人教版必修一指数函数
新人教版高中数学必修一4.2.2指数函数的图象与性质
0.99-1
(2) 0.68-0.1,
1.78-0.1
解：(1)由指数函数的性质知，1.2-2<1.20=1,0.99-1>0.990=1, 所以1.2 -2<0.99-1.
(2)由指数函数的性质知，0.68-0.1>0.680=1,1.78-1<1.780=1, 所以0.68-0.1>1.78-1.
指数函数的图像与性质
a>1
0<a<1
图 像
定义域 值域
过定点 单调性
R (0, +∞)
过定点（0，1），即x=0时，y=1
增函数
减函数
例题1 比较下列各题中两个数的大小： (1) 1.72.5与1.73; (2) 0.8 2 和0.8 3; (3) 1.70.3与0.93.1
解： （1）考查函数,由1.7 >1得函数在实数集上是增函数
列表、描点、连线
x -3 -2 -1 0 1 2
y=2x
1 8
1 4
1 124
2
y y=2x
8
4
2 1
1
-3 -2 -1 02 1 2 3 x
同理画出
y
1 2
x
的图像
x -3 -2 -1
y
1 2
x
8
42
012 1 1/2 1/4
y
y （1）x 2
8
4
2 1
1
∵2.5 < 3 ∴ 1.72.5与1.73 (2) 考查函数,由0<0.8<1得函数在实数集上是减函数
∵ 2 3 ∴ 0.8 2 <0.8 3
人教版高中数学必修一-第二章-基本初等函数知识点总结
人教版高中数学必修一第二章基本初等函数知识点总结第二章 基本初等函数一、指数函数（一)指数与指数幂的运算 1．根式的概念：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0=0。
注意：(1)na =(2）当 n a = ，当 n 是偶数时,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩2．分数指数幂正数的正分数指数幂的意义,规定：0,,,1)m na a m n N n *=>∈>且正数的正分数指数幂的意义：_1(0,,,1)m nm naa m n N n a*=>∈>且0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）(0,,)rsr s a a aa r s R +=>∈（2）()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈ （3)(b)(0,0,)rrra ab a b r R =>>∈注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如122[(1]11≠ （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地,函数xy a = 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意:指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a ≠1 2a>1注意： 指数增长模型：y=N （1+p)指数型函数： y=ka 3 考点：(1)a b =N, 当b>0时，a,N 在1的同侧;当b 〈0时，a,N 在1的 异侧.（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。
掌握利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数,底数不同指数也不同插进1(=a 0）进行传递或者利用（1）的知识。
（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性. （4)分辨不同底的指数函数图象利用a 1=a ，用x=1去截图象得到对应的底数。
(5）指数型函数：y=N （1+p)x 简写：y=ka x 二、对数函数 （一)对数1．对数的概念：一般地，如果x a N = ,那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a x N = （ a - 底数， N — 真数，log a N — 对数式）说明：1。
人教版高中数学必修1第二章知识点汇总 (1)
人教版高中数学必修一第二章知识点汇总第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．①这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．①n a =；当n a =；当n (0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．①正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,mm n n aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ①()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈①()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．①负数和零没有对数．①对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ①减法：log log log a a aM M N N-= ①数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ①log a N a N =①log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ①换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；①从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；①将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．①函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．①若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．①一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．①过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．①单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．①奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．①图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠①顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠①两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．①已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ①若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ①当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a=-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． （4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ①对称轴位置：2bx a=- ①判别式：∆ ①端点函数值符号．①k ＜x 1≤x 2 ⇔①x 1≤x 2＜k ⇔①x 1＜k ＜x2 ⇔ af (k )＜0①k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔①有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合①k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由①推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （①）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ①若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ①若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ①02b x a->，则()M f p =(①)当0a <时(开口向下)xxxxx xx①若2b p a -<，则()M f p = ①若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ①若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ①02b x a->，则()mf p =．xfxf xfxxx。
人教版数学必修一4.2.2指数函数图像和性质
x
当 x < 0 时0，y > 1； x
定 义 域 :当Rx > 0 时， 0< y < 1。
性
值 域: ( 0,+ ∞ )
恒 过 点： ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
三、深入探究，加深理解
观察图像， 发现图像与底的 关系
其中 x 为自变量，定义域为 R
我 下列函数中，哪些是指数函不 是数？
y 4x y x4 y 4x
y 4x1
二、发现问题，探求新知
• 怎样得到指数函数图像? • 指数函数图像的特点? • 通过图像，你能发现指数函数的哪些
性质?
• 探究并计算并完成以下表格，观察表格， 你发现了什么规律？
n -3 -2 -1 0 1 2 3
(0 a 1)
1 1
0
x
0
1
1
0x
x
y
y ax
(a 1)
1
0
x
y
y ax
(0 a 1)
1
0
x
指数函数
的图像及性质
a>1
0<a<1
图
y
பைடு நூலகம்
y=ax
(a>1)
y=ax
y
(0<a<1)
象 y=1
No (0,1)
(0,1)
y=1
Image 当 x > 0 时，y >01；
当 x < 0 时，0< y < 1。
例
2：(1)解不等式
1 2
x2
4.2.1指数函数的概念PPT课件(人教版)
这说明2001年…
实际问题
例 2（2）在问题 2 中，某生物死亡 10000 年后，它体内碳 14 的含量衰减为原来的百分之几？
这说明…
思考：连续两个半衰期是否就是一个“全衰期”？
例 2 （1）在问题 1 中，如果平均每位游客出游一次可给当地带 来 1000 元门票之外的收入，A 地景区的门票价格为 150 元，比 较这 15 年间 A，B 两地旅游收入变化情况.
1118 113
1244 126
B景区每年旅游人次约为上 一年的1.11倍
年增加量是相邻两年的游客人次 做减法得到的，能否通过对B地 景区每年的游客人次做其他运算 发现游客人次的变化规律呢？
增长率为常数的变化 方式，称为指数增长 .
时间/
A地景区
年
人次/ 万次
年增加量 /万次
2001 600
2002 609 9 2003 620 11 2004 631 11 2005 641 10 2006 650 9 2007 661 11 2008 671 10 2009 681 10 2010 691 10 2011 702 11
1.11x 倍.
设经过 x 年后的游客人次为2001年的 y 倍
探究1：比较两地景区游客人次的变 化情况，你发现怎样的变化规律？
增加量、增长率是 刻画事物变化规律 的两个重要的量.
A地
B地
问题 2 当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 含量会按确 定的比率衰减（称为衰减率）, 若年衰减率为 p ，你能表 示出死亡生物体内碳 14 含量与死亡年数之间的关系吗？
探究1：比较两地景区游客人次的变化情况， 你发现怎样的变化规律？
A地
B地
线性增长
新人教版高一数学必修一_指数函数_课件
图形
单调性
y (1)x 3
y 3x
.
y 3x 在 (,)
单调递增;
y (1)x在 (,) 3 单调递减;
2.判断下列函数在(−∞，+∞）内的单调性？ （1） y 1.1x （2） y 0.3x （3） y 3x （4） y 5 2.718x
（1）增函数； （2）减函数； (3）减函数； （4）增函数.
.m, n的大小. ① 1.5m 1.5n ②
3 4
m
3 4
n
③
2
m
2 n 2
① mn ② mn
③ mn
.
1．本节内容:
指数函数
图像与性质 指数模型
应用
2．需要注意的问题:
（1）指数函数 y ax 的底 a 的取值对函数图像;
及函数单调性的影响； （2）建立指数函数模型的方法．
3．当 a 1 时，函数在定义域
•
R 内是增函数；
y (1)x
2
当 0 a 1 时，函数在定义域
•
•
y 2x
•
R 内是减函数。
•• • •• • • • •
.
指数函数性质 （1）图像都经过点（0，1） （2）函数的定义域是R,值域是 R
（3）当 a 1 , 函数在 R 内是增函数 当 0 a 1, 函数在 R 内是减函数
.
例2.某市2000年国民生产总值20亿元，计划在今 后的10年内，平均每年增长8%，问2010年该市国 民生产总值可达多少亿元（精确到0.01亿元）?
解设: 该市国民生产总值在2000年后的第x年为 y亿元，则: 第1年: y=20+20×8=%20（1+8%=）20×1.08，
人教版高中数学必修一： 2.1《指数函数》(1)(22)
又要钱？借多少？
黄老板，能借点 钱吗？
哦，我每天还的钱是前一 天的2倍是吧，那我需要 很久才能还完你啊？
这样吧，从今天开始在一个 月中，我每天都借你10万元， 而你从今天开始，第一天还 我1元，第二天2元，第三天 4元，第四天8元，.......以后 知道怎么还了吗？
不，你只要还我三十天就 可以了，剩下的就不要了。
∵ 1.2< 5 1 1.2 > 1 5 ∴
3 3
对大 于的 减函 函数 数值 ，反 自而 变小 量
.
练习：比较100.2与1的大小.
课堂练习：用“>”或“<”填空：
(1)0.8
0.1
< 0.80.2
1 m ( 2)若( ) (0.25) n , 则m > n. 4
1 x y =( ) 3
1 x y =( ) 4
y =3
x
y = 4x
1、a > 1 时，底大图陡
0 < a < 1 时，底小图陡
观察图像：你发现了什么？
通过图像，动态图特点，总结指数函数性质
(1)图象都位于 x轴上方 方 (2)图象都过点(0,1) (3) y 2 x 的图象从左到 右上升
1 x (4) y ( 2 )
（口答）判断下列函数是不是指 数函数，为什么？
(1) y ax( a 0且a 1) ( 2) y x
1 3
练习巩固
1 x (3) y ( ) √ 3 x ( 4) y ( 3) (5) y 1
x x
(6) y a ( a 0且a 1) (7 ) y 2 3
(1) 考虑指数函数 y=1.7x, 解：
人教版(2019)高中数学必修一 指数函数的概念 教学课件
=
=
( )
思考:上面几个函数的结构有什么特征？
(1)均为幂的形式；(2)底数是一个正数；(3)自变量都在指数位置；
概念形成
x
y＝a
指数函数的概念：一般地，函数
(a>0，且a≠1)叫做指数
函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R.
概念深入
思考1：为什么要规定底数a>0且a≠1？
①若a =0，则当x> 0时，a
求f(0)，f(1)，f(-3)的值；
课本P114
巩固练习
已知函数() = + ( > , 且 ≠ )经过点
7
(−, ), (, )，则(−)的值为_____________.
题型探究
题型三：指数函数的实际应用
例5．某种储蓄按复利计算利息，若本金为元，每期
利率为，设存期是( ∈ ∗ )，本利和（本金加上利
2
x
x
情景引入
问题2：《庄子》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
取一根一尺长的木棍，每次截取该木棍剩余部分的
，木棍的剩余长度y与截取次数x有怎样的关系？
截取次数
1
剩余长度
2
3
4
（ ） （ ） （ ）
=
( )
......
x
......
（ ）
探究新知
( , ) ∪ ( , +∞)
取值范围是________________.
巩固练习
创新大课堂P75
已知函数() = ( + − ) ∙ 是指数函数，求()
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2．指数函数图象问题的处理方法
(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点(0,1)；
(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平
移)；
(3)利用函数的奇偶性与单调性．
跟踪 训练
栏栏 目目 链 接接
(2)函数y＝af(x)的值域的求法如下：
栏 目
①换元，令t＝f(x)；
链 接
②求t＝f(x)的定义域D；
③求t＝f(x)的值域M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M 的值域．
跟踪 训练
2．求下列函数的定义域和值域：
栏栏 目目 链 接接
跟踪 训练
栏 目 链 接
题型三 指数函数的图象的应用
栏栏 目目
链
接接
跟踪 训练
1．下列函数是指数函数的是( C )
A．y＝2x＋1 C．y＝3－x
B．y＝x3 D．y＝3·2x
栏栏 目目 链
接接
题型二 求指数函数的定义域与值域 例2 求下列函数的定义域与值域：
栏 目 链 接
栏 目 链 接
点评：函数y＝af(x)的定义域、值域 的求法．
(1)函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的 定义域相同．
例3 下图是指数函数：
栏 目 链 接
①y＝ax(a＞0，且a≠1)，
②y＝bx(b＞0，且b≠1)，
③y＝cx(c＞0，且c≠1)，
(
④y＝dx(d＞0，且d≠1)的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为 )
栏栏 目目
A．a＜b＜1＜c＜d C．b＜a＜1＜c＜d
B．b＜a＜1＜d＜c D．a＜b＜1＜d＜c
栏栏 目目
由图象观察可得c＞d＞1＞a＞b.
链
接接
答案：B
点评：1.指数函数的图象随底数变化的规律
(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax的图象都与
直线x＝1相交于点(1，a)．由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上
相应的底数．函数的底数与图象间的关系可概括为：在第一象限内，目链接目接
B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y2＞y3
D．y1＞y3＞y2
自测 自评
栏 目 链 接
自测 自评
栏栏 目 链接链接
栏栏 目目 链 接接
题型一 指数函数概念的理解和应用
例1
栏 目 链 接
点评：判断一个函数是否为指数函数，只需判定其解析式是否
符合y＝ax(a>0且a≠1)这一形式，即底数a为不等于1的正常数，指数 只能是x，且ax的系数为1.
第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.1 指 数 函 数
2.1.3 指数函数及其性质(一)
栏栏 目目 链 接接
1．了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及 其他学科的联系．
2．理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图栏栏
象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点．
目目
链
3．在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方接接
式定解义．析因：为形如a＞y＝0，axx(a是＞任0意且一a≠个实1)的数函时数，叫ax 指是数确函定数的，实它数是，一所种以形函 栏目栏目
数的定义域为实数集 R.
链 接接
思考 应用
2．指数函数中，规定底数a大于零且不等于1的理由是什么？
栏栏 目目 链 接接
思考 应用
3．指数函数的图象变化与底数大小的关系是什么？
目目 链 接接
基础 梳理
栏栏 目目 链 接接
基础 梳理
指数函数
栏栏 目目
链
接接
基础 梳理
4．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象和性质： (1)图象.
栏栏 目目 链 接接
基础 梳理
栏栏 目目 链 接接
基础 梳理
栏栏 目目 链 接接
思考 应用
1．如何判断指数函数？指数函数的定义域是什么？
法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．
栏栏 目目 链 接接
基础 梳理
1．函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做_指__数__函___数__，其中x是自变
量．
因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数a＞0 栏栏
的前提下，x可以是任意实数，所以指数函数的定义域为
_____R_______．
链 接接
解析：法一：在①②中底数小于1且大于零，在y轴右侧，底数 越小，图象向下越靠近x轴，故有b＜a，在③④中底数大于1，在y轴 右边，底数越大图象向上越靠近y轴，故有d＜c.
栏栏 目目 链 接接
法二：设直线x＝1与①、②、③、④的图象分别交于点A，B，
C，D(如右图)，则 其坐标依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，
解析：底数越大，函数的图象在
y
轴右侧部分越远离
x
轴，此性
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质可通过 x＝1 的函数值大小去理解．
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1．指数函数y＝f(x)的图象经过点(2,4)，那么f(2)·f(4)的值为 ()
A．64 B．256
C．8
D．16
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目
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目
A．y3＞y1＞y2
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