初三数学复习--分式1
初中数学分式整式复习题
初中数学分式整式复习题分式与整式是初中数学中的重要概念，它们在代数运算中扮演着关键角色。
为了帮助同学们复习，下面提供一些初中数学分式与整式的复习题。
一、整式1. 单项式：一个由数字和字母乘积组成的代数式，例如 \(3x^2\)、\(-5y\)。
2. 多项式：由若干个单项式相加组成的代数式，例如 \(2x^2 + 3x - 1\)。
3. 同类项：在多项式中，系数不同但字母部分相同的项。
4. 合并同类项：将多项式中的同类项合并，简化表达式。
例题1：合并以下多项式中的同类项：\[ 4x^2 + 3x - 7 - 2x^2 + x \]二、分式1. 分式：一个代数式，其分子和分母都是多项式，且分母不为零。
2. 最简分式：分子和分母没有公因数的分式。
3. 约分：将分式的分子和分母同时除以它们的最大公因数，得到最简分式。
4. 通分：将几个分母不同的分式转化为分母相同的分式，以便进行加减运算。
例题2：将分式 \(\frac{2x}{x+1}\) 和 \(\frac{3}{x-1}\) 通分，并进行加法运算。
三、分式与整式的混合运算1. 加减法：在进行分式加减时，需要先通分，然后进行加减运算。
2. 乘除法：分式相乘时，分子相乘，分母相乘；分式相除时，将除数的分子和分母颠倒，然后相乘。
例题3：计算以下表达式的值：\[ \left(\frac{2}{x} + \frac{3}{x-1}\right) \div\frac{4}{x^2-1} \]四、分式方程1. 分式方程：包含分式的方程。
2. 解分式方程：通过消去分母，将分式方程转化为整式方程求解。
例题4：解以下分式方程：\[ \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+1} = \frac{3}{x^2-1} \]在解答这些题目时，注意检查每一步的运算是否正确，特别是分式运算中的通分和约分，以及分式方程的解是否满足原方程。
希望这些题目能帮助你更好地复习分式与整式的概念和运算。
中考数学真题分类专题,初三数学第一轮复习资料分式方程的解法及应用PPT课件与练习题及答案
2 所以，原分式方程的解为x＝
1
.
2
类型3 分母先因式分解，再乘最简公分母
5．(2019·黔东南)解方程：1 x 3 3x . 2x 2 x 1
解：原方程可化为1 x 3 3x ， 2(x 1) x 1
方程两边乘2(x＋1)，得 2(x＋1)－(x－3)＝2×3x
解得x＝1. 检验：当x＝1时，2(x＋1)≠0. 所以，原分式方程的解为x＝1.
相向而行，甲船从A地顺流航行180 km时与从B地逆流航行的乙
船相遇，水流的速度为6 km/h，若甲、乙两船在静水中的速度
均为x km/h，则求两船在静水中的速度可列方程为( A )
A. 180 120 x6 x6
B. 180 120 x6 x6
C. 180 120 x6 x
D. 180 120 x x6
解：(1)设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为 (x－9)元/条，根据题意得：3120 4200 ，解得：x＝35，
x9 x
经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意，∴x－9＝26 答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条． (2)设购买a条A型芯片，则购买(200－a)条B型芯片，根据题 意得：26a＋35(200－a)＝6 280， 解得：a＝80. 答：购买了80条A型芯片
.
2.(2019·广州)甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时
甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个
所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程
正确的是( D ) A. 120 150
x x8
B. 120 150
x8 x
C.
120 x8
150 x
最新人教版中考数学复习精品课件第一部分 第一章 第4讲 整式与分式 第3课时 分式
最新人教版数学精品课件设
当 x＝tan60°－1 时，
原式＝－
(4)乘方运算：
a b
n an ＝ ___b__n _
(n为正整数)．
5．分式的混合运算顺序 先算_乘__方__，再算_乘__除__，最后算_加__减__，若有括号，先算括
号里面的．
重难点突破 1．利用分式的基本性质，可以在不改变分式的值的条件下， 对分式作一系列的变形． 2．通分的关键：确定几个分式的最简公分母．
第3课时 分式
最新人教版数学精品课件设
1．了解分式的概念．
2．会利用分式的基本性质进行约分和通分． 3．会进行简单的分式加、减、乘、除运算．
.－. 年广东省中考题型及分值分布
年份 试题类型
知识点
分值(分)
2009
2010
解答题 分式的化简、求值
3
2011
最新人教版数学精品课件设
1.分式
(1)定义：形如 A (A、B是整式，且B中含有_字__母__，B≠0)的 B
式子．
(2)分式
A有无意义： B
①若分式
A B
有意义⇔_B__≠_0_；
②若分式
A B
无意义⇔_B__＝__0；
③若分式
A B
＝0⇔__A_＝__0_且__B_≠__0_.
最新人教版数学精品课件设
2．分式的基本性质
(1)分式的基本性质：
①AB＝
A B
(C C
初三数学复习--分式方程及应用
A ．a ＞-1B ．a ＞-1且a≠0C ．a ＜-1D ．a ＜-1且a≠-2例4 岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成．（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a 个月，乙队做b 个月（a 、b 均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？一、选择题：A ．xB ．2xC ．x+4D ．x （x+4） 2、（2012北海,）分式方程87-x ＝1的解是：（ ） A ．－1 B ．1 C ．8 D ．15A ．204x x =⨯+ B ．420x x =⨯+ C ．40140204x x +=+ D ．40401204x x =-+ 4、某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划每天生产x 台机器，则可列方程为（ ） A ．B ．C ．D ．三、解答题7、解分式方程：23x -= 11x -89、冬冬全家周末一起去济南山区参加采摘节，他们采摘了油桃和樱桃两种水果，其中油桃比樱桃多摘了5斤，若采摘油桃和樱桃分别用了80元，且樱桃每斤价格是油桃每斤价格的2倍，问油桃和樱桃每斤各是多少元？10某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元．请问该学校九年级学生有多少人？。
2025年广西中考数学一轮复习考点过关课件：分式
2
当m＝－2时，原式＝
＝－ .
6－2×(−2)
5
16.先化简，再求值：
解：原式＝
＝
2
－
2
2
－
2
－
2
2－
÷(a－
2
2－
÷( －
2
÷
2
－2＋
2
)
2
(－)(＋)
＝
·
(－)2
2
).其中a＝2，b＝－3.
＋
＝
.
－
2－3
1
当a＝2，b＝－3时，原式＝
( A )
5．(人教八上P132第1题改编)下列各式，一定正确的是 ( D )
2
A． ＝ 2
－ 1
B．
＝
－1
+1
C． ＝
+1
3
D． ＝
3
2
6．(2022·北部湾14题2分)当x＝___时，分式
的值为零.
0
+2
1
7．(2024·吉林省卷)当分式 的值为正数时，写出一个满足条件的x的
【答题模板】
采分点说明
+1
2 1
解：原式＝ ÷( － )
2
+1
－1
＝ ÷①_________
+1
＝ ·②_________
( + 1)(－1)
1
＝③______.
第3节分式-中考数学一轮知识复习PPT课件
3．通分：
(1)定义：把几个异分母的分式化为同___分__母__分式的过程叫做 分式的通分．通分的关键是确定各分母的_最__简__公___分__母__．
(2)确定最简公分母的方法： ①取各分母系数的最小公倍数，作为最简公分母的系数；取 各分母所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母的因式． ②若分母是多项式，则应先把各个分母分解因式，再确定最 简公分母． 温馨提示
2．分式有、无意义和值为 0 的条件： 条件
分式AB 有意义
__B__≠_0__
分式AB 无意义
__B_＝__0__
分式AB 的值为 0
__A_＝__0__且 B≠0
3.最简分式：分子与分母没有_公__因__式__的分式．
分式的基本性质
1．基本性质：分式的分子与分母都_乘__或___除__以___同一个不等
B．缩小 10 倍
C．是原来的23
D．不变
☞命题点3 分式的运算 A
1 x＋1
8．(2020·随州)x2－2 4
1 ÷x2－2x
的计
算结果为( B )
A.x＋x 2
B．x＋2x2
C．x－2x2
2 Dx（x＋2）
☞命题点4 分式的化简及求值(8年7考)
9.(2018·广东 18 题 6 分)先化简，再求值：
6．(2020·花都区一模)计算：x＋x 1 ＋x＋1 1 =___1__．
7．(12020·黄冈)计算：x2－y y2 ÷1－x＋x y 的结果 是_____x_－__y____．
8．(2020·东莞一模)先化简：1＋a2－1 1
a ÷a－1
，
请在－1，0，1，2，3 当中选一个合适的数代入求值．
3
中考数学复习《分式》专题训练--附带有答案
中考数学复习《分式》专题训练--附带有答案一、选择题 1．在a−b 2，x(x+3)x，5+x π，a+b a−b中，是分式的有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．分式1x 2y ，3y2x 3，2+x3xy 2的最简公分母是（ ） A ．3xyB ．6x 3y 2C ．6x 6y 6D ．x 3y 33．如果把分式2xxy 中的x 和y 都扩大为原来的10倍，那么分式的值（ ） A ．不变B ．扩大为原来的10倍C ．缩小为原来的110倍 D ．缩小为原来的11004．使分式 x 2−1x+1等于0的x 的值是（ ）A ．1B ．−1C ．±1D ．不存在5．已知实数a 、b 满足a+b ＝0，且ab ≠0，则ba +ab 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．26．若关于x 的方程 m−1x−1−xx−1=0 有增根，则m 的值是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．任意值7．某煤厂原计划x 天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，列出方程为 （ ） A ．120x−2=120x −3 B ．120x=120x+2−3 C ．120x+2=120x−3D ．120x=120x−2−38．关于x 的方程 k2x−4=xx−2 的解为正数，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞0 B ．k ＜0C ．k ＞0且k ≠4D ．k ＜0且k ≠﹣4二、填空题9．约分：3x 3y9x 2y 4= ． 10．化简：a 2a−b+b 2b−a ＝ ． 11．若分式 2x+1 有意义，则 x 的取值范围是 .12．已知关于x的方程x−4x−3−k−4=k3−x无解，则k的值为.13．已知方程2−aa +2=3a，且关于x的不等式组{x≥ax≤b只有3个整数解，那么b的取值范围是.三、解答题14．解方程：（1）2xx+3+1=72x+6（2）1+xx+2=12+x+215．先化简，再求值：(x2x−1−x+1)÷4x2−4x+11−x，其中x=−4．16．已知A=(2x2+2xx2−1−x2−xx2−2x+1)÷xx+1．（1）先化简A，再从1，2，3中选取一个合适的数作为x的值代入求值；（2）判断A的值能不能是−1，并说明理由．17．早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校.已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．（1）求小明步行速度(单位：米/分)是多少；（2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？18．暑假期间，部分家长组织学生到户外游学实践活动，一名家长带一名学生. 现有甲、乙两家游学机构，其报价相同，每位学生的报价比家长少20元. 按报价计算，家长的总费用为50000元，学生的总费用为48000元.（1）请利用分式方程求家长和学生报价分别是每位多少元？（2）经协商，甲机构的优惠条件：家长全价，学生都按七五折收费；乙机构的优惠条件：家长和学生均按m（m为整数）折收费，结果他们选择了总费用较少的乙机构，求m的最大值.1．B 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B 7．D 8．C 9．x3y 3 10．a +b 11．x ≠112．k =−3 或 k =1 13．3≤b ＜414．（1）解：2xx+3+1=72x+6 4x +2x +6=7 6x =1 x =16经检验：x =16是原分式方程的解； （2）解：1+xx+2=12+x +2 1+x =1+4+2x x =−4经检验：x =−4是原分式方程的解； 15．解：原式=(x 2x−1−x 2−2x+1x−1)÷(2x−1)21−x=2x−1x−1×1−x(2x−1)2 =11−2x将x =−4代入11−2x ，得11−2×(−4)=19 16．（1）解：A =(2x 2+2x x 2−1−x 2−xx 2−2x+1)÷xx+1 =(2x(x+1)(x+1)(x−1)−x(x−1)(x−1)2)×x+1x=2(x+1)x−1−x+1x−1=x+1x−1当x=3时A=3+13−1=2；x-1≠0∴x≠1.∴当x=2时A=3；当x=3时A=2；（2）解：A的值不能是−1；理由：若A的值为−1，即x+1x−1=−1，解得x=0，代入A中检验，除数为0，无意义，∴A的值不能为−1．17．解：（1）解：设小明步行的速度是x米/分，由题意得：900x =9003x+10，解得：x=60，经检验：x=60是原分式方程的解答：小明步行的速度是60米/分；（2）解：小明家与图书馆之间的路程最多是y米根据题意可得：y60=900180×2，解得：y=600答：小明家与图书馆之间的路程最多是600米.18．（1）解：设家长的报价为x元，学生的报价为(x−20)元由题意得：50000x =48000x−20经检验，x=500是分式方程的解答：家长的报价为500元，学生的报价为480元；（2）解：由题意得：(50000+48000)×m10<50000+48000×0.75解得：m<83849∵m为正整数∴m的最大值为8.。
中考数学复习 分式-教师版
§1.3分式考点1分式的概念与基本性质1.(2021宁波,6,4分)要使分式1x+2有意义,x的取值应满足( B ) A.x≠0 B.x≠-2 C.x≥-2 D.x>-2解析∵分式1x+2有意义,∴x+2≠0,解得x≠-2.故选B.2.(2020金华,2,3分)分式x+5x−2的值是零,则x的值为( D ) A.2 B.5C.-2D.-5解析依题意,得x+5=0且x-2≠0,解得x=-5.故选D.方法总结对于分式AB,当B≠0时,分式有意义;当B=0时,分式无意义;当A=0且B≠0时,分式的值为0.3.(2022湖州,11,4分)当a=1时,分式a+1a的值是2.解析当a=1时,a+1a =1+11=2.考点2分式的运算1.(2022杭州,6,3分)照相机成像应用了一个重要原理,用公式1f =1u+1v(v≠f)表示,其中f表示照相机镜头的焦距,u表示物体到镜头的距离,v表示胶片(像)到镜头的距离.已知f,v,则u= ( C )A.fvf−v B.f−vfvC.fvv−fD.v−ffv解析∵1f =1u+1v(v≠f),∴1u =1f−1v,∴1u=v−ffv,∴u=fvv−f.故选C.2.(2020台州,12,5分)计算1x −13x的结果是23x.解析1x −13x=33x−13x=23x.3.(2022温州,13,5分)计算:x 2+xyxy+xy−x2xy=2.解析x 2+xyxy+xy−x2xy=x2+xy+xy−x2xy=2xyxy=2.故答案为2.4.(2022台州,15,5分)如图的解题过程中,第①步出现错误,但最后所求的值是正确的,则图中被污染的x的值是5.解析正确的化简过程为3−xx−4+1=3−xx−4+x−4x−4=3−x+x−4x−4=−1x−4.因为最后所求的值是正确的,所以-1x−4=-1,解得x=5.5.(2021丽水,16,4分)数学活动课上,小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题:已知实数a,b同时满足a2+2a=b+2,b2+2b=a+2,求代数式ba +ab的值.结合他们的对话,请解答下列问题: (1)当a=b时,a的值是-2或1;(2)当a≠b时,代数式ba +ab的值是7.解析(1)当a=b时,由a2+2a=b+2得a2+2a=a+2,即a2+a-2=0,解得a1=-2,a2=1.(2)a2+2a=b+2①,b2+2b=a+2②,由①-②得a2-b2+2(a-b)=b-a,即a2-b2+3(a-b)=0,∴(a-b)(a+b+3)=0.∵a≠b,∴a+b+3=0,即a+b=-3.由①+②得a2+b2+2(a+b)=(b+a)+4,把a+b=-3代入,得a2+b2-6=-3+4,∴a2+b2=7,∴(a+b)2-2ab=7,∴9-2ab=7,∴ab=1,∴ba +ab=b2+a2ab=71=7.6.(2021衢州,18,6分)先化简,再求值:x 2x−3+93−x,其中x=1.解析原式=x 2x−3−9x−3=(x+3)(x−3)x−3=x+3.当x=1时,原式=4.7.(2022舟山,19,6分)观察下面的等式:12=13+16,13=14+112,14=15+120,…….(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示,n为正整数);(2)请运用分式的有关知识,推理说明这个结论是正确的.解析(1)1n =1n+1+1n(n+1).(2)∵1n+1+1n(n+1)=nn(n+1)+1n(n+1)=n+1n(n+1)=1n,∴结论正确.方法总结异分母的分式相加减:先通分,变为同分母的分式,然后相加减,即ab±c d =ad±cbbd.基础练一、选择题(每小题3分,共12分)1.(2019湖州,)计算a−1a +1a,正确的结果是( A )A.1B.12C.a D.1a解析a−1a +1a=a−1+1a=aa=1.2.(2021贵州贵阳,)计算xx+1+1x+1的结果是( C )A.xx+1B.1x+1C.1D.-1解析xx+1+1x+1=x+1x+1=1.故选C.3.(2022温州洞头二模,)计算2aa+2−a−22+a的结果为( C )A.a+2B.a-2C.1D.a−2a+2解析2aa+2−a−22+a=2a−(a−2)a+2=a+2a+2=1,故选C.4.(2020温州瑞安模拟,)若分式x+1x−2的值为0,则x的值是( B )A.1B.-1C.2D.-1或2解析由x+1x−2=0,可得x+1=0且x-2≠0,故x=-1.故选B.二、填空题(每小题4分,共8分)5.(2022金华永康一模,)若分式1x−3有意义,则x的取值范围为x≠3. 解析分式有意义,要求分母不等于0,故x-3≠0,即x≠3.6.(2021吉林,)计算:2xx−1−xx−1=xx−1.解析2xx−1−xx−1=2x−xx−1=xx−1.三、解答题(共50分)7.(2022湖州吴兴一模,)化简:2a−ba+b +a+4ba+b.解析原式=2a−b+a+4ba+b =3a+3ba+b=3(a+b)a+b=3.8.(2022重庆A卷,)计算:(ab −1)÷a2−b22b.解析原式=a−bb ·2b(a+b)(a−b)=2a+b.9.(2022嘉兴嘉善一模,)化简并求值:1+9+3aa2−9,其中a=2.解析 原式=1+3(3+a)(a+3)(a−3)=1+3a−3=a−3+3a−3=aa−3.当a =2时,原式=22−3=-2. 10.(2022舟山普陀一模,)先化简,再求值:y 2y−2+42−y,其中y =-2.解析 原式=y 2−4y−2=y +2. 当y =-2时,原式=-2+2=0. 11.(2022福建,)先化简,再求值:(1+1a )÷a 2−1a,其中a =√2+1.解析 原式=a+1a ÷(a+1)(a−1)a=a+1a·a (a+1)(a−1)=1a−1.当a =√2+1时, 原式=√2+1−1=√22. 12.(2022杭州临安一模,)以下是方方化简(a −1+1a+1)÷a 2+2a a+1的解答过程.解:原式=(a 2-1+1)·a+1a 2+2a=a 2·a+1a(a+2)=a 2+aa+2.方方的解答过程是否有错误?如果有,请写出正确的解答过程. 解析 方方的解答过程有错误.正确的解答过程如下: 原式=(a 2−1a+1+1a+1)·a+1a(a+2) =a 2a+1·a+1a(a+2)=aa+2.提分练一、选择题(每小题3分,共6分) 1.(2020宁波余姚模拟,)在函数y =x √x+3中,自变量x 的取值范围是 ( D )A.x ≥-3B.x ≥-3且x ≠0C.x ≠0D.x >-3解析 由题意得x +3>0,则x >-3.故选D .2.(2021山东济宁,)计算a 2−4a÷a +1−5a−4a的结果是 ( A )A.a+2a−2 B.a−2a+2 C.(a−2)2(a+2)a D.a+2a解析 a 2−4a÷(a +1−5a−4a)=(a+2)(a−2)a ÷a(a+1)−5a+4a=(a+2)(a−2)a·a(a−2)2=a+2a−2.二、填空题(每小题4分,共20分) 3.(2022四川成都,)已知2a 2-7=2a ,则代数式(a −2a−1a)÷a−1a 2的值为 72 .解析 原式=a 2−2a+1a·a 2a−1=(a−1)2a·a 2a−1=a (a -1).由2a 2-7=2a 得2a 2-2a =7, ∴a 2-a =72,∴a (a -1)=72, 当a (a -1)=72时,原式=72.解题关键 先将2a 2-7=2a 化简,再将化简结果整体代入所求的代数式中即可. 4.(2021内蒙古包头,)化简:(2m m 2−4+12−m )÷1m+2= 1 .解析 原式=2m(m+2)(m−2)−1m−2·(m +2)=2m m−2−m+2m−2=2m−(m+2)m−2=2m−m−2m−2=m−2m−2=1.5.(2020台州仙居模拟,)小明化简代数式如下:x+1x−xx−1=(x +1)(x -1)-x 2=x 2-1-x 2=-1.他的化简对还是错? 错 (填“对”或“错”),正确的化简结果是 -1x 2−x . 解析x+1x−xx−1=(x+1)(x−1)−x 2x(x−1)=x 2−1−x 2x(x−1)=−1x 2−x =−1x 2−x .故小明的化简错误,正确的化简结果是-1x 2−x . 6.(2021金华义乌模拟,)化简:2a 2−8a+2-a = a -4 . 解析 原式=2(a 2−4)a+2−a =2(a+2)(a−2)a+2-a =2a -4-a =a -4.7.新设问(2021湖北黄冈,)人们把√5−12这个数叫做黄金分割数,著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数.设a =√5−12,b =√5+12,得ab =1,记S 1=11+a+11+b,S 2=11+a 2+11+b 2,……,S 10=11+a 10+11+b 10,则S 1+S 2+…+S 10= 10 .解析 S 1=11+a +11+b =1+b+1+a(1+a)(1+b)=2+a+b1+a+b+ab =2+a+b2+a+b =1, S 2=11+a 2+11+b 2=1+b 2+1+a 2(1+a 2)(1+b 2)=2+a 2+b 21+a 2+b 2+a 2b 2=2+a 2+b 22+a 2+b 2=1, S 3=11+a 3+11+b 3=1+b 3+1+a 3(1+a 3)(1+b 3)=2+a 3+b 31+a 3+b 3+a 3b 3=2+a 3+b 32+a 3+b 3=1, ……,以此类推,S 10=11+a 10+11+b 10=1. 所以S 1+S 2+…+S 10=1+1+⋯+1⏟ 10个=10.三、解答题(共74分) 8.(2022嘉兴平湖一模,) 化简:(1−1x )÷x 2−1x.解析 原式=x−1x÷x 2−1x=x−1x·x(x+1)(x−1)=1x+1.9.(2022宁波镇海一模,)先化简,再求值:a 3−4ab 2a 3−4a 2b+4ab 2,其中a=-2,b=12.解析 原式=a(a 2−4b 2)a(a 2−4ab+4b 2)=a(a+2b)(a−2b)a(a−2b)2=a+2b a−2b .当a=-2,b=12时,原式=−2+2×12−2−2×12=−2+1−2−1=13.10.(2022江西,)以下是某同学化简x+1x 2−4-1x+2÷3x−2的部分运算过程:解:原式=[x+1(x+2)(x−2)−1x+2]×x−23①=[x+1(x+2)(x−2)−x−2(x+2)(x−2)]×x−23②=x+1−x−2(x+2)(x−2)×x−23③……(1)上面的运算过程中第 ③ 步出现了错误; (2)请你写出完整的解答过程. 解析 (1)③. (2)原式=x+1(x+2)(x−2)−1x+2×x−23=x+1(x+2)(x−2)−x−2(x+2)(x−2)×x−23=x+1−x+2(x+2)(x−2)×x−23=3(x+2)(x−2)×x−23=1x+2.11.(2022新疆,)先化简,再求值:(a 2−9a 2−2a+1÷a−3a−1−1a−1)·1a+2,其中a =2.解析 (a 2−9a 2−2a+1÷a−3a−1−1a−1)·1a+2 =[(a+3)(a−3)(a−1)2·a−1a−3−1a−1]·1a+2=(a+3a−1−1a−1)·1a+2 =a+2a−1·1a+2 =1a−1.当a =2时,原式=12−1=1.12.(2022衢州衢江一模,)先化简,再求值:2x 2−1÷1x+1−1x−1,从1,2,3这三个数中选择一个你认为适合的数作为x 的值代入求值. 解析 原式=2(x+1)(x−1)·(x +1)-1x−1=2x−1−1x−1=1x−1. 要使原式有意义,x 只能取2,3.当x =2时,原式=1;当x =3时,原式=12.(写出一种情况即可) 13.(2022湖州南浔一模,)先化简:a−1a 2−1÷2aa+1,再选择一个适当的数代入求值.解析 原式=a−1(a+1)(a−1)·a+12a =12a .当a =2时,原式=14.(答案不唯一,a 取不为0、±1的任何实数均可) 14.(2021嘉兴模拟,)贝贝家的浴缸上有两个水龙头,一个放热水,一个放冷水,放热水的水龙头的放水速度是a L/min ,放冷水的水龙头的放水速度是b L/min ,现要将浴缸注满水,有两种放水方式:方式一:先开热水龙头,使热水注满浴缸的一半,后一半容积的水开冷水龙头注放; 方式二:前一半时间开热水龙头注放,后一半时间开冷水龙头注放. 你认为以上两种方式中,哪种方式更节省时间?谈谈你的看法和理由. 解析 方式一:设浴缸容积为V L ,注满总时间为t min , 根据题意,得t =V2a +V2b .方式二:设浴缸容积为V L ,注满总时间为t' min , 根据题意,得12t′a +12t'b =V. 所以t'=2Va+b .故t -t'=V2a +V2b −2Va+b =V[(a+b)2−4ab]2ab(a+b)=V(a−b)22ab(a+b).①当a =b 时,t -t'=0,即t =t'; ②当a ≠b 时,V(a−b)22ab(a+b)>0,即t >t'.综上,当放热水速度与放冷水速度不相等时,方式二节省时间;当两水龙头放水速度相等时,两种方式注满水的时间相等.。
中考数学一轮复习专题解析—分式的运算
中考数学一轮复习专题解析—分式的运算复习目标1.了解分式的概念2.会利用分式的基本性质进行约分和通分。
3.会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算4.能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程5.会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；考点梳理一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.【归纳总结】分式的概念需注意的问题：（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B ≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B ≠0．②当B =0时，分式无意义；当分式无意义时，B =0．③当B ≠0且A =0时，分式的值为零．例1、若把x ，y 的值同时缩小x 为原来的13倍，则下列分式的值保持不变的是（）A ．xy x y+B ．22y x ++C ．()22x y x +D ．222x y x -【答案】C 【解析】A.1111333==11333x y xyxy x y x y x y⨯⨯+++，选项说法错误，不符合题意；B.61263=3616233y y x x y x +++=+++，选项说法错误，不符合题意；C.22222222111()()()33311()()33x y x y x y x x x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==，选项说法正确，符合题意；D.22222213112261())(33()3xx xy x y x y x ⨯==---⨯，选项说法错误，不符合题意故选C二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算±=同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．例2、计算22111m mm m----的结果是（）A．1m+B．1m-C．2m-D．2m--【答案】B【解析】解：()222121211 1111mm m m m mm m m m---+-===-----；故选B．【归纳总结】约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．【特别提醒】通分注意事项(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．【特别提醒】1.解分式方程注意事项(1)去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；(2)解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．2.列分式方程解应用题的基本步骤(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．例3、随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周6000件提高到8400件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．6000x＝840080x+B．6000x+80＝8400xC．8400x＝6000x﹣80D．6000x＝840080x-【答案】A【解析】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换交通工具后平均每人每周投递快件（x+80）件，依题意得：6000x＝840080x+，故选：A．综合训练1．（2022·全国九年级课时练习）若代数式13x x -+有意义，则x 的取值范围是（）A ．3x ≠B ．1x ≠C ．3x ≥-D ．3x ≠-【答案】D【分析】根据分式有意义的条件分析即可．【详解】 数式13x x -+有意义，30x ∴+≠，解得3x ≠-．故选D ．2．（2022·老河口市教学研究室九年级月考）化简2b a ba a a ⎛⎫+-÷ ⎪⎝⎭的结果是（）A ．-a bB ．a b +C ．1a b-D ．1a b+【答案】A【分析】直接将括号里面通分，进而分解因式，再利用分式的除法运算法则计算得出答案．【详解】解：2b a ba a a ⎛⎫+-÷⎪⎝⎭=22a b aa a b-⨯+=()()a b a b aaa b+-⨯+=-a b ．故选：A ．3．（2022·厦门市第九中学九年级二模）港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳门，全程55千米．通车前需走水陆两路共约170千米，通车后，约减少时间3小时，平均速度是原来的2.5倍，如果设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，则可列方程为（）A ．1705532.5x x-=B ．5517032.5x x-=C ．17055 2.53x x ⨯-=D ．1705532.5x x-=【答案】D【分析】设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x 千米/小时，根据它们行驶的时间差为3小时列出分式方程．【详解】解：设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x 千米/小时，依题意得：1705532.5x x-=故选D ．4．（2022·哈尔滨市第十七中学校）分式方程1x x +12x +-＝1的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【答案】A【分析】观察可得最简公分母是x （x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可．【详解】解：112x x x ++-＝1，去分母，方程两边同时乘以x （x ﹣2）得：（x +1）（x ﹣2）+x ＝x （x ﹣2），x 2﹣x ﹣2+x ＝x 2﹣2x ，x ＝1，经检验，x ＝1是原分式方程的解．故选：A ．5．（2022·四川九年级期中）关于x 的方程244x ax x -=++有增根，则a 的值为（）A ．－4B ．－6C ．0D ．3【答案】B【分析】将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根求得4x =-，代入整式方程即可．【详解】解：244x ax x -=++两边同时乘4x +得：2x a -=①∵244x ax x -=++有增根∴4x =-代入方程①得：6a =-故答案为B ．6．（2022·全国）已知实数a ，b 满足1a b ⋅=，那么221111a b +++的值为（）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】把所求分式通分，再把已知条件代入求解．【详解】解：∵•1a b =，∴()2221a b ab ==，∴22222222112111a b a b a b b a +++=+++++2222211a b b a ++=+++1=．故选：C ．7．（2022·日照市田家炳实验中学九年级一模）已知关于x 的方程2222x mm x x+=--无解，则m 的值是___．【答案】12或1【分析】分方程有增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母20x -=，得到2x =，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值和方程没有增根两种情况进行讨论.【详解】解：①当方程有增根时方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，∴最简公分母20x -=，解得2x =，当2x =时，1m =故m 的值是1，②当方程没有增根时方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，解得221mx m =-，当分母为0时，此时方程也无解，∴此时210m -=，解得12m =，∴综上所述，当12m =或1时，方程无解.故答案为：12或1.8．（2022·山东滨州市·九年级其他模拟）已知关于x 的分式方程3522x mx x=+--的解为非负数，则m 的取值范围为______．【答案】10m ≥-且6≠-m 【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．【详解】解：3522x m x x=+--去分母，得：35(2)x m x =-+-，移项、合并，得：210x m=+系数化为1得：102mx +=∵分式方程的解为非负数，∴1002m +≥且1022m +≠，解得：10m ≥-且6≠-m ，故答案为：10m ≥-且6≠-m ．9．（2022·云南九年级期末）先化简，再求值：212(1)11x x x ++÷+-，其中2x =．【答案】x -1，1【分析】根据分式的混合运算法则化简原式然后代值计算即可．【详解】解：原式=2111()12x x x x ++-⨯++=2(1)(1)12x x x x x ++-⨯++=1x -，∵2x =，∴原式=211-=．10．（2022·河南三门峡市·）下面是小锐同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．229216926x x x x x -+-+++()()()()23321233x x x x x +-+=-++…第一步()321323x x x x -+=-++…第二步()()()23212323x x x x -+=-++…第三步()()262123x x x --+=+…第四步()262123x x x --+=+…第五步526x =-+…第六步（1）填空：①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______；②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是__________．（2）请从出现错误的步骤开始继续进行该分式的化简；（3）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】（1）①三，分式的基本性质；②五，括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；（2）见解析；（3）最后结果应化为最简分式或整式【分析】（1）①分式的通分是把异分母的分式化为同分母的分式，通分的依据是分式的基本性质，据此即可进行判断；②根据分式的运算法则可知：第五步开始出现错误，然后根据去括号法则解答即可；（2）根据分式的混合运算法则解答；（3）可从分式化简的最后结果或通分时应注意的事项等进行说明．【详解】解：（1）①在以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质（或分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变）；②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是：括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；（2）原式()262172326x x x x ---==-++；（3）答案不唯一．如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆等．。
初中数学总复习-分式
2
2.(2018·重庆中考A卷)计算:
x2 x 2 4x 4 ( x 2) . x 3 x 3
ac a d a c bd g ___. b c b d an a ( ) n __. bn b
【自我诊断】(打“√”或“×”)
x 1 x 3 1.若分式 有意义,则x≠-2,-3,-4. ( √ ) x2 x4 2x y 2.将分式 中的x,y值均扩大为原来的10倍, 2 3x y
第三讲
分 式
一、分式的概念和基本性质
整式 1.分式的概念:一般地,如果A,B表示两个_____,
A 字母 并且B中含有_____,那么式子 叫做分式. B
2.分式的基本性质:分式的分子与分母同乘(或除以) 整式 分式的值_____. 不变 同一个不等于0的_____,
AM AM A 用式子表示: =_______=______ B M (其中M为不等于0 B M B
【自主解答】当x+2≠0时,分式 1 有意义,即当
x2
x≠-2时, 1
x2
有意义.
答案:x≠-2
【跟踪训练】 (2018·贵港中考)若分式 2 ________. 【解析】若分式 2 的值不存在,说明分式无意义,因
x 1 x 1
的值不存在,则x的值为
此x+1=0,解得x=-1. 答案:-1
则分式的值不变. ( × )
3.分式
3a 2(a+b), 的分母经过通分后变成 2(a-b) a 2 b2
那么分子应变为6a(a-b).(√ )
4. c c 1 1 1 .
a a a a
(√)
2 x 1 5.当x=-1时,分式 2 的值为.( √ ) 3 2x 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分时复习题
例1化简下列各式：
（1）abc ac 1222- （2）a a a 2422
--
（3）82162+-x x （4）2
222444y x y xy x -+- 2、计算：
（1）xy xz yz xy 169342
2∙
（2）3118222-÷-x x
（3）3210
3243++++-x x x x
（4）34121331222+-+-∙-+--x x x x x x x
例2先化简，后求值：
x
x x x x
-÷⎪⎭⎫
⎝⎛+--24
22 ，其中x =–1．
例3解下列分式方程：
（1）12
11
2-=+x x
（2）21315=--+-x x x
（3）
14145=-+--x x x （4）1
613122-=--+x x x
例4、1在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项
工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩
下的工程还需要两队合做20天才能完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；
（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．
2、A 、B 两地相距80千米，甲骑车从A 地出发1小时后，乙也从A 地出发，用
相当于甲1.5倍的速度追赶，当追到B 地时，甲比乙先到20分钟，求甲、乙的
速度．
1、选择题：
（1）使分式22--x x 有意义的是 （ ）
A 、2≠x
B 、2-≠x
C 、2±≠x
D 、2=x
（2）若4x =5y ，则222y y x -的值是 （ ）
A 、51-
B 、41
C 、169
D 、25
9- 3一个工人生产零件，计划30天完成，若每天多生产5个，则在26天里完成
且多生产10个，若设原计划每天生产x 个，则这个工人原计划每天生产多少个
零件？根据题意可列方程（ ）
A 、2651030=+-x x
B 、2651030=++x x
C 、10265
30+=+x x D 、31802180=--x
x 4几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，后来又增加了两
名同学，租车价不变，结果每个同学比原来少分摊了3元车费．若设参加旅游
的学生共有x 人，则根据题意可列方程 （ ）
A 、32
180180=+-x x B 、31802180=-+x x C 、32180180=--x x D 、31802180=--x
x 2、填空：
（1）如果某商品降价x %后售价为a 元，那么该商品的原价是 元．
（2）某人打靶，有m 次均打中a 环，有n 次均打中b 环，则此人平均每次中
靶的环数是 ．
（3）当x 时，分式x
x -+11有意义． （4）当x 时，分式)3x )(1x (92---x 的值为0．
5计算：y x a
xy 28512÷= ； 6计算：=+-11
1x ；
三化简求值、已知：3
1-=x ，求x x x x x x --⎪⎭⎫ ⎝⎛++-÷-++11232)1)(2(1的值．
（三）提升训练：
1、已知：311=-y x ，求y
xy x y xy x -+--22的值．
2、已知：0142=+-x x ，求221
x x +的值．
3、已知：4:3:2::=z y x ，求z y x z
y x ++++23432的值．
4、已知：
)3)(2(532-+=-++x x x x B x A ，求A 、B 的值．。