江苏启东中学九年级数学下册第二十七章《相似》综合阶段测试(含答案解析)
九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (200)
九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题（含答案）如图，△ABC 是等边三角形，D ，E 分别是AC ，BC 边上的点，且AD ＝CE ，连接BD ，AE 相交于点F ．（1）△BFE 的度数是多少；（2）如果12AD AC =，那么AF BF等于多少； （3）如果1AD AC n=时，请用含n 的式子表示AF ，BF 的数量关系，并证明．【答案】（1）∠BFE ＝60°；（2）AF BF ＝1；（3）1=1AF BF n -．证明见解析. 【解析】【分析】 （1）易证∠ABD ∠∠ACE ，可得∠DAF ＝∠ABF ，根据外角等于不相邻两个内角的和即可解题．（2）如图1中，当＝时，由题意可知：AD ＝CD ，BE ＝CE ．利用等腰三角形的性质即可解决问题；（3）设AF ＝x ，BF ＝y ，AB ＝BC ＝AC ＝n ．AD ＝CE ＝1，由∠ABD ∠∠CAE ，推出BD ＝AE ，设BD ＝AE ＝m ，利用相似三角形的性质，列出关系式即可解决问题；【详解】（1）∠∠ABC 是等边三角形，∠AB ＝AC ，∠BAD ＝∠C ＝60°，在∠ABD 和∠ACE 中，{AB ACBAD C AD CE=∠=∠=，∠∠ABD ∠∠ACE （SAS ）∠∠DAF ＝∠ABD ，∠∠BFE ＝∠ABD+∠BAF ＝∠DAF+∠BAF ＝∠BAD ＝60°，（2）如图1中，当AD AC ＝12时，由题意可知：AD ＝CD ，BE ＝CE ．∠∠ABC 是等边三角形，BE ＝EC ，AD ＝CD ，∠∠BAE ＝12∠BAC ＝12×60°＝30°，∠ABD ＝12∠ABC ＝30°， ∠∠FAB ＝∠FBA ，∠FA ＝FB ， ∠AF BF＝1． （3）设AF ＝x ，BF ＝y ，AB ＝BC ＝AC ＝n ．AD ＝CE ＝1，∠∠ABD ∠∠CAE ，∠BD＝AE，∠DAF＝∠ABD，设BD＝AE＝m，∠∠ADF＝∠BDA，∠∠ADF∠∠BDA，∠AF AD AB BD=，∠1xn m=①，∠∠FBE＝∠CBD，∠BFE＝∠C＝60°，∠∠BFE∠∠BCD，∠BF BE BC BD=，∠1y nn m-=②，①÷②得到：11xy n=-，∠11 AFBF n=-．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题．97．（1）如图1，Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM＝AN，线段MN与线段AD相交于点T，若AD＝3AT，则tan△ABM＝；（2）如图2，在菱形ABCD中，CD＝6，△ADC＝60°，菱形形内部有一动点P，满足S△PAB＝13S菱形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为．【答案】（1）tan∠ABM＝13；（2）PA+PB的最小值为．【分析】(1)先利用HL证明Rt∠ABM∠Rt∠AND，再证明∠DNT∠∠AMT，可得AMDN＝AT DT ，由AD＝3AT，推出AMDN＝13，在Rt∠ABM中，tan∠ABM＝AMBM＝AMDN＝13；(2) 首先由S∠PAB＝13S菱形ABCD，，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是的直线l上，作A关于直线l的对称点A′，连接AA′，连接BA′，则BA′的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABA′中，由勾股定理求得BA′的值，即PA＋PB的最小值.【详解】（1）∠AD＝AB，AM＝AN，∠AMB＝∠AND＝90°，∠Rt∠ABM∠Rt∠AND（HL）．∠∠DAN＝∠BAM，DN＝BM，∠∠BAM+∠DAM＝90°；∠DAN+∠ADN＝90°，∠∠DAM＝∠ADN，∠ND∠AM，∠∠DNT∠∠AMT，∠AMDN＝ATDT，∠AT＝13 AD，∠AM DN ＝13， 在Rt ∠ABM 中，tan ∠ABM ＝AM BM ＝AM DN ＝13； 故答案为：13； （2）∠四边形ABCD 是菱形，∠AB ＝CD ＝6，连接AC ，BD 交于O ，∠AC ∠BD ，∠∠ADC ＝60°，∠∠CDO ＝30°，∠DO ＝，OC ＝3，∠BD ＝AC ＝6，∠S 菱形ABCD ＝12×6×＝ 设∠ABP 中AB 边上的高是h ，∠S ∠PAB ＝13S 菱形ABCD ，∠12AB •h ＝13×＝∠h ＝∠动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点A ′，连接AA ′，连接BA ′，则BA ′的长就是所求的最短距离．在Rt ∠ABE 中，∠AB ＝6，AA ′＝∠BA ′即PA +PB 的最小值为故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、解直角三角形、三角形的面积，菱形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P 所在的位置是解题的关键．98．如图1，已知抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴相交于A 、B 两点（A 左B 右），与y 轴交于点C ．其顶点为D ．（1）求点D 的坐标和直线BC 对应的一次函数关系式；（2）若正方形PQMN 的一边PQ 在线段AB 上，另两个顶点M 、N 分别在BC 、AC 上，试求M 、N 两点的坐标；（3）如图1，E 是线段BC 上的动点，过点E 作DE 的垂线交BD 于点F ，求DF 的最小值．（图1） （图2）【答案】（1）(1,4)D ，3y x =-+；（2）912(,)77M ，312(,)77N -；（3． 【分析】（1）将二次函数的解析式化为顶点式即可得点D 的坐标；先根据二次函数的解析式可求出B 、C 的坐标，再利用待定系数法可求出直线BC 的一次函数关系式；（2）先利用待定系数法求出直线AC 的解析式，从而可设点M 、N 的坐标，再根据正方形的性质（四边相等）列出等式求解即可；（3）先利用待定系数法求出直线BD 的解析式，再设点E 、F 的坐标，利用待定系数法分别求出直线DE 、EF 的一次项系数，然后利用EF DE ⊥列出等式并化简，得出DF 的表达式，由此求解即可得．【详解】（1）2223(1)4y x x x =-++=--+则顶点D 的坐标为(1,4)D当0y =时，2230x x -++=，解得1x =-或3x =则点A 的坐标为(1,0)A -，点B 的坐标为(3,0)B当0x =时，3y =，则点C 的坐标为(0,3)C设直线BC 对应的一次函数关系式为11y k x b =+将点(3,0)B ，(0,3)C 代入得：111303k b b +=⎧⎨=⎩，解得1113k b =-⎧⎨=⎩ 则直线BC 对应的一次函数关系式为3y x =-+；（2）设直线AC 的解析式为22y k x b =+将点(1,0)A -，(0,3)C 代入得：22203k b b -+=⎧⎨=⎩，解得2233k b =⎧⎨=⎩ 则直线AC 的解析式为33y x =+设点M 的坐标为(,3)M m m -+，点N 的坐标为(,33)N n n +四边形PQMN 是正方形，PQ 在线段AB 上//,MN PQ MN MQ NP ∴==,3,33MN m n MQ m NP n ∴=-=-+=+则有3333m n m m n -=-+⎧⎨-+=+⎩，解得9737m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 912333377n m ∴+=-+=-+= 则点M 的坐标为912(,)77M ，点N 的坐标为312(,)77N -； （3）设直线BD 的解析式为33y k x b =+将点(3,0)B ，(1,4)D 代入得：3333304k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得3326k b =-⎧⎨=⎩ 则直线BD 的解析式为26y x =-+设点E 的坐标为(,3)E e e -+，点F 的坐标为(,26)F a a -+，则03e <<，13a <<1)DF a ∴==-由题意，分以下两种情况：①当1e =时，则(1,2)E ，此时点E 恰好在抛物线的对称轴上EF DE ⊥∴点F 的纵坐标为2，即262a -+=，解得2a =则1)(21)DF a =-=-=②当1e ≠且03e <<时设直线DE 的解析式为44y k x b =+将点(,3)E e e -+，(1,4)D 代入得：444434ek b e k b +=-+⎧⎨+=⎩，解得411e k e +=-- 设直线EF 的解析式为55y k x b =+将点(,3)E e e -+，(,26)F a a -+代入得：5555326ek b e ak b a +=-+⎧⎨+=-+⎩，解得523e a k e a-+-=- EF DE ⊥451k k ∴⋅=-，即12311e e a e e a+-+--⋅=--- 整理得：223331e e a e ++=+则22331)5(1)31e e DF a e ++=-=-+=2(31)2(31)10931e e e +-++=+1012)931e e =++-+ 1e ≠且03e <<13110e ∴<+<且314e +≠对于任意两个正数12,x x都有20≥120x x ∴+-≥，即12x x +≥，当且仅当12x x =时，等号成立设31t e =+（110t <<且4t ≠）则10(2)2)999DF t t =+-≥=，当且仅当10t t =，即=t因此，此时DF又599-===>9>9综上，DF【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了利用待定系数法求出一次函数的解析式、⊥，二次函数的性质、正方形的性质等知识点，较难的是题（3），依据EF DE正确得出点E、F坐标之间的关系等式是解题关键．99．如图，等边△ABC内接于△O，P是AB上任意一点（不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM//BP交PA的延长线于点M.（1）求△APC和△BPC的度数（2）探究PA、PB、PM之间的关系（3）若PA=1，PB=2，求四边形PBCM的面积．【答案】（1）∠APC=60°；∠BPC=60°；（2）PM= PA＋PB；（3【分析】（1）根据等边三角形的性质和同弧所对的圆周角相等即可得出结论；（2）根据平行线的性质可得∠MCP=∠BPC=60°，然后根据等边三角形的判定可得∠CPM为等边三角形，再利用SAS证出∠BCP∠∠ACM，即可得出PB=AM，从而得出结论；（3）过点C作CD∠MP于D，根据（2）的结论和等边三角形的性质求出AM和CD，利用三角形的面积公式即可求出S∠CAM和S∠CAP，然后根据全等三角形的性质可得S∠BCP= S∠ACM，最后根据S四边形PBCM = S∠CAM＋S∠CAP＋S∠BCP即可得出结论．【详解】解：（1）∠∠ABC为等边三角形∠∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC∠∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；（2）PM= PA＋PB，理由如下∠CM∠BP∠∠MCP=∠BPC=60°∠∠M=180°－∠MPC－∠MCP=60°∠∠CPM为等边三角形∠CP=CM，∠PCM=60°∠∠ACB=60°∠∠ACB=∠PCM∠∠BCP=∠ACM在∠BCP和∠ACM中CP CM BCP ACM BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠BCP ∠∠ACM∠PB=AM∠PM=PA ＋AM=PA ＋PB（3）过点C 作CD ∠MP 于D∠PA=1，PB=2，∠PM=PA ＋PB=3，AM=PB=2∠∠CPM 为等边三角形∠CM=CP=PM=3，∠CD ∠MP∠MD=12PM =32根据勾股定理可得=∠S ∠CAM=12AM CD •= S ∠CAP=124PA CD •= ∠∠BCP ∠∠ACM∠S ∠BCP = S ∠ACM =∠S 四边形PBCM = S ∠CAM ＋S ∠CAP ＋S ∠BCP 4=【点睛】此题考查的是等边三角形的判定及性质、圆周角定理的推论、全等三角形的判定及性质和三角形的面积，掌握等边三角形的判定及性质、同弧所对的圆周角相等、全等三角形的判定及性质和三角形的面积公式是解决此题的关键．100．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，E 、F 为线段AB 上两动点，且45ECF ∠=︒，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．（1）求证：ACE BFC ∆∆∽；（2）试探究AF 、BE 、EF 之间有何数量关系？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）222EF AF BE =+，理由见解析【分析】（1）由已知得出∠A=∠5=45°，再证得∠7=∠ACE ，即可得出∠ACE ∠∠BFC ；（2）将∠ACF 顺时针旋转90°至∠BCD ，由旋转的性质得出CF=CD ，∠1=∠4，∠A=∠6=45°，BD=AF ，证得∠DCE=∠2，由SAS 可证∠ECF ∠∠ECD ，得出EF=DE ，证得∠EBD=90°，由勾股定理即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∠90ACB ∠=︒，AC BC =，∠545A ∠=∠=︒，∠71145A ∠=∠+∠=∠+︒，12145ACE ∠=∠+∠=∠+︒，∠7ACE ∠=∠，∠ACE BFC ∆∆∽；（2）222EF AF BE =+，理由如下：∠90ACB ∠=︒，AC BC =，∠545A ∠=∠=︒，将ACF ∆顺时针旋转90︒至BCD ∆，如图所示：则CF CD =，14∠=∠，645A ∠=∠=︒，BD AF =，∠245∠=︒，∠133445∠+∠=∠+∠=︒，∠2DCE ∠=∠，在ECF ∆和ECD ∆中，2CF CD DCE CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠()ECF ECD SAS ∆∆≌，∠EF DE =，∠545∠=︒，∠90EBD ∠=︒，∠222DE BD BE =+，即222EF AF BE =+．【点睛】本题是相似形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定、旋转的性质等知识；综合性较强，有一定的难度．。
九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (264)
九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题（含答案）如图，点O是等边三角形PQR的中心，'P，'Q，'R分别是OP，OQ，OR 的中点，则'''P Q R与PQR是位似三角形．此时，'''P Q R与PQR的位似比为________．【答案】1:2【解析】【分析】△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，即△P′Q′R′△△PQR，根据相似比等于P′Q′：PQ，可求得P′Q′=12PQ，从而可求得△P′Q′R′与△PQR的位似比为1：2．【详解】△△P′Q′R′与△PQR是位似三角形△△P′Q′R′△△PQR△相似比等于P′Q′:PQ△P′,Q′,R′分别是OP，OQ，OR的中点△P′Q′=12 PQ△△P′Q′R′与△PQR的位似比为1:2.故答案为1:2.【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是熟练的掌握位似变换相关知识点. 52．如图，点O为四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似中心，OA1=3OA，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形 A 1B 1C 1 D 1的面积为______．【答案】45【解析】 由题意可知，1OA OA =11AD A D ，四边形ABCD △四边形A 1B 1C 1D 1，所以11AD A D =1OA OA =13，1111ABCD A B C D S S 四边形四边形=(13)2，即11115A B C D S 四边形=19，则1111A B C D S 四边形=45，故答案为45. 53．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，E 为AB 的中点，P 为BC 上一动点，作PQ ⊥EP 交直线CD 于点Q ，设点P 每秒以1个单位长度的速度从点B 运动到点C 停止，在此时间段内，点Q 运动的平均速度为每秒_____个单位．【答案】43【分析】由题意可证△BEP △△CPQ ，可得BE BP PC CQ =，即CQ ＝(8)3BP BP -＝2(4)163BP --+，即可求CQ 的最大值，则可求点Q 运动的平均速度． 【详解】解：△四边形ABCD 是矩形△AB ＝CD ＝6，△B ＝△C ＝90°，△△BEP+△BPE ＝90°△E 为AB 的中点，△BE ＝3△PQ △EP△△BPE+△CPQ ＝90°，△△BEP ＝△CPQ ，且△B ＝△C ＝90°△△BEP △△CPQ △BE BP PC CQ= △CQ ＝(8)3BP BP -＝2(4)163BP --+ △CQ 的最大值为163△点Q 路程＝2×163＝323 △点Q 运动的平均速度＝323÷（8÷1）＝43 故答案为：43 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，二次函数的性质，求出CQ 的最大值是本题的关键．54．如图在正方形ABCD 中，点M 为BC 边上一点，BM 4MC =，以M 为直角顶点作等腰直角三角形MEF ，点E 在对角线BD 上，点F 在正方形外EF 交BC 于点N ，连CF ，若BE 2=，CMF S 3=，则MN =______．【答案】2【解析】分别过点E 、F 作EP △BC ，FQ △BC ，垂足分别为P 、Q ，△△BPE=△EPM=△FQM=△FQN=90°，△EP//FQ ，△△PEM+△EMP=90°，△△EMP+△QMF=△EMF=90°，△△PEM=△QMF ，又△ME=MF ，△△PEM △△QMF ，△PE=MQ ，PM=FQ ，△四边形ABCD 是正方形，△△DBC=45°，△△BPE =90°，△△BEP=45°=△EBP ，△BP=PE=2BE=22⨯=△+PM=+FQ ，△BM=4CM ，S △CMF ＝·2CM FQ =3，△，△，△EP//FQ ，△△EPN △△FQN ，△EP ：FQ=PN ：NQ ， ：3=（-NQ ）：NQ ，△，△MN=NQ+MQ=2=2，故答案为2.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，准确添加辅助线是解题的关键.55．如图，在等腰直角⊥ABC 中，AB ＝4，点D 是边AC 上一点，且AD ＝1，点E 是AB 边上一点，连接DE ，以线段DE 为直角边作等腰直角⊥DEF （D 、E 、F 三点依次呈逆时针方向），当点F 恰好落在BC 边上时，则AE 的长是_____．【答案】32或2 【分析】分两种情况：①当△DEF ＝90°时，证明△CDF △△BFE ，得出CF CD DFBE BF EF ===BF 2=，得出CF ＝BC ﹣BF ，得出BE 52=，即可得出答案； ②当△EDF ＝90°时，同①得△CDF △△BFE ，得出CF CD DF BE BF EF ===出BF CD ＝CF ＝BC ﹣BF ，得出BE CF ＝2，即可得出答案．【详解】解：分两种情况：①当△DEF ＝90°时，如图1所示：△△ABC 和△DEF 是等腰直角三角形，△AC ＝AB ＝4，△B ＝△C ＝△EFD ＝△EDF ＝45°，BC AB ＝，DF EF ，△AD ＝1，△CD ＝AC ﹣AD ＝3，△△EFC ＝△EFD+△CFD ＝△B+△BEF ，△△CFD ＝△BEF ，△△CDF △△BFE ，△CF CD DF BE BF EF===△BF2=，△CF ＝BC ﹣BF ＝， △BE52， △AE ＝AB ﹣BE ＝32； ②当△EDF ＝90°时，如图2所示：同①得：△CDF △△BFE ， △CF CD DF BE BF EF ===， △BF CD ＝，△CF ＝BC ﹣BF ＝﹣，△BE CF ＝2，△AE ＝AB ﹣BE ＝2；综上所述，AE 的长是32或2； 故答案为：32或2． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．。
九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (133)
九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题（含答案）如图，l1∥l2∥l3，AB=25AC，DF=10，那么DE=_________________.【答案】4【解析】试题解析：：∵l1∵l2∵l3，∵AB DE AC DF＝．∵AB=25 AC，∵25 ABAC＝，∵25 DEDF＝．∵DF=10，∵2 105 DE＝，∵DE=4．72．如图，在正方形ABCD中，点E为AD的中点，连接EC，过点E作EF EC⊥，交AB于点F，则tan ECF∠=____．【答案】12【解析】试题解析：∵四边形ABCD是正方形，∵AD=DC，∵A=∠D=90°，∵AE=ED，∵CD=AD=2AE，∵∵FEC=90°，∵∵AEF+∵DEC=90°，∵∵DEC+∵DCE=90°，∵∵AEF=∵DCE，∵∵A=∵D，∵∵AEF∵∵DCE，∵1=2 AE EFDC EC=，∵tan∵ECF=12 EFEC=．【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、三角函数的定义等知识，解题的关键是灵活应用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．三、解答题73．如图，在梯形ABCD中，//AB CD，AD=BC，E是CD的中点，BE 交AC于F，过点F作//FG AB，交AE于点G．（1）求证：AG=BF；（2）当2AD CA CF=⋅时，求证：AB AD AG AC⋅=⋅．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据等腰梯形的性质求得∵ADE ＝∵BCE ，进而证得∵ADE ∵∵BCE ，得出AE ＝BE ，根据平行线分线段成比例定理即可证得结论；（2）先根据已知条件证得∵CAB ∵∵CBF ，证得AB AC BF BC=，因为BF ＝AG ，BC ＝AD ，所以AB AC AG AD=，从而证得AB •AD ＝AG •AC ． 【详解】证明：（1）∵在梯形ABCD 中，AB ∵CD ，AD ＝BC ，∵∵ADE ＝∵BCE ，在∵ADE 和∵BCE 中AD BC ADE BCE DE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵ADE ∵∵BCE ．∵AE ＝BE ，∵FG ∵AB ， ∵AG BF AE BE=， ∵AG ＝BF ．（2）∵AD 2＝CA •CF ， ∵AD CF CA AD=，∵AD ＝BC ， ∵BC CF CA BC=． ∵∵BCF ＝∵ACB ，∵∵CAB ∵∵CBF ． ∵AB AC BF BC=． ∵BF ＝AG ，BC ＝AD ， ∵AB AC AG AD=． ∵AB •AD ＝AG •AC ．【点睛】主要考查了三角形相似的判断和性质，平行线分线段成比例定理的应用，解题关键是熟练掌握性质定理，并灵活运用．74．如图，抛物线243y ax ax a =-+（0a >），与y 轴交于点A ，在x 轴的正半轴上取一点B ，使2OB OA =，抛物线的对称轴与抛物线交于点C ，与x 轴交于点D ，与直线AB 交于点E ，连接BC ．（1）求点B ，C 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）若BCD △与BDE 相似，求a 的值；（3）连接OE ，记OBE △的外心为M ，点M 到直线AB 的距离记为h ，请探究h的值是否会随着a的值变化而变化？如果变化，请写出h的取值范围：如果不变，请求出h的值．【答案】（1）B（6a，0），C（2，a-），（2）1441，，，；（3211134【分析】（1）将抛物线配方为2=--，得出顶点C（2，a-），当x=0时，y a x a(2)y=3a，OA=3a，OB=2OA=6a，即可得出点B坐标；（2）由点B位置不确定分三种情况讨论，若点B在点D的右侧时，若点B在点D的左侧时，若点B与点D重合时，得出1a=此情况不存在，另外∵BCD3与∵BDE相似时有两种情况∵DBC=∵EBD，与∵DCB=∵EBD时利用相似三角形的性质求a的值；（3）由点B位置不确定分三种情况讨论，若点B在点D的右侧时，若点B在点D的左侧时，若点B与点D重合时，利用相似三角形的性质求出MF的长度即可；【详解】（1）22=-+--，y ax ax a a x a43=(2)顶点C坐标为（2，a-），当x=0时，y=3a，A（0，3a），OA=3a，OB=2OA=6a，点B坐标为（6a，0），（2）由（1）知OD=2，OB=6a，BD=6a-2，若点B在点D的右侧时，如图1则6a -20>， ∵13a >， 当∵DBC=∵EBD 时∵tan ∵DBC=tan ∵EBD=OA 1=OB 2， ∵CD 1=BD 2， ∵1=622a a -， 1=2a ∴，当∵DCB=∵EBD 时，tan ∵DCB=tan ∵EBD=OA 1=OB 2， BD 1=CD 2， 6-21=2a a ， 411a =， 若点B 在点D 的左侧时，如图2，则1062,03a a <<<<，DB=2-6a ，当∵DBC=∵EBD 时，∵tan ∵DBC=tan ∵EBD=OA 1=OB 2， ∵CD 1=BD 2， ∵1=262a a -， 1=4a ∴， 当∵DCB=∵EBD 时，tan ∵DCB=tan ∵EBD=OA 1=OB 2， BD 1=CD 2， 2-61=2a a ， 413a =，若点B 与点D 重合时，则62a =，13a ∴=此情况不存在， 综上所述a 的值为1441211134a =，，，； （3）由题意知点M 在OB 和BE 的垂直平分线上，设OB 和BE 的垂直平分线交于点M ，其中OB 的垂直平分线与OB 交于点G ，BE 的垂直平分线交OB 于点H 交BE 于点F ，当点B 在点D 的右侧时，如图362a ∴>，12a ∴>， BD=6-2a ∴，1tan 2EBD ∠=， 1312ED BD a ∴==-， 由勾股定理可求的BE =1BF=2∴1HF=BF=24-∴， 由勾股定理可求：1554a BH -=， 534a HG BG BH -∴=-=， GMH=EBD ∠∠，sin sin GMH EBD ∴∠=∠=，MF MH HF ∴=+= 当点B 在点D 的左侧时如图4，103a ∴<<， BD=OD-OB=2-6a ∴，1tan tan 2ABO DBE ∴∠=∠=， 1132DE BE a ∴==-， 由勾股定理可求的BE =，122BF BE ∴==，12DE BD ∴==， 由勾股定理可求得5154a BH -∴=， 132GB OB a ==， 534a GH GB BH -∴=+=， 90HBF BHF ∠+∠=︒，+=90GMH BHF ∠∠︒，=HBF GMH ∴∠∠，sin sin HBF GMH ∴∠=∠=，MH ∴==，∴=-=MF MH HF当点B与点D重合时，此时1a=，3此情况不符合题意，舍去，综上所述，点M到直线AB【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点，抛物线的顶点坐标，分类讨论思想，相似三角形的性质，三角形的外心，锐角三角函数，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法，配方为抛物线的顶点式，求顶点坐标，会用分类思想研究三角形相似的情况，利用相似的性质求a的值，以及外心到AB的距离．本题难度较大，综合较强，是压轴题．75．如图1，E是等边三角形ABC的边AB所在直线上一点，D是边BC 所在直线上一点，且D与C不重合，若EC=ED．则称D为点C关于等边三角形ABC的反称点，点E称为反称中心．在平面直角坐标系xOy中，（1）已知等边三角形AOC的顶点C的坐标为（2，0），点A在第一象限内，反称中心E在直线AO上，反称点D在直线OC上．①如图2，若E为边AO的中点，在图中作出点C关于等边三角形AOC的反称点D，并直接写出点D的坐标：___.②若AE=2，求点C关于等边三角形AOC的反称点D的坐标；（2）若等边三角形ABC的顶点为B（n，0），C（n+1，0），反称中心E在直线AB上，反称点D在直线BC上，且2≤AE＜3．请直接写出点C关于等边三角形ABC的反称点D的横坐标t的取值范围:P_____(用含n的代数式表示）．【答案】（1）①（-1，0）②D（-2，0）；（2）n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．【分析】（1）①过点E作EF∵OC，垂足为F，根据等边三角形的性质可得DF=FC=3 2，OF=12，即可求OD=1，即可求点D坐标；②分点E与坐标原点O重合或点E在边OA的延长线上两种情况讨论，根据反称点定义可求点D的坐标；（2）分点E在点E在AB的延长线上或在BA的延长线上，根据平行线分线段成比例的性质，可求CF=DF的值，即可求点D的横坐标t的取值范围．【详解】（1）①如图，过点E作EF∵OC，垂足为F，∵EC=ED，EF∵OC∵DF=FC，∵点C的坐标为（2，0），∵AO=CO=2，∵点E是AO的中点，∵OE=1，∵∵AOC=60°，EF∵OC，∵∵OEF=30°，∵OE=2OF=1∵OF=12，∵OC=2，∵CF=32=DF，∵DO=1∵点D坐标（-1，0）故答案为（-1，0）②∵等边三角形AOC的两个顶点为O（0，0），C（2，0），∵OC=2．∵AO=OC=2．∵E是等边三角形AOC的边AO所在直线上一点，且AE=2，∵点E与坐标原点O重合或点E在边OA的延长线上，如图，若点E与坐标原点O重合，∵EC=ED，EC=2，∵ED=2．∵D是边OC所在直线上一点，且D与C不重合，∵D点坐标为（-2，0）如图，若点E在边OA的延长线上，且AE=2，∵AC=AE=2，∵∵E=∵ACE．∵∵AOC为等边三角形，∵∵OAC=∵ACO=60°．∵∵E=∵ACE=30°．∵∵OCE=90°．∵EC=ED，∵点D与点C重合．这与题目条件中的D与C不重合矛盾，故这种情况不合题意，舍去，综上所述：D（-2，0）（2）∵B（n，0），C（n+1，0），∵BC=1，∵AB=AC=1∵2≤AE＜3，∵点E在AB的延长线上或在BA的延长线上，如图点E在AB的延长线上，过点A作AH∵BC，过点E作EF∵BD∵AB=AC，AH∵BC，∵BH=CH=12，∵AH∵BC，EF∵BD ∵AH∵EF∵AB BHBE BF＝,若AE=2，AB=1∵BE=1，∵AB BHBE BF＝=1∵BH=BF=1 2∵CF=32=DF∵D的横坐标为：n-12-32=n-2，若AE=3，AB=1∵BE=2，∵AB BHBE BF＝=12∵BF=2BH=1∵CF=DF=2∵D的横坐标为：n-1-2=n-3，∵点D的横坐标t的取值范围：n-3＜t≤n-2，如图点E在BA的延长线上，过点A作AH∵BC，过点E作EF∵BD，同理可求：点D的横坐标t的取值范围：n+2≤t＜n+3，综上所述：点D的横坐标t的取值范围：n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．故答案为n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．【点睛】此题考查三角形综合题，等边三角形的性质，平行线分线段成比例，解题关键在于理解题意作辅助线，是中考压轴题．。
九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (75)
九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题（含答案）在如图的网格中，小正方形的边长都是1，利用所学知识两种解法求四边形ABCD的面积，写出完整求解过程．【答案】方法一：见解析；方法二：见解析.【解析】【分析】方法一，把不规则的四边形ABCD补成规则图形，常规做法是过A、B、C 构造以网格线为边长的矩形，用矩形面积减去两个小直角三角形和一个矩形的面积和即得到四边形ABCD的面积．方法二，通过连接AC把不规则的四边形ABCD补成△ABC，则四边形面积为△ABC面积减去直角△ACD面积．计算得到AB2＝65，BC2＝52，AC2＝13，满足勾股定理逆定理，即△ABC为直角三角形且△ACB＝90°，易求其面积．【详解】方法一：如图，构造矩形GEFB，△S△GAB＝12GA•GB＝12×1×8＝4，S矩形AECD＝AE•EC＝3×2＝6，S △BCF ＝12CF •BF ＝12×6×4＝12，S 矩形GEFB ＝GE •EF ＝4×8＝32，△S 四边形ABCD ＝S 矩形GEFB ﹣S △GAB ﹣S 矩形AECD ﹣S △BCF ＝32﹣4﹣6﹣12＝10； 方法二：连接AC ，得Rt △ADC ，由图形及勾股定理得：AC 2＝32+22＝13，BC 2＝62+42＝52，AB 2＝82+12＝65，△AC 2+BC 2＝AB 2，△△ACB 为直角三角形且△ACB ＝90°，△S △ACB ＝12AC •BC ＝12，S △ADC ＝12AD •CD ＝12×2×3＝3， △S 四边形ABCD ＝S △ACB ﹣S △ADC ＝13﹣3＝10. 【点睛】本题考查了求三角形面积，勾股定理逆定理．在网格或直角坐标系中，要求不规则图形面积，常规做法是补成规则的三角形或四边形，使补成的三角形或四边形的边长在网格线（或与坐标轴平行的线）上．72．如图，AB 为O 的直径，4AB =，C 为O 上一点，且AC=BC ，P 为BC 上的一动点，延长AP 至Q ，使得2•AP AQ AB =，连接BQ ．（1）求证：直线BQ 是O 的切线；（2）若点P 由点B 运动到点C ，则线段PQ 扫过的面积是__________．（结果保留π）【答案】（1）见解析；（2）6π- 【分析】（1）做辅助线根据2•AP AQ AB =证明ABP AQB ∆∆∽,由相似三角形性质即可解题,（2）作出图像得S 阴影=S △ABQ -S △AOC -S 扇形BOC ,即可解题.【详解】（1）证明：连接PB ．AB 是O 的直径，90APB ∴∠=︒．2•AP AQ AB =，AP ABAB AQ∴=． 在ABP ∆和AQB ∆中，BAP QAB ∠=∠，ABP AQB ∴∆∆∽．90ABQ APB ∴∠=∠=︒，即AB BQ ⊥．AB 是O 的直径，∴直线BQ 是O 的切线．（2）解：6π-．如下图,阴影部分的面积即为线段PQ 扫过的面积, △AB=4,由（1）可得, BQ=4,OC=2,△S 阴影=S △ABQ -S △AOC -S 扇形BOC ,S 阴影=11144224224π⨯⨯-⨯⨯-=6π-.【点睛】本题考查了三角形的相似,切线的证明,不规则图形求面积,中等难度,证明切线是解题关键.73．（2017浙江省台州市）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程2520x x -+=，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A （0，1），B （5，2）； 第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A ，另一条直角边恒过点B ；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x 轴上点C 处时，点C 的横坐标m 即为该方程的一个实数根（如图1）；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n即为该方程的另一个实数根．（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）；（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程2520x x-+=的一个实数根；（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程20ax bx c++=（a≠0，24b ac-≥0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P（m1，n1），Q（m2，n2）就是符合要求的一对固定点？【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析；（3）A（0，1），B（﹣ba ，ca）或A（0，1a ），B（﹣ba，c）等；（4）12bm ma+=-，1212m m n n+=ca．【解析】试题分析：（1）根据“第四步”的操作方法作出点D即可；（2）过点B作BD△x轴于点D，根据△AOC△△CDB，可得，进而得出，即，据此可得m是方程的实数根；（3）方程（a≠0）可化为，模仿研究小组作法可得一对固定点的坐标；（4）先设方程的根为x，根据三角形相似可得，进而得到，再根据，可得，最后比较系数可得m1，n1，m2，n2与a，b，c之间的关系．试题解析：（1）如图所示，点D即为所求；（2）如图所示，过点B作BD△x轴于点D，根据△AOC=△CDB=90°，△ACO=△CBD，可得△AOC△△CDB，△，△，△m（5﹣m）=2，△，△m是方程的实数根；（3）方程（a≠0）可化为，模仿研究小组作法可得：A（0，1），B（﹣，）或A（0，），B（﹣，c）等；（4）如图，P（m1，n1），Q（m2，n2），设方程的根为x，根据三角形相似可得，上式可化为，又△，即，△比较系数可得，=．考点：三角形综合题；一元二次方程的解；相似三角形的判定与性质；阅读型；操作型；压轴题．74．如图，在△ABC中，△C=△ABC=2△A，BD△于AC于D，求△DBC的度数．【答案】18【分析】根据三角形的内角和定理与△C=△ABC=2△A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得△DBC的度数．【详解】解：△△C=△ABC=2△A，△△C+△ABC+△A=5△A=180°，△△A=36°．△△C=△ABC=2△A=72°．△BD△AC，△△DBC=90°-△C=18°．【点睛】本题考查三角形内角和定理的运用，关键是掌握三角形内角和定理：三角形的内角和是180°．75．如图，已知AD BD ⊥，BC AC ⊥，AC BD =，且AC ，BD 相交于点O ．（1）求证：AD BC =；（2）取AB 的中点E ，连接OE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的全等三角形．【答案】（1）详见解析；（2）ADO BCO ≌，Rt ADB Rt BCA ≌，AOE BOE ≌， ACD BDC ≌．【分析】（1）根据HL 证明Rt △ADB 与Rt △ACB 全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）根据全等三角形的判定解答即可． 【详解】 （1）AD BD ⊥，BC AC ⊥，90ADB BCA ∴∠=∠=︒．在Rt ADB 与Rt BCA 中，DB CAAB BA =⎧⎨=⎩，()Rt ADB Rt BCA HL ∴≌，AD BC ∴=；（2）图中所有的全等三角形：由AOD BOCADO BCO AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， 可得()ADO BCO AAS ≌，AO BO ∴=，DAO CBO ∠=∠； 由DB CA AB BA =⎧⎨=⎩，可得()Rt ADB Rt BCA HL ≌，ABD BAC ∴∠=∠； 由AO BO OAE OBE AE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， 可得()AOE BOE SAS ≌；由AD BC DAC CBD AC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， 可得()ACD BDC SAS ≌． 【点睛】此题考查全等三角形的判定，关键是根据HL 证明Rt △ADB 与Rt △ACB 全等．。
九年级数学第二十七章相似综合复习试题(含答案) (131)
九年级数学第二十七章相似综合复习试题（含答案） 在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC=2BE ，则BF FD的值是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15【答案】B【解析】解：如图，∵ABCD 是菱形，∵AD ∵BC ，且AD =BC ，∵∵BEF ∵∵DAF ，∵BF BE FD AD = ．又∵EC =2BE ，∵BC =3BE ，即AD =3BE ，∵BF BE FD AD ==13，故选B ．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质．关键是由平行线得出相似三角形，由菱形的性质得出线段的长度关系．37．已知：如图，DE ∥BC ，AD:DB=1:2，则下列结论不正确的是（）A ．12DE BC =B ．19ADE ABC 的面积的面积∆=∆ C ．13ADE ABC ∆=∆的周长的周长 D ．18ADE BCED ∆=的面积四边形的面积 【答案】A【解析】解：∵DE ∵BC ，∵∵ADE ∵∵ABC ，∵13DE AD AD BC AB AD BD ===+，∵相似三角形周长比等于相似比，面积比为相似比的平方，∵B ，C 选项正确，∵四边形BCED 的面积=∵ABC 的面积﹣∵ADE 的面积，∵D 选项正确．故选A ．38．如图，铁路道口的栏杆短臂长1m ，长臂长16m ．当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（ ）A ．4mB ．6mC ．8mD ．12m【答案】C【解析】 试题分析：栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题：设长臂端点升高x m ， 则0.5116x =， ∵x=8．故选C ．考点：相似三角形的应用．39．平面直角坐标系中，有一条鱼，它有六个顶点，则( )A．将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似B．将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似C．将各点横，纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似，得到的鱼与原来的鱼位似D．将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以12【答案】C【解析】解：平面直角坐标系中图形的各个顶点，如果横纵坐标同时乘以同一个非0的实数k，得到的图形与原图形关于原点成位似图形，位似比是|k|．若乘的不是同一个数，得到的图形一定不会与原图形关于原点对称．故选C．40．对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是（）A．平移B．旋转C．轴对称D．位似【答案】D．【解析】试题分析：平移的性质是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，则平移变换是“等距变换”；旋转的性质：旋转前、后的图形全等，则旋转变换是“等距变换”；轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，则轴对称变换是“等距变换”；位似变换的性质：位似变换的两个图形是相似形，则位似变换不一定是等距变换，故选D．考点：位似变换．。
九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (275)
九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题（含答案） 如图，□ABCD 中，点E 在BA 的延长线上，连接CE ，与AD 相交于点F .（1）求证：△EBC △△CDF ；（2）若BC ＝8，CD ＝3，AE ＝1，求AF 的长．【答案】（1）详见解析；（2）AF=2【分析】（1）根据平行四边形性质证△EAF △△EBC ，△EAF △△CDF .得△EBC △△CDF .（2）由△EAF △△EBC ，得,EA AF EB BC =即1,138AF =+ 【详解】（1）证明：△四边形ABCD 是平行四边形，△AD △BC ，AB △CD .△△EAF △△EBC ，△EAF △△CDF .△△EBC △△CDF .（2）解：△△EAF △△EBC ， △,EA AF EB BC =即1,138AF =+. 解得AF=2.【点睛】相似三角形判定和性质.82．我市里运河有一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1：1，文化墙PM 在天桥底部正前方8米处（PB 的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．=1.414=1.732）【答案】该文化墙PM不需要拆除，见解析【分析】首先过点C作CD△AB于点D，则天桥高CD=6，由新坡面的坡度为1，可得tanα=tan△CAB=3==，然后由特殊角的三角函数值来求AD，BD的长；由坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1AD，BD的长，继而求得AB=AD-BD的长，则可求得PA答案．【详解】解：该文化墙PM不需要拆除，理由：设新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1△tanα3==，△α＝30°．作CD△AB于点D，则CD＝6米，△新坡面的坡度为1，△tan△CADCD6AD AD===，解得，AD＝△坡面BC的坡度为1：1，CD＝6米，△BD＝6米，△AB＝AD﹣BD6）米，又△PB＝8米，△PA＝PB﹣AB＝86）＝14﹣≈14﹣6×1．732≈3．6米＞3米，△该文化墙PM不需要拆除．【点睛】此题考查了坡度坡角的知识．注意根据题意构造直角三角形，利用好坡比，会解直角三角形是关键．83．已知，图中正方形网格中每个小正方形边长为一个单位，现在网格中建立如图直角坐标系．（1）画出△ABC以点P为位似中心的位似图形△DEF，并且△DEF与△ABC 的位似比为2 ：1；（2）点A的对应点D的坐标是（_____ ，_____）；（3）若△ABC另一位似图形的顶点坐标分别为（1，－3），（3，－1），（4，－4），则这组位似图形的位似中心坐标为（_____ ，_____）．【答案】（1）画图见解析；（2）（3，2）；（3）（-1，-4）．【解析】试题分析：（1）连接AP、BP、CP并延长到2AP、2BP、2CP长度找到各点的对应点，顺次连接即可．（2）从直角坐标系中读出坐标即可．（3）从图上描出这三点的坐标，并与△ABC的三点对应连接，连线的交点就是位似中心．试题解析：（1）如图：（2）从坐标系中可得：D（3，2）（3）从图中描出如图：从图中可得位似中心的坐标为（-1，-4）．考点：1．作图-位似变换；2．坐标确定位置．∆各顶点的坐标分别为84．如图．已知ABC()()()∆放大为原来的2倍，------．以点О为位似中心．将ABC2,2,5,4,1,5A B C得到111∆并写出点1B的坐标．A B CA B C∆，请在网格中画出111【答案】见解析，点B1的坐标为（10，8）或（-10，-8）．【分析】连接AO，延长AO或OA到A1，使得OA1=2OA，同法作出点B1，C1即可．【详解】解：△A1B1C1如图所示，点B1的坐标为（10，8）或（-10，-8）．【点睛】本题考查位似变换，解题的关键是熟练掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．85．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC >，ABC ∠的平分线交AC 于D ，DE BD ⊥交AB 于E ，BDE 的外接圆O 交BC 于F ．（1）求证：AC 是O 的切线；（2）15AB =，AC 、BC 的长是一元二次方程227120x mx m -+=的两根，求O 的半径；（3）连接DF ，在（2）的条件下求BDF 的面积．【答案】（1）见解析；（2）△O 的半径为458；（3）24316BFD S =．【分析】（1）由题意可得OD △BC ，从而得到OD △AC ，所以AC 是△O 的切线；（2）由根与系数关系及勾股定理可得AC 、BC 是2211080x x -+=的两根，从而得到AC=12、BC=9，再由OD △BC 可得15915OD OD -=，进一步可得△O 的半径；（3）连接EF ，可得EF △AC ，根据平行线截线段成比例性质可以得到DC 、BF 的值，从而得到△BDF 的面积．【详解】（1）△DE BD ⊥，△BE 是BDE 的外接圆O 的直径．连接OD ，则OD OB =，ODB OBD ∠=∠，又△FBD OBD ∠=∠，△FBD ODB ∠=∠，△//OD BC ，又△90ACB ∠=︒，△OD AC ⊥，△AC 是O 的切线．（2）△AC 、BC 的长是一元二次方程227120x mx m -+=的两根△7m AC BC +=，12m AC BC ⋅=由222AC BC AB +=，得22()2AC BC AC BC AB +-⋅=，△22(7)24225m m -=，解之，得123,3m m =-=．当3m =-时，方程2211080x x ++=必有一根为负，不合题意，舍去． 当3m =时，解方程2211080x x -+=，得1212,9x x ==．△AC BC >，△12AC =，9BC =．△//OD BC ，OD AO BC AB=， △OD AB OD BC AB -=，即15915OD OD -=， 解之，得458OD =． （3）连接EF ，△BE 是O 的直径，△EF BC ⊥，△//EF AC ， △BF BE BC AB=， △452749154BE BF BC AB =⋅=⨯=．△//OD BC，△DC AC OB AB=，△124591582ACDC OBAB=⋅=⨯=．△11279243224216 BFDS BF DC=⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查圆的综合运用，熟练掌握直线与圆相切的判定、一元二次方程根与系数的关系、平行线截线段成比例性质、圆直径所对圆周角为直角等性质是解题关键．。
九年级数学第二十七章相似综合复习试题(含答案) (218)
九年级数学第二十七章相似综合复习试题（含答案） 如图，矩形ABCD 纸片，E 是AB 上的一点，且:5:3BE EA =，CE =，把BCE 沿折痕EC 向上翻折，若点B 恰好与AD 边上的点F 重合，求AB 、BC 的长．【答案】24AB =，30BC =.【解析】【分析】求线段的长度问题，题中可先设其长度为k ，然后利用三角形相似建立平衡关系，再用勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∵90A B D ∠=∠=∠=，BC AD =，AB CD =，∵90AFE AEF ∠+∠=∵F 在AD 上，90EFC ∠=，∵90AFE DFC ∠+∠=，∵AEF DFC ∠=∠，∵AEF DFC ∽， ∵AE AF DF DC=． ∵:5:3BE EA =设5BE k =，3AE k =∵8AB DC k ==，由勾股定理得：4AF k =， ∵348k k DF k= ∵6DF k =∵10BC AD k ==在EBC 中，根据勾股定理得222BE BC EC +=∵CE =，5BE k =，10BC k =∵222(5)(10)k k +=∵3k =∵824AB k ==，1030BC k ==【点睛】掌握矩形的性质，会解决一些简单的翻折问题，能够利用勾股定理求解直角三角形．77．如图，在△ABC 中，△ACB ＝90°，CD △AB ，（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）；（2）已知AB ＝10，AC ＝8，请你求出CD 的长；（3）在（2）的情况下，如果以AB 为x 轴，CD 为y 轴，点D 为坐标原点O ，建立直角坐标系（如图2），若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3对，分别是：∵ABC∵∵ACD，∵ABC∵∵CBD ，∵ACD∵∵CBD；（2）4.8；（3）存在，（1.35，3）或（3.15，1.8）．【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：∵ABC∵∵ACD，∵ABC∵∵CBD，∵ABC∵∵CBD；（2）先在∵ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据∵ABC的面积不变得到1 2AB•CD=12AC•BC，即可求出CD的长；（3）由于∵B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与∵ABC相似时，分两种情况进行讨论：①∵PQB∵∵ACB；②∵QPB∵∵ACB．【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：∵ABC∵∵ACD，∵ABC∵∵CBD，∵ABC∵∵CBD．故答案为3，∵ABC∵∵ACD，∵ABC∵∵CBD，∵ABC∵∵CBD；（2）如图1，在∵ABC中，∵∵ACB=90°，AB=10，AC=8，∵==6．∵∵ABC的面积=12AB•CD=12AC•BC，∵CD=6810AC BCAB⋅⨯==4.8；（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与∵ABC相似，理由如下：在∵BOC中，∵∵COB=90°，BC=6，OC=4.8，∵==3.6．分两种情况：①当∵BQP=90°时，如图2①，此时∵PQB∵∵ACB，∵BP BQ AB BC=，∵6106t t-=，解得t=2.25，即BQ=CP=2.25，∵OQ=OB﹣BQ=3.6﹣2.25=1.35，BP=BC﹣CP=6﹣2.25=3.75．在∵BPQ中，由勾股定理，得3=，∵点P的坐标为（1.35，3）；②当∵BPQ=90°时，如图2②，此时∵QPB∵∵ACB，∵BP BQ BC AB=，∵6610t t-=，解得t=3.75，即BQ=CP=3.75，BP=BC﹣CP=6﹣3.75=2.25．过点P作PE∵x轴于点E．∵∵QPB∵∵ACB，∵PD BQ CO AB=，∵3.754.810 PD=，∵PE=1.8．在∵BPE中，0.45=，∵OE=OB﹣BE=3.6﹣0.45=3.15，∵点P的坐标为（3.15，1.8）；综上可得，点P的坐标为（1.35，3）或（3.15，1.8）．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．勾股定理．78．阅读下列材料，完成任务：自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．任务：（1）如图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为________；（2）如图2，已知△ABC中，△ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC 也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD△AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD△△ABC，则△ACD与△ABC 的相似比为________；（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．请从下列A、B两题中任选一条作答．A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含n，b的式子表示）；B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n 个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含m ，n ，b 的式子表示）．【答案】（1）12；（2）45；（3）A 、； ；B 、；②． 【解析】试题分析：（1）根据相似比的定义求解即可；（2）由勾股定理求得AB =5，根据相似比等于AC AB可求得答案；（3）A .①由矩形ABEF ∵矩形FECD ，列出比例式整理可得；②由每个小矩形都是全等的，可得其边长为b 和1n a ，列出比例式整理即可；B .①分当FM 是矩形DFMN 的长时和当DF 是矩形DFMN 的长时两种情况，根据相似多边形的性质列比例式求解；②由题意可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，所以DN=1nb ，然后分当FM 是矩形DFMN 的长时和当DF 是矩形DFMN 的长时两种情况，根据相似多边形的性质列比例式求解.解：（1）∵点H 是AD 的中点，∵AH=AD ，∵正方形AEOH ∵正方形ABCD ，∵相似比为：==；故答案为；（2）在Rt ∵ABC 中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，∵∵ACD 与∵ABC 相似的相似比为：=， 故答案为；（3）A 、①∵矩形ABEF ∵矩形FECD ，∵AF：AB=AB：AD，即a：b=b：a，∵a=b；故答案为②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和a，则b：a=a：b，∵a=b；故答案为B、①如图2，由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，∵DN=b，∵、当FM是矩形DFMN的长时，∵矩形FMND∵矩形ABCD，∵FD：DN=AD：AB，即FD：b=a：b，解得FD=a，∵AF=a﹣a=a，∵AG===a，∵矩形GABH∵矩形ABCD，∵AG：AB=AB：AD即a：b=b：a得：a=b；∵、当DF是矩形DFMN的长时，∵矩形DFMN∵矩形ABCD，∵FD：DN=AB：AD即FD：b=b：a解得FD=，∵AF=a﹣=，∵AG==，∵矩形GABH∵矩形ABCD，∵AG：AB=AB：AD即：b=b：a，得：a=b；故答案为或；②如图3，由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，∵DN=b，∵、当FM是矩形DFMN的长时，∵矩形FMND∵矩形ABCD，∵FD：DN=AD：AB，即FD：b=a：b，解得FD=a，∵AF=a﹣a，∵AG===a，∵矩形GABH∵矩形ABCD，∵AG：AB=AB：AD即a：b=b：a得：a=b；∵、当DF是矩形DFMN的长时，∵矩形DFMN∵矩形ABCD，∵FD：DN=AB：AD即FD：b=b：a解得FD=，∵AF=a﹣，∵AG==，∵矩形GABH∵矩形ABCD，∵AG：AB=AB：AD即：b=b：a，得：a=b；故答案为b或b．点睛：本题考查了信息迁移，矩形的性质，相似多边形的性质及分类讨论的数学思想，读懂题意，熟练掌握相似比多边形的性质，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键.79．如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点），已知点A的坐标为（4，4）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）在给定的网格中，以点O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）A2的坐标为______．【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）（8，-8）．【解析】【分析】(1)直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案;(3)利用(2)中所画图形进而得出点C2的坐标【详解】解：（1）如图所示，∵A1B1C1即为所求；（2）如图所示，∵A2B2C2即为所求；（3）∵A（4，4），∵A1与A关于y轴对称，∵A1的坐标为（-4，4），∵∵A2B2C2是以点O为位似中心，将∵A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到的，∵A2的坐标为（8，-8），故答案为：（8，-8）．【点睛】此题考查作图-位似变换和作图-轴对称变换，掌握作图法则是解题关键80．如图，已知B′C′△BC，C′D′△CD，D′E′△DE.(1)求证：四边形BCDE 位似于四边形B ′C ′D ′E ′；(2)若AB B B''＝3，S 四边形BCDE ＝20，求S 四边形B ′C ′D ′E ′. 【答案】（1）见解析；（2）454【解析】试题分析：（1）由已知条件易得：AD AC C D D E B E B C AD AC CD DE BE BC''''''''='='===，结合四边形B ′C ′D ′E ′和BCDE 中对应顶点的连线相交于点A ，即可得到两个四边形是位似图形的结论；（2）由3AB B B ''=可得34AB AB '=，结合四边形B ′C ′D ′E ′和BCDE 是位似图形即可得到：四边形B ′C ′D ′E ′和BCDE 的相似比为34，结合S 四边形BCDE ＝20，即可求得S 四边形B ′C ′D ′E ′=254. 试题解析：（1）∵B ′C ′∵BC ，C ′D ′∵CD ，D ′E ′∵DE ， ∵AD AC C D D E B E B C AD AC CD DE BE BC''''''''='='===， 又∵四边形B ′C ′D ′E ′和BCDE 中对应顶点的连线相交于点A ，∵四边形B ′C ′D ′E ′和BCDE 是位似图形；（2）∵3AB B B''=， ∵34AB AB '=， 又∵四边形B ′C ′D ′E ′和BCDE 是位似图形，∵四边形B ′C ′D ′E ′和BCDE 的相似比为34， ∵S 四边形B ′C ′D ′E ′：S 四边形BCDE =9：16，又∵S 四边形BCDE ＝20，45 4.∵S四边形B′C′D′E′=。
九年级数学(下)第二十七章相似检测题参考答案(1)
第二十七章相似检测题参考答案1.C 解析：本题可以分别求出各边的边长及，，各边的边长，然后比较各边是否都扩大了相同的倍数.2.D 解析：平行四边形中有矩形、菱形、正方形，所以不都相似；等腰三角形中各底角可以不同，所以不都相似；所有的等腰梯形中，两底长度的比例可以不相等，故也不都是相似图形.3.C 解析：等腰直角三角形的三个角是确定的.4.B 解析：两个长方体木块的形状不一定相同.5.D 解析：由图形可得,在和中,,若①或②,根据三角形相似的识别方法有两组对应角相等的三角形相似，知∽；若③，则，又因为，依据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，知；若④，则，无法依据识别方法说明△ABC∽△ACP.因此，符合三角形相似的条件是①②③，故选D.6.B 解析：由得，∴ .7.A 解析：依据相似多边形的面积比等于相似比的平方解题.由四边形与四边形位似，得四边形与四边形相似.又由四边形与四边形相似得所以选A.8.A 解析：设小刚举起的手臂高出头顶，则9.C 解析:∵，∴ .又∵在,∴∴ .由得，即.10. B 解析：由“相似三角形面积的比等于相似比的平方”得,故选B.11. 解析：解此题的思路有以下几种：（1）由于，因此只需求出的值.∵,∴ ,∴ ,∴.（2）由于可变形为，可运用“设比值法”来求值.设，则,∴∴ .（3）利用合比性质：∵,∴ ,∴ .（4）由已知条件可用含的代数式表示（或用含的代数式表示），再代入求值.∵ ,∴ ,∴ ,∴ ,∴12. 解析：设，则.把代入，得13. 解析：已知一个三角形的三边长是6、8、10，与其相似的三角形的最短边长为18.根据相似比的意义可知.本题关键是找准对应边，本题中两个相似三角形的最短边是对应边.14. 4 cm，6 cm，8 cm 解析：.由题意，得，解得= ；，解得=；，解得=.∴的各边长分别为，.15.5 解析：过作轴于.设，则.由,得,∴ .∴，.∴ .16. 1∶3 解析：位似的图形一定相似，所以四边形与四边形的相似比为1∶3.17.(1）（2）3∶2 （3）75解析：(1)相似三角形面积的比等于相似比的平方,∴，∴（2）相似三角形周长的比等于相似比,∵周长比为3∶2，∴相似比为3∶2.（3）相似三角形周长的比等于对应高的比，等于相似比,设较大三角形的周长为,则，解得.18.9∶11 解析：由，可设，，则.∵四边形是正方形，∴，.∴，∴ .∴ .设，则.∵ ,∴.∴ .∴四边形的面积为，∴与四边形的面积之比是19.分析:求线段的比时，单位一定要统一，做题时要看仔细.解：∵是成比例线段，∴ .又∵ 6 cm，，，∴，解得.点拨：线段成比例，即或，其中字母的位置不能颠倒.20.解：由，得,即.所以.点拨：本题两次运用了比例的基本性质，初学时易出错，所以我们要重视对变形结果的检验，即变形后是否仍然满足“两内项之积等于两外项之积”.21.解:因为，所以.解得.所以因为，所以.所以为直角三角形.22.解:(1）因为，所以由相似三角形的对应角相等得.在中，，即，所以.（2）因为，所以由相似三角形的对应边成比例得，即，所以.点拨：正确把握相似三角形的定义及找准对应边、对应角是解决问题的关键.23.分析：（1）要求种满地带所需费用，先求出的面积.由于与相似，可先求的面积，由单价为8元/，得的面积为，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得的面积.（2）先求出和的面积，再作选择.解：（1）∵四边形是梯形，∴，∴，∴ .∵种满△AMD地带花费160元，∴，∴，∴种满地带的费用为80×8=640（元）.（2）∵，∴ .∵与等高，∴，∴ .同理可求.当和地带种植玫瑰花时，所需总费用为160+640+80×12=1 760（元），当和地带种植茉莉花时，所需总费用为160+640+80×10=1 600（元）.∴应种植茉莉花，可刚好用完所筹资金.24.解:（1）的周长为，则的周长为cm.∵，∴ .∴，解得.∴这两个三角形的周长分别为100 cm和40 cm. （2）设的面积为，则的面积为 .由题意，得，解得2.∴这两个三角形的面积分别为和.。
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学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．如图，已知点D ，E 是AB 的三等分点，DF ，EG 将ABC 分成三部分，且////DF EG BC ，图中三部分的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123::S S S 的值为（ ）A ．1:2:3B ．1:2:4C ．1:3:5D ．2:3:4 2．如图，在▱ABCD 中，M 、N 为BD 的三等分点，连接CM 并延长交AB 与点E ，连接EN 并延长交CD 于点F ，则DF ：FC 等于（ ）．A ．1：2B ．1：3C ．2：3D ．1：4 3．若234a b c ==，则a b b c +-的值为（ ） A ．5 B ．15 C ．-5 D ．-154．如图，点D 、E 分别在CA 、BA 中的延长线上，若DE ∥BC ，AD =5，AC =10，DE =6，则BC 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．135．若点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，则下列各式中不正确的是（ ）． A ．::AB AC AC BC =B ．352BC AB -= C ．512AC AB +=D ．0.618AC AB ≈6．如图，在ABC ∆中，E 为BC 边上的一点，F 为AC 边上的一点，连接BF ，AE ，交于点D ，若D 为BF 的中点，CF 2AF =，则:BE CE 的值为（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．2:37．如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AC 上的点，且11,BD BC AE AC n m ==，连接,AD BE 交于点F ，则AF AD的值为（ ）A ．1m n -B ．1m m n +-C ．1n m n +-D ．1n m - 8．已知两个相似三角形一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为（ ）A ．90B ．180C ．270D ．36009．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm ，光源到屏幕的距离为90cm ，且幻灯片中的图形的高度为7cm ，则屏幕上图形的高度为（ ）A ．21cmB ．14cmC ．6cmD ．24cm10．如图，在ABC ，AB AC a ==，点D 是边BC 上的一点，且BD a =，1AD DC ==，则a 等于（ ）A．512+B．512-C．1 D．211．△ABC与△DBC如图放置，已知，∠ABC＝∠BDC＝90°，∠A＝60°，BD＝CD＝22，将△ABC沿BC方向平移至△A'B'C'位置，使得A'C边恰好经过点D，则平移的距离是（）A．1 B．22﹣2 C．23﹣2 D．26﹣4 12．如图，直线l1//l2//l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB∶BC＝5∶3，DE＝15，则EF的长为（）A．6 B．9 C．10 D．2513．已知线段a、b有52a ba b+=-，则:a b为（）A．5:1B．7:2C．7:3D．3:714．下列判断中，不正确的有（）A．三边对应成比例的两个三角形相似B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C．有一个锐角相等的两个直角三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似二、填空题15．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到A′B′C′的位置，如果点A′恰好是△ABC的重心，A′B′、A′C′分别于BC交于点M、N，那么△A′MN面积与△ABC的面积之比是_____．16．如图，已知Rt ABC 中，AC=b ，BC=a ，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点D 4，D 5，…，D n ，分别记BD 1E 1，BD 2E 2，BD 3E 3，…，BD n E n 的面积为S 1，S 2，S 3，…S n ．则（1）1E C =__________，（2）S n =__________．17．如图，点О是正方形ABCD 的中心，DE 与О相切于点E ，连接,BE 若10,DE =102BE =，则О的面积是________________．18．如图，ABC 中，1BC =．若113AD AB =，且11//D E BC ，照这样继续下去，12113D D D B =，且22//D E BC ；23213D D D B =，且33//DE BC ；…；1113n n n D D D B --=，且//n n D E BC 则101101=D E _________．19．如图，矩形ABCD 中，2AB =，E 为CD 的中点，连接AE 、BD 交于点P ，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，则PQ =________．20．如图，身高1.6m 的小华站在距路灯5m 的C 点处，测得她在灯光下的影长CD 为2.5m ，则路灯的高度AE 为________．21．如图，已知点M 是△ABC 的重心，AB ＝123，MN ∥AB ，则MN ＝__________22．如图，在ABC 纸片中，13AB AC ==，24BC =，D 是BC 边上任意一点，将ABD △沿AD 折叠得到AED ，AE 交BC 于点F ，当DEF 是直角三角形时，则BD 的长为________．23．如图，在矩形ABCD 中，M N 、分别是边AD BC 、的中点，点P Q 、在DC 边上，且14PQ DC =．若8,10AB BC ＝＝，则图中阴影部分的面积是_____________24．如图，⊙O 的直径为5，在⊙O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ：CA ＝4：3，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A ，B 重合），过C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．则△PCD 的面积最大为______________．25．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，//CD AB ，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点E ，若10AB =，6BC =，则AE =_______．26．如图，点A 在反比例函数k y x =（k≠0）的图像上，点B 在x 轴的负半轴上，直线AB 交y 轴与点C ，若12AC BC =，△AOB 的面积为12，则k 的值为_______．三、解答题27．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标分别为O （0，0）、A （﹣1，2）、B （﹣2，﹣1），P （m ，n ）是△OAB 的边AB 上一点．（1）画出将△OAB 向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的△O 1A 1B 1 ，并写出点P 的对应点P 1的坐标；（2）以原点O 为位似中心，在y 轴的左侧画出△OAB 的一个位似△OA 2B 2 ，使它与△OAB 的相似比为2：1，并写出点P 的对应点P 2的坐标；（3）判断△O 1A 1B 1与△O 2A 2B 2，能否是关于某一点Q 为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q ，并写出点Q 的坐标．28．如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线2y x b =+经过点()2,0A -，与y 轴交于点B ，与反比例函数()0k y x x =>的图象交于点C(m ，6)，过B 作BD y ⊥轴，交反比例函数()0k y x x=>的图象于点D ，连接AD ，CD ． （1）求b ，k 的值；（2）求△ACD 的面积；（3）在坐标轴上是否存在点E(除点O 外)，使得△ABE 与△AOB 相似，若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．29．如图，ABC ∆中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，动点P 从点B 出发以2cm/s 速度向点C 移动，同时动点Q 从C 出发以1cm/s 的速度向点A 移动，设它们的运动时间为t 秒．（1）根据题意知：CQ ＝ cm ，CP ＝ cm ；（用含t 的代数式表示）（2）t 为何值时，CPQ ∆与ABC ∆相似．30．如图，在等边ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，连接DE ，DC （E ，C 两点不重合），当AED DCB ∠=∠时，我们把AE EC称为AD DB 的“类似比”，（1）若12AD DB =，则“类似比”AE EC =___________； （2）若(1)AD k k DB =<时，求“类似比”AE EC的值（用含k 的代数式表示）； （3）直接写出AED ∠和“类似比”AE EC 的取值范围．【参考答案】一、选择题1．C2．B3．C4．C5．C6．B7．C8．A9．A10．A11．C12．B13．C14．B二、填空题15．【分析】由重心的性质可得AD＝AD由相似三角形的性质可得△A′MN面积与△ABC的面积之比＝【详解】解：∵点A′恰好是△ABC的重心∴AD＝AD∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移到A′B′C′的位16．b【分析】根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质利用在△ACB中D2为其重心可得D2E1＝BE1然后从中找出规律即可解答【详解】解：∵D1E1⊥ACBC⊥AC∴D1E1∥BC∴∵D1是斜边AB的中17．25【分析】连接EO可知EO⊥ED延长DE到点F作BF⊥DF根据题意可知△DEO∽△DFB在△EFB中根据勾股定理求解得出半径的长然后再根据圆的面积公式求解即可；【详解】如图：连接EO可知EO⊥ED18．【分析】由D1E1∥BC可得△AD1E1∽△ABC然后由相似三角形的对应边成比例证得继而求得D1E1的长又由D1D2=可得AD2=继而求得D2E2的长同理可求得D3E3的长于是可得出规律则可求得答案19．【分析】根据矩形的性质得到AB∥CDAB=CDAD=BC∠BAD=90°根据线段中点的定义得到DE=CD=AB根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CDAB=CD20．【分析】由于人和地面是垂直的即和路灯平行构成相似三角形根据对应边成比例列方程解答即可【详解】即解得：即路灯的高度为48米【点睛】本题考查了相似三角形的应用把实际问题抽象到相似三角形中利用相似三角形的21．【分析】根据三角形重心的性质可得AD=BD=CM：CD=2：3由MN∥AB可得△CMN∽△CDB再根据相似三角形的性质求解即可【详解】解：∵点M是△ABC的重心∴AD=BD=CM：CD=2：3∵MN22．或7【分析】是直角三角形时有两种情况：∠EDF=90°或∠EFD=90°通过找相似三角形然后利用对应边成比例即可得到结果【详解】解：如图当∠EDF=90°时过A作AG⊥BC于G 则DE∥AG∵AG⊥B23．【分析】连接MN过点O作于点E交CD于点F先证明得到相似比是然后求出和的面积用矩形MNCD的面积减去这两个三角形的面积得到阴影部分面积【详解】解：如图连接MN过点O作于点E交CD于点F∵四边形ABC24．【分析】由圆周角定理可知再由可证明最后根据相似三角形对应边成比例及已知条件BC：CA＝4：3结合三角形面积公式解题即可【详解】为直径又BC：CA＝4：3当点P在弧AB上运动时当PC最大时取得最大值而25．5【分析】首先由勾股定理求出AC再证明得到进而列方程求解即可【详解】26．12【分析】过点A作AD⊥y轴于D则△ADC∽△BOC由线段的比例关系求得△AOC和△ACD的面积再根据反比例函数的k的几何意义得结果【详解】过点A作AD⊥y轴于D则△ADC∽△BOC∴∵△AOB的三、解答题28．29．30．【参考解析】一、选择题1．C解析：C【分析】根据题意易得ADF AEG ABC ，则有13AD AB =，23AE AB =．进而可求得119ABC S S =，213ABC S S =，359ABC S S =，最后即可求出结果．【详解】∵DF ∥EG ∥BC ，∴ADF AEG ABC ，∵D 、E 是AB 的三等分点， ∴13AD AB =，23AE AB =， ∴119ABC S S =，49AEG ABC S S =．∵21411993AEG ABC ABC ABC S S S S S S =-=-=，34599ABC AEG ABC ABC ABC S S S S S S =-=-=． ∴123115::::1:3:5939ABC ABC ABC S S S S S S ==．故选C ．【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键．解析：B【分析】由题意可得DN=NM=MB ，据此可得DF ：BE=DN ：NB=1：2，再根据BE ：DC=BM ：MD=1：2，AB=DC ，故可得出DF ：FC 的值．【详解】解：由题意可得DN=NM=MB ，AB//CD ，AB//BC∴△DFN ∽△BEN ，△DMC ∽△BME ，∴DF ：BE=DN ：NB=1：2，BE ：DC=BM ：MD=1：2，又∵AB=DC ，∴DF ：AB=1：4，∴DF ：FC=1：3故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，两相似三角形对应线段成比例，要注意比例线段的应用． 3．C解析：C【分析】 设234a b c k ===，则2a k =，3b k =，4c k =，然后代入求值即可． 【详解】 解：设234a b c k ===，则2a k =，3b k =，4c k =， ∴a b b c +-=2334k k k k +-=5-k k=﹣5， 故选：C ．【点睛】本题考查了比例的性质、分式的求值，设参数求解是解答的关键．4．C解析：C【分析】根据平行线的性质得出∠E=∠B ，∠D=∠C ，根据相似三角形的判定定理得出△EAD ∽△BCA ，根据相似三角形的性质求出即可【详解】解：∵DE ∥BC ，∴∠E=∠B ，∠D=∠C ，∴△EAD ∽△CAB ，∴AC ：AD=BC ：DE ，∵AD =5，AC =10，DE =6，∴10：5=BC ：6．∴BC=12．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能推出△EAD ∽△BAC 是解此题的关键．5．C解析：C【分析】根据黄金分割点的定义逐项排除即可．【详解】解：∵点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，∴2AC BC AB =⋅，∴::AB AC AC BC =，则选项A 正确；∵点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >， ∴510.6182AC AB AB -=≈，则选项C 错误；选项D 正确； 513522BC AB AC AB AB AB --=-=-=，则选项B 正确. 故选：C ．【点睛】 本题考查了成比例线段，熟练掌握黄金分割的定义成为解答本题关键．6．B解析：B【分析】过点F 作FG//BC 交AE 于点G ，证明DFG DBE ∆∆可得FG BE =，再由//FG BC 可证得13BE GF AF CE CE AC ===，故可得结论． 【详解】解：过点F 作FG//BC 交AE 于点G∵D 是BF 的中点，∴DB DF =∵//FG BC∴DFG DBE ∆∆ ∴1FG DF BE DB== ∴FG BE =又∵//FG BC ∴F CEC G AF A = ∵CF 2AF =∴3AC AF = ∴13BE GF AF CE CE AC === 故选：B ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理与性质是解答此题的关键．7．C解析：C【分析】过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，易证△BDG ∽△BCE ，△DGF ∽△AEF,利用三角形相似的性质即可解答．【详解】解：过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，则△BDG ∽△BCE ， ∴DG BD CE BC=， ∵1BD BC n =， ∴1DG BD CE BC n==， ∵1AE AC m =， ∴1m CE AC m-=, ∴DG=11m CE AC n mn-⋅= ∵DG ∥AC ，∴△DGF ∽△AEF ，∴111m AC DF DG m mn AF AE n AC m--===， ∴1AD m n AF n +-=，即1AF n AD m n =+-， 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、比例性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，添加辅助线构造相似三角形是解答的关键．8．A解析：A【分析】由两个三角形的高之比可得出两个三角形的相似比，进而得出两个三角形的面积之比，根据两个三角形的面积之比设未知数，列方程，求出较大三角形的面积即可．【详解】由题意得，两个三角形的相似比为：15∶5=3∶1，故面积比为：9∶1，设两个三角形的面积分别为9x ，x ，则9x －x =80，解得：x =10，故较大三角形的面积为：9x =90．故选：A ．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟记相似三角形的高之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方是解题关键．9．A解析：A【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答即可．【详解】解：如图所示，∵DE ∥BC ，∴△AED ∽△ABC ， ∴AE DE AC BC=， 设屏幕上的图形高是x cm ，则30790x=， 解得：x=21． 答：屏幕上图形的高度为21cm ，故选：A ．【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．10．A解析：A【分析】证明△ABC ∽△DAC 得AB BC DA AC=，然后列方程求解即可． 【详解】解：∵AB AC a ==，∴∠B=∠C又∵1AD DC ==，∴∠C=∠DAC∴△ABC ∽△DAC ∴AB BC DA AC= ∴11a a a += 解得，15a +=152a （舍去） 故选：A【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 11．C解析：C【分析】过点D 作DJ ⊥BC 于J ，根据勾股定理求出BC ，利用等腰直角三角形的性质求出DJ 、BJ 、JC ，利用平行线分线段成比例定理求出JC′即可解决问题．【详解】解：过点D 作DJ ⊥BC 于J ．∵DB ＝DC ＝2，∠BDC ＝90°，∴BC ()()222222+4，DJ ＝BJ ＝JC ＝2，∵∠ABC ＝90°，∠A ＝60°，∴∠ACB ＝30°，∴AC=2AB ，∵AB 2+42=(2AB)2，∴A′B′=AB 43， ∵DJ//A′B′，∴DJ A B ''＝C J C B'''， ∴434C J '， ∴C′J ＝3∴JB′＝4﹣3∴BB′＝2﹣(4﹣3＝3﹣2.故选：C ．【点睛】本题考查了平移的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，以及平行线分线段成比例定理． 12．B解析：B【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．【详解】解：∵l 1∥l 2∥l 3，DE=15，∴53DE AB EF BC ==，即1553EF =， 解得，EF=9，故选：B ．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 13．C解析：C【分析】把比例式化成乘积式求出ab 之间的关系即可.【详解】 ∵52a b a b +=- ∴2()5()a b a b +=- 解得37a b =∴:7:3a b =故选C.【点睛】本题考查比例的性质，熟练利用比例的性质转换比例式和乘积式是解题的关键. 14．B解析：B【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解．【详解】解：A 、三边对应成比例的两个三角形相似，故A 选项不合题意；B 、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B 选项符合题意；C 、有一个锐角相等的两个直角三角形相似，故C 选项不合题意；D 、有一个角是100°的两个等腰三角形，则它们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D 选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．二、填空题15．【分析】由重心的性质可得AD ＝AD 由相似三角形的性质可得△A′MN 面积与△ABC 的面积之比＝【详解】解：∵点A′恰好是△ABC 的重心∴AD ＝AD ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到A′B′C′的位 解析：19【分析】由重心的性质可得A 'D ＝13AD ，由相似三角形的性质可得△A ′MN 面积与△ABC 的面积之比＝21()9A D AD '=． 【详解】 解：∵点A′恰好是△ABC 的重心，∴A'D ＝13AD ， ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到A′B′C′的位置，∴△ABC ∽△A'MN ，∴△A′MN 面积与△ABC 的面积之比＝21()9A D AD '=， 故答案为：19． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及重心的性质，掌握重心的性质是本题的关键． 16．b 【分析】根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质利用在△ACB 中D2为其重心可得D2E1＝BE1然后从中找出规律即可解答【详解】解：∵D1E1⊥ACBC ⊥AC ∴D1E1∥BC ∴∵D1是斜边AB 的中 解析：12b 22(1)ab n + 【分析】根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质，利用在△ACB 中，D 2为其重心可得D 2E 1＝13BE 1，然后从中找出规律即可解答． 【详解】解：∵D 1E 1⊥AC ，BC ⊥AC ，∴D 1E 1∥BC ， ∴1111AE AD CE BD =， ∵D 1是斜边AB 的中点，∴AD 1＝BD 1， ∴11111AE AD CE BD ==， ∵AC ＝b ，∴AE 1＝E 1C ＝12b ， ∵D 1E 1∥BC ，∴BD 1E 1与CD 1E 1同底同高，面积相等，以此类推；根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D 1E 1＝12BC ，CE 1＝12AC ，S 1＝212S △ABC ； ∴在ACB 中，D 2为其重心，∴D 2E 1＝13BE 1， ∴D 2E 2＝13BC ，CE 2＝13AC ，S 2＝213S △ABC ， ∵D 2E 2：D 1E 1＝2：3，D 1E 1：BC ＝1：2，∴BC ：D 2E 2＝2D 1E 1：23D 1E 1＝3， ∴CD 3：CD 2＝D 3E 3：D 2E 2＝CE 3：CE 2＝3：4，∴D 3E 3＝14D 2E 2＝14×13BC ＝14BC ，CE 3＝34CE 2＝14×13AC ＝14AC ，S 3＝214S △ABC …； ∴S n ＝21(1)n +S △ABC ＝21(1)n +×12ab ＝22(1)ab n +． 故答案为：12b ，22(1)ab n +．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质和三角形的重心等知识，解决本题的关键是根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质得到第一个三角形的面积与原三角形的面积的规律．也考查了重心的性质即三角形三边中线的交点到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．17．25【分析】连接EO 可知EO ⊥ED 延长DE 到点F 作BF ⊥DF 根据题意可知△DEO ∽△DFB 在△EFB 中根据勾股定理求解得出半径的长然后再根据圆的面积公式求解即可；【详解】如图：连接EO 可知EO ⊥ED解析：25π【分析】连接EO ，可知EO ⊥ED ，延长DE 到点F ，作BF ⊥DF ，根据题意可知△DEO ∽△DFB ，在△EFB 中，222EB EF FB =+，根据勾股定理求解得出半径的长，然后再根据圆的面积公式求解即可；【详解】如图：连接EO ，可知EO ⊥ED ，延长DE 到点F ，作BF ⊥DF ，∵∠FDB=∠EDO ，∠DEO=∠DFB ，∴△DEO ∽△DFB ，∵EO=r ，ED=10，EB=102， ∵DO=OB ，∴12DO EO DE DB FB DF===， ∴EF=10，FB=2r ， 在△EFB 中，222EB EF FB =+，()22102=1004r +，∴ r=5，∴ 圆的面积为225r ππ=，故答案为：25π【点睛】本题考查了圆的面积公式、相似三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握这些公式是解题的关键；18．【分析】由D1E1∥BC 可得△AD1E1∽△ABC 然后由相似三角形的对应边成比例证得继而求得D1E1的长又由D1D2=可得AD2=继而求得D2E2的长同理可求得D3E3的长于是可得出规律则可求得答案解析：10121()3- 【分析】由D 1E 1∥BC ，可得△AD 1E 1∽△ABC ，然后由相似三角形的对应边成比例，证得111D E AD BC AB =，继而求得D 1E 1的长，又由D 1D 2= 113D B ，可得AD 2= 59AB ，继而求得D 2E 2的长，同理可求得D 3E 3的长，于是可得出规律，则可求得答案．【详解】解：∵D 1E 1∥BC ，∴△AD 1E 1∽△ABC ， ∴111D E AD BC AB=， ∵BC=1，AD 113AB =， ∴D 1E 113=， ∵D 1D 2=113D B ， ∴AD 2= 59AB ， 同理可得：22254211()993D E ==-=-， 3331921()273D E ==-， ∴21().3n n n D E =-∴101101D E =10121()3-． 故答案为：10121()3-．【点睛】 此题考查了相似三角形的判定与性质．得到规律21().3nn n D E =-是关键． 19．【分析】根据矩形的性质得到AB ∥CDAB=CDAD=BC ∠BAD=90°根据线段中点的定义得到DE=CD=AB 根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ∥CDAB=CD 解析：43【分析】根据矩形的性质得到AB ∥CD ，AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90°，根据线段中点的定义得到DE=12CD=12AB ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90°，∵E 为CD 的中点，∴DE=12CD=12AB ， ∴△ABP ∽△EDP ，∴AB PB DE PD =， ∴21PB PD = ， ∴23PB BD = ， ∵PQ ⊥BC ，∴PQ ∥CD ，∴△BPQ ∽△DBC ，∴23PQ BP CD BD ==， ∵CD=2， ∴PQ=43， 故答案为：43．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 20．【分析】由于人和地面是垂直的即和路灯平行构成相似三角形根据对应边成比例列方程解答即可【详解】即解得：即路灯的高度为48米【点睛】本题考查了相似三角形的应用把实际问题抽象到相似三角形中利用相似三角形的 解析：4.8m【分析】由于人和地面是垂直的，即和路灯平行，构成相似三角形．根据对应边成比例，列方程解答即可．【详解】//CE AB ，ADB EDC ∴∽，::AB CE BD CD ∴=，即:1.67.5:2.5AB =，解得： 4.8m AB =．即路灯的高度为4.8米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用．把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高度，体现了转化的思想．21．【分析】根据三角形重心的性质可得AD=BD=CM ：CD=2：3由MN ∥AB 可得△CMN ∽△CDB 再根据相似三角形的性质求解即可【详解】解：∵点M 是△ABC 的重心∴AD=BD=CM ：CD=2：3∵MN解析：【分析】根据三角形重心的性质可得AD=BD=12AB =CM ：CD=2：3，由MN ∥AB 可得△CMN ∽△CDB ，再根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵点M 是△ABC 的重心，∴AD=BD=12AB =CM ：CD=2：3， ∵MN ∥AB ，∴△CMN ∽△CDB ， ∴23MN CM DB CD ==，23=，解得MN =．故答案为：【点睛】本题考查了三角形的重心和相似三角形的性质，熟练掌握上述知识是解题的关键． 22．或7【分析】是直角三角形时有两种情况：∠EDF=90°或∠EFD=90°通过找相似三角形然后利用对应边成比例即可得到结果【详解】解：如图当∠EDF=90°时过A 作AG ⊥BC 于G 则DE ∥AG ∵AG ⊥B 解析：263或7． 【分析】 DEF 是直角三角形时，有两种情况：∠EDF=90°或∠EFD=90°，通过找相似三角形，然后利用对应边成比例即可得到结果．【详解】解：如图，当∠EDF=90°时，过A 作AG ⊥BC 于G ，则DE ∥AG ，∵13AB AC ==，24BC =，AG ⊥BC ， ∴1122BG BC ==， 在直角三角形ABG 中，2213125AG =-=，由折叠可知∠B=∠E ，BD=ED ，AE=AB=13，∵DE ∥AG ，∴∠FAG=∠E=∠B ，∴Rt △AFG ∽Rt △BAG ，∴AB BG AF AG =，即13125AF =， ∴6512AF = ∴6591131212EF =-=， 由∠B=∠E ，∠EDF=∠ABG=90°，可知△ABG ∽△FED ，∴AB BG EF DE =，即13129112DE =， ∴7DE =，即7BD =；如图，当∠EFD=90°时，由折叠可知∠B=∠E ，BD=ED ，AE=AB=13，由于∠EFD=90°，因此AF ⊥BC ，在直角三角形ABF 中，2213125AF =-=，∴1358EF =-=，∵∠B=∠E ，∠AFB=∠EFD=90°，∴△ABF ∽△DEF ， ∴AB BF DE EF =，即13128DE =， ∴263DE =，即263BD =； 综上，263BD =或7BD =， 故答案为：263或7． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质和判定以及折叠问题，找到相似三角形是解题的关键，要注意分类讨论．23．【分析】连接MN 过点O 作于点E 交CD 于点F 先证明得到相似比是然后求出和的面积用矩形MNCD 的面积减去这两个三角形的面积得到阴影部分面积【详解】解：如图连接MN 过点O 作于点E 交CD 于点F ∵四边形ABC 解析：23【分析】连接MN ，过点O 作OE MN ⊥于点E ，交CD 于点F ，先证明OMN PQO ，得到相似比是4:1，然后求出OMN 和PQO 的面积，用矩形MNCD 的面积减去这两个三角形的面积得到阴影部分面积．【详解】解：如图，连接MN ，过点O 作OE MN ⊥于点E ，交CD 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ，AD BC =，∵M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，∴DM CN =，∴四边形MNCD 是平行四边形，∴//MN CD ，∴OMN PQO ，相似比是:4:1MN PQ =，∴:4:1OE OF =， ∵152EF BC ==， ∴4OE =，1OF =， ∴184162MNO S =⨯⨯=，12112PQOS =⨯⨯=，8540MNCD S =⨯=， ∴4016123S =--=阴影．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 24．【分析】由圆周角定理可知再由可证明最后根据相似三角形对应边成比例及已知条件BC ：CA ＝4：3结合三角形面积公式解题即可【详解】为直径又BC ：CA ＝4：3当点P 在弧AB 上运动时当PC 最大时取得最大值而 解析：503【分析】由圆周角定理可知A P ∠=∠，再由90ACB PCD ∠=∠=︒可证明~ACB PDC ，最后根据相似三角形对应边成比例，及已知条件BC ：CA ＝4：3，结合三角形面积公式解题即可．【详解】 AB 为直径，90ACB ∴∠=︒PC CD ⊥，90PCD ∴∠=︒又CAB CPD ∠=∠~ACB PDC ∴AC BC CP CD∴= BC ：CA ＝4：3，43CD PC ∴= 当点P 在弧AB 上运动时， 12PCD S PC CD =⋅△ 2142233PCD S PC PC PC ∴=⨯⋅= 当PC 最大时，PCD S 取得最大值而当PC 为直径时最大，22505=33PCD S ∴=⨯． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形面积、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．25．5【分析】首先由勾股定理求出AC 再证明得到进而列方程求解即可【详解】解析：5【分析】首先由勾股定理求出AC ，再证明~ABE CDE ∆∆，得到AB AE CD CE=，进而列方程求解即可．【详解】 90ACB ∠=︒，10AB =，6BC =，8AC ∴==，∴设AE x =，则8CE x =-， BD 平分ABC ∠，ABD DBC ∴∠=∠，又//AB CD ，ABD BDC ∴∠=∠，DBC BDC ∴∠=∠，6BC CD ∴==，//AB CD ，∴~ABE CDE ∆∆，AB AE CD CE∴= 1068x x∴=- 解得5x =，5AE ∴=故答案为：5．【点睛】此题主要考查了相似三角形和判定与性质，熟练掌握并能灵活运用相似三角形和判定与性质定理是解答此题的关键．26．12【分析】过点A 作AD ⊥y 轴于D 则△ADC ∽△BOC 由线段的比例关系求得△AOC 和△ACD 的面积再根据反比例函数的k 的几何意义得结果【详解】过点A 作AD ⊥y 轴于D 则△ADC ∽△BOC ∴∵△AOB 的解析：12【分析】过点A 作AD ⊥y 轴于D ，则△ADC ∽△BOC ，由线段的比例关系求得△AOC 和△ACD 的面积，再根据反比例函数的k 的几何意义得结果．【详解】过点A 作AD ⊥y 轴于D ，则△ADC ∽△BOC ，∴12DC AC OC BC ， ∵12AC BC =，△AOB 的面积为12， ∴S △AOC ＝13S △AOB ＝4， ∴S △ACD ＝12S △AOC ＝2， ∴△AOD 的面积＝6， 根据反比例函数k 的几何意义得，12|k|＝6， ∴|k|＝12，∵k ＞0，∴k ＝12．故答案为：12．【点睛】本题主要考查了反比例函数的k 的几何意义的应用，考查了相似三角形的性质与判定，关键是构造相似三角形．三、解答题27．（1）()121P m n +-，，作图见解析；（2） ()222P m n ，，作图见解析；（3）能关于某一点Q 为位似中心的位似图形，Q （4，-2）．【分析】（1）根据平移规律，画出111,,A B O 即可；（2）根据位似图形的性质，画出△22OA B 即可；（3）对应点连线的交点即为位似中心；【详解】解：（1）△111O A B 如图所示，1P （m+2，n-1）；（2）△22OA B 如图所示，2P （2m ，2n ）．（3）能关于某一点Q 为位似中心的位似图形，Q （4，-2）；【点睛】本题考查作图-位似变换，作图-平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握位似变换、平移变换的性质，属于中考常考题型．28．（1）4，6；（2）4.5；（3）存在，理由见解析．【分析】（1）把A(－2，0)，代入y ＝2x ＋b 得到b 的值，再把C(m ，6)代入y ＝2x ＋b ，求出m 的值，进而即可得到答案；（2）先求出B 的坐标，再求出点 D 的纵坐标，根据S △ACD ＝S △ABD ＋S △BCD ，进而即可求解；（3）分两种情况①△AOB ∽△EAB ，②△AOB ∽△ABE ，分别列出比例式，进而即可求解【详解】（1）∵直线y ＝2x ＋b 经过点A(－2，0)，∴－4＋b ＝0，∴b ＝4，∴直线y ＝2x ＋4．把C(m ，6)代入y ＝2x ＋4中，得6＝2m ＋4，解得m ＝1，∴C(1，6)．把C(1，6)代入反比例函数()0k y x x=>中，得k ＝6． （2）令x ＝0，得y ＝2x ＋4＝4，∴B(0，4)．∵BD ⊥y 轴于B ，∴D 点的纵坐标为4，把y ＝4代入反比例函数y ＝6x 中，得x ＝32， ∴D （32，4）， ∴BD ＝32， ∴S △ACD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝4.5； （3）存在．当∠BAE ＝90°时，如图①，∵∠BAE ＝∠BOA ＝90°，∠ABE ＝∠OBA ，∴△AOB ∽△EAB ，∴AB BO EB BA=， ∵AB=222425+=,∴BE ＝5，∴OE ＝1，∴E(0，－1)；当∠ABE ＝90°时，如图②，∵∠ABE ＝∠AOB ＝90°，∠OAB ＝∠BAE ，∴△AOB ∽△ABE ，∴AB AO AE BA= ∴AE ＝2AB AO＝10， ∴OE ＝AE －AO ＝10－2＝8，∴E(8，0)．∴存在点E(除点O 外)，使得△ABE 与△AOB 相似，其坐标为(8，0)或(0，－1)．① ②【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合以及相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法以及相似三角形的性质，是解题的关键．29．（1）t ；（4﹣2t ）；（2）要使CPQ ∆与CBA ∆相似，运动的时间为1.2或1611秒． 【分析】（1）结合题意，直接得出答案即可；（2）若两三角形相似，则由相似三角形性质可知，其对应边成比例．设经过t 秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：①若Rt ABC Rt QPC ∆∆∽，②若Rt ABC Rt PQC ∆∆∽，然后列方程求解．【详解】解：（1）经过t 秒后，CQ ＝t ，CP ＝4﹣2t ，故答案为：t ；（4﹣2t ）．（2）设经过t 秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt ABC Rt QPC ∆∆∽，则AC QC BC PC =，即3442t t =-，解得t ＝1.2； ②若Rt ABC Rt PQC ∆∆∽，则PC AC QC BC =，即4234t t -=，解得t ＝1611； 由P 点在BC 边上的运动速度为2cm/s ，Q 点在AC 边上的速度为1cm/s ，可求出t 的取值范围应该为0＜t ＜2，验证可知①②两种情况下所求的t 均满足条件．答：要使CPQ ∆与CBA ∆相似，运动的时间为1.2或1611秒． 【点睛】本题综合考查了相似三角形的性质以及一元一次方程的应用问题，并且需要用到分类讨论的思想，解题时应注意解答后的验证． 30．（1）1；（2）1k k -；（3）3060AED ︒<∠≤︒，0AE EC ≥． 【分析】（1）先根据“类似比”的定义、等边三角形的性质可得ADE BDC ，再根据相似三角形的性质即可得；（2）参照（1）的方法，利用相似三角形的判定与性质即可得； （3）先根据0,0AD AE BD EC≥≥求出k 的取值范围，再根据等边三角形的性质可求出DCB ∠的取值范围，由此即可得．【详解】 （1）ABC 是等边三角形，60,ACB A B AC BC ∴∠=∠=∠=︒=， 由“类似比”的定义得：AED DCB ∠=∠，在ADE 和BDC 中，A B AED BCD ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ADE BDC ∴，12AE AD BC BD ∴==， 又BC AC AE EC ==+，12AE AE EC ∴=+，即AE EC =， 1AE EC∴=， 故答案为：1；（2）由（1）已证：AE AD k BC BD==， BC AC AE EC ==+，AE k AE EC∴=+， 解得1AE k EC k=-； （3）由题意得：001AD k BD AE k EC k ⎧=≥⎪⎪⎨⎪=≥⎪-⎩， 解得01k ≤<，01AD BD∴≤<，即0AD BD ≤<， 当0AD =，即点D 与点A 重合时，60DCB ACB ∠=∠=︒，当AD BD =，即点D 是AB 的中点时，1302DCB ACB ∠=∠=︒， 3060DCB ∴︒<∠≤︒，又AED DCB ∠=∠，3060AED ∴︒<∠≤︒，综上，AED ∠的取值范围为3060AED ︒<∠≤︒，“类似比”AE EC 的取值范围为0AE EC ≥． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．。