最小二乘法估计量的性质(高斯—马尔可夫定理的初步证明)
《计量经济学》试题及答案大全(二)
《计量经济学》试题及答案第一章绪论一、填空题：1．计量经济学是以揭示经济活动中客观存在的___数量关系_______为内容的分支学科，挪威经济学家弗里希，将计量经济学定义为______经济理论____、______统计学____、___数学_______三者的结合。
2．数理经济模型揭示经济活动中各个因素之间的____理论______关系，用______确定____性的数学方程加以描述，计量经济模型揭示经济活动中各因素之间的____定量_____关系，用_____随机_____性的数学方程加以描述。
3．经济数学模型是用___数学方法_______描述经济活动。
第一章绪论4．计量经济学根据研究对象和内容侧重面不同，可以分为___理论_______计量经济学和___应用_______计量经济学。
5．计量经济学模型包括____单方程模型______和___联立方程模型_______两大类。
6．建模过程中理论模型的设计主要包括三部分工作，即选择变量、确定变量之间的数学关系、拟定模型中待估计参数的取值范围。
7．确定理论模型中所包含的变量，主要指确定__解释变量________。
8．可以作为解释变量的几类变量有_外生经济_变量、_外生条件_变量、_外生政策_变量和_滞后被解释_变量。
9．选择模型数学形式的主要依据是_经济行为理论_。
10．研究经济问题时，一般要处理三种类型的数据：_时间序列_数据、_截面_数据和_虚变量_数据。
11．样本数据的质量包括四个方面_完整性_、_可比性_、_准确性_、_一致性_。
12．模型参数的估计包括_对模型进行识别_、_估计方法的选择_和软件的应用等内容。
13．计量经济学模型用于预测前必须通过的检验分别是_经济意义检验、_统计检验、_计量经济学检验和_预测检验。
14．计量经济模型的计量经济检验通常包括随机误差项的_异方差_检验、_序列相关_检验、解释变量的_多重共线性_检验。
15．计量经济学模型的应用可以概括为四个方面，即_结构分析_、_经济预测_、_政策评价_、_检验和发展经济理论_。
gauss markov定理
gauss markov定理
高斯-马尔可夫定理是统计学中的一个基本原理，它断言在最小二乘意义下，正态误差的线性回归模型的最佳估计 (即：最小方差无偏估计) 是回归系数的线性无偏估计。
该定理是由高斯和马尔可夫独立提出的，因此被称为高斯-马尔可夫定理。
它的核心思想是：如果我们要对一个线性回归模型进行回归分析，并且假设误差项是独立、正态分布的，那么最小二乘估计得到的回归系数是无偏估计，并且具有最小方差。
因此，高斯-马尔可夫定理是线性回归模型中最优估计理论的基石。
参数最小二乘估计量的统计性质
ˆ
பைடு நூலகம்
(1 n
x
ki)
yi
(1 n
x
ki)(
xi
ui)
(
1 n
x
k i) ui
(2.3.7)
(2.3.7)表明 ˆ 是ui的线性函数。
二、无偏性
由(2.3.3)知 ˆ ki ui ，取期望值便有
E(ˆ ) ki E(ui)
(2.3.8)
其中E(ui) = 0，(2.3.8)表明 ˆ 是β的无偏估计量。
此时 ˆ* 与最小二乘估计量 ˆ 相等：
ˆ* ci yi ciki ki yi ˆ (2.3.15)
将此结果代入(2.3.14)便有
V (ˆ*)
2 u
k
2 i
2 u
xi2
此结果与(2.3.10)式相同。
(2.3.16)
对于ˆ 的最小方差性的证明与 ˆ 的证明完全类
似，请读者自己完成。
这样我们证明了，只要经典回归模型的假定2—5 满足，回归参数的最小二乘估计量就是线性、无 偏、最佳估计量，简称为最佳线性无偏估计量 (BLUE: best linear unbiased estimators)。这一 结论就是著名的高斯-马尔可夫 (Gauss Markov) 定理。 无偏性与最佳性结合起来构成了估计量好坏的重要 标志。由于最小二乘估计量的最佳线性无偏估计量 的特性，才使得最小二乘法得到了广泛的应用。
足条件
ci 0
ci xi 1
(2.3.13)
下面我们将在满足（2.3.13）的前提下，寻求 ˆ*
的最小方差：
V
(ˆ*)
V
(
ci
yi)
2 u
ci2
最小二乘法估计量的性质(高斯—马尔可夫定理的初步证明)
高斯—马尔可夫定理:若一元线性模型满足计量经济基本假设，则参数的最小二乘估计(OLS)是最小方差的线性无偏估计。
（BLUE )最小二乘法估计量OLS 的性质（高斯—马尔可夫定理的初步证明）1．线性性：0ˆβ和1ˆβ都是i y 的线性函数证明：ini nj j i n j jni iiy x x x x x x y x x∑∑∑∑====--=--=1121211)()()()(ˆβΘ ；令∑=--=nj ji i x xx x k 12)()(则有i ni i y k ∑==11ˆβ ，且有=∑ik，1=∑ii xk ，∑∑=-=ni ii x xk 122)(1从而1ˆβ是i y 的线性函数；同理，0ˆβ＝=-x y 1ˆβi i i i n i i y k x n y k x y n ∑∑∑⎪⎭⎫⎝⎛-=-=111令i i k x nw ⋅-=1，则有：i i y w ∑=0ˆβ，即0ˆβ也是iy 的线性函数。
另有：1=∑iw ，0=∑ii xw2. 无偏性：0ˆβ和1ˆβ都是0β、1β的无偏估计量； 即有：(),ˆ0ββ=E ()11ˆββ=E证明：先证()11ˆββ=EΘ ()i i i i n i i u x k y k ++==∑∑=1011ˆβββ， 又Θ0=∑ik，1=∑i i x k()∑∑∑=++===i i i i i ni i k u x k y k 01011ˆββββ+∑∑+i i i i u k x k 1β =∑+i i u k 1β()()1101ˆββββ=++⋅=∑∑∑i i i i i u E k x k k E(因为:0=∑ik，1=∑i i x k )同理，利用1=∑i w 和0=∑i i x w 可证得(),ˆ00ββ=E3. 最优性或最小方差性：在所有的线性无偏估计中，0ˆβ和1ˆβ分别是0β、1β的方差最小的有效估计量 证明：若1~β是原值1β的一个线性无偏估计（方差条件不限），且记∑=i i y c 1~β（∵线性估计），再根据无偏估计的特性，有：∑∑==1,0i i ix c c。
简单线性回归模型试题及答案
第二章 简单线性回归模型、单项选择题:1、回归分析中定义的（B ）C 、解释变量和被解释变量都为非随机变量D 解释变量为随机变量，被解释变量为非随机变量 &下面哪一个必定是错误的（ C ）。
A Y?=30+0.2X i ,以丫 =0.8B 、= —75 + 1.5X i ,気=0.91 C 2.1X i , r XY =0.78 D 、 Y? = —12 —3.5X i , r XY = —0.969、 产量（X ,台）与单位产品成本（Y ,元/台）之间的回归方程为Y? = 356 -1.5X ，这说明（D 。
A 产量每增加一台，单位产品成本增加356元B 、产量每增加一台，单位产品成本减少1.5元C 、产量每增加一台，单位产品成本平均增加 356元D 、产量每增加一台，单位产品成本平均减少1.5元10、 回归模型Yi 八。
「X i , i = 1 ，…，25中，总体方差未知，检验H 。
： r =0时，所用的检验 统计量 —L 服从（D 。
S目A 2（n -2）B 、t （n-1）C 、2（n"）D 、t （n-2）11、 对下列模型进行经济意义检验，哪一个模型通常被认为没有实际价值的（ B ）。
A 、Ci （消费）=500弋.8^ （收入）B 、Qdi （商品需求）=10・0.81［（收入）0.9Pi （价格）CQ si （商品供给）二20（价格）D Y （产出量）765K 役（资本）L ："（劳动）12、进行相关分析时，假定相关的两个变量（A ）。
A 、解释变量和被解释变量都是随机变量2、 A 3最小二乘准则是指使（ D n Z （Y t -Y ） B 下图中“{”所指的距离是（ ）达到最小值的原则确定样本回归方程。
nE Y -Y? C 、max Y r -Y Dt -1n、' (Y t -Y?)2t 丄 5、 6、 线性 B 、无偏性 C、有效性 D参数-的估计量？具备有效性是指（B ）Var （ ?） =0 B 、Var （ ?）为最小 C 亠0反映由模型中解释变量所解释的那部分离差大小的是 总体平方和 B 、回归平方和 C 、残差平方和7、 (B )。
最小二乘估计量的性质
第三节 最小二乘估计量的性质三大性质：线性特性、无偏性和最小偏差性 一、 线性特性的含义线性特性是指参数估计值1ˆβ和2ˆβ分别是观测值t Y 或者是扰动项t μ的线性组合，或者叫线性函数，也可以称之为可以用t Y 或者是t μ来表示。
1、2ˆβ的线性特征证明 （1）由2ˆβ的计算公式可得： 222222()ˆt tttt ttttttt tt tt x y x Y x Y xxx xx x x x β--===⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑Y Y Y Y需要指出的是，这里用到了因为t x 不全为零，可设2tt tx b x =∑，从而，t b 不全为零，故2ˆt t b β=∑Y 。
这说明2ˆβ是t Y 的线性组合。
（2）因为12t t t Y X ββμ=++，所以有()212122ˆt t t t t t t t t t t tb b X b b X b b βββμββμβμ==++=++=+∑∑∑∑∑∑Y这说明2ˆβ是t μ的线性组合。
需要指出的是，这里用到了220t t t t t x x b x x ===∑∑∑∑∑以及 ()2222222201t t tt t t tt ttttttttx x X x b X X x x x x X x X x x x x x⎛⎫+⎪== ⎪⎝⎭++==+=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑2、1ˆβ的线性特征证明 （1）因为12ˆˆY X ββ=-，所以有 ()121ˆˆ1t t t t tY X Y X b nXb n ββ=-=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑∑Y Y这里，令1a Xb n=-，则有1ˆt a β=∑Y 这说明1ˆβ是t Y 的线性组合。
（2）因为回归模型为12t t t Y X ββμ=++，所以()11212ˆt t t t t t t t t ta a X a a X a βββμββμ==++=++∑∑∑∑∑Y因为111t t t a Xb X b nn⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭∑∑∑∑。
2.2 最小二乘的估计性质
ˆ ) E ( k ) k E ( ) E( i i 1 i i 1 1 1
同样地，容易得出
ˆ ) E ( w ) E( ) w E ( ) E( i i i i 0 0 0 0
3、有效性（最小方差性） ， 即在所有线性无偏估计量
2
x nX n x
2 i 2 i
2
2
X n x
2 i i
2 2
（2）证明最小方差性
ˆ * 是其他估计方法得到的关于 的线性无偏估计量： 假设 1 1
ˆ* c Y ii 1
其中，ci=ki+di，di为不全为零的常数
则容易证明
ˆ * ) var( ˆ) var( 1 1
ˆ + ˆ Xi + ei • (2) 估计的统计模型 ： Yi= 0 1
• (3) 真实的回归直线：E(Yi) = 0 + 1 Xi
ˆ = ˆ + ˆ Xi • (4) 估计的回归直线： Y i 0 1
二、参数估计量的概率分布及随机误差 项方差的估计
ˆ 的概率分布 ˆ 和 1、参数估计量 0 1
2 1 x 1 1 2 2 2 Xk i X 2 k i2 2 X k i X 2 i 2 x n n n n i 2
2
2 1 X n x2 i
高斯—马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem)
在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计 量是具有最小方差的线性无偏估计量。
ˆ 证： 1
x y x
i 2 i
03最小二乘估计量的性质
Var[b0 | X] 2[(D (XX)1 X)(D (XX)1 X)]
• 由CX=I=DX+(XʹX)-1XʹX，可知DX=0，因此
Var[b0 | X] 2 ( XX) 1 2 DD Var[b | X] 2 DD
3.2 最小二乘估计量的统计性质
• 因为
• 有
Cov[x, y] E (x) E ( y) Ex E y [ xy]
Ex Ey [xy] Ex Ey [xx]γ
• OLS正规方程组：Xy
XXb
1 n 1 n xi yi xi xi b n i 1 n i 1
• 如果大数定律适用上式，则yi的最小均方误线性预测由最小二乘 回归给出
• 观测缺失 • 异常数据
• 将残差标准化后识别哪个残差明显偏大（大于2）：
ei 2 1/2 ( s mii )
3.4 最小二乘估计量的渐近特性
• 一致性
p lim(b) β
a
• 渐近正态性
b ~ N [β,
2
n
Q ]
1
XX plim Q n n
• b的函数的渐近分布
f (b) ~ N [f (β), Γ(
• 工具变量与两阶段最小二乘（工具变量个数>内生回归元个数）
bIV
1 ˆ ˆ ( X X) Xy 1 [ X PZ X] XPZ y -1 ˆ ˆ ˆ ( X X) Xy
• 最小均方误预测（Minimum mean squared error predictor）
• 即
Ey Ex [xE( y | x)] Ey Ex [xx]γ
E y Ex [xE ( y | x)] Cov[x, E ( y | x)] E ( x) Ex[ E ( y | x)]
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高斯—马尔可夫定理:
若一元线性模型满足计量经济基本假设，则参数的最小二乘估计(OLS)是最小方差的线性无偏估计。
（BLUE )
最小二乘法估计量OLS 的性质（高斯—马尔可夫定理的初步证明）
1．线性性：0
ˆβ和1ˆβ都是i y 的线性函数
证明：
i n i n j j i n
j j n i i i y x x x x x x y x x ∑∑∑∑====--=--=1121211)()()()(ˆβΘ ； 令∑=--=
n j j i i x x
x x k 12)
()(
则有 i n i i y k ∑==1
1
ˆβ ，且有0=∑i k ，1=∑i i x k ，∑∑=-=
n i i i x x k 12
2)(1 从而1ˆβ是
i y 的线性函数；
同理， 0ˆβ＝=-x y 1ˆβi i i i n i i y k x n y k x y n ∑∑∑⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=111
令i i k x n
w ⋅-=1，则有：i i y w ∑=0ˆβ，即0ˆβ也是i y 的线性函数。
另有：
1=∑i w ，
0=∑i i x w 2. 无偏性：0ˆβ和1ˆβ都是0β、1β的无偏估计量； 即有：(),ˆ00ββ=E
()11ˆββ=E 证明：先证()11ˆββ=E
Θ ()i i i i n
i i u x k y k ++==∑∑=1011
ˆβββ， 又Θ
0=∑i k ，1=∑i i x k ()∑∑∑=++===i i i i i n i i k u x k y k 0101
1
ˆββββ+∑∑+i i i i u k x k 1β =∑+i i u k 1
β ()()1101ˆββββ=++⋅=∑∑∑i i i i i u E k x k k E (因为: 0=∑i k ，1=∑i i x k )
同理，利用
1=∑i w 和0=∑i i x w 可证得()
,ˆ00ββ=E
3. 最优性或最小方差性：在所有的线性无偏估计中，0
ˆβ和1ˆβ分别是0β、1β的方差最小的有效估计量
证明：
若1~β是原值1β的一个线性无偏估计（方差条件不限），且记∑=i i y c 1~β（∵。