高中数学苏教版必修一指数函数.doc

3.1.2指数函数(二)

一、基础过关

1．函数 y＝ 16－4x的值域是 ________．

2．设 0< a<1，则关于 x 的不等式a2 x

23 x 2 >a2 x2 2x 3 的解集为 ________．

3．函数 y＝ a x在 [0,1] 上的最大值与最小值的和为3，则函数 y＝ 2ax－ 1 在 [0,1] 上的最大值是________．

4．已知函数 f(x)＝ (x－ a)(x－ b)(其中 a>b) 的图象如图所示，则函数g( x)＝ a x＋ b 的图象是________． (填图象编号 )

5．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的

2 倍，若荷叶20 天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生

长了 ________天．

6．函数 y＝1－ 3x(x∈ [－ 1,2]) 的值域是 ________．

7．解不等式： (1)9x>3x－2； (2)3× 4x－ 2×6x>0.

8．函数 f(x)＝a x(a>0，且 a≠ 1)在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大a

，求 a 的值．2

二、能力提升

9．已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足 f(x)＋ g(x)＝ a x－a－x＋ 2(a>0，且 a≠1) ．若g(2) ＝a，则 f(2) ＝________.

10．某工厂的一种产品的年产量第二年比第一年增加21%，第三年比第二年增加44%，则这两年的平均增长率为________．

11．已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当

x>0 时， f(x)＝ 1－ 2 －

x

，则不等式 集是 ________．

a

x

－ x )(a>0 且 a ≠ 1)，讨论 f(x)的单调性．

12．已知 f(x)＝ 2

(a － a

a － 1

三、探究与拓展

b － 2x

13．已知定义域为 R 的函数 f(x)＝ 2x ＋ a 是奇函数．

(1)求 a ， b 的值．

(2)用定义证明 f(x)在 (－∞，＋∞ )上为减函数．

(3)若对于任意 t ∈R ，不等式 f(t 2－ 2t)＋ f(2t 2－ k)<0 恒成立，求 k 的范围．

1

f(x)<－ 的解

答案1． [0,4)

2． (1，＋∞ )

3． 3

4．①

5． 19

2

6．[－8，3]

7．解(1)

∵ 9x>3x－2，∴ 32x>3x－2，

又∵ y＝3x在定义域上是增函数，

∴原不等式等价于2x>x－ 2，

解之得 x>－ 2.

∴原不等式的解集为{ x|x>－ 2} ．

(2)3 ×4x－ 2×6x>0 可以整理为3× 4x>2 × 6x，

∵4x>0,6x>0，

x

∴4

6x>

2

3即

2

3x>

2

31，

又∵ y＝ 2 x 在定义域上是减函数，

3

∴ x<1，故原不等式的解集为 { x|x<1} ．8．解①若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，

∴ a2－ a＝a ，

2

即 a＝3

2或 a＝ 0(舍去 )．

②若 0

∴a－ a2＝a

2，即 a＝

1

2或 a＝ 0(舍去 )．

1 3

综上所述，所求 a 的值为或 .

2 2 15

9. 4

10． 32%

11． (－∞，－ 1)

12．解∵ f(x)＝

a

(a x－

1

x)，a2－ 1 a

13． (1) 解∵ f(x)为 R 上的奇函数，

∴f(0) ＝ 0， b＝ 1.

又 f(－ 1)＝－ f(1) ，得 a＝ 1.

(2)证明任取x1，x2∈R，且x1

则 f(x1 )－ f(x2)＝1－2x1

－

1－2x2 2x1＋ 1 2x2＋ 1

＝1－ 2x1 2x2＋1 － 1－ 2x2 2x1＋ 1

2x1＋1 2x2＋ 1

2 2x2－ 2x1

＝

2x1＋ 1 2x2＋1

∵x10，

又 (2x1＋ 1)(2x2＋ 1)>0 ，

f(x1)－ f(x2)>0

∴ f(x)为 R 上的减函数．

(3)解∵ t∈ R，不等式f(t2－ 2t)＋f(2t2－ k)<0 恒成立，∴f(t 2－ 2t)<－ f(2t2－ k)

∵ f(x)是奇函数，

∴f(t 2－ 2t)

由 f(x) 为减函数，∴ t 2－ 2t>k－ 2t2.

即 k<3t2－ 2t 恒成立，

而 3t2－ 2t＝ 3 t－1

32－

1

3≥－

1

3.

1 ∴ k<－3.