四种命题相互关系练习题
四 种命题
问题 1.证明:若 p q 2 ,则 p q ≤ 2 .
2 2
证明: 假设 p q 2 ,
则 ( p q) 4 , p 2 q 2 2 pq 4 , ∴
2
2 2
假设原命题结 论的反面成立 看能否推出原命题 条件的反面成立
2 2
P2
2+y2=0,则x=y=0. 练习:证明x
练2.
圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且 AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.
证明： 假设弦AB 、CD被P平分， ∵P点一定不是圆心O，连接OP， 根据垂径定理的推论， 有 OP⊥AB, OP⊥CD 即 过点P有两条直线与OP都垂直， 这与垂线性质矛盾， ∴弦AB、CD不被P平分。
∵ p q ≥ 2 pq , 2 2 2 2 ∴ 2( p q ) 4 , ∴ p q 2 , 尝试成功 2 2 ∴ p q 2. 得证
这表明原命题的逆否命题为真命题,从而原命 题也为真命题.
反证法：
• 要证明某一结论A是正确的，但不直 接证明，而是先去证明A的反面（非A） 是错误的，从而断定A是正确的。 • 即反证法就是通过否定命题的结论而 导出矛盾来达到肯定命题的结论，完 成命题的论证的一种数学证明方法。
结论：原命题与逆否命题总是具有相同的真假 性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．
练习.四种命题真假的个数可能为（ 答：0个、2个、4个。 ）个。
例1、 判断命题“若x+y>5,则x>2或y>3” 的真假
直接判断比较困难时，先判断逆否 命题的真假。
数学命题及其关系的练习题及答案
数学命题及其关系的练习题及答案关于数学命题及其关系的练习题及答案1.1命题及其关系重难点：了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题；明白四种命题之间的关系；会利用两个命题互为逆否命题的关系判别命题的真假．考纲要求：①了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题．②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的互相关系．经典例题：已知命题；若是的充分非必要条件，试求实数的取值范围．当堂练习：1. 给出以下四个命题：①“若x＋y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若，则有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．其中真命题是 ( )A．①② B．②③C．①③ D．③④1. “△ABC中，若∠C=90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为（）A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不是锐角B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不一定是锐角D．以上都不对3. 给出4个命题：①若，则x=1或x=2；②若，则；③若x=y=0，则；④若，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．那么：（）A．①的逆命题为真 B．②的否命题为真C．③的逆否命题为假 D．④的逆命题为假4. 命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等.”的`逆否命题是（）A．“若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等.”B．“若△ABC任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形.”C．“若△ABC有两个内角相等，则它是等腰三角形.”D．“若△ABC任何两个角相等，则它是等腰三角形.”5. 命题p：若A∩B=B，则；命题q：若，则A∩B≠B．那么命题p与命题q的关系是（）A．互逆 B．互否C．互为逆否命题 D．不能确定6. 对以下四个命题的判断正确的是 ( )(1)原命题：若一个自然数的末位数字为0，则这个自然数能被5整除(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则这个自然数的末位数字为0(3)否命题：若一个自然数的末位数字不为0，则这个自然数不能被5整除(4)逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则这个自然数的末位数字不为0A．(1)、(3)为真，(2)、(4)为假 B．(1)、(2)为真，(3)、(4)为假C．(1)、(4)为真，(2)、(3)为假 D．(2)、(3)为真，(1)、(4)为假7. 直线的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是（）A．k＜0 B．k＜－1 C．k＜1 D．k＞－28. 直线，互相平行的一个充分条件是（）A．，都平行于同一个平面 B．，与同一个平面所成的角相等C．平行于所在的平面 D．，都垂直于同一个平面9. 已知a1，a2，a3，a4是非零实数，则a1a4=a2a3是a1，a2，a3，a4成等比数列的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件10. 在ΔABC中，条件甲：A＜B，条件乙：cosA＞cosB,则甲是乙的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件11. 在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是 (把符合要求的命题序号都填上).12.命题则对复合命题的下述判断：①p或q为真；②p或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假．其中判断正确的序号是（填上你认为正确的所有序号）．13. 设集合A=x2＋x－6=0，B=mx＋1=0，则B是A的真子集的一个充分不必要的条件是_ .14. 设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的__________条件．15. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并指出他们的真假：(1)若xy=0，则x，y中至少有一个是0；(2)若x＞0，y＞0，则xy＞0；16. 设集合，，则“或”是“”的条件？17. 已知x的一元二次方程(m∈Z)① mx2－4x＋4＝0 ② x2－4mx＋4m2－4m－5＝0求方程①和②都有整数解的充要条件18.设α，β是方程x2－ax+b=0的两个实根，试分析a＞2且b ＞1是两根α、β均大于1的什么条件？参考答案：经典例题：【解析】由，得．：．由，得．：B={}．∵是的充分非必要条件，且， AB．即当堂练习：1.C;2.B;3.A;4.C;5.C;6.C;7.C;8.D;9.B; 10.C; 11. ②; 12.①④⑤⑥; 13. m=(也可为或0);14. 充分不必要.15. 【解析】(1)逆命题：若x=0，或y=0则xy=0；否命题：xy≠0，则x≠0且y≠0；逆否命题：若x≠0，且y≠0则xy≠0；(2)逆命题：若xy＞0,则x＞0，y＞0；否命题：若x≤0，或y≤0则xy≤0；逆否命题：若xy≤0；则x≤0，或y≤016. 【解析】“或”，，因为“或”，但，故“或”是“”的必要不充分条件．17. 【解析】方程①有实根的充要条件是解得m1.方程②有实根的充要条件是，解得故m=－1或m=0或m=1.当m=－1时，①方程无整数解.当m=0时，②无整数解；当m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m=1.反之，m=1①②都有整数解.∴①②都有整数解的充要条件是m=1.18. 【解析】根据韦达定理得a=α+β,b=αβ.判定的条件是p:结论是q:(注意p中a、b满足的前提是Δ=a2－4b≥0)(1)由，得a=α+β＞2,b=αβ＞1,∴qp(2)为证明pq,可以举出反例：取α=4,β=,它满足a=α+β=4+＞2,b=αβ=4×=2＞1,但q不成立.综上讨论可知a＞2,b＞1是α＞1,β＞1的必要但不充分条件.【关于数学命题及其关系的练习题及答案】。
1-1-2 四种命题及其相互关系
基础巩固强化一、选择题1．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是() A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b[答案] D[解析]将原命题的条件改为结论，结论改为条件，即得原命题的逆命题．2．命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1，或x<－1，则x2>1D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1[答案] D[解析]－1<x<1的否定为x≤－1或x≥1，x2<1的否定为x2≥1，故逆否命题为“若x≤－1或x≥1，则x2≥1”，故选D.3．(2012～2013学年度安徽安庆市高二期末测试)命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命题是()A．若a＝0或b＝0，则ab＝0B．若ab≠0，则a≠0或b≠0C．若a≠0且b≠0，则ab≠0D．若a≠0或b≠0，则ab≠0[答案] C[解析]命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命题是“若a≠0且b≠0，则ab≠0”．4．(2012·宿州高二检测)命题“若c<0，则方程x2＋x＋c＝0有实数解”，则()A．该命题的逆命题为真，逆否命题也为真B．该命题的逆命题为真，逆否命题也假C．该命题的逆命题为假，逆否命题为真D．该命题的逆命题为假，逆否命题也为假[答案] C[解析]如：当c＝0时，方程x2＋x＋c＝0有实数解，该命题的逆命题“若方程x2＋x＋c＝0有实数解，则c<0”是假命题；若c<0，则Δ＝1－4c>0，命题“若c<0，则方程x2＋x＋c＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题．5．命题“若a＝5，则a2＝25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题[答案] D[解析]∵原命题为真，逆命题为假，∴逆否命题为真，否命题为假．6．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是()A．4B．3C．2D．0[答案] C[解析]“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”为真，故逆否命题为真，逆命题：“△ABC为等腰三角形，则AB＝AC”为假，故否命题为假．二、填空题7．命题“若a>1，则a>0”的逆否命题是______命题(填“真”或“假”)．[答案]真[解析]∵原命题为真，∴其逆否命题为真．8．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________，逆否命题是____________________．[答案]逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5；否命题：若x≠3或y≠5，则x＋y≠8；逆否命题：x＋y≠8，则x≠3或y≠5.9．命题“若函数f(x)＝ax＋b，则函数是一次函数”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．[答案] 2[解析]命题“若函数f(x)＝ax＋b，则函数是一次函数”是假命题，故其逆否命题是假命题；该命题的逆命题是“若函数f(x)是一次函数，则函数f(x)＝ax＋b”为真命题，故其否命题是真命题．三、解答题10．把命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题．[解析]“若p，则q”的形式：若两个三角形全等，则它们的面积相等．逆命题：若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等．否命题：若两个三角形不全等，则它们的面积不相等．逆否命题：若两个三角形的面积不相等，则这两个三角形不全等.。
四种命题的真假关系(含答案)
B. 当 揀 时该命题成立
C. 当 揀 时该命题不成立
D. 当 揀 时该命题成立
25.已知命题“函数 f（x）、g（x）定义在 R 上，h（x）=f（x）•g（x），若 f（x）、g（x）均为奇函数，
ᇮtan 揀
17.下列命题中，假命题的个数为（ ）．
①对所有正数 p， ；
②不存在实数 x，使 x<4 且
揀；
3
③存在实数 x，使得 ᇮ
ᇮ且 䮠 ；
④3>3，
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
18.命题“若 则 ”及其逆命题，否命题，逆否命题中真命题的个数可能是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 都有可能
题中，真命题的个数为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
3.下列命题错误的是（ ）
A. 命题“若 m＞0，则方程 x2+x﹣m=0 有实数根”的逆否命题为：“若方程 x2+x﹣m=0 无实数根，则
m≤0”
B. 若 p∨q 为真命题，则 p，q 至少有一个为真命题
C. “x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
D. 若 p∧q 为假命题，则 p，q 均为假命题
4.在命题“若抛物线 揀 ᄂ ܾ 的开口向下，则 䮠ᄂ ܾ
”的逆命题、否命题、逆否命
题中结论成立的是（ ）
A. 都真
B. 都假
C. 否命题真
D. 逆否命题真
5.下列说法正确的是（ ）
A. “若 ᄂ 䮠 ᇮ ，则 ᄂ 䮠 ᇮ ”的否命题是“若 ᄂ 䮠 ᇮ ，则 ᄂ ᇮ ”
A. 3
人教A版选修2-1第一章第2课时同步练习§1.1.3 四种命题间的相互关系
§1.1.3 四种命题间的相互关系一、选择题：1、下列命题中，真命题是（ ）A 、若ac bc >，则a b >B 、若2x =，则2320x x -+=的否命题C 、“若3b =，则29b =”的逆命题 D 、“相似三角形的对应角相等“的逆否命题2、命题“若2x =或3x =，则2560x x -+=”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为（ ）A 、0 Ｂ、２ C 、3 D 、43、下列命题中，不是真命题的为（ ）A 、命题“若240b ac ->，则二次方程20ax bx c ++=有实根”的逆否命题；B 、“四边相等的四边形是正方形”的逆命题；C 、“29x =，则3x =”的否命题；D 、“对顶角相等”的逆命题4、有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题；②“a b >，则22a b >”的逆否命题；③“若3x ≤-，则260x x +->”的否命题；④若ba 是无理数，则,ab 是无理数。
其中真命题的个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、35、命题“若3a >-，则6a >-”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、46、命题“若p ⌝，则q ”是真命题，则下列命题一定是真命题的是（ ）A 、若p ，则p ⌝B 、若q ，则 p ⌝C 、若q ⌝，则pD 、若q ⌝，则p ⌝二、填空题：7、在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。
以上两个命题中，逆命题为真命题的是 ；8、“已知a ∈全集U ，若a A ∈，则()U a C A ∉”的逆命题是 ； 它是（填真假） 命题9、下列四个命题：①“若0x y +=，则互为相反数”的否命题；②“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”的否命题；③“若a b >，则22a b >”的逆否命题；④已知,,,a b c d 是实数，“若,a b c d ==，则a c b d +=+”的逆命题，其中真命题的序号是 ；10、反证法证明的原理是 ；11、用反证法证明“若a b ⋅不是偶数，则a 、b 都不是偶数”时，应假设 ；三、解答题：12、已知0c ≤，求证：若a b c ≤+，则a b ≤13、已知()f x 是(,)-∞∞上的增函数，,a b R ∈，求证：若()()()()f a f b f a f b +≥-+-，则0a b +≥14、若,,a b c 均为实数，且222a x y π=-+，223b y z π=-+，226c z x π=-+，求证：,,a b c 中至少有一个大于0。
1.1.3四种命题间的相互关系
反证法的步骤：
1. 假设命题的结论不成立，即假设结论的 反面成立。 推理过程中一定要用到才行
王新敞
奎屯 新疆
2. 从这个假设出发，通过推理论证，得出 矛盾。 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾). 3. 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题 的结论正确。
可能出现矛盾四种情况：
• • • • 与题设矛盾； 与反设矛盾； 与公理、定理矛盾； 在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
(真 ) (假 ) (假 ) (真 )
例题讲解
例1：设原命题是：当c>0时，若a>b,则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。 并分别判断它们的真假。
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。 原命题的条件是“a>b”， 结论是“ac>bc”。 解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. （真） （真） （真） （真）
A O
已知：如图，在⊙O中，弦AB、 CD交于点P，且AB、CD不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分.
D
证明：假设弦AB、CD被P平分，
由于P点一定不是圆心O，连结OP， 根据垂径定理的推论，有
P
C
B
OP⊥AB，OP⊥CD， 即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂 线性质矛盾。
所以，弦AB、CD不被P平分。
所以假设不成立, 从而______________ x =y=0。 成立。
反 证 法
例 2
用反证法证明 : 如果a b 0, 那么 a b .
或者 a b
证明: 假设 a不大于 b , 则或者 a b ,
因为a 0, b 0, 所以 a b a a b a与 a b b b a b a bab
四种命题间的相互关系
证明：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾 ∴a能被2整除.
练习
1. (2008山东文)给出命题：若函数是幂函数，
6. 求证：若一个三角形的两条边不相等， 则这两条边所对的角也不相等.
证明：如果一个三角形的两边所对的角相等， 则这个三角形是等腰三角形， 且这两条边是等腰三角形的两条腰， 也就是说两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题是真命题 所以原命题也是真命题.
课堂小结
1. 四种命题的相互关系：
2. 四种命题的真假性：
即（1-a）b > 1 ， （1-b）c> 1 ,（1-c）a> 1 4
4
4
4
而 1- a + b ≥ (1- a)b > 1 , 1- b + c ≥ (1- b)c > 1 , 1-c +a ≥ (1-c)a > 1 ,
2
22
22
2
1 得
-
a+ 2
b
+
1
-
b+ 2
c
+
1-
c+ 2
a
>
3 2
即 3 > 3 ，属于自相矛盾，
A．4
B．3 C．2
D．0
5. 命题“已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空解 集，则a2－4b≥0．”写出该命题的逆命题，否命题，逆 否命题，并判断真假．
《四种命题及其关系》课时作业2
《四种命题及其关系》课时作业一、选择题1．命题“若a >－3，则a >－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．命题“若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ”的逆否命题是( )A ．若A ∪B ≠A ，则A ⊇B B ．若A ∩B ≠A ，则A ⊆BC ．若A ⊆B ，则A ∩B ≠AD ．若A ⊇B ，则A ∩B ≠A3．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( )A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1B ．若－1<x <1，则x 2<1C ．若x >1或x <－1，则x 2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥14．“若函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数，则log a 2<0”的逆否命题是( )A ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内不是减函数B ．若log a 2<0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内不是减函数C ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数D ．若log a 2<0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数5．有下列四个命题，其中真命题有( )①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④二、填空题6．命题“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的否命题是_________________ ___，逆否命题是_______ ___7．命题“若x 、y 是奇数，则x ＋y 是偶数”的逆否命题是________________________________．8．“已知a ∈U (U 为全集)，若a ∉∁U A ，则a ∈A ”的逆命题是__ __ _________ ，它是____ _(填“真”“或”“假”)命题．9．“若x ≠1，则x 2－1≠0”的逆否命题为________命题．(填“真”或“假”)10．下列命题：①“若k >0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a >1b， 则a <b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．其中是假命题的是________．11.设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，若 l ⊥m ，则α⊥β的逆否命题是 (填“真”或“假”)12. ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b 1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n 2；③设P (x 1，y 1)是圆O 1：x 2＋y 2＝9上的任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心，且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1与圆O 2相切这三个命题中的真命题是三、解答题13.已知命题：若m >2，则方程x 2＋2x ＋3m ＝0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．14. 已知奇函数f (x )是定义域为R 的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥0，求证：a ＋b ≥0.15. 证明：已知R y x ∈,，且2>+y x ，则y x ,中至少有一个大于1。
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课时作业(二)
[学业水平层次]
一、选择题
1．命题“若函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2＜0”的逆否命题是()
A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数
D．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数
【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数”．【答案】 A
2．(2014·济宁高二检测)命题“已知a，b都是实数，若a＋b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是()
A．0B．1C．2D．3
【解析】逆命题“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则
a＋b＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则a＋b≤0”为真命题，故选C.
【答案】 C
3．(2014·南宁高二检测)已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是()
A．真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
B．真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
C．假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
D．假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
【解析】逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab＞0，则a＞0且b＞0”，故选B.
【答案】 B
4．(2014·潍坊高二期末)命题“若x＝3，则x2－2x－3＝0”的逆否命题是()
A．若x≠3，则x2－2x－3≠0
B．若x＝3，则x2－2x－3≠0
C．若x2－2x－3≠0，则x≠3
D．若x2－2x－3≠0，则x＝3
【解析】其逆否命题为“若x2－2x－3≠0，则x≠3”．故选C.
【答案】 C
二、填空题
5．(2014·三门峡高二期末)命题“若x >2，则x 2>4”的逆命题是________________．
【解析】 原命题的逆命题为“若x 2>4，则x >2”．
【答案】 若x 2>4，则x >2
6．命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是_________________．
【解析】 ax 2－2ax －3≤0恒成立．
当a ＝0时，－3≤0成立；
当a ≠0时，⎩⎨⎧ a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0.
解得－3≤a <0.
故－3≤a ≤0.
【答案】 －3≤a ≤0 7．在空间中，给出下列两个命题：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．其中逆命题为真命题的是________．
【解析】 ①的逆命题：若空间四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，是假命题；②的逆命题：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，是真命题．
【答案】 ②
三、解答题
8．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
【解】(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.它为真，可证明原命题的否命题为真来证明它．
否命题为：若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．如果a＋b<0，则a<－b，b<－a.因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，故原命题的否命题为真，所以逆命题为真．
(2)逆否命题是：若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.它为真，可证明原命题为真来证明它．
因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，故原命题为真．所以逆否命题为真．
9．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
【解】原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断真假如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，
因为a<1，所以4a－7<0，
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
故原命题的逆否命题为真．
[能力提升层次]
1．与命题“若a·b＝0，则a⊥b”等价的命题是()
A．若a·b≠0，则a不垂直于b
B．若a⊥b，则a·b＝0
C．若a不垂直于b，则a·b≠0
D．若a·b≠0，则a⊥b
【解析】原命题与其逆否命题为等价命题．
【答案】 C
2．(2014·福州期末)命题“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”的逆否命题是()
A．若x，y都不是偶数，则x＋y不是偶数
B．若x，y不都是偶数，则x＋y是偶数
C．若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数
D．若x，y都不是偶数，则x＋y是偶数
【解析】“x，y都是偶数”的否定为“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定是“x＋y不是偶数”．故选C.
【答案】 C
3．下列命题中________为真命题(填上所有正确命题的字间距序号)．
①若A∩B＝A，则A B；②“若x＝y＝0，则x2＋y2＝0”的逆命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
【解析】①错误，若A∩B＝A，则A⊆B；②正确，它的逆命题为“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”为真命题；③错误，它的逆命题为“相似三角形是全等三角形”为假命题；④正确，因为原命题为真命题，故逆否命题也为真命题．
【答案】②④
4．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假。
(1)等高的两个三角形是全等三角形；
(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
【解】(1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题；
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题；逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．
(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题；
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦。