高斯—马尔可夫定理
高斯-马尔可夫定理
高斯-马尔可夫定理高斯-马尔可夫定理是最著名的金融学定理之一，也是经济学的一个重要概念。
它告诉我们，一种投资如果得到了回报却不能在短时间内收回成本，则一定会亏损。
所以投资必须“以投入为前提”。
具体而言：当投入回报率（年化）等于投入成本增长率（年化）时，则投入总回报（年化）等于投入成本增长率（年化);当投入成本增长率（年化）等于每年投资总回报（年化）的50%时（年化),则该资产不会亏损；当投入产出比（年度）为1时，则当期投资回报（年化）等于当期消费对当期收入（年化）之间之差；当投入产出比（年化）为0时，则该资产不会亏损；当投入产出比为1时，则当周利多或当周利少-周利多、当周利多-周利均、或当周利少-当周利多-周利均属于经济行为上的偏差。
一、经济学与金融学的区别金融学的基本原理是利用各种手段，控制和影响各种资金流。
而经济学的基本原理是运用经济规律分析社会问题、经济现象，运用各种方法影响社会，进而达到控制、影响资源配置。
因此，从理论上讲金融学也可以理解为经济学的一个分支领域。
不同的是金融学与经济学所研究并解释的东西可能会不同。
而高斯-马尔可夫定理则不会，因为这样的定理没有经济波动，也就没有金融领域存在问题。
这也让我们在看到投资机会时不能简单地一竿子打死一船人，更不能一窝蜂地投钱进去。
1、经济学主要研究宏观经济运行的规律和宏观经济运行中的实际问题。
金融学主要研究金融机构和金融市场的行为，包括资金流向，货币流通等。
在这一方面，与经济学相类似。
可以说，金融学对经济有直接影响。
但是，作为一个分支学科经济与金融之间却是完全不同的，二者之间也存在着一定本质上的区别。
例如，在资金流与金融活动之间并不存在直接联系，而只是相互联系，可以通过一些手段，来控制和影响这些资金流。
2、经济学一般不做交易，但从交易中获利。
经济学把经济活动的逻辑研究到理论和概念的层次上，因此理论的应用是与实际应用相结合的。
比如，我们熟悉的巴菲特投资组合价值投资就是一个很好的例子。
计量名词解释
同期内生：内生解释变量与随机干扰项同期相关，两阶段最小二乘法：2SLS, Two Stage Least Squares：两阶段最小二乘法是一种既适用于恰好识别的结构方程，以适用于过度识别的结构方程的单方程估计方法。
方差膨胀因子：是指解释变量之间存在多重共线性时的方差与不存在多重共线性时的方差之比，VIF=1⁄1 –r^2。
容忍度的倒数，VIF越大，显示共线性越严重。
经验判断方法表明:当0<VIF<10，不存在多重共线性;当10≤VIF<100，存在较强的多重共线性;当VIF≥100，存在严重多重共线性完全共线性：如果存在不全为零，即某一解释变量可以用其他解释变量的线性组合表示，则称为解释变量间存在完全共线性。
异方差稳健标准误法：极大似然估计：也称为最大概似估计或最大似然估计，是求估计的另一种方法，找到参数θ的一个估计值，使得当前样本出现的可能性最大。
平稳性：是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。
加权最小二乘法：是对原模型进行加权，使之成为一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数的方法。
序列相关性：多元线性回归模型的基本假设之一是模型的随机干扰项相互独立或不相关。
如果模型的随机干扰项违背了相互独立的基本假设，称为存在序列相关性。
多重共线性：在经典回归模型中总是假设解释变量之间是相互独立的。
如果某两个或多个解释变量之间出现了相关性，则称为多重共线性。
解释变量的内生性：解释变量与随机误差项之间往往存在某种程度的相关性此时就称模型存在内生性问题，与随机误差项相关的解释变量称为内生解释变量。
虚拟变量：根据定性因素的属性类别，构造的只取“0”或“1”的人工变量，通常称为虚拟变量。
人工构造的作为属性因素代表的变量。
高斯－马尔可夫定理：在给定经典假定下，普通最小二乘（OLS）估计量具有线性性、无偏性和有效性等性质，即OLS 估计量是最佳线性无偏估计量。
异方差性：对于不同的解释向量，被解释变量的随机误差项的方差不再是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性。
计量经济学 主要知识点
《计量经济学》《经济计量学》《Econometrics》一、主要知识点第一章绪论第一节计量经济学一、经济计量学的产生过程1930 世界经济计量学会二、经济计量学与其他学科的关系计量经济学的定义第二节建立计量经济学模型的步骤和要点一、数据类型1、时间序列数据2、截面数据3、面板数据二、经济变量与经济参数（一）、经济变量1、内生变量和外生变量内生变量(endogenous variable)：随机变量，模型自身决定；内生变量影响模型中内生变量，同时又受外生变量和其它内生变量影响。
外生变量(exogenous variable)：通常为非随机变量，在模型之外决定。
而外生变量只影响模型中的内生变量，不受模型中任何其它变量影响。
2、解释变量与被解释变量3、滞后变量与前定变量（二）建模步骤和要点。
模型假定把所研究的经济变量之间的关系用适当的数学模型表达出来。
估计参数模型检验：经济意义的检验、统计推断的检验、计量经济的检验、预测的检验第三节计量经济学模型的应用模型应用：政策评价、经济预测、结构分析、检验和发展经济理论第二章一元线性回归模型第一节概述一、相关关系与回归分析1、函数关系与统计相关关系2、相关分析与回归分析的区别和联系二、总体回归模型与样本回归模型1、总体回归模型（PRF）：总体回归函数随机扰动项2、样本回归模型（SRF）：样本回归函数残差第二节简单线性回归模型的参数估计一、对线性回归模型的假设（古典假定）如何表示？1、零均值假定2、同方差假定3、无自相关假定4、 与解释变量不相关5、 正态性假定二、普通最小二乘法（OLS ）1、 OLS 的思想 参数估计式2、Y i 的分布三、普通最小二乘估计量的统计性质 高斯—马尔可夫定理 BLUE1、参数估计量的性质 高斯-马尔科夫定理2、 总体方差/随机扰动项方差的估计式3、 参数估计量的概率分布四、最大似然估计的概念第三节 简单线性回归模型的检验一、对估计值的直观判断（经济意义的检验） 二、拟和优度的检验1、 TSS=ESS+RSS2、 TSS ESS RSS 各自的含义3、 R2的构造4、 ∑∑==22212ˆiyx TSSESS R iβ5、 2R [0，1]三、对1β的显著性检验（T 检验） 检验步骤 四、均值预测与个值预测的置信区间 P49 第三章 多元线性回归模型 第一节 概述一、基本概念偏回归系数及其解释二、多元线性回归的基本假定如何表示和理解？1、零均值假定2、同方差假定3、无自相关假定4、无多重共线性5、扰动项与解释变量不相关6、正态性假定第二节多元线性回归模型的最小二乘估计一、矩阵形式的OLS参数估计式二、总体方差/随机扰动项方差的OLS估计式三、参数估计量的性质：同一元情形四、样本容量问题第三节多元回归模型的检验一、拟和优度检验1、判定系数2、调整后的判定系数二、对单个回归系数的显著性检验（T检验）检验步骤三、总体回归模型的显著性检验（F检验）检验步骤第四节预测对个值预测、区间预测的理解：p74第五节可以线性化的其他函数形式一、线性回归模型的形式：对参数而言是线性的回归系数的含义:边际效应二、几种常见的线性回归模型1、 双对数模型 回归系数的经济含义:弹性2、 半对数模型3、 倒数变换模型第六节 受约束回归 基本思想和检验步骤 第四章 违背经典假设的回归模型第一节 异方差一、异方差1、 异方差，指的是回归模型中的随机误差项的方差不是常数。
计量经济学知识点总结+名词解释重点+简答题
计量经济学知识点总结什么是OLS估计？原理ols估计是指样本回归函数尽可能好的拟合这组织，即样本回归线上的点与真实观测点的总体误差尽可能小的估计方法。
一、什么是计量经济学？答：计量经济学以经济理论为指导，以事实为依据，以数学和统计学为方法，以电脑技术为工具，从事经济关系与及经济活动数量规律的研究，并以建立和应用随机性的经济计量模型为核心的一门经济学科。
计量经济学模型揭示经济活动中各种因素之间的定量关系，用随机性的数量方程加以描述。
二、建立计量经济学模型的步骤和要点1.理论模型的设计（确定模型所包含的变量，确定模型的数量形式，拟定理论模型中的待估参数的理论期望值）2.样本数据的收集（常用的样本数据：时间序列数据，截面数据，虚变量数据）3.模型参数的估计（选择模型参数估计方法，应用软件的使用）4.模型的检验模型的检验包括几个方面？其具体含义是什么？答：模型的检验主要包括：经济意义检验、统计检验、计量经济学检验、模型的预测检验。
经济意义检验——需要检验模型是否符合经济意义，检验求得的参数估计值的符号与大小是否与根据人们的经验和经济理论所拟订的期望值相符合；统计检验——需要检验模型参数估计值的可靠性，即检验模型的统计学性质；计量经济学检验——需要检验模型的计量经济学性质，包括随机扰动项的序列相关检验、异方差性检验、解释变量的多重共线性检验等；模型的预测检验——主要检验模型参数估计量的稳定性以及对样本容量变化时的灵敏度，以确定所建立的模型是否可以用于样本观测值以外的范围。
5.模型成功的三要素：理论、方法、数据三、计量经济学模型的应用方面（功能）答：结构分析，经济预测，政策评价，检验与发展经济理论四、引入随机干扰项的原因，内容？原因：1.代表未知的影响因素2.代表数据观测误差3.代表残缺数据4.代表模型设定误差5.代表众多细小影响因素6.变量的内在随机性内容：1.被遗漏的影响因素（由于研究者对客观经济现象了解不充分，或是由于经济理论上的不完善，以至于使研究者在建立模型时遗漏了一些对被解释变量有重要影响的变量）；2.变量的测量误差（在观察和测量变量时，种种原因使观测值并不等于他的真实值而造成的误差）；3.随机误差（在影响被解释变量的诸因素中，还有一些不能控制的因素）；4.模型的设定误差（在建立模型时，由于把非线性关系线性化，或者略去模型）五、什么是随机误差项和残差，他们之间的区别是什么随机误差项u=Y-E(Y/X)，而总体回归函数Y=Y^+e，其中e就是残差,利用Y^估计Y时带来的误差e=Y-Y^是对随机变量u的估计六、一元线性回归模型的基本假设主要有哪些？违背基本假设是否就不能进行估计1.回归模型是正确设定的；2.解释变量X是确定性变量不是随机变量；在重复抽样中取固定值。
高斯马尔可夫条件
高斯马尔可夫条件
高斯马尔可夫（Gaussian Markov）条件是一种统计技术，它旨在通过分析连续型变量之间的关系，来估计下一个时刻变量的状态。
在法律领域，它的应用使得司法机构可以评估未来的潜在行为以及做出合理的评估、反馈和处置决定。
例如，当一宗案件发生后，警方可以使用该技术来预测嫌疑人在未来再次犯罪的可能性。
模型分析可以得出嫌疑人本次罪行后重新犯罪的可能性，从而为司法机构提供关于嫌疑人未来犯罪的一定的指导意见。
另一个例子是司法机构可以使用该技术估计未来的拍卖行为，预测在未来可能出现的拍卖高峰，从而便于司法机构有效地为民众服务。
此外，穆尔可夫（Markov）条件也可用于评估未来财务发展趋势，如金融机构利润水平等。
预测未来发展趋势可以根据过去变量之间的联系推断出一定程度上的趋势，使得金融机构能够更好地应对未来风险。
总之，高斯马尔可夫条件提供了一种有效的方法，可以用于律师和司法机构对未来的潜在行为、财务趋势等进行预估，从而更好地履行他们的职责，维护公平正义。
高斯对数学的贡献概括
高斯对数学的贡献概括高斯，德国数学家，被誉为现代数学之父，他对数学做出了卓越的贡献。
以下将从基础数学、最小二乘法、数论、统计学、数学分析、几何学、数值分析和数学教育八个方面来概括高斯对数学的贡献。
1.基础数学高斯在基础数学方面做出了重要贡献，包括代数、几何和分析等领域。
他的工作涉及代数几何、复数、无穷级数和微分方程等。
高斯在代数几何领域的研究为现代代数几何的发展奠定了基础，他研究了二次曲线和曲面，提出了一些重要概念和定理，如高斯-约旦定理和高斯-米泽定理。
2.最小二乘法高斯的最小二乘法是他在数据拟合和预测方面的重大贡献。
最小二乘法是一种数学统计方法，用于通过最小化预测值与实际观测值之间的平方误差，来获得最佳拟合直线或曲线。
高斯在1809年发表了关于最小二乘法的论文，该方法现在广泛应用于各种统计学和数据分析中。
3.数论高斯的数论贡献卓越，他研究了整数分解、素数分布和数论中的一些基本问题。
他在代数和数论方面的研究包括对二次型的计算、对代数数论的贡献以及对质数理论的探索。
此外，高斯还解决了著名的中国剩余定理，并给出了构造正定形式的方法。
4.统计学高斯在统计学方面也具有显著的贡献。
他在数据分析和概率论方面进行了深入的研究，为现代统计学的发展奠定了基础。
高斯研究了概率分布、贝叶斯推断和方差分析等，并在1823年提出了高斯-马尔可夫定理。
此外，他还研究了因果关系，提出了高斯-皮尔逊相关系数，为相关分析和因果分析提供了重要的工具。
5.数学分析高斯的数学分析贡献丰富，他深化了微积分的基本理论，为分析的严谨化做出了重要的贡献。
他在微分学和积分学方面都有很多建树，包括对微分方程、偏微分方程和变分学的研究。
此外，高斯还研究了函数的边界值问题，提出了高斯积分公式和高斯级数展开式等重要概念。
6.几何学高斯的几何学贡献深远，他研究了欧几里得几何和非欧几里得几何的发展。
他的工作涉及平面几何、球面几何和射影几何等领域。
高斯研究了平面几何中的一些基本问题，例如三角形和圆的性质。
计量经济学第3章习题作业
A n ≥ k +1 B n ≤ k +1 C n ≥ 30 D n ≥ 3(k +1)
6. 对于 Yi =βˆ0 + βˆ1Xi +ei ，以σˆ 表示估计标准误差，r 表示相关系数，则有（ ） A σˆ＝0时，r=1
B σˆ＝0时，r=-1
C σˆ＝0时，r=0
7. 简述变量显著性检验的步骤。 8. 简述样本相关系数的性质。 9. 试述判定系数的性质。
五、综合题
1. 为了研究深圳市地方预算内财政收入与国内生产总值的关系，得到以下数据：
年份
地方预算内财政收入 Y
国内生产总值(GDP)X
（亿元）
（亿元）
1990
21.7037
171.6665
1991
27.3291
184.7908
1436.0267
2000
225.0212
1665.4652
2001
265.6532
1954.6539
要求：
（1）建立深圳地方预算内财政收入对 GDP 的回归模型；
（2）估计所建立模型的参数，解释斜率系数的经济意义；
（3）对回归结果进行检验；
（4）若是 2005 年的国内生产总值为 3600 亿元，确定 2005 年财政收入的预测值和预
）
A 可靠性
B 合理性
C 线性
D 无偏性
E 有效性
5. 剩余变差是指（
）
A 随机因素影响所引起的被解释变量的变差
B 解释变量变动所引起的被解释变量的变差
C 被解释变量的变差中，回归方程不能做出解释的部分
D 被解释变量的总变差与回归平方和之差
ghmm核心公式
ghmm核心公式
GHMM（Gaussian Hidden Markov Model，高斯隐马尔可夫模型）是一种统计模型，用于描述一系列随时间变化的状态，其中每个状态都对应一个可观察的输出。
GHMM 的核心公式主要涉及到状态转移概率和输出概率的计算。
1.状态转移概率：
在GHMM中，状态转移概率描述了从一个状态转移到另一个状态的可能性。
假设有N 个隐藏状态，那么状态转移概率可以表示为一个N×N的矩阵，其中每个元素(a_{ij})表示从状态i转移到状态j的概率。
这个矩阵通常称为状态转移矩阵或转移概率矩阵。
2.输出概率：
输出概率描述了给定隐藏状态下，观察到特定输出的可能性。
在GHMM中，由于输出
是连续的，因此通常假设输出概率服从高斯分布（正态分布）。
对于每个隐藏状态，都有一个对应的高斯分布来描述输出的概率。
这个高斯分布的均值和方差可以从训练数据中学习得到。
GHMM的核心公式可以表示为：
•状态转移概率：(a_{ij} = P(q_{t+1} = j | q_t = i))
•输出概率：(b_j(o_t) = P(o_t | q_t = j))
其中，(q_t)表示在时刻t的隐藏状态，(o_t)表示在时刻t的观察输出。
GHMM的学习和推断通常需要使用一些算法，如Baum-Welch算法（用于参数估计）和Viterbi算法（用于状态序列推断）。
这些算法可以帮助我们根据观察到的数据来估计GHMM的参数，以及在给定模型和观察数据的情况下找出最可能的状态序列。
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高斯—马尔可夫定理:
若一元线性模型满足计量经济基本假设，则参数的最小二乘估计(OLS)是最小方差的线性无偏估计。
（BLUE )
最小二乘法估计量OLS 的性质（高斯—马尔可夫定理的初步证明）
1．线性性：0
ˆβ和1ˆβ都是i y 的线性函数
证明：
i
n
i n
j j i n j j
n
i i
i
y x x x x x x y x x
∑
∑∑∑====--=--=1
12
1
2
1
1
)()
()()(ˆβ ；
令
∑=--=
n
j j
i i x x
x x k 1
2)
()
(
则有
i n
i i y k ∑==1
1
ˆβ ，且有
=∑i
k
，
1
=∑i
i x
k ，
∑∑=-=
n
i i
i x x
k 1
2
2)
(1
从而1ˆ
β是i y 的线性函数；
同理，
0ˆβ＝=-x y 1ˆβi i i i n i i y k x n y k x y n ∑∑∑⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-=111
令i i k x n
w ⋅-=1
，则有：i i y w ∑=0
ˆβ，即0
ˆβ也是i
y 的线性函数。
另有：1=∑i
w ，
0=∑i
i x
w
2. 无偏性：0
ˆβ和1ˆβ都是0β、1β的无偏估计量； 即有：(),ˆ0
ββ=E ()1
1
ˆββ=E
证明：先证()1
1
ˆββ=E
()i i i i n i i u x k y k ++==∑∑=101
1
ˆβββ， 又
0=∑i
k
，1=∑i i x k
()∑∑∑=++===i i i i i n
i i k u x k y k 0101
1
ˆββββ+∑∑+i i i i u k x k 1β =∑+i i u k 1β
()
()1101ˆββββ=++⋅=∑∑∑i i i i i u E k x k k E
(因为:
0=∑i
k
，1=∑i i x k )
同理，利用1=∑i w 和0=∑i i x w 可证得()
,ˆ0
0ββ=E
3. 最优性或最小方差性：在所有的线性无偏估计中，0
ˆβ和1ˆβ分别是0β、1β的方差最小的有效估计量 证明：
若1~β是原值1β的一个线性无偏估计（方差条件不限），且记∑=i i y c 1~β（∵
线性估计），再根据无偏估计的特性，有：
∑∑==1,0i i i
x c c。
再记()i i i y k c P ∑-=-=1
1ˆ~1ββ，则有11ˆ~ββ+=P ()
()
)ˆ,(2)ˆ()(),ˆ(2)ˆ,ˆ(),()ˆ,ˆ(~,~~1
11111
1111ββββββββββP Cov D P D P Cov Cov P P Cov P P Cov Cov D ++=++=++==
如果能证明0)ˆ,(1
=βP Cov ，则利用方差不小于0的性质，判定)ˆ()ˆ()()~(111βββD D P D D ≥+=，1
ˆβ即为所有无偏的线性估计中方差最小的。
∵
2221
)())((),)(()ˆ,(u i i i u i i i i i i i i k k c k k c y k y k c Cov P Cov σσβ∑∑∑∑∑-=*-=-=
又∵
∑=--=
n
j j
i i x x
x x k 1
2
)
()
(
且有：
0=∑i
k ，1=∑
i i x k ，
∑∑=-=n
i i
i x x
k 1
2
2
)
(1
所以
0)
(1
)
(1
2
1
2
1
1
2
=--
--=
-∑∑∑∑∑∑====n
j j
n
j j
n i n
i i
i
i i
i
i x x
x x
x
c x c k k c ，
0)ˆ,(1
=βP Cov , 有：)ˆ()ˆ()()~
(111βββD D P D D ≥+=，命题得证。
（此处利用了∑∑==1,0i i i x c c ）。