正切函数
正切函数
Tan是正切的意思，角θ在任意直角三角形中，与θ相对应的对边与邻边的比值叫做角θ的正切值。
若将θ放在直角坐标系中即tanθ=y/x。
tanA=对边/邻边。
在直角坐标系中相当于直线的斜率k。
正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值叫做正切。
放在直角坐标系中（如图）即tanθ=y/x
Tan 取某个角并返回直角三角形两个直角边的比值。
此比值是直角三角形中该角的对边长度与邻边长度之比，也可写作tg。
正切tangent，因此在上世纪九十年代以前正切函数是用tgθ来表示的，而现在用tanθ来表示。
将角度乘以π/180 即可转换为弧度，将弧度乘以180/π即可转换为角度。
在三角函数中：；tanθ=1/cotθ.
在Rt△ABC，∠C=90度，AB=c,BC=a,AC=b,tanA=BC/AC=a/b
将一个角放入直角坐标系中使角的始边与X轴的非负半轴重合在角的终边上找一点A（x，y）
过A做X轴的垂线
则r=(x^2+y^2）^（1/2）
tan =y/x
正切无最大最小值。
tanA=∠A的对边/∠A的邻边
函数图像
函数图像
30°sina=1/2 cosa=√3/2 tana=√3/3
45°sinα=cosα=tanα=1
60°sinα=cosα=1/2 tanα=√3
90°sinα=1 cosα=0 tanα不存在
120°sinα=√3/2 cosα=-1/2 tanα=-√3
150°sinα=1/2 cosα=-√3/2 tanα=-√3/3
180°sinα=0 cosα=-1 tanα=0
270°sinα=-1 cosα=0 tanα不存在
360°sinα=0 cosα=1 tanα=0
几个常用公式：
tan a=sin a/cos a
tanα=1/cotα
1、设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：tan （2kπ+α）=tanα
2、设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：tan（π+α）=tanα
3、任意角α与-α的三角函数值之间的关系：tan（－α）=－tan α
4、利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：tan（π－α）=－tanα
5、利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：tan（2π－α）=－tanα
6、π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
tan（π/2+α）=－cotα
tan（π/2－α）=cotα
tan（3π/2+α）=－cotα
tan（3π/2－α）=cotα(以上k∈Z)
一般的最常用公式
口诀;奇变偶不变，符号看象限一般的最常用公式有:
Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA
Sin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosA
Cos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinB
Cos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinB
Tan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)
Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB) 同角三角函数的关系（即同角八式）·平方关系。
正切函数课件
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
方法归纳 求函数 y＝Atan(ωx＋φ)定义域、周期、单调区间的方法 (1)定义域：由 ωx＋φ≠kπ＋π2 ，k∈Z，求出 x 的取值集合即
为函数的定义域，即xx≠kπ＋ωπ2 －φ，k∈Z.
(2)周期性：利用周期函数的定义来求．
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
fπ6 ＝_______3________．
π
π
解析：由题意知 x＋ 6 ≠kπ＋ 2 (k∈Z)，
π 即 x≠ 3 ＋kπ(k∈Z)．
故定义域为xx≠kπ＋π3 ，k∈
Z，
且 fπ6 ＝tanπ6 ＋π6 ＝ 3.
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
正切函数的图像
求函数 f(x)＝tan |x|的定义域与值域，并作其图像．
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
2．y＝tan(x＋π)是( A ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：因为 y＝tan(x＋π)＝tan x，所以 y＝tan(x＋π)是奇函 数．
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
3．函数 f(x)＝tanx＋π6 的定义域是_x__x_≠__k_π__＋__π3__，__k_∈__Z_，
域是[0，＋∞)，图像如图实线部分所示．
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
1．(1)函数 y＝sin x 与 y＝tan x 在区间－3π2 ，32π上的交点个
数是( A ) A．3
B．4
C．5
D．6
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
解析：(1)如图，函数 y＝sin x 与 y＝tan x 在区间－32π，32π
正切函数的定义、图像与性质
利用正切函数的图象来研究它的性质：
正切函数的性质：
2、值域： R tan x 当 x ＜ 2 k k Z 且无限接近于 2 k 时，
tan x k k Z 且无限接近于 k 时， 当 x＞ 2 2
利用正切函数的图象来研究它的性质：
正切函数的性质：
3、周期性：
对任意的 x R, 且x
2
k , k Z 都有
tanx tan x
利用正切函数的图象来研究它的性质：
正切函数的性质： 4、奇偶性：奇函数,正切曲线关于原点 O 对称. 任意 x k , k k Z ，都有 2 2 tan x tan x 正切函数是奇函数. k ， 0 （ k Z ） 正切函数的对称中心为：
例2：观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围。 （1） tanx >0 （2）tanx <1 y
y
x
1 –/2 0 /4 /2
x
–/2
0
/2
（k，k+/2） kz
（k–/2，k+/4）kz
例 3：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是区间 ( k , k ) ，k Z 内都是增函数。 2 2
kZ x k , (6)渐近线方程： 2
(7)对称中心
kπ ( ,0) 2
四、应用： 例1．求函数 y tan x 的定义域．
4
解：令
z x
sin x tan x f x cos x 是它的最小正周期．
下面我们先来作一个周期内的图象。 想一想：先作哪个区间上的图象好呢？ ππ (- , ) 为什么？ 2 2
正切函数的定义
线段AT称为角α的正切线
三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正O
M A(1,0) x
由正余弦的诱导公式得：
tan(x k ) sin(x k ) sin x tan x cos(x k ) cos x
x R, x k , k Z
2
正切函数的周期是kπ ， π 是它的最小正周期
例1 求 20 的各三角函数值.
3
6.1正切函数的定义
y P(a,b)
A
O
M 1x
如果角α满足：α∈R，α≠ π/2 +kπ（ k ∈Z ），角α的终边与单 位圆的交点为P(a，b)(a＞0，b＞0)，那么tanα＝？
tanα | PM | b
| OM | a
我们把它叫做角α的正切函数，记作y=tanα
tan sin ( R, k , k Z )
cos
2
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的 函数。我们统称它们为三角函数。
思 考
α在第 一、三 象限时， tanα>0 α在第 二、四 象限时， tanα <0
y P
T
角α的 终边
角α的 终边 P
y
A（1,0）
O
M
x
MO
A（1,0） x
T 过点A（1,0）作x轴的垂线，与角的终边或终边的延长 线相交于T点。 过点P作x轴的垂线，与x轴交于点M。
三角函数的正切定理
三角函数的正切定理三角函数是数学中重要的概念之一，在几何和物理学中有广泛的应用。
其中，正弦、余弦和正切是最为常见的三角函数之一。
本文将重点介绍正切函数的定义和应用，并具体阐述正切定理。
一、正切函数的定义正切函数，简称tan，是指在直角三角形中，对于一个锐角θ，正切函数是指以θ为单位的对边与邻边的比值。
用数学符号表示为：tanθ = 对边/邻边二、正切函数的性质1. 周期性：正切函数的周期为π，即tan(θ+π) = tanθ。
2. 定义域：由于正切函数是对边与邻边的比值，邻边不能为零，所以正切函数的定义域为一切邻边不为零的角度。
3. 值域：正切函数的值域是整个实数集。
4. 对称性：正切函数的图像在原点对称。
5. 渐近线：正切函数有两条渐近线，分别是y = π/2 和 y = -π/2。
6. 连续性：在定义域内，正切函数是连续的。
三、正切定理正切定理是指在一个直角三角形中，正切函数与其它两个三角函数的关系。
1. 正切定理一：tanθ = sinθ/cosθ这个定理表明，在一个直角三角形中，tanθ可以表示为sinθ与c osθ的比值。
2. 正切定理二：sin^2θ + cos^2θ = 1这个定理被称为“三角恒等式”或“勾股定理”，它表示在一个直角三角形中，正弦函数的平方与余弦函数的平方之和等于1。
3. 正切定理三：1 + tan^2θ = sec^2θ这个定理也被称为“倒数关系”，它表示在一个直角三角形里，正切函数的平方与其倒数（即secant函数）的平方之和等于1。
四、正切函数的应用正切函数在日常生活和学科中有广泛应用。
下面是正切函数的一些应用领域：1. 几何学：正切函数可以用于计算直角三角形中的边长或角度。
2. 物理学：正切函数可以用于描述物体在斜坡上滚动的速度和加速度。
3. 工程学：正切函数可以用于建筑、航空和土木工程中的角度测量和设计。
4. 统计学：正切函数可以用于统计学中的信号处理和图形分析。
正切函数公式表
正切函数公式表
正切函数是三角函数之一，通常用tan表示。
它的定义域为所有实数，但是存在周期性，即tan(x + kπ) = tan(x)，其中k为整数。
以下是正切函数的公式表：
1. 正切函数的定义：tan(x) = sin(x) / cos(x)，其中x为角度或弧度。
2. 正切函数的图像：正切函数的图像是一条无限延伸的曲线，它在x轴上有无限多个零点，即tan(x) = 0时，x = kπ，其中k为整数，而在x轴两侧则有无限多个渐近线，即函数趋近于正无穷或负无穷。
3. 正切函数的性质：正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)，它的周期为π，即tan(x + π) = tan(x)，它在x = π/2和x = -π/2处有无穷大的间断点。
4. 正切函数的求导：tan(x)的导数为sec²(x)，即d/dx tan(x) = sec²(x)，其中sec(x)表示余割函数，它等于1/cos(x)。
5. 正切函数的逆函数：正切函数的逆函数为反正切函数，通常用arctan表示，它的定义域为所有实数，值域为(-π/2, π/2)，它的图像是一条从(-π/2, -∞)到(π/2, ∞)的连续曲线，它满足tan(arctan(x)) = x，arctan(tan(x)) = x，其中x属于(-π/2, π/2)。
正切函数的性质及应用
所以函数
y
tan(x
4
)
的定义域是：
x
|
x
4
k
,
k
Z
变式练习
1.
求函数 y tan(x ) 的定义域。
解：令 z x , 4
4
那么函数 y tan z的定义域是：
所以由
z
|
z
2
k
,
k
Z
z
x
可得：
,
4
x k
42
所以函数 y tan(x ) 的定义域是：
3 求函数 y＝3tan(4π－2x)的单调区间．
解法一：令 z＝π4－2x，则 y＝3tan(π4－2x)＝3tanz. 由于函数 y＝3tanz 在(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)上是增函 ，且 z＝π4－2x 是减函数得： －π2＋kπ<π4－2x<π2＋kπ，k∈Z 即－π8－k2π<x<38π－k2π. 所以函数 y＝3tan(π4－2x)的减区间为(－π8－k2π，38π－k2π)(k Z)，也即(－π8＋k2π，38π＋k2π)(k∈Z)．
解：(1)tan(－173π)＝tan(－2π＋7π)＝tanπ7， tan98π＝tan(π＋π8)＝tanπ8， ∵y＝tanx 在(－2π，π2)上递增， ∴tan7π>tanπ8，∴tan(－173π)>tan89π.
(2)∵0<1<π2<2<3<π ∴tan1>0 且 tan2<tan3<0∴tan2<tan3<tan1， 即 tan2<tan3<tan1.
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
正切函数(tan)
正切函数(tan)全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：正切函数是一种基本的三角函数，常用符号为tan，表示为y=tan(x)。
在数学中，正切函数是一个周期函数，定义域为全体实数，值域为实数。
正切函数在三角学和分析几何中有着重要的作用，在物理学、工程学等领域也被广泛地应用。
正切函数与正弦函数、余弦函数一样，是三角函数的基本函数之一。
正切函数的图像是一条以原点为中心，斜率为正的曲线，这条曲线在x轴的正方向上无限延伸。
正切函数的周期是π，即tan(x)在x=0，x=π，x=2π等处都有定义。
正切函数在x=π/2，x=3π/2等处有奇点，因为在这些点上正切函数的值变为无穷大。
正切函数的性质是其定义和计算的基础，其性质包括奇偶性、周期性、定义域、值域、单调性、导数等。
通过研究这些性质，我们可以更深入地理解正切函数的特点和规律。
正切函数的奇偶性是一个重要的性质。
正切函数是一个奇函数，即满足tan(-x)=-tan(x)。
这个性质可以通过正切函数的图像来理解：正切函数关于原点对称，即y=tan(-x)的图像与y=tan(x)的图像关于y 轴对称。
正切函数的周期性是另一个重要的性质。
正切函数的周期是π，即tan(x)=tan(x+π)，这说明正切函数的图像在每隔π的区间内呈现出相同的模式。
正切函数的周期性可以帮助我们研究和分析正切函数的行为。
正切函数的定义域是全体实数，但在一些特殊的点上正切函数是没有定义的，这些点称为正切函数的奇点。
正切函数在x=π/2，x=3π/2等处有奇点，因为在这些点上正切函数的值变为无穷大。
在计算中，我们需要注意这些奇点，避免出现无法解释的结果。
正切函数的值域是实数。
正切函数在整个定义域上都有定义，可以取任意实数的值。
正切函数的图像可以在y轴的正方向上无限延伸，因此正切函数的值域是实数。
正切函数的单调性是一个重要的性质。
正切函数在定义域的每个周期内都是单调递增或单调递减的。
这个性质可以通过对正切函数的导数进行分析来证明。
三角函数正切与余切的定义
三角函数正切与余切的定义三角函数是数学中非常重要的一类函数，其中正切函数和余切函数在解决三角形相关问题以及在物理、工程等领域中有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨正切和余切函数的定义及其性质。
一、正切函数的定义正切函数是指以单位圆上的一点为端点所得到的射线与x轴的正切值。
设角A为一个锐角，点P(x,y)为单位圆上的一点，其中点P与x轴的夹角为A。
则正切函数tanA定义为tanA=y/x。
在直角三角形中，角A的角度为θ，则tanθ可以表示为对边与邻边的比值，即tanθ=opposite/adjacent。
二、余切函数的定义余切函数是指以单位圆上的一点为端点所得到的射线与x轴的余切值。
同样设角A为一个锐角，点P(x,y)为单位圆上的一点，其中点P与x轴的夹角为A。
则余切函数cotA定义为cotA=x/y。
在直角三角形中，角A的角度为θ，则cotθ可以表示为邻边与对边的比值，即cotθ=adjacent/opposite。
三、正切和余切函数的性质1. 定义域和值域正切函数和余切函数的定义域为所有实数，除了使分母为零的点，因为在这些点上，函数无定义。
正切函数的值域为所有实数，而余切函数的值域也是所有实数。
正切函数和余切函数的值可以是正无穷、负无穷或任意实数。
2. 周期性正切函数和余切函数均具有周期性。
正切函数的周期为π，即tan(θ+π)=tanθ。
余切函数的周期也为π，即cot(θ+π)=cotθ。
3. 奇偶性正切函数是奇函数，即tan(-θ)=-tanθ，而余切函数是奇函数，即cot(-θ)=-cotθ。
这意味着对于正切函数和余切函数，如果角度取负，函数值的符号会改变。
4. 关系式正切函数和余切函数之间存在着一种关系，即tanθ=1/cotθ，cotθ=1/tanθ。
这可以通过函数定义推导得出。
5. 图像特点当角度增大时，正切函数和余切函数都会体现出图像上升或下降的趋势。
正切函数的图像曲线在每个周期内交替地上升和下降，且在θ=π/2的点上有一个正无穷的间断点。
正切函数ppt课件
例题分析
例 2. 求函数y tan(x )的定义域、值域和单调区间.
4
解:
设t
x
4
,
则y
tan
t的定义域为t
t
R且t
k
+
2
,
k
Z
x k ,
4
2
x k
4
因此，函数的定义域是
x
x
R且x
k
4
,
k
Z
值域 : R
y
tan
t的单调增区间是
-
2
k
,
2
k
,
k
Z
32kkxx42k
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
⑵ 值域： R 2 ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
(5) 对称性：对称中心：
无对称轴
(6)单调性：在每一个开区间
(-π+ 2
kπ,π+ 2
kπ)
，
k
Z
内都是增函数。
(7)渐近线方程： x k , k Z
π
π
3π
2π
5π
2
2
2
9
10
11
例题分析
12
13
14
例4 求下列函数的值域：
15
小结：正切函数的图像和性质
16
17
18
19
四、小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
正切函数讲解
正切函数中文:正切概念如图，把∠A的对边与∠A的邻边的比叫做∠A的正切，记作tan=∠A的对边/∠A的邻边=a/b锐角三角函数tan15°=2-√3tan30°=√3/3tan45°=1tan60°=√32定义编辑正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值叫做正切。
放在直角坐标系中（如图）即tanθ=y/xTan 取某个角并返回直角三角形两个直角边的比值。
此比值是直角三角形中该角的对边长度与邻边长度之比，也可写作tg。
正切tangent，因此在20世纪90年代以前正切函数是用tgθ来表示的，而20世纪90年代以后用tanθ来表示。
将角度乘以π/180 即可转换为弧度，将弧度乘以180/π即可转换为角度。
在三角函数中：tanθ=sinθ/cosθ；tanθ=1/cotθ.在Rt△ABC，∠C=90度，AB=c,BC=a,AC=b,tanA=BC/AC=a/b 将一个角放入直角坐标系中使角的始边与X轴的非负半轴重合在角的终边上找一点A（x，y）过A做X轴的垂线则r=(x^2+y^2）^（1/2）tan =y/x3常用角度编辑正切无最大最小值[1]tanA=∠A的对边/∠A的邻边30°sina=1/2cosa=√3/2tana=√3/345°sinα=√2/2cosα=√2/2tanα=160°sinα=√3/2cosα=1/2tanα=√390°sinα=1cosα=0tanα不存在120°sinα=√3/2cosα=-1/2tanα=-√3150°sinα=1/2cosα=-√3/2tanα=-√3/3180°sinα=0cosα=-1tanα=0270°sinα=-1cosα=0tanα不存在360°sinα=0cosα=1tanα=04性质编辑1、定义域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}2、值域：实数集R3、奇偶性：奇函数4、单调性：在区间(-π/2+kπ,π/2+kπ)，（k∈Z）上是增函数5、周期性：最小正周期π（可用T=π/|ω|来求）6、最值：无最大值与最小值7、零点：kπ,k∈Z8、对称性：轴对称：无对称轴中心对称：关于点(kπ/2,0)对称（k∈Z）9、奇偶性：由tan（-x）=-tan（x），知正切函数是奇函数，它的图象关于原点呈中心对称10、图像（如图所示）实际上，正切曲线除了原点是它的对称中心以外,所有x=(n/2)π点都是它的对称中心.5诱导公式编辑tan(2π+α)=tanαtan(－α) =－tanαtan(2π－α)=－tanαtan(π－α) =－tanα[2]tan(π+α) =tanαtan(α+β) =（tanα+tanβ）/（1-tanα×tanβ）tan(π/2+α)=－cotαtan(π/2－α)=cotα[2]。