浙江新高考研究卷创新卷数学(4)
2021年1月新高考研究卷-数学答案(1-5卷)
名校联盟★《新高考研究卷》 2021年1月《浙江省新高考研究卷》数学参考答案（一）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案C 【解析】{}{}2=1011A x x x x −<=−<<，{}{}=ln 0B x y x x x ==>， 则AB ={}1x x >−故选C ．2．答案D 【解析】()()()()2i 1i 2i 13i 1i 1i 1i 2z ++++===−−+，13i 2z −=，则z =D ． 3．答案A 【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（含边界），其三个顶点分别是()1,0A ，()0,1B ，()2,2C ，目标函数1yz x =+表示点(),x y 与()1,0−连线的斜率，过()1,0A 时，min0z =，过()0,1B 时，max 1z =，故01z ≤≤，选A ．4．答案B 【解析】33sin108606666f ππππππ⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭，排除C ； 33sin 108606666f ππππππ⎛⎫− ⎪⎛⎫⎝⎭−=−+=−+> ⎪⎝⎭⎛⎫− ⎪⎝⎭，排除A 、D ；选B ． 5．答案D 【解析】由三视图得该几何体为四棱锥A BCDE −（如图），底面棱长与高均为2，12222ABC ABE S S ∆∆==⨯⨯=，122ADE ADC S S ∆∆==⨯⨯=，4BCDE S =，所以28表S =+，选D ．6．答案A 【解析】根据线面垂直的判定定理m α⊂，且m β⊥αβ⇒⊥，反之m α⊂，且αβ⊥，直线m 与平面β可能垂直，也可能是斜交，或在平面β内，所以“m β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，选A ．7．答案B 【解析】因为2021201920192020a a a a −=−所以20212020201920a a a +−=，即220q q +−=，因为1q ≠，所以2q =−，20202021201920202020202120202021220S S S a a a a a +−=++=+=，选B ．8．答案C 【解析】由题意知2DEF DOF DOE S S S ∆∆∆=⋅所以2EFOF OE =⋅① :AB l y x c =+，设()11,A x x c +，()22,B x x c +，则()11,D x x c −−，则直线DB 的方程为()1222212x x c y x c x x x x ++−−=−−，令0y =，则()()()212121*********E x x x c x x c x x x x x x cx x c−−+++=+=++++②2222+1x y a b y x c ⎧=⎪⇒⎨⎪=+⎩()2222222220a b x a cx a c a b +++−=，则21222222212222a cx x a b a c a b x x a b ⎧−+=⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩代入②得2E a x c =−，由①得：22222222()()a a c c c a a c c c⋅=−⇒=−，即422430a c a c −+=，所以42310e e −+=2e ⇒=即e =C ．9．答案D 【解析】令1c b =则0c >，21a c +=，2121221212222ab a a a cb ac a a c a++=+=++++1112222a a c a c a +=++≥=+，当且仅当2aa c a c a +=+即)1c a =又因为21a c +=，所以1a =−，3c =−3b =+取等号，选D ．10．答案B 【解析】())(()()()()121121n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x −−++++=++++即为()()()()()()()()112211n n n n f x g x f x g x f x g x f x g x −−−=−+−++−即112211ln ln ln ln n n n n x x x x x x x x −−−=−+−++−，令()ln h x x x =−，则()111x h x x x−'=−=， 所以()h x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，21,e ⎡⎤⎣⎦单调递增()()min 11h x h ==， ()()222max 1max ,e e 2e h x h h ⎧⎫⎛⎫==−⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，所以()()2e 2111n h n −≥−=−即2e 1n ≤−，故正整数n 的最大值为6，选B ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．答案1−，14n −−【解析】令1n =，得114133a a =+得11a =−，当2n ≥时，114133n n S a −−=+，所以114433n n n n n a S S a a −−=−=−，所以()142n n a a n −=≥，所以14n n a −=−．12．答案90，528【解析】()()5532311x x −=−+⎡⎤⎣⎦，则2a 为展开式第四项的系数()()2234531901T C x x =−=−⎡⎤⎣⎦，则290a =；在展开式中令2x =得50123454a a a a a a +++++=，令0x =得50123452a a a a a a −+−+−=−，两式相减得135528a a a ++=．13．答案2425−，50− 【解析】因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以sin 0α>，cos 0α<，221sin cos 5sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩， 24sin 22sin cos 25ααα==−；227cos 2cos sin 25ααα=−=−，πππcos 2cos 2cos sin 2sin 444ααα⎛⎫−=+ ⎪⎝⎭3125250=−⨯=−． 14．答案3【解析】如图过A 作AF BE ⊥于F ，则AF =在折叠过程中点A 到平面BDE 的距离d AF ≤，故max d =1233A BDE BDE V S d d'−∆==≤． 15．答案⎤⎥⎦表示点(),P x y 与点()3,0C −的距离PC ，如图当CP AB ⊥时距离最短，直线AB 的方程为145x y+=，即54200x y +−=，min CP ==，max 7PCCA ==⎤⎥⎦．16．答案427，45【解析】记事件A 为红、黄两球恰好在一个盒子内，则()()1125442242324254552280454027C C A P A C C A C A A A +===⎛⎫++ ⎪⎝⎭；{}0,1,2ξ∈， ()224232424444222040540540C C A C A A A P ξ++===，()()132244342401540540C A C A P ξ+===， ()()221444962540540C A C P ξ+===，所以240964324=1+2==5405405405E ξ⨯⨯． 17．答案13m =或3m =【解析】以{},AC AB 为基底，则CB CA AB AB AC =+=−，()AC mAB CB −⋅=()()220AC mAB AB AC AC AB ACmAB mAB AC −⋅−=⋅−−+⋅=，即()221cos mc b m bc A+=+，所以()22cos 1mc b A m bc+=≥=+，当且仅当b =时取等号，因为角A最大值为π6=即231030m m −+=， 所以13m =或3m =．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．【解析】（Ⅰ）因为222sin sinsin sin C B A A B −=，由正弦定理222c b a −=，所以222+a b c −，由余弦定理222+cos 2a b c C ab −=，因为π02C <<，所以π=6C ． （Ⅱ）因为在锐角△ABC 中6C π=，所以π02π025π6A B A C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪+=⎪⎩得ππ32B <<，sin cos tan A B C++()3π=sin cos cos 23B C B B B B ⎛⎫++++++⎪⎝⎭，2ππ5π336B <+<，所以1πsin 23B ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭即3sin cos tan 623A B C <++<+． 19．【解析】（Ⅰ）如图取AB 、AC 中点M 、N 连CM 、BN ， 则CM AB ⊥，因为面11ABB A ⊥面ABC ，面11ABB A 面ABC AB =，CM ⊂面ABC ，所以CM ⊥面11ABB A ，所以1AA CM ⊥，同理1AA BN ⊥，设=CMCN Q ，所以1AA ⊥面ABC ．（Ⅱ）连1C N ，由第一问与1112A B AB =知1、、NB NCNC 两两垂直，以N为原点，1、、NB NC NC 所在直线为、、x y z 轴如图建立坐标系．()0,A ，()3,0,0B，()0,3,0C ，()16C ，(10,CC =，()3,3,0BC =−，设(),,n x y z =为面11BCC B 的法向量，则100n BC n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即3060x z ⎧−=⎪⎨=⎪⎩，令x 则y =z =所以(2,6,n =，11n =．12++0,333AE AC CE AC CC ⎛=== ⎝⎭，22AE =，62n AE ⋅= 设AE 与面11BCC B 所成角为θ，3sin cos ,11n AE n AE n AEθ⋅=<>==cos 11θ=，所以AE 与面11AB D ． 20．【解析】（Ⅰ）因为()221110n n n n n a na a a +++−+=所以()()1110n n n n n a na a a +++−+=⎡⎤⎣⎦，即()111n n n a na ++===，所以1n a n=，21a 1n n S b =−，当1n =时111S b =−得112b =，当2n ≥时，1n n n b S S −=−得12n n b b −=即112n n b b −=，所以12n n b =．（Ⅱ）要证2221223n n a a a S +++<+只需证明222111511232n n +++<−，当1n =时，左边11S =，右边517326=−=，不等式成立，当2n ≥时，22211411214121214n n n n n ⎛⎫<==− ⎪−−+⎝⎭−， 22211111111152121235572121321n n n n ⎛⎫+++<+−+−++−=− ⎪−++⎝⎭， 只需证明12221n n <+，因为当2n ≥时，1212122n n n n +>+>+=，即12221n n <+成立，故原不等式成立．21．【解析】（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y直线AP 的方程：()11y y k x x −=−与22y x =联立得2112220ky y y kx −+−=，因为PA 与抛物线相切所以()1144220k y kx ∆=−−=，将2112y x =代入得11k y =，11:AP l yy x x =+，同理22:BP l yy x x =+，将()00,P x y 代入得0101y y x x =+，0202y y x x =+，所以直线AB 的方程为00y y x x =+，将002x y =−代入得()012y y x −=−过定点()2,1N ．（Ⅱ）1212,22x x y y D ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，1122yy x x yy x x =+⎧⎨=+⎩所以1202y y y +=，则PD y ⊥轴， ()00,P x y ，200,2y E y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2000,D y x y −，所以E 为PD 中点，则1122AE AD AP =+1142AB AP =+，在ABP ∆中，12AM t AB t AP =+，则121t t +=，由A 、E 、M 三点共线知113t =，223t =，所以22113326BEM BPE BPD PAB S S S S ∆∆∆∆==⨯=，直线AB 的方程为00y y x x =+，点()00,P x y 到直线AB 的距离d =，由0022y y x x yx =+⎧⎨=⎩得200220y y y x −+=，2048y x ∆=−， 12AB y =−=，所以()322200000012224332PAB S AB d y x y x y y ∆==−−=−+≥，当01y =时取等号， 所以()min 32BEM S ∆=．22．【解析】（Ⅰ）因为()e e ln x xa f x x x−'=+，所以()1e e 1f a '=−=−得1a =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()()e 1ln x f x x =−，即证当1x ≥时，()2e 1ln x x x x −≥−①；先证当1x ≥时，1ln x x x −≥，令()11ln ln 1x h x x x x x−=−=+−， 所以()221110x h x x x x−'=−=≥成立，即()h x 在[)1,+∞单调递增，()()min 10h x h ==，故当1x ≥时，1ln 0x x x−≥≥，要证①式只需证明当1x ≥时，2e 1x x −≥， 令()()2g =e 11x x x x −−≥，()g =e 2x x x '−，()g =e 2e 20x x ''−≥−>，所以()g x '在[)1,+∞单调递增，()min g =e 20x '−>，所以()g x 在[)1,+∞单调递增，()min g =e 20x −>成立，因此原不等式成立．（Ⅲ）当1x ≥时，()1m x x f x m+−≥恒成立，即()1e 1ln m xx x x m +−−≥②成立，当1x =时，R m ∈，当1x > 时，②ln e 11e 1ln ln x m m x x x m x m x −−−⇔≥=，令()e 1x p x x−=，则()()ln p x p m x ≥，因为()()()()221e 111110x x x x p x x x−+−++'=>=>，所以()p x 在定义域上单调递增，故只需ln x m x ≥，所以当1x >时ln xm x ≤，令()()1ln x q x x x =>，则()()2ln 10ln x q x x −'=>得e x >，所以()q x 在()1,e 单调递减，在()e,+∞单调递增，()()min e e q x q ==，所以e m ≤，实数m 的最大值为e ．《浙江省新高考研究卷》数学参考答案（二）1．A 解析：{-1,3}{-1}，A B ==，则{3}A C B =，故选A.2．B 解析：展开式中含x 项为1231(2)(-)-12C x x x=，故选B .3．A 解析：当12x y ==时，3x y +取得最大值2，故选A .4．D 解析：两个函数均经过点(0,1)，且在定义域内均有相同的单调性，故选D. 5．C 解析：利用线面平行性质得充分性，线面平行的判定定理得必要性，故选C .6．C 解析：由条件可得222282+a b a b +=，则222842b a a b a b ab++=≥，当且仅当2222216ab a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩时取等号，此时,a b 有解，故不等式等号能取到，从而选C .第7题7．D 解析：结合图像，连接OP ，则OP =2c，因为OP a ≥， 所以22ca e ≥⇒≥，故选择D. 8．B 解析：取AC 中点O ，连接PO ，则直线PO 即直线l ，在平面PAQ 中，PA 是定直线，因为AB PA ≤，所以且直线AO 与直线AP 夹角小于等于4π，根据最小角定理，直线l 与平面PAQ 夹角的最大值为4π，当且就当平面PAO 与平面PAQ 垂直时，取到最大值，显然此时满足题意，故选B .9．A 解析：记,,OA a OB b OC c ===，其中不妨设OB 为固定线段，则点A,C 分别在以点O ，点B 为圆心，半径为2的圆上，且直线AC ，直线OB 夹角为6π，则|-|a c 最小值为PQ ，最大值为AC .分别取线段AP ，QC 中点为M,N ，结合图像可知3MN =，所以|-|a c 最小值为0，此时与条件不符，所以|-|0a c >，|-|a c 最大值为23-23PQ ≤.故选A.10．C 解析：令x =0，则b =0.1()-sin 2sin 42f x a x c x ππ+=+，(2)sin 4f x a x π=+sin 8c x π，带入可得2sin 4sin 4sin 8c x a x c x πππ=+.整理得2-2cos 4c a c x π=恒成立，故0a c ==，综上所述，三个参数均为可确定.故选C.11．2π解析：记11()sin sin 2sin 4 (24)f x x x x =+++，则(2)()f x f x π+=.12．5；－7 解析：2-724z i =+.13．53103； 提示：由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三棱锥.14．（1，1）；(2,2) 解析：(1)10a x y −+−=，易得过定点（1,1）；结合函数图像可知，当直线与圆相切与(1,1)时，恰好两个交点，此时2r =；当圆经过（2,0）时，恰好两个交点，此时2r =，故(2,2)r ∈.15．24；1 解析：本质是四个水果的全排列，故有24种取法；ξ可取0，1，2.111(0);(1);(2)333P P P ξξξ======，故()1E ξ=.16．3754解析：2-1，a a b S T b ==，则(2-1)124a b =，故5,4a b ==.又2375(2-1)4bb a a S T b ==. 17．2 解析：令1x =，得2a b +=，则32323=32x ax x b x ax x a +−++−+−322=32=(1)[+(1)2+]0x ax x a x x a x a +−+−−+−≥，2+(1)2+x a x a +−含因子(-1)x ，故0,2a b ==. 18．解析：（Ⅰ）由题设及正弦定理得cos 2sin cos 222B B B =．因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，O第8题第9题因此B =60°．......................................................7分（Ⅱ）13sin -3sin()-3sin sin(-)3223A C C C C C C ππ=+==，由△ABC 为锐角三角形，则(,)62C ππ∈，所以11sin(-)(-,)322C π∈..................14分19．解析：（Ⅰ）根据题意，有AD BD BD AE AD AE A ⊥⎧⎪⊥⎨⎪=⎩，则BD ⊥平面ADE .因为平面BD ABCD ⊆，所以平面ADE ⊥平面ABCD ............................7分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，以D 点为原点，DA ，DB 为,x y 轴，竖直向上为z 轴，则(0,0,0),(1,0,1),(0,2,0)D E B ，设(,,)M x y z 3λ=，由EM MB λ=则(-1,,-1)EM x y z =，(-,2-,-)MB x y z =，所以121()111，，M λλλλ+++，在平面ADM 中，(1,0,0)AD =，121()111，，DM λλλλ=+++，所以平面ADM 一个法向量为1(0,-1,2)n λ=，即13)n =.平面AED 一个法向量2(0,1,0)n =所以121cos ,-2n n <>=，所以二面角--E AD M 的平面角为3π.....................15分20．解析：（Ⅰ）当1n =时，1a =4−，2n ≥时，114112(21)(21)2(2)88n a n n n n +−−=−−−=≥综上5()n a n n N *=−∈.............................7分（Ⅱ）易得5|5|()21n n n b n N *−−=∈+，显然0n b ≥.105|5|+21n n n n b b −−−=++5|5|21n n −+−+|5|(9)n n =−≤，故129...10b b b +++=，即11n ≥时，不等式成立.........15分21．解析：（Ⅰ）易得1(3,)2A ，则13,)2A 带入抛物线得3p =，则3(0,)2F ，所以直线'A F 的方程为6-23-90y x =................5分 （Ⅱ）设点2(2,2)A pa pa ，带入椭圆得242(4)1p a a +=，且2'(-2,2)A pa pa ，2(-2,-2)C pa pa ，2(-,)28p p B a a ，若点B 在椭圆内，所以221282p pa a a <⇒>. 42212216-1,2()8a S p a S p a a ==，故212424-14(41)a S S a a =+令24-10t a =>，则1224(1)(2)t S S t t =++，记2()(1)(2)th t t t =++，则232-2-22'()(1)(2)t t h t t t +=++，令'()0h t >，得5-1t ∈；'()0h t <，得)t∈+∞，所以t=时，12S S的取值最大值，此时2a=，所以2221(41)pa a==+...................15分22．解析：（Ⅰ）易知(0,)x∈+∞，令1ln()0xexf xke=⇒=，令()h xlnxexe=，则11-ln'()xexx eh xe=.11()-ln,g x xx e=则211'()--0g xx ex=<，即()g x在(0,)x∈+∞上单调递减.因为()0g e=，所以(0,)x e∈时，'()0h x>，递增()h x；()，x e∈+∞时，'()0h x<，()h x递减；所以max1()()h x h ee==,且x→+∞时，()0h x→;0x→时，()-h x→∞,所以当11ek≤，即k e≥，函数()f x存在零点........7分另解：1(1)0ef e=>，()-0f e e k=≤，∴()f x在(1]e，内有零点，得证.（Ⅱ）()0-(ln)0xexf x k e ke+=⇔=，令1212,x xt te e==，则12,t t时方程-ln0t e k t=两个不同实根.若0k≤，函数()-lntm t e k t=是定域上得单调函数，与已知矛盾，故0k>，从而12,1t t>.故要证3221ln-1xexx k<<，即证221ln tett ke<<.先证明：22ln ttke<，等价于证明22t e et>，即22-0t e et>.记()-th t e et=，1t>，其中'()-0th t e e=>，所以()(1)0h t h>=，不等式得证.下证：12t t e>.因为121212121212-ln ln ln ln ln-lnt t t t t te e e e e ekt t t t t t+====+，由对数平均不等式得121212121212---ln-ln22t t t tt t t te e e et t t t++<，所以1212ln lnt te et t+<+121222t t t te e++，即12124()lnt t t t<+，所以122t t<，所以12t t e>，不等式得证.................15分《浙江省新高考研究卷》数学参考答案（三）一、选择题1．C 解答集合]5,0[=A，),1(+∞=B，则]5,1(=BA ，选择C．2．B解答331212i iz===−−，选择B．3．C 解答直线m上有两点到平面α的距离相等，直线m与平面α平行或相交；直线//m平面α，直线m上存在两点到平面α的距离相等，选择C．4．B 解答作出不等式组的可行域，由线性规划可求得2x y−的最大值为3−，选择B．5．D 解答特殊赋值，选择D．6．A 解答圆的圆心在第二象限，设其方程为222()()(0)x a y a a a++−=>，由于此圆过点(2,1)−，则222(2)(1)a a a−++−=，解得1=a或5=a．当1a =时，圆心为(1,1)−，其到直线10x y +−=的距离d =． 当5a =时，圆心为(5,5)−，其到直线10x y +−=的距离d =．综上，选择A ．7．D 解答 由于22BAF BF A ∠=∠，则2BA BF =，从而1212BF BF AF a −==．又212AF AF a −=，则24AF a =．由于22222(416)44a a b c +=+，则222210a c a c =−+，解得2e =，选择D ． 8．A 解答 有放回依次取出两个小球时，212(0)()n P m n ξ==+，122(1)()mnP m n ξ==+， 212(2)()m P m n ξ==+，12()m E m n ξ=+，122()()mnD m n ξ=+． 当无放回依次取出两个小球时，2(1)(0)()(1)n n P m n m n ξ−==++−，22(1)()(1)mn P m n m n ξ==++−，2(1)(2)()(1)m m P m n m n ξ−==++−，22()m E m n ξ=+，2222()()1mn m n D m n m n ξ+−=⋅++−． 综上，选择A ．本题也可特殊赋值，如取2m n ==，则12()()1E E ξξ==，11()2D ξ=，11()2D ξ=，故选择A ． 9．C 解法1 令()ln 1e x t h x tx −=−−若0t <，则()h x 在(,0)−∞单调递增，()h x 不存在两个零点． 若0t >，则1()e x t h x x−'=−在(0,)+∞单调递增，0x +→时，()0h x '<， 1(1)01e h t t '+=−>+，存在唯一实数0(0,1)x t ∈+，001e x t x −=，00ln x t x =−．()h x 在0(0,)x 递减，0(,)x +∞递增，且0x +→时，()h x →+∞；x →+∞时，()h x →+∞．若()h x 在(0,)+∞有两个零点，则0()0h x <，00001ln 1ln 10e x t tx t x t x −−−=−−+−<，001ln 1t t x x ++>+，ln 12t t ++>，解得1t >，选择C ．解法2 函数e x y =与ln y x =关于y x =对称．若0t <，()e x t f x −=与()ln 1g x tx =+的图像仅有一个交点． 0t >时，()e x t f x −=由函数e x y =项右平移t 个单位得到．10et <<时，()ln ln 1g x x t =++由函数ln y x =向下平移ln 1t +个单位， 1et ≥，()ln ln 1g x x t =++由函数ln y x =向上平移ln 1t +个单位．当1t =时，两曲线相切1t >时，二者有两个交点，选择C ．10．B 解法1 1cos602EF EG EF EG EF EG ⋅==21sin 6023EF EG =⋅23EFG S ∆=， 又133224EFG S FG FG ∆=⋅⋅=，则12EF EG FG ⋅=，FG EF EG =．由余弦定理，222FG EF EG EF EG =+−⋅，即223()FG FG EF EG +=+．记EFG θ∠=（(,)62ππθ∈），由正弦定理，sin 60sin(120)sin FG EF EGθθ==− sin(120)sin EF EG θθ+=−+，则2sin()6EF EG FG πθ+=+，从而234sin ()16FG πθ=+−3[1,)2∈，即EF EG ⋅)43,21[∈，选择B ．解法2 过点E 作AB 的垂线，垂足为H ，由△EFG 是锐角三角形知点H 在线段AB 上（不含端点），记HEF θ∠=，3HEG πθ∠=，(0,)3πθ∈， ()()EF EG EH HF EH HG ⋅=+⋅+2EH HF HG =+⋅33tan tan()443πθθ=−−231tan 413tan θθ+=⋅+，记θt tan 3+1=，(14)t ∈，，上式22414(2)44t t t t t −+==+−13[)24∈，，选择B ． 二、填空题11．1,5 解答 2(lg5)lg 2lg50+⋅2(lg5)lg 2lg5lg 2=+⋅+lg5(lg5lg 2)lg 2=++1=，94log 4log 923+32log 2log 3235=+=．12．12，34π 解答 由三视图知此几何体是一个四棱锥，其体积为12cm 3．设此几何体外接球的半径为r ，则249916r =++，从而外接球的表面积是34πcm 2．13．128，129 解答 令1x =，则702128a ==．令1x t −=，则上式等价于3710910910(1)(2)t t a t a t a t a ++=++++，526787772323129a C C C =⋅+⋅+=．14．)4,(−∞，)2,0( 解答（1）当0a ≤时，由图像知，一定存在实数12,x x （12x x ≠），使得12()()f x f x =．当02a <<时，2254a a −<恒成立．当2a ≥时，125a a −>−，解得4a <，从而24a ≤<． 综上，当4a <时，存在实数12,x x （12x x ≠），使得12()()f x f x =成立． （2）当0a ≤时，由图像知，251a a −>−，解得4a >，不合题意．当02a <<时，2254a a −<恒成立，即02a <<时存在实数123,,x x x （123x x x ≠≠），使得123()()()f x f x f x ==成立． 当2a ≥时，不合题意．综上，当02a <<时，存在实数123,,x x x （123x x x ≠≠），使得123()()()f x f x f x ==成立．15．3π−解答 函数)2sin(2)(ϕ+=x x f 的图像向左平移6π个单位，得到的函数 2sin[2()]6y x πφ=++2sin(2)3x πφ=++关于原点对称，则3k πφπ+=，即3k πφπ=−（∈k Z ）． 由于22ππφ−<<，则3πφ=−．16．2 解答 由均值不等式，2221211ab a b a ++++221211a a a bb =++++211a a +≤+2211a a =++2≤，当12a b =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等． 17．2 解答 设ACD θ∠=，23BCD πθ∠=−，2[0,]3πθ∈．由三余弦定理，cos cos cos A CB A CD BCD ''∠=∠∠2cos cos()3πθθ=−，在△BC A '中，254cos A B A CB ''=−∠ 254cos cos()3πθθ=−−262cos(2)3πθ=−−4≥，当3πθ=时取等，即A B '的最小值为2．三、解答题 18．解答（1）3sin cos()0a B b B C ++=等价于3sin cos a B b A =，由正弦定理，3sin sin sin cos A B B A =．由于0,2A B π<<，sin 0B ≠，从而3tan 3A =，解得6A π=．（2）由于A B C π++=，则56B C π+=．由于0202B C ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得32B ππ<<． 由正弦定理，2sin sin sin b c aB C A===，解得2sin b B =，2sin c C =， 从而c b −323sin 2sin B C =−523sin 2sin()6B B π=−−3sin cos B B =−2sin()6B π=−，由于32B ππ<<，则663B πππ<−<，2sin()(1,3)6B π−∈．即)3,1(3∈−c b ．19．解答（1）证法1 取PD 中点为F ，连结,EF AF ，如答图1，因为E 是PC 的中点，则//EF CD ， 即//EF AB 且EF AB =，所以，四边形ABEF 为平行四边形，//BE AF 又AF ⊂平面PAD ，BE ⊄平面PAD ， 故//BE 平面PAD ．（2）因为BCD ∠为直角，则AB BC ⊥．又PA BC ⊥且PAAB A =，则BC ⊥平面PAB ，PB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，所以PBA ∠是二面角P BC D −−的平面角，即45PBA ∠=． 过点P 作PM AB ⊥于M ，连结DM ，则PM ⊥平面ABCD ，2MB MP ==，5AD AP ==，22PD =． 由于//BM CD 且BM CD =，则四边形BCDM 是平行四边形，//BC DM ，直线BC 与平面PAD 所成角即为直线DM 与平面PAD 所成角θ．设点M 到平面PAD 的距离为d ，由等体积法，P ADM M ADP V V −−=，即ADP ADM dS S ∆∆=⋅31231，解得63d =， 6sin 6d DM θ==，故直线BC 与平面PAD 所成角的正弦值为66． （几何法、空间向量法均可）20．解答（1）两式相加，则112()n n n n a b a b +++=+，数列{}n n a b +首项为114a b +=，公比为2的等比数列，11422n n n n a b −++=⋅= ①．两式相减，则112n n n n a b a b ++−=−−，又11a b <，则n n a b <，112()n n n n a b a b ++−=−，数列{}n n a b −首项为112a b −=−，公比为2的等比数列，1222n n n n a b −−=−⋅=−． ②联立①、②，解得12n n a −=，132n n b −=⋅．（2）12(21)n n nc =−11212n n =−−12n ≤，从而122111222n nc c c +++<+++1112n =−<，即证．21．解答（1）1(0,)2m F ，2(,0)2nF ．联立2222x my y nx⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得2133123322Q Qx m n y m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即21123333(2,2)Q m n m n ． 由于12OQ F F ⊥，则12OQ F F ⋅=21123333(2,2)(,)022n mm n m n ⋅−=，解得m n =．（2）设222(,),(,),(,)222C A BA B C y y y A y B y C y n n n．由于2AB A B n k y y =+，直线AB 的方程为2A B A B A By y ny x y y y y =+++．由于直线AB 与抛物线1C 相切，联立222A B A B A B y y n y x y y y y x y m ⎧=+⎪++⎪⎨⎪=⎪⎩，2240A B A B A Bmy y mnx x y y y y −−=++，22128160()A B A B A B my y m n y y y y ∆=+=++，2()2A B A B y y y y mn +=−． 同理，2()2A C A C y y y y mn +=−．()()B A B C A C y y y y y y +=+，即()()0B C A B C y y y y y −++=，0A B C y y y ++=，△ABC 的重心G 在x 轴上，1OG OF ⊥．22．解答（1）若21()2e xf x x x =−−，则()1e x f x x '=−−． 令()1e x g x x =−−，()1e x g x '=−，()g x 在(,0)−∞递减，在(0,)+∞单调递增，()(0)0g x g ≥=，即()0f x '≥在x ∈R 上恒成立，)(x f 在R 上单调递增．（2）()21e x f x ax '=−−，()2e x f x a ''=−，()f x '在(,ln 2)a −∞递减，在(ln 2,)a +∞单调递增，(ln 2)2(1ln 2)10f a a a '=−−<，(0)0f '=，x →+∞时，()f x '→+∞．()f x 有两个极值点0,m （(ln 2,)m a ∈+∞），()f x 在(,0)−∞递增，(0,)m 递减，(,)m +∞递增．若00x =，则01()()1f x f x ==，10x >，010x x +>． 若0x m =（0m >），1()()f m f x =，此时10x <． 1000()()()()f x f x f x f x −−=−−0002e e x x x −=−−．设()2e e x x h x x −=−−（0x >），()20e e x x h x −'=+−≥恒成立，()h x 在(0,)+∞单调递增，()(0)0h x h >=，即10()()f x f x >−．又()f x 在(,0)−∞递增，则100x x >>−，即010x x +>． （3）设曲线()y f x =上的切点为2(,)e s P s as bs −−，则切线斜率2e s k as b =−−，切线l 的方程为22)()(e e s s y as b x s as bs =−−−+−−．又点(1,0)在直线l 上，则22)(1)0(e e s s as b s as bs −−−+−−=，关于s 的方程2(2)2e s s as as b −+−=有3个实数根．令2()(2)2e x x x ax ax φ=−+−（0a >），()(1)2(1)e x x x a x φ'=−+−(1)(2)e x x a =−−−．若2ea =，()x φ在R 上单调递减，不合题意．若122ee a ≤<，()x φ在(,ln 2)a −∞递减，在(ln 2,1)a 递增，在(1,)+∞递减， (ln 2)(1)a b φφ<<，即244ln 2(ln 2)e a a a a a b a −+<<−， 此时254ln 2(ln 2)e a a a a a a b −+<+<．令25()(ln )2ln 22x F x x x x x =−+（e),e 1[∈x ），则21()(ln 1)02F x x '=−≥，()F x 在1[,e)e x ∈递增，11()2e F x ≥，即112e e a b ≤+<．若222e ea <≤，()x φ在(,1)−∞递减，在(1,ln 2)a 递增，在(ln 2,)a +∞递减， (1)(ln 2)b a φφ<<，即244ln 2(ln 2)e a b a a a a a −<<−+，此时254ln 2(ln 2)e a b a a a a a <+<−+，22e e a b <+≤．综上，当122e e a ≤<时，112e ea b ≤+<；当222e e a <≤时，22e e a b <+≤．《浙江省新高考研究卷》数学参考答案（四）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C ； 2．A ； 3．A ； 4. B ； 5．B ； 6．C ； 7．C ； 8．B ； 9．D ； 10．D 。
2024年浙江高考数学真题及答案
2024年浙江高考数学真题及答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （）A.{1,0}- B.{2,3} C.{3,1,0}-- D.{1,0,2}-2.若1i 1zz =+-，则z =（）A.1i --B.1i-+ C.1i- D.1i+3.已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A.2- B.1- C.1D.24.已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A.3m- B.3m -C.3m D.3m5.（）A. B. C. D.6.已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A.(,0]-∞ B.[1,0]- C.[1,1]- D.[0,)+∞7.当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A.(10)100f >B.(20)1000f >C.(10)1000f < D.(20)10000f <二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A.(2)0.2P X >>B.(2)0.5P X ><C.(2)0.5P Y >> D.(2)0.8P Y ><10.设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时，()2()f x f x<C.当12x <<时，4(21)0f x -<-< D.当10x -<<时，(2)()f x f x ->11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A.2a =- B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．13.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC 的面积为3c ．16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为427，求AD ．18.已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．19.设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．参考答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （）A.{1,0}- B.{2,3} C.{3,1,0}-- D.{1,0,2}-【答案】A 【解析】【分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2.若1i 1zz =+-，则z =（）A.1i --B.1i-+ C.1i- D.1i+【答案】C 【解析】【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.3.已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A.2-B.1- C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.4.已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A.3m -B.3m -C.3m D.3m【答案】A 【解析】【分析】根据两角和的余弦可求cos cos ,sin sin αβαβ的关系，结合tan tan αβ的值可求前者，故可求()cos αβ-的值.【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.5.（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r ，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r 的方程，求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r =即=，故3r =，故圆锥的体积为1π93⨯=.故选：B.6.已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A.(,0]-∞ B.[1,0]- C.[1,1]- D.[0,)+∞【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1a a -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤，即a 的范围是[1,0]-.故选：B.7.当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A.3B.4C.6D.8【答案】C 【解析】【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数sin y x =的的最小正周期为2πT =，函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T =，所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C8.已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A.(10)100f >B.(20)1000f >C.(10)1000f <D.(20)10000f <【答案】B 【解析】【分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A.(2)0.2P X >>B.(2)0.5P X ><C.(2)0.5P Y >>D.(2)0.8P Y ><【答案】BC 【解析】【分析】根据正态分布的3σ原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误；因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<，而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误，故选：BC．10.设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时，()2()f x f x<C.当12x <<时，4(21)0f x -<-< D.当10x -<<时，(2)()f x f x ->【答案】ACD 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数()f x 在()1,3上的值域即可判断C；直接作差可判断D.【详解】对A ，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x>，错误；对C，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A.2a =- B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【详解】对于A：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4x a -=，04a -=，解得2a =-，故A 正确.对于24x +=，而2x >-，()24x +=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．【答案】32【解析】【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25b a=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：3213.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e x y x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 214.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.【答案】12##0.5【解析】【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382kk k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC 的面积为3c ．【答案】（1）π3B =（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B=得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【小问1详解】由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得22222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而2sin 2C ==，又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由（1）可得π3B =，2cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ232162sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而623136,4222a cbc +====，由三角形面积公式可知，ABC 的面积可表示为211316233sin 222228ABC S ab C c c c +==⋅⋅= ，由已知ABC 的面积为3+，可得23338c =，所以c =16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】（1）12（2）直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.【解析】【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设()00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx =+，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x -=-，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【小问1详解】由题意得2239941b a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22912b a ⎧=⎨=⎩，所以12e ==.【小问2详解】法一：3312032APk -==--，则直线AP 的方程为132y x =-+，即260x y +-=，2AP ==，由（1）知22:1129x y C +=，设点B 到直线AP 的距离为d，则5352d ==，则将直线AP 沿着与AP 垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ++=，5=，解得6C =或18C =-，当6C =时，联立221129260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得03x y =⎧⎨=-⎩或332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，当()0,3B -时，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭时，此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，当18C =-时，联立2211292180x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22271170y y -+=，227421172070∆=-⨯⨯=-<，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，设()00,B x y，则220012551129x y =⎪+=⎪⎩，解得00332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或0003x y =⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离5d =，设(),3sin B θθ，其中[)0,2θ∈π1255=，联立22cos sin 1θθ+=，解得cos 21sin 2θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时()0,3B -，16392PAB S =⨯⨯= ，符合题意，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2243240k x kx ++=，其中AP k k ≠，即12k ≠-，解得0x =或22443k x k -=+，0k ≠，12k ≠-，令22443k x k -=+，则2212943k y k -+=+，则22224129,4343k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，5=，解得32k =，此时33,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则得到此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x -=-，令()()1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，()()()2222Δ24124433636270k kk k k =--+-->，且AP k k ≠，即12k ≠-，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧-+=⎪⎪+==⎨--⎪=⎪+⎩，A 到直线PB距离192PAB d S ==⋅ ，12k ∴=或32，均满足题意，1:2l y x ∴=或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(3)2l y k x =-+，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x =，则30,32Q k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，联立223323436y kx k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=--+--> ⎪⎝⎭，且12k ≠-，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k----==++，则211312183922234P B k S AQ x x k k +=-=+=+，解的12k =或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x =或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为7，求AD ．【答案】（1）证明见解析【解析】【分析】（1）先证出AD ⊥平面PAB ，即可得AD AB ⊥，由勾股定理逆定理可得BC AB ⊥，从而//AD BC ，再根据线面平行的判定定理即可证出；（2）过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，根据三垂线法可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即可求得tan DFE ∠=AD的长度表示出,DE EF ，即可解方程求出AD ．【小问1详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AD PB ⊥，PB PA P = ，,PB PA ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥，根据平面知识可知//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．【小问2详解】如图所示，过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面ABCD AC =，所以DE ⊥平面PAC ，又EF CP ⊥，所以⊥CP 平面DEF ，根据二面角的定义可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即42sin 7DFE ∠=，即tan DFE ∠=因为AD DC ⊥，设AD x =，则CD =，由等面积法可得，42DE =，又242xCE -==，而EFC 为等腰直角三角形，所以2EF =，故242tan 4DFE x∠==x =AD =．18.已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．【答案】（1）2-（2）证明见解析（3）23b ≥-【解析】【分析】（1）求出()min 2f x a '=+后根据()0f x '≥可求a 的最小值；（2）设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，可证(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断()12f =-即2a =-，再根据()2f x >-在()1,2上恒成立可求得23b ≥-.【小问1详解】0b =时，()ln2xf x ax x=+-，其中()0,2x ∈，则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--'，因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，故()min 2f x a '=+，而()0f x '≥成立，故20a +≥即2a ≥-，所以a 的最小值为2-.，【小问2详解】()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2，设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --，因为(),P m n 在()y f x =图象上，故()3ln 12m n am b m m=++--，而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦，2n a =-+，所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上，由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形，且对称中心为()1,a .【小问3详解】因为()2f x >-当且仅当12x <<，故1x =为()2f x =-的一个解，所以()12f =-即2a =-，先考虑12x <<时，()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln21102x x b x x +-+->-在()1,2上恒成立，设()10,1t x =-∈，则31ln 201t t bt t+-+>-在()0,1上恒成立，设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-，则()()2222232322311tbtbg t bt t t -++=-+=-'-，当0b ≥，232332320bt b b b -++≥-++=>，故()0g t '>恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时，2323230bt b b -++≥+≥，故()0g t '≥恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-，则当01t <<<时，()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数，故()()00g t g <=，不合题意，舍；综上，()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时，而23b ≥-时，由上述过程可得()g t 在()0,1递增，故()0g t >的解为()0,1，即()2f x >-的解为()1,2.综上，23b ≥-.【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.19.设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．【答案】（1）()()()1,2,1,6,5,6（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据(),i j -可分数列的定义即可；（2）根据(),i j -可分数列的定义即可验证结论；（3）证明使得原数列是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个，再使用概率的定义.【小问1详解】首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.【小问2详解】由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.（如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.【小问3详解】定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个；而如果3j i -=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +-+=.但这导致2112k k -=，矛盾，所以,i B j A ∈∈.设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +-+=，即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+，总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.31/31而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个.所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>=++++++++.这就证明了结论.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.。
浙江省名校联盟2024届高三上学期9月新高考研究卷(全国I卷)数学试题(一)(1)
一、单选题二、多选题1. 若复数满足，则（ ）A．B．C．D．2.已知函数的零点分别为，则（ ）A．B．C．D．3. 已知，则m ，n 满足的关系是（ ）A．B．C．D．不可能4. 在平行四边形ABCD中，，G 为EF 的中点，则（ ）A．B．C．D．5. 已知直线与直线交于点P ，则点P 的坐标为A ．（1,5）B ．（2,3）C ．（3,1）D ．（0,0）6.点在直线上，若存在过的直线交抛物线于、两点，且，则称点为“点”，则下列结论中正确的是( )A ．直线上的所有点都是“点”B ．直线上仅有有限个点是“点”C ．直线上的所有点都不是“点”D ．直线上有无穷多个点(但不是所有的点)是“点”7.已知函数，则（ ）A ．1B ．2C ．4D ．88.中，，，，点P 是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是A．B．C．D．9. 2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数的图像，而破碎的涌潮的图像近似（是函数的导函数）的图像．已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（ ）A．B．C ．是偶函数D ．在区间上单调10. 已知，是函数与的图像的两条公切线，记的倾斜角为，的倾斜角为，且，的夹角为（），则下列说法正确的有（ ）A．B．C ．若，则D．与的交点可能在第三象限浙江省名校联盟2024届高三上学期9月新高考研究卷(全国I卷)数学试题(一)(1)浙江省名校联盟2024届高三上学期9月新高考研究卷(全国I卷)数学试题(一)(1)三、填空题四、解答题11. 如图，在平面直角坐标系中，线段过点，且，若，则下列说法正确的是（）A ．点A 的轨迹是一个圆B ．的最大值为C．当三点不共线时，面积的最大值为2D．的最小值为12.如图，在正方体中，为正方形的中心，当点在线段上（不包含端点）运动时，下列直线中一定与直线异面的是（）A．B．C．D．13. 已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围为______．14. 已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为________.15. 已知函数的定义域是，满足且，若存在实数k ，使函数在区间上恰好有2021个零点，则实数a 的取值范围为____16. 从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；(2)产品质量指标值在185与215之间的每个盈利200元，在175与185或215与225之间的每个亏损50元，其余的每个亏损300元.该企业共生产这种产品10000个，估计这批产品可获利或亏损多少元？17.如图，在长方体中，为上一点，已知，，，．(1)求直线和平面的夹角；(2)求点到平面的距离．18. 如图，在五面体中，面是边长为的正方形，三角形是等边三角形，且，.(1)证明：平面；(2)若平面与平面所成二面角的正弦值为，求的长.19. 为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路.该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；（2）设该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中，分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差(经计算).（i）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数(精确到个位)：（ii）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为，求的数学期望.附注：若，则，，.参考数据：.20. 已知函数设.(1)若在上单调递增,求实数的取值范围;(2)求证:;对,使得总成立.21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且与轴垂直．(1)求椭圆的方程；(2)设过点的直线与交于、两点，点，且的面积是面积的2倍，求直线的方程．。
浙江新高考研究卷创新卷数学(3)
x2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围．
《浙江省新高考研究卷》数学（三）第 4 页 共 4 页
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．正八面体是由 8 个全等的正三角形围成的几何体．如右图，正八面体 ABCDEF 中， AB = 2 ．现
给出下面结论：
① CE 与 AD, AB, BF, DF 所成角都是 ；②平面 BEC 平面 ADF ；
3
E
③平面 EAD ⊥ 平面 EBC ；④此正八面体外接球的表面积为 8 ．
其中所有正确结论的编号为 A．①③ B．②④
D A
C B
C．①②③
D．①②④
F
《浙江省新高考研究卷》数学（三）第 1 页 共 4 页
7．若 (1 − 2x)2020 = a0 + a1x + a2 x2 +
+
a2020
x2020
，则
a2 22
Hale Waihona Puke +a4 24
+
+
a2020 22020
=
A． 22019 −1
B． 22019
C． 22020 −1
D． 22020
8．已知双曲线
x a
2 2
−
y2 b2
= 1(a
0,b 0) 的右焦点为 F
，过点 F
的直线 l
交双曲线右支于 A, B 两点，C
是点 A 关于坐标原点 O 的对称点．若 AB ⊥ CF ， 3 AF = 2 FB ，则此双曲线的离心率为
A． 37 3
A．{x | 0 x 3}
浙江省名校联盟2024届高三上学期9月新高考研究卷(全国I卷)数学试题(二)
浙江省名校联盟2024届高三上学期9月新高考研究卷（全国I卷）数学试题（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________四、解答题分为以下两类情况：第一类：,,A C D 三个区域涂三种不同的颜色，第一步涂,,A C D 区域，从5种不同的颜色中选3种按序涂在不同的3个区域上，则有35A 种方法，第二步涂B 区域，由于,A C 颜色不同，有3种方法，第三步涂E 区域，由于,A D 颜色不同，则有3种方法，由分步计数原理，则共有3533A 540´=种方法；第二类：,,A C D 三个区域涂两种不同的颜色，由于,C D 不能涂同一色，则,A C 涂一色，或,A D 涂同一色，两种情况方法数相同.若,A C 涂一色，第一步涂,,A C D 区域，,A C 可看成同一区域，且,A D 区域不同色，即涂2个区域不同色，从5种不同的颜色中选2种按序涂在不同的2个区域上，则有25A 种方法，第二步涂B 区域，由于,AC 颜色相同，则有4种方法，第三步涂E 区域，由于,AD 颜色不同，则有3种方法，由分步计数原理，则共有2543A 240´=种方法；【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置与系数的关系；有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是物线的焦点，可直接使用公式A B B x p A x ++=，若不过焦点，则用一解析几何简化运算的常见方法：（1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算；（2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算；（3）巧用定义，简化运算.由题意知，直线l 的斜率存在且不为22(,)x y ，设圆N 的半径为r ，2222(21)4184y kx mk x kmx x y =+Þ++++=。
浙江新高考研究卷创新卷技术(4)
A．1 或 2
B．2 或 3
C．3 或 4
D．4 或 5
《浙江省新高考创新卷》技术（四） 第 3 页 共 16 页
二、非选择题（本大题共 4 小题，其中第 13 小题 4 分，第 14 小题 8 分，第 15 小题 7 分，第 16 小 题 7 分，共 26 分）
13．杭州市某区 2020 年面向社会招聘教师入围人员名单，并用 Excel 软件进行数据处理，如图所示。
致数据丢失 5．使用 GoldWave 软件编辑某音频文件，部分界面如下
图所示：
《浙江省新高考创新卷》技术（四） 第 1 页 共 16 页
下列说法正确的是
A．执行“静音”操作，左声道最后 5 秒钟是静音
B．执行“删除”操作并按原参数保存，音频文件存储容量变小
C．将“保存选定部分为”操作，参数默认，则音频文件大小约为 430KB
A．int(Rnd*90+10)
B．int(Rnd*13)*7+14
C．int(Rnd*84)+14
D．int(Rnd*86)+14
8．某算法的部分流程图如右图所示，执行该
流程图后，s 的值为
A．27
B．63
C．48
D．36
9．“A”的 ASCII 码值为 65，有如下 VB 程序段：
s1=text1．text
（1）总成绩是将“笔试成绩”与“面试成绩”分别乘以对应的权重后相加所得。通过 F3 单元格 中的公式，对 F4:F8 进行自动填充，F4 单元格中显示结果是 ▲ （单选，填字母:A．＃ VALUE！/B．85.00/C．0.00 /D．＃DIV/0！）。
（2）若要正确计算“总成绩”列的数据，可对 F3 单元格中的公式进行修改，并对 F4:F44 进行 自动填充，则 F3 单元格中的公式是 ▲ 。
浙江新高考研究卷
浙江新高考研究卷1. 引言浙江省高中阶段学校招生考试改革（俗称“新高考”）自2017年起在浙江省推行，并取得了显著的成效。
本文将对浙江新高考进行深入研究，重点探讨其背景、目标、改革方案以及对学生和教育系统的影响。
2. 背景传统的高中阶段学校招生考试存在着诸多问题，例如过分强调单一的应试能力，缺乏综合评价和多元选拔机制等。
为了推动高中教育的综合改革，浙江省决定引入新的高考制度。
3. 目标引入新高考的目标是提高学生的综合素质，实现学科知识与能力的全面发展，并且更好地适应社会对人才的需求。
通过多元化的评价体系，鼓励学生在不同领域中发展自己的特长。
4. 改革方案浙江新高考的主要改革方案包括以下几个方面：4.1 学科设置调整传统的高考只考核语文、数学和外语三个学科，而新高考将增加其他学科的考试科目，例如文史类、理工类、艺术类等，以更全面地评价学生的综合素质。
4.2 考试形式改变新高考采用综合评价的方式，而非传统的单一笔试。
除了书面考试外，还包括口试、面试、实践操作等，以评价学生在不同方面的能力和潜能。
4.3 学生志愿填报方式改革新高考改革引入了志愿填报的机制，学生可以根据自己的兴趣、特长和职业规划来安排志愿，实现个性化选课。
4.4 综合素质评价综合素质评价是新高考的重要组成部分，包括学业成绩、实践活动、学业水平测试等多个方面的评价指标。
通过综合素质评价，学生的学习态度、思维能力、创新能力等得到充分的发展和展示。
5. 学生和教育系统的影响浙江新高考对学生和教育系统产生了积极的影响：5.1 提高学生全面发展的机会新高考的改革方案使学生不再仅仅追求高分，而是注重个人素质的培养。
学生有更多的机会发展自己的特长和兴趣，并且能更好地实现个性化的学习。
5.2 激发教育教学改革新高考要求教师注重培养学生的综合素质和核心能力，而不是仅仅关注知识的传授。
这促使教师改变传统的教学方式，注重学生的创新思维和问题解决能力的培养。
5.3 推动教育公平新高考改革缩小了学生之间的差距。
浙江省名校新高考研究联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(暑假返校考)数学试题(解析版)
Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025届高三第一次联考数学试题卷（答案在最后）考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方．3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}220,{230}A x x xB x x =--≤=-<∣∣，则A B = （）A.[]2,1- B.31,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.(],1-∞-【答案】B 【解析】【分析】根据题意求集合,A B ，再结合交集运算求解.【详解】由题意可得：{}3|12,|2A x x B x x ⎧⎫=-≤≤=<⎨⎬⎩⎭，所以3|12A B x x ⎧⎫⋂=-≤<⎨⎬⎩⎭.故选：B ．2.7212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中21x 项的系数是（）A.672B.420- C.84D.560-【答案】D【解析】【分析】根据题意结合二项式定理可得()7731712C rr rr r T x --+=-⋅⋅⋅，令732r -=-运算求解即可.【详解】由题意可知：7212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()()777317721C 212C ,0,1,,7rrr rr rr r T x x r x ---+⎛⎫=-=-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令732r -=-，解得3r =，所以21x项的系数是()343712C 560-⋅⋅=-.故选：D ．3.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若751213a a =，则139SS =（）A.913B.1213 C.75D.43【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列前n 项和公式、等差数列性质计算即得.【详解】在等差数列{}n a 中，由751213a a =，得113137199513()131312429()991332a a S a a a S a +===⨯=+.故选：D4.已知随机变量X 的分布列如下表所示，则()21E X +=（）X123P13a16A.116B.113C.143D.223【答案】C 【解析】【分析】根据分布列的性质可得12a =，进而可得11()6E X =，再根据期望的性质分析求解.【详解】由分布列可得11136++=a ，解得12a =，则11111()1233266E X =⨯+⨯+⨯=，所以14(21)2()13E X E X +=+=.故选：C ．5.已知函数22)()log ,(f x x ax a =-∈R ，则“2a ≤”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 在(1,)+∞上单调递增等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，得1210a a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，解得1a ≤，所以“2a ≤”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的必要不充分条件.故选：B6.函数π()cos(0)6f x x ωω=+>的图象在区间(0,1)上恰有一个对称中心，则ω的取值范围为（）A.π2π(,]63 B.π4π(,]63C.π4π(,33D.π7π(,]33【答案】C 【解析】【分析】求出相位的范围，结合余弦函数的性质列出不等式求解即得.【详解】由(0,1)x ∈，得πππ666x ωω<+<+，由()f x 的图象在区间(0,1)上恰有一个对称中心，得ππ3π262ω<+≤，所以π4π33ω<≤.故选：C7.若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为13，则此圆台与其内切球的体积之比为（）A.74B.2C.32D.53【答案】A 【解析】【分析】将圆台还原成圆锥，作出圆锥的轴截面，再结合给定角求出圆锥底面圆半径、高与内切球半径的关系即可计算得解.【详解】将圆台母线延长交于点S ，得圆锥1SO ，作圆锥1SO 的轴截面，等腰梯形ABCD 为圆台的轴截面，截内切球O 得大圆，并且是梯形ABCD 的内切圆，令SA 切圆O 于T，如图，设底面圆直径2AB R =，依题意，11cos 3SAO ∠=，3SA R =，1SO =，设内切球半径为r ，则12OT OO OO r ===，1cos 3SOT ∠=，3SO r =，14SO r ==，于是=R ，且2O 为1SO 的中点，而内切球体积314π3V r =，圆台的体积222321111117π7πππ())43322243V R SO R SO r r =⋅-⋅=⋅=,所以圆台与其内切球的体积比为2174V V =.故选：A8.设函数2π()(1)1,()cos 22xf x a xg x ax =--=-，若函数()()()h x f x g x =-在区间(1,1)-上存在零点，则实数a 的取值范围是（）A.2a ≤B.112a <≤C.122a <≤ D.12a <≤【答案】C【解析】【分析】利用函数零点的定义，转化为函数2()1F x ax a =+-，π()cos 2xG x =在(1,1)-上的图象有公共点求解.【详解】由()()()0h x f x g x =-=，得2π(1)1cos22xa x ax --=-，依题意，2π1cos2x ax a +-=在(1,1)-上有解，记2()1F x ax a =+-，π()cos 2x G x =，因此函数(),()F x G x 在(1,1)-上的图象有公共点，0()1G x <≤，如图，当0a ≤时，2()11F x ax a =+-≤-，显然函数(),()F x G x 在(1,1)-上的图象无公共点，当0a >时，函数(),()F x G x 图象都关于y 对称，得(0)(0)(1)(1)F G F G ≤⎧⎨>⎩，即11210a a -≤⎧⎨->⎩，解得122a <≤，所以实数a 的取值范围是122a <≤.故选：C【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f (x )=0的解；(2)图象法：作出函数f (x )的图象，观察与x 轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知正实数,,a b c 满足2510a b c ==，则（）A.b c a +=B.a b c >>C.111a b c+= D.49a b c+≥【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：举反例说明即可；对于B ：设25101a b c t ==>=，可得2510log ,log ,log a t b t c t ===，结合对数函数性质分析判断；对于C ：利用换底公式分析判断；对于D ：可得111c a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合基本不等式运算求解.【详解】对于选项A ：若1,2510a b c ===，则25log 10,log 10a b ==，则25log 10log 101a b c =≠+=+，故A 错误；对于选项B ：因为0a b c >,,，设25101a b c t ==>=，则2510ln ln ln log ,log ,log ln 2ln 5ln10t t t a t b t c t ======，又ln 0,0ln 2ln 5ln10t ><<<，可得ln ln ln ln 2ln 5ln10t t t>>，所以a b c >>，故B 正确；对于选项C ：因为111log 2,log 5,log 10t t t a b c===，所以111log 2log 5log 10t t t a b c+=+==，故C 正确；对于选项D ：因为111a b c +=，即111c a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得1144(4)1459b a a b c a b c c c a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4b aa b=，即2a b =时，等号成立，所以49a b c +≥，故D 正确．故选：BCD.10.若直线()y kx k =∈R 与圆()()22:111C x y -+-=交于不同的两点,A B O ､为坐标原点，则（）A.当2k =时，AB =B.CA CB ⋅的取值范围为[]1,1-C.1OA OB ⋅=D.线段AB 【答案】AC 【解析】【分析】对于A ：求圆心()1,1C 到直线20x y -=的距离，结合垂径定理运算求解；对于B ：根据数量积可得cos CA CB ACB ⋅=∠uu r uu r，进而可得结果；对于C ：分析可得221OA OB OC r ⋅=-=，即可得结果；对于D ：分析可知点M 的轨迹是以OC 为直径的半圆(除去,E F )，即可得结果.【详解】由题意可知：圆()()22:111C x y -+-=的圆心为()1,1C ，半径为1r =，且直线()y kx k =∈R 过定点0,0，设线段AB 中点为M ，对于选项A ：当2k =时，则直线为2y x =，即20x y -=，圆心()1,1C 到直线20x y -=的距离为55d CM ===，所以||2||AB AM ==A 正确；对于选项B ：因为cos cos CA CB CA CB ACB ACB ⋅=⋅∠=∠，因为点,A B 不重合，所以cos 1ACB ∠<，故B 错误；对于选项C ：因为()()·OA OB OM MA OM MA⋅=+-()222222OM MA OC d r d =-=---221OC r =-=，所以1OA OB ⋅=，故C 正确；对于选项D ：因为线段AB 中点M 满足OM CM ⊥，设OC 的中点为N ，圆C 与x 、y 分别切于点E 、F ，可知圆N 过点E 、F ，且90ECF ∠=︒，可知点M 的轨迹是以OC 为直径的半圆（除去,E F ），所以轨迹长为1222ππ222⨯⨯=，故D 错误．故选：AC.11.若函数()cos 1cos ,Z f x nx n =-∈，则下列说法正确的是（）A.若2n =，则函数()f x 的最大值为2B.若3n =，则函数()f x 为奇函数C.存在Z n ∈，使得()sin 1sin f x nx =-D.若()()sin cos 2f x f x +=，则42,Z n k k =+∈【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：整理可得[]2()22,1,1f x x x =-∈-，结合二次函数求最值；对于B ：举反例说明即可；对于C ：取1n =，代入检验即可；对于D ：根据题意结合诱导公式可得()πcos cos 2ππ,2n nx nx k k ⎛⎫-=--∈ ⎪⎝⎭Z ，进而可得π2ππ,2n k k =+∈Z ，运算求解即可.【详解】因为[]cos 1,1x ∈-，可知()f x 的定义域为[]1,1-，对于选项A ：当2n =时，2(cos )1cos 222cos f x x x =-=-，可得[]2()222,1,1f x x x =-≤∈-，当且仅当0x =时，等号成立，所以函数()f x 的最大值为2，故A 正确；对于选项B ：当3n =时，则()cos 1cos3f x x =-，令π2x =，则π3πcos cos022==，可得()010f =≠，所以函数()f x 不为奇函数，故B 错误；对于选项C ：当1n =时，(cos )1cos f x x =-，则[]()1,1,1f x x x =-∈-，且对任意R x ∈，则[]sin 1,1x ∈-，所以(sin )1sin f x x =-，故C 正确．对于选项D ：因为πππ(sin )cos 1cos 1cos 222n f x f x n x nx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若π(sin )(cos )1cos 1cos 22n f x f x nx nx ⎛⎫+=--+-= ⎪⎝⎭，可得()πcos cos cos 2ππ,Z 2n nx nx nx k k ⎛⎫-=-=--∈ ⎪⎝⎭，则π2ππ,Z 2n k k =+∈，解得42,Z n k k =+∈，故D 正确．故选：ACD.【点睛】关键点点睛：对于BC ：对于直接说明比较麻烦的问题时，常取特值，举例说明即可.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，共15分．12.已知,a b 是两个单位向量，若()3a b b -⊥ ，则向量,a b 夹角的余弦值为______．【答案】13【解析】【分析】根据垂直条件及数量积运算律，再由夹角公式即可求解.【详解】由(3)a b b -⊥ ，得231a b b ⋅== ，则1cos ,3|||a b a b a b ⋅〈〉== ．故答案为：1313.若复数z 满足2,2z z z z +=⋅=，则2z z -=__________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，设出复数z 的代数形式，结合复数相等、共轭复数及模的意义计算得解.【详解】设i,,R z a b a b =+∈，则i z a b =-，22z z a +==，解得1a =，由2z z ⋅=，得222a b +=，解得21b =，又23i z z a b -=-+，所以|2|z z -=.14.如图，设双曲线G22−22=1>0,>0的左焦点为F ，过F 作倾斜角为60o 的直线l 与双曲线C 的左支交于,A B 两点，若4AF FB =，则双曲线C的渐近线方程为__________.【答案】5y x =±【解析】【分析】利用双曲线定义，结合余弦定理求出,a b 的关系即可得解【详解】令双曲线的右焦点为F '，半焦距为c ，设||BF t =，则||4AF t =，由双曲线定义得||2BF t a '=+，||42AF t a '=+，由直线AB 倾斜角为60o ，得60120BFF AFF ⎧∠=⎨∠='⎩' ，由余弦定理得222222|||2|cos 60|||2|cos120BF BF FF BF FF AF AF FF AF FF ⎧=+''''''-⎪⎨=+-⎪⎩，即222222(2)42(42)1648t a t c tc t a t c tc ⎧+=+-⎨+=++⎩，整理得2222(2)22(42)a c t c a a c t c a ⎧+=-⎨-=-⎩，于是65ca =，5b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为5y x =±.故答案为：5y x =±【点睛】关键点点睛：求出双曲线渐近线方程，关键是由给定条件，结合余弦定理求出b a值.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知三棱锥,A BCD AD -⊥底面,,2BCD BC CD AD BC CD ⊥===，点P 是AD 的中点，点Q 为线段BC 上一动点，点M 在线段DQ 上.（1）若PM ∥平面ABC ，求证：M 为DQ 的中点；（2）若Q 为BC 的中点，求直线DQ 与平面ABC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解（2）105【解析】【分析】（1）由线面平行的性质可得//PM AQ ，即可得结果；（2）方法一：建系标点，利用空间向量求线面夹角；方法二：做辅助线，可证DN⊥平面ABC ，进而可得线面夹角；方法三：利用等体积法求D 到平面ABC 的距离，进而可得线面夹的正弦值.【小问1详解】连结AQ ，因为PM ∥平面,ABC PM ⊂平面ADQ ，平面ADQ 平面ABC AQ =，则//PM AQ ，又因为P 是AD 的中点，所以M 是DQ 中点.【小问2详解】方法一：因为AD ⊥底面,BCD BC CD ⊥，如图建立坐标系，则(2,0,0)D ，(0,2,0)B ，(2,0,2)A ，(0,1,0)Q ，可得(2,1,0)DQ =-uuu r，(2,0,2)CA = ，(0,2,0)CB = ，设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z = ，则22020n CA x z n CB y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x =-，则0,1y z ==，可得(1,0,1)n =-，则cos ,5DQ n DQ n DQ n⋅==⋅，因此直线DQ 与平面ABC所成角的正弦值为5；方法二：取AC 中点N，因为DA DC =，则DN AC ⊥，因为AD ⊥底面BCD ，⊂BC 底面BCD ，则AD BC ⊥，且BC CD ⊥，AD CD D = ，,AD CD ⊂平面ACD ，则⊥BC 平面ACD ，由DN ⊂平面ACD ，可得BC DN ⊥，且AC BC C = ，,AC BC ⊂平面ABC ，所以DN ⊥平面ABC ，可知DQN ∠即为直线DQ 与平面ABC 所成角，且DN DQ ==10sin5DN DQN DQ ∠===.所以直线DQ 与平面ABC 所成角的正弦值为5；方法三：设D 到平面ABC 的距离为d ，可得1242333A BCD BCD V AD S -=⋅=⨯=△，则12ABC S BC AC =⋅=△即1433A BCD D ABC ABC V V d S --==⋅==△，解得d =则DQ =所有直线DQ 与平面ABC 所成角的正弦值5d DQ ==.16.在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足cos 2a cB c-=.（1）若π3A =，求B ；（2）若ABC V 是锐角三角形，且4c =，求b 的取值范围.【答案】（1）4π9B =（2）(【解析】【分析】（1）根据利用正弦定理结合三角恒等变换可得2B C =，结合π3A =即可得结果；（2）由锐角三角形可得ππ64C <<，利用正弦定理运算求解即可.【小问1详解】因为cos 2a cB c -=，由正弦定理可得sin sin cos 2sin A C B C-=，则2sin cos sin sin sin()sin sin cos sin cos sin C B A C B C C B C C B C =-=+-=+-，整理得sin sin cos sin cos sin()C B C C B B C =-=-，因为(),0,πB C ∈，则()π,πB C -∈-，则C B C =-，即2B C =，由π3A =，得23π3B C C +==，则2π9C =，4π9B =．【小问2详解】因为ABC V 是锐角三角形，则π22π32B C B C C ⎧=<⎪⎪⎨⎪+=>⎪⎩，解得ππ64C <<，则cos 2C <<由正弦定理得sin sin c bC B =，得sin 4sin 28cos sin sin c B C b C C C===，可得b <<b的取值范围为(.17.已知椭圆G22+22=1>>0的离心率为12e =，左、右顶点分别为,,A B O 为坐标原点，M 为线段OA 的中点，P 为椭圆上动点，且MPB △.（1）求椭圆E 的方程；（2）延长PM 交椭圆于Q ，若6BP BQ ⋅=，求直线PQ 的方程.【答案】（1）22143x y +=（2）1)y x =+【解析】【分析】（1）根据离心率和面积关系列式求,,a b c ，进而可得方程；（2）设直线()()1122:(1),,,,PQ y k x P x y Q x y =+，联立方程，利用韦达定理结合数量积的坐标运算求解即可，注意讨论直线的斜率是否存在.【小问1详解】由条件得12c e a ==，即2a c=，则b =，则12OM a c ==，()2max 13333()222BMP S b a c c =+==，解得2,1a b c ===，所以椭圆E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】由题意可知：()()2,0,2,0A B -，则()1,0M -，且直线PQ与椭圆必相交，若直线PQ 的斜率不存在，可知1PQ x =-：，联立方程221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得32y =±，不妨取331,,1,22P Q ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则333,,3,22BP BQ ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，可得9279644BP BQ ⋅=-=≠ ，不合题意；若直线PQ 的斜率存在，设直线()()1122:(1),,,,PQ y k x P x y Q x y =+，则()112,BP x y =- ，()222,BQ x y =-，与椭圆联列方程得22(1)3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得()22223484120k x k x k +++-=，可得221212228412,3434k k x x x x k k-+=-=++，则212121212(2)(2)(2)(2)(1)(1)BP BQ x x y y x x k x x ⋅=--+=--+++()()()()()()2222222212122214128212443434k k k kkx x k x x kkk k +--=++-+++=-++++2227634k k==+，可得26k =，解得k =所以直线PQ的方程为1)y x =+；综上所述：直线PQ 的方程为)1y x =+.【点睛】方法点睛：与相交有关的向量问题的解决方法在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横（纵）坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解.18.已知函数()()ln 0f x x x x =>；（1）设函数()()()1g x f x f x =+-，求函数()g x 的极值；（2）若不等式()(),f x ax b a b ≥+∈R 当且仅当在区间[)e,+∞上成立；求ab 的最大值（3）实数,m n 满足0m n <<，求证：()()ln 1ln 1f n f m m n n m-+<<+-．【答案】（1）极小值ln 2-，无极大值（2）e4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数()g x 的导函数并判断出其单调性，即可得出极值；（2）结合函数图象将不等式恒成立转化为图象之间位置关系，得出等量关系并求得ab 的表达式利用二次函数性质可求出结论；（3）分别对不等式左右两边利用作差法并构造函数，由导函数求得其单调性即可证明得出结论.【小问1详解】()()(1)ln (1)ln(1),01g x f x f x x x x x x =+-=+--<<，令()()()1ln ln 11ln ln 1x x x x g x +---=-=-'，令()0g x '=，得12x =，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，可得()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()g x 有极小值1ln 22g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值．【小问2详解】()1ln 0f x x '=+=，得1ex =，易知()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，即可得在[)e,+∞上()f x 单调递增；易知()f x 在()e,e 处的切线方程为()e 2e y x -=-，即2e y x =-；若不等式()(),f x ax b a b ≥+∈R 当且仅当在区间[)e,+∞上成立；结合()f x 及y ax b =+的图象可知，需满足(e)e e 2f a ba ==+⎧⎨≤⎩，可得e e b a =-，2a ≤．于是21e e (1)e 24ab a a a ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，易知当12a =时，取得最大值，故()maxe 4ab =．【小问3详解】先证明左边：作差()()ln ln ln ln ln f n f m n n m m n m m mm n m n m ---+-=--(ln ln )ln 1nn n m n m n n m m m-==--；因为0m n <<，令1n t m=>，则(ln ln )ln ln 111n n m t tt n m t t-==---；令()()ln 1,1ln 1ln h t t t t h t tt '=-+=+-=当1t >时，()0h t '>，函数()h t 在(1,)+∞上是增函数，所以()ln 1(1)0h t t t t h =-+>=，因此ln 1t t t >-，所以ln 11t tt >-，即()()ln 1f n f m m n m -->-，故()()ln 1f n f m m n m ->+-；对于右边()()ln ln ln ln ln f n f m n n m m n n m nn n m n m---+-=--(ln ln )1ln1m n m n n n m m m-==--令(ln ln )ln 1,11n m n m t t m n m t -=>=<--，令()ln 1t t φt =-+，则()1110φt t tt-=='-<恒成立；所以()t ϕ在()1,+∞上单调递减，可得()()10t ϕϕ<=，即()ln 10t t t ϕ=-+<，所以ln 1t t <-，即ln 11tt <-，即()()ln 1f n f m n n m --<-，故()()ln 1f n f m n n m-<+-．综上得()()ln 1ln 1f n f m m n n m-+<<+-．【点睛】关键点点睛：在证明不等式时关键是先利用作差法再根据表达式特征，构造函数并利用导数求出函数单调性及其最值，即可得出结论.19.混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，假设在一个混沌系统中，用n x 来表示系统在第n 个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态值1n x +满足1()n n x f x +=，已知初始状态值0(0,1)x ∈，其中2()()f x ax ax a =-∈R ，这样每一时刻的状态值012,,,,n x x x x 构成数列{}()n x n ∈N .（1）若数列{}n x 为等比数列，求实数a 的取值范围；（2）若01,12x a ==-，证明：①11112n nx x +<-≤；②212(2)ni i n x n =+≤+∑.【答案】（1）1a <-；（2）①证明见解析；②证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列定义，结合0(0,1)x ∈求解即得.（2）①把1a =-代入，变形得11111n n nx x x +-=-，再探讨n x 的符号及数列{}n x 的单调性推理得证；②由已知结合累加法得21012nin i xx +==-∑，再由①结合累加法求得1124n x n +≥+即可推理得证.【小问1详解】由{}n x 是等比数列，得212n n n x x x ++=，且120,0n n n x x x a ++⋅⋅≠≠，依题意，21n n n x ax ax +=-，则22111(())n n n n n n x ax ax x ax ax +++-=-，于是1n n ax a ax a +-=-，即21n n n n x x ax ax +==-，整理得01n a x x a+==，因此101a a +<<，即110a-<<，解得1a <-，所以实数a 的取值范围是1a <-.【小问2详解】①由1a =-知，211)1111,11(n n n n n n n nx x x x x x x x ++=-+==+--，则11111n n n x x x +-=-，由210n n n x x x +-=-<，得数列{}n x 是递减数列，则011111,221n n n nx x x x x +≤=-=≤-；又110n n n x x x +=->，则1,n n x x +同号，有n x 与0x 同号，即0n x >，于是111111n n nx x x +-=>-，所以11112n nx x +<-≤．②由21nn n x x x +=-，得2101101(2)n nin n n n i i x x x x x x +++===-=-=-∑∑，由①知，1112n n x x +-≤，则10112(1)24n n n x x +≤++=+，又0n x >，因此1124n x n +≥+，所以210111122242(2)ni n i n x x n n +=+=-≤-=++∑.【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.。
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《浙江省新高考研究卷》数学（四）第 4 页 共 4 页
到 l 的距离 d =| PA | ，则“ m = p ”是“ n = p ”的
2
2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知随机变量 X 的分布列如右，其中 a,b 0 ， DX 的取值范围
A． (0,1) C． (1 , 2)
2
B． (0, 1) 2
D． (0, 2)
名校联盟★《新高考研究卷》 2020 年 2 月卷
《浙江省新高考研究卷》数学（四）
第Ⅰ卷 （选择题 共 40 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知U = R， A = x | x −1 ， B = x |1 x 2 ，则 (CU A) (CU B) =
D
DCB = 120 , AC =1, BC = 2, AE = 2 , BCDE 是菱形．
（Ⅰ）求证：平面 ABE ⊥ 平面 ABC ； （Ⅱ）求 AD 与平面 BCDE 所成角的正弦．
E
C
B
A 第 19 题图
20．（本题满分 15 分）数列 an 的前 n 项和为 Sn ， n N*，满足 Sn = 1 − an ，设 bn = 2(Sn + an+1) ，数
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分．
11．已知 i 为虚数单位， z = 2 + i ，则 | z |= 2−i
z+1= ▲ ． z
12．一个几何体三视图如图，则它的体积
▲， ▲，
4 2 正视图
2 2
侧视图
表面积 ▲ 13．圆内接四边形 ABCD 中， AB = 3, BC = 2,CD = 2, DA =1 ，则
2
2 12
C 是 f (x) 在 y 轴左侧与 x 轴的第一个交点，点 D, E 是 f (x)
y
在 y 轴右侧第一个最高点和最低点．
D
（Ⅰ）求, 的值；
P
（Ⅱ）设 CED = ，求 tan 的最大值．
C
Q
O
x
E
第 18 题图
19．（本题满分 15 分）在四棱锥 A − BCDE 中， ACB = 90 ,
D．
8．函数 f (x) = sin x(0 x 1) , g(x) = x f (x) ，直线 x = m (0 m 1) 先后与 f (x), g(x), x 轴交于
A, B,C ，直线 x = 1 − m 先后与 f (x), g(x), x 轴交于 A1, B1,C1，则（ ）
y
点，过点 P 作抛物线 C : x2 = 2 y 的两条切线，切点是 A, B ，
连接 AB,OA,OB ．
（Ⅰ）求 PAB 面积 S 的最大值；
（Ⅱ）连接 PA, PB 交 x 轴于 D, E ，设 AOB , PDE 的面积分
B
别为
S1, S2
，问
S1 S2
是否为定值，若是求出该定值并说明
理由；若不是，求出它的取值范围．
D． −10 D．焦距是 4
x−y0
4．已知点
(a
+
b,
a
−
b)
在
x+
y0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ表示的平面区域内，则 a2
+ b2 的最小值为
2x − y 2
A． 1 5
B． 2 5
C． 4 9
D． 2 3
5．已知点 P 是抛物线 y2 = 2 px( p 0) 上一定点，定直线 l : x = −m ，定点 A(n,0) ，其中 m, n 0 ，且 P
A．x | −1 x 1
B．x | −1 x 1
C．x | −1 x 1或x 2
D．x | −1 x 1或x 2
2．二项式 (x3
−
1 x2
)5
展开式中常数项为
A． 5
B． −5
3．已知双曲线 x2 − y2 = 1 ，则 1−m m−5
A．焦点 (0, 6)
B．焦点 (2,0)
C．10 C．焦距是 2
列 bn 的前 n 项和为 Tn ．
（Ⅰ）求 Tn ；
（Ⅱ）设 cn
=
Sn
+ Tn
，数列 cn
的前
n
项和为
Rn
，求证：
T1 + 1 R12
+
T2 + 1 R22
+
Tn + Rn2
1
1
．
《浙江省新高考研究卷》数学（四）第 3 页 共 4 页
21．（本题满分 15 分）已知点 P 是圆 M : x2 + ( y + 2)2 = 1 上一动
A
EOD
x
P
M
第 21 题图
22．（本题满分 15 分）已知 f (x) = (ax2 +1) ln(x +1) ， g(x) = bx ． （Ⅰ） a = −1时，求证： f (x) 有两个极值点； （Ⅱ）是否存在 a 0,b R，使 f (x) g(x) 对任意的 x (−1, +) 恒成立，若存在，求出 a,b 的取 值范围；若不存在说明理由．
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．抛物线或双曲线
D1 N
P
C1
B1
Q
D
C
10．数列an 满足 a1 = a ， an+1 = an2 + a ，且 | an | 2 ，则 a 的取值范围
A．−2, 2
B． −2, 0
A
M
B
第 9 题图
C．
0,
1 4
D．
−2,
1 4
第Ⅱ卷 （非选择题 共 110 分）
cos C = ▲ ，四边形 ABCD 的面积为 ▲ ．
14．已知 ABC 的重心为 G ， AD = AB, AE = AC ，其中
俯视图
第12 题图
0 , 1，且 D,G, E 共线，则 1 + 1 = ▲ ； ADG 与 CEG 面积之比的最小值为
▲．
15．已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b
0)
左焦点为 F
，过
F
作l
与椭圆交于
A, B
，P
是椭圆上一点，若存
在 l 和 P 使 OAPB 为平行四边形，则椭圆离心率范围 ▲
16． f (x) = x4 − 6x3 + rx2 − 6x + 1在 (0,3] 有且仅有三个零点，则 r 的取值范围 ▲
17．已知三棱锥 P − ABC 中， PA, PB, PC 两两成 60 角， PA = 4, PB = 3,
PC = 2 ，D 是线段 PB 延长线上一点（不包括点 B ），设 ACD = ，
A
则 cos 的范围 ▲
C P
B D
第 17 题图
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三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本题满分 14 分）如图，已知 f (x) = Asin(x + )(A 0, 0,0 ) 过 P(0, A),Q(5 , 0) ，点
X123 Pab a
7．四面体 ABCD 中， AB, AC, AD 两两垂直， P,Q, R 分别是 AB, AC, AD 上的点，且 AP AQ AR ，
设二面角 A − PQ − R, A − QR − P, A − RP − Q 的平面角分别为, ,
A．
B．
C．
A． AB = A1B1
B． AB = 2A1B1
C． AB = B1C1
D． AB = 2B1C1
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9．正方体 ABCD − A1B1C1D1 中， M , N 分别为边 AB, A1B1 的中点， P 是边 C1D1 上 一 动 点 （ 包 括 端 点 ）， Q 是 平 面 PMB1 上 一 动 点 ， 满 足 A1 MNA = MNQ ，则点 Q 所在轨迹为