量可以不出现。
例如()()n y f x =也是n 阶微分方程。
例1 ．指出下列方程中哪些是微分方程，并说明它们的阶数：122222222(1) 0; (2) 2;(3) sin 0; (4) 3;(5) '''3; (6) ;(7) '''(')0. t dy y dx y y x d yxdy y xdx y e dt yy y x dy dx x y xy y -==++=+=+==+-=2、微分方程的解能够满足微分方程的函数都称为微分方程的解 求微分方程的解的过程，称为解微分方程例如，函数3x 16是微分方程22d y x dx =的解。
第八章 常微分方程的初值问题
梯形法
yn 1 yn
h 2
[ f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 )]
从n=0开始计算，每步都要求解一个关于yn+1的方程
（一般是一个非线性方程），可用如下的迭代法计算：
( 0) yn1 yn hf ( xn , yn ) ( k 0,1, 2,) ( k 1) h (k ) yn1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 )] 2
向前Euler法： y n 1 y n h f ( x n , y n ), n 0 ,1, 2 , 此处，y (xn)表示 xn 处的理论解，yn表示y (xn)的近似解
推导2： 一阶ODE
y '( x ) f ( x , y ( x )) y( x0 ) y0
2、如果 f 是 y 的函数 ，积分过程将不同于前者。 若 f 是 y 的线性函数，如：f=ay+b 其中a,b是常数或是 t 的函数， 此时原方程称为线性ODE 若 f 不是线性函数，方程就称为非线性ODE。
一、求ODE的解析解
dsolve
[输出变量列表]=dsolve(‘eq1’,‘eq2’, ... , ‘eqn’, ‘cond1’,‘cond2’, ... , ‘condn’, ‘v1,v2,…vn') 其中 eq1、eq2、...、eqn为微分方程，cond1、 cond2、...、condn为初值条件，v1,v2,…,vn 为自变量。 注1： 微分方程中用 D 表示对 自变量 的导数，如： Dy y'； D2y y''； D3y y'''
例 求解
第八章_常微分方程初值问题的单步法
为使局部截断误差为O(h ) ,应取
则
k j f ( xi c j h, y( xi c j h)) f ( xi c j h, y( xi ) hc j y( xi )) f ( xi c j h, y( xi ) hc j f ( xi , y( xi )))
f ( xi c j h, yi h a jm km )
f xx f xx ( xi , yi ), f yy f yy ( xi , yi ), f xy f xy ( xi , yi ),
由此得
k1 f , k2 f ( xi c2 h, yi c2 hk1 ) f ( xi , yi ) c2 h( f x k1 f y ) O(h ),
一. Euler方法
a x0 x1 x2 xN 1 xN b, ba x j x0 jh, h , j 1, 2, , N . N
y0 y ( x0 ), yi 1 yi hf ( xi , yi ), i 0,1, , N 1
一阶常微分方程初值问题的数值方法
------单步法
武汉大学数学与统计学院
一阶常微分方程初值问题的一般形式是:
y f ( x, y ), a x b (1) y(a) y0 D {( x, y ) a x b, c y d }
称f(x,y)在区域D上对y满足Lipschitz 条件是指:
定理显然得证.
8.1.2 一阶常微分方程初值问题的 Runge-Kutta方法
考虑一阶常微分方程初值问题
y f ( x, y ), a x b, y (a ) y0 ,
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7．方程 dy/dx＝y/x＋tan（y/x）的通解为（ ）。 A．sin（x/y）＝Cx B．sin（y/x）＝Cx C．sin（y/x）＝C/x D．sin（y/x）＝x＋C 【答案】B 【解析】原微分方程为 dy/dx＝y/x＋tan（y/x）。令 y/x＝u，则可变形为 u＋xdu/dx ＝u＋tanu，解得方程通解为 sinu＝sin（y/x）＝Cx。
4．如果二阶常系数非齐次线性微分方程 y″＋ay′＋by＝e－xcosx 有一个特解 y*＝e－x （xcosx＋xsinx），则（ ）。
A．a＝－1，b＝1 B．a＝1，b＝－1 C．a＝2，b＝1 D．a＝2，b＝2 【答案】D
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10．微分方程 y″－4y′＋5y＝0 的通解为（ ）。 A．ex（C1cos2x＋C2sin2x） B．C1e－x＋C2e5x C．e2x（C1cosx＋C2sinx） D．C1ex＋Ce－5x 【答案】C 【解析】原微分方程为齐次方程，其对应的特征方程为 r2－4r＋5＝0，解得 r＝2±i。 故方程通解为 y＝e2x（C1cosx＋C2sinx）。
8．一曲线在其上任一点的切线的斜率为－2x/y，则此曲线是（ ）。 A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆 【答案】C 【解析】由题意可知，y′＝－2x/y，解此一阶微分方程得 y2/2＝－x2＋c，即曲线为椭 圆。
9．微分方程 xdy－ydx＝y2eydy 的通解为（ ）。
经济数学第8章 常微分方程
8.1 微分方程的基本概念 定义8.1 含有未知函数的导数(或微分)的方 程，叫做微分方程． 定义8.2 微分方程中未知函数的最高阶导数( 或微分)的阶数，叫做微分方程的阶．
定义8.3 如果将某个已知函数代入微分方程 中，能使该方程成为恒等式，则称此函数为该微 分方程的解．
2
定义8.4 如果n阶微分方程的解中含有n个独 立的任意常数，则称这样的解为微分方程的通解． 而确定了通解中任意常数的值的解，则被称为方程 的特解． 通常，为了确定微分方程的某个特解，先要求 出其通解后再代入确定任意常数的条件(称为初始 条件)，从而求出满足初始条件的特解．
第8章 常微分方程
微分方程是微积分学联系实际的重要渠道之 一，因为用数学工具来解决实际问题或研究各种 自然现象时，第一步就是要寻求函数关系．但在 很多情况下，我们不能直接得到所需要的函数关 系，而是由实际问题所提供的信息及相关学科的 知识可得到关于所求函数的导数或微分的关系式 ，这样的关系式就是微分方程．建立了微分方程 后，再通过求解微分方程可得到我们寻找的所需 要的函数关系．
21
例8.13 某公司2008年招聘新员工100名，预 计从现在开始，第t年招聘人员增加速度为t的2倍， 求到2018 . 例8.14 已知某厂的纯利润L对广告费x的变化 率dLdx与常数A和纯利润L之差成正比．当x=0时， L=L0，试求纯利润L与广告费x之间的函数关系
22
③将所设的解及其导数代入非齐次线性微分方 程，解出
然后写出非齐次线性微分方程的通解
13
8.3 二阶常系数线性齐次微分方程
8.3.1
二阶常系数线性齐次微分方程的概念
定义8.7 方程：y″+py′+qy=f(x)
称为二阶常系数线性齐次微分方程，其中p,q 为常数，f(x)是x的连续函数. 当f(x)≡0时， 方程：y″+py′+qy=0称为二阶常 系数线性齐次微分方程.当f(x)≠0时，方程称为二阶 常系数线性非齐次微分方程.
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6. 微分方程在几何中的应用。
7. 利用线性微分方程解的结构求微分方程的解（通解或特解）。 注意： 熟练判别各种特点的微分方程，并熟练掌握各种特点
微分方程 的求解方法。
1. 设 f ( x), f ( x)为已知的连续函数, 则 y f ( x) y f ( x) f ( x)
x
z z x x 解(1) f (e x cos y )e x sin y , f (e cos y )e cos y , y x 2 z x 2x 2 x x f ( e cos y ) e cos y f ( e cos y ) e cos y 2 x
9. 设 f (t )在[0, +)上连续，且满足方程 f (t ) = e 求 f (t )。
4 t 2
2
x y2 4r 2
f(
1 2 x y 2 ) dxdy 2
2 2t 1 2 r 2 x y ) dxdy d f ( )rdr 解： f ( 0 0 2 2 2 2 2 x y 4r 2t r 2 f ( )rdr 0 2 2t r 2 4 t 2 4 t 所以 f (t ) = e 2 f ( ) rdr f (t ) 8 tf (t ) = 8 te 0 2 一阶线性 8 tdt 4 t 2 8 tdt f (t ) = e ( 8 te e dt C )
e f ( x ) ( f ( x) f ( x)e f ( x ) dx C ) e
f ( x)
( f ( x )e
f ( x)
df ( x) C )
e f ( x ) ( f ( x)de f ( x ) C )
e f ( x ) ( f ( x)e f ( x ) e f ( x ) df ( x) C )
(练习8.5 第一大题1小题)
微分方程 xy 2( x 1) y ( x 2) y 0 的通解为(
x y e 解：观察可知原方程有一个特解 1
).
x3 x e 由刘维尔公式可得与 y1 线性无关的特解 y2 3
故，原方程的通解为 y C1ex C2 x3e x
（2014级考题）
2 z x 2x 2 x x f (e cos y)e sin y f (e cos y)e cos y 2 y
x x 2x f (e x cos y )e 2 x 4 f ( e cos y ) e cos y e f (u) 4 f (u) u
所以，原方程所对应的齐次方程的通解为： Y C1e x C2e x 1 y y 1 1 2 y y cos 2 x 2 2 y y 1 cos 2 x 2
。。。。。。 y 1 a y2 b cos 2 x c sin 2 x
f (u) 4 f (u) u f (u) 4 f (u) u 二阶常系数线性非齐次 (2) 方程 r 2 4 0 的特征根为 r1,2 2
所以，其对应齐次方程的通解为 f (u) C1e2u C2e2u 设非齐方程的特解为 y Au B, 代入原方程, 得 u 1 A , B 0 ,故非齐方程的一个特解为: y* 4 4
xf (t ) dt 两边关于 x求导得： 2 t x f t f x 1 x dt 2 1 t
f x f x x
f (1) 1
可降阶微分方程(不显含未知函数 f (x) )
初始条件
f (1) 1
f 1 1
x2 1 f x 2
微分方程几类题型：
1. 已知微分方程的通解，如何求微分方程？ 2. 已知常系数线性微分方程的若干个特解，如何求微分方程？ 3. 利用微分方程求解含有变限积分的函数方程。 (注意几类变限积分的求导数的处理方法) 4. 当已知二阶线性齐次微分方程的一个非零特解，如何求其通解？
5. 当已知二阶线性非齐次微分方程对应的齐次微分方程的一个非
解： 旋转体体积
V f ( x)dx f 2 ( x)dx
2 1 1 t 1 2 t t 2 t
t
t
曲边梯形的面积为S f ( x)dx
由题设 f ( x)dx t f ( x)dx f ( x)dx t f ( x)dx
1 1 1 1 t
两边关于t 求导：
f (t ) tf (t ) f ( x)dx 两边再关于t 求导：
2 1
t
[2 f (t ) t ] f (t ) 2 f (t )
[2 f (t ) t ] f (t ) 2 f (t )
f (t ) tf (t ) f ( x)dx
2 1
t
dt (2 f t ) t dt t 1 1 df 2f 2f df 2 f
1 2 t f Cf 2 3
f (t ) tf (t ) f ( x)dx f 2 (1) f (1) 0 f (1) 1( f ( x) 0) 1 1 C 3 2 1 1 t f f 2 3 3
4 .设 f ( x) 为连续函数，且满足 f ( x) 1 1
(练习8.4 第三大题2小题)
x
xf (t ) dt , 试求 f ( x) 。 2 t
f (1) 1
解：对 f ( x) 1
f x
x
x
1
1
f t f x dt 两边再关于 x 求导 2 t x
f (0)=1
f (t ) = e
4 t 2 4 t 2
(4 t 2 C) 由 f (0)=1可得 C =1，因此 (4 t 2 1)
f (t ) = e
10. 设曲线 y f ( x), 其中y f ( x)是可导函数，且 f ( x) 0. 已知曲线y f ( x)与直线 y 0, x 1及x t (t 1)所围成的曲 边梯形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面 积值的 t倍，求该曲线方程。
*பைடு நூலகம்
从而方程的通解为 f (u) C1e C2e
2u
2u
C1 C2 0 1 1 f (0) 0 C1 , C2 1 16 16 2C1 2C2 0 f (0) 0 4
u 4
1 2u 2u f (u ) (e e 4u ) 16
1 y y 0 x
(二) 显见 y1 1, y2 x 2 是原方程对应的齐次方 程
(若观察不出则利用刘维尔公式即可) 的两个线性无关的特解 ，
1 又 y 是原方程的一个特解， x
*
由解的结构定理得方程的通解为
1 y C1 C 2 x . x
2
6. 已知函数 f ( x)所确定的曲线与x轴相切于原点，且满足方程 f ( x) 2 sin x f ( x) , 求函数 f ( x).
提示：
f (0) 0,
f (0) 0
(练习8.6第三大题 2小题)
y y 2 sin x (记 f ( x) y) y y 0 的通解为 y c1 cos x c2 sin x
y y 2 y y sin x
。。。。。。
* 特解 y1 a * 特解 y2 x(b cos x c sin x)
1 5. 设y p( x) y f ( x)有一特解 ，对应齐次方程有一特解x 2， x 试求(1) p( x), f ( x)的表达式，(2) 此方程的通解。
解 (1)由题设可得：
(练习8.5 第三大题1小题)
解得
1 3 (2)原方程为 y y 3 . x x 1 3 方法(一) y y 3 . 可降阶微分方程(不显含未知函数 y ) x x
e f ( x) ( f ( x)e f ( x) e f ( x) C) f ( x) 1 Ce f ( x)
1 2. 0 f ( x)d f ( x) 1 , 求f ( x). (练习8.2 第三大题3小题) 2 x t x f (t ) 1 1 f ( x ) d x dt 解: 当 x 0 时 , 左= 0 f ( x)d 0 0
1 1 cos 2 x 原方程的通解为：y C1e C2 e 2 10
x x
z f (e cos y) 满足 8.设函数 f (u ) 具有二阶连续导数， 2 z 2 z x 2x (4 z e cos y ) e ，若 f (0) 0, f (0) 0 2 2 x y (1) 证明： f (u) 4 f (u) u (2) 求 f (u ) 的表达式．
1
1 f ( x) 1 2
x
x
即
x
0
两边关于x求导 x 1 2 f (t )dt f ( x) x f ( x) f ( x) 一阶线性 2 x x f ( x) 2 cx
当 x 0 时,方程的解为 f (0) 2 综上所述
f ( x) 2 cx
提示：F ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
g 2 ( x) f 2 ( x)
[ g ( x) f ( x)]2 2 f ( x) g ( x) (2ex )2 2F ( x) 即 F ( x) 2F ( x) 4e2 x
1 f ( x) (sin x x cos x) 2(1 cos x) 2