第14章 刚体定点转动与刚体一般运动
刚体定点转动知识点总结
刚体定点转动知识点总结一、刚体定点转动的基本概念1. 刚体的定义刚体是指物体的每一点在运动中的位置都相对于其他点保持不变的物体。
即刚体在运动中不会发生形变，它的形状和大小保持不变。
2. 定点转动的定义定点转动是指刚体绕着固定的轴线或固定的点进行旋转运动的情况。
在定点转动中，刚体的每一点都绕着同一个轴线或固定点进行圆周运动。
3. 转动的描述在描述刚体定点转动时，我们通常使用角度来描述刚体的旋转情况。
角度是用来表示两条射线之间夹角大小的物理量，它可以用弧度或角度来表示，其中弧度是圆周的一个长度单位，而角度是圆周的1/360。
二、刚体定点转动的基本原理1. 牛顿定律牛顿定律是刚体定点转动的基本原理之一。
在刚体绕固定点进行旋转运动时，牛顿第一定律描述了刚体的转动惯量，即刚体在旋转运动时会保持直线运动状态，除非受到外力的作用。
2. 角动量守恒定律角动量守恒定律是刚体定点转动的另一个基本原理。
它描述了在刚体围绕固定轴旋转时，刚体的角动量在没有外力作用的情况下会保持不变。
三、刚体定点转动的基本特点1. 轴线转动和定点转动刚体定点转动包括轴线转动和定点转动两种情况。
轴线转动是指刚体在绕着固定轴线进行旋转运动，而定点转动是指刚体在绕着固定点进行旋转运动。
这两种转动情况在物理上有着不同的特点和规律。
2. 角速度和角加速度在刚体定点转动中，角速度和角加速度是描述刚体旋转情况的重要物理量。
角速度表示刚体绕着轴线或固定点旋转的快慢，而角加速度表示刚体旋转速度的变化率。
3. 转动惯量转动惯量是刚体定点转动中一个重要的物理量，它描述了刚体围绕固定轴线或固定点进行旋转运动时所具有的惯性。
转动惯量的大小和刚体的形状、质量分布等因素有关，它是刚体定点转动的重要参数之一。
四、刚体定点转动的相关定律和公式1. 角速度公式在刚体定点转动中，角速度与线速度之间存在着一定的关系。
当刚体绕固定轴线旋转时，它的线速度v和角速度ω之间存在着以下关系：v = rω其中，v表示刚体上某一点的线速度，r表示该点到轴线的距离，ω表示角速度。
3-1刚体的定轴转动
P
R O m
右图所示刚体对经过棒
端且与棒垂直的轴的转动惯
量如何计算？(棒长为L、球 半径为R）
mL
mO
I L1
1 2 mL L 3
2 2 I o mo R 5
2 2
I L 2 I 0 m0 d I 0 m0 ( L R )
1 2 2 2 2 I m L L mo R mo ( L R ) 3 5
2 转动定律 1）单个质点 m 与转 轴刚性连接
Ft mat mr M rF sin 2 M rFt mr 2 M mr
质量元受外力 F ，内力 F ij ej 2 Mej Mij m j rj
外力矩 内力矩 2）刚体
M
O
z
r
m
Ft
刚体平动
质点运动
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运 动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
刚体的平面运动 .
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
3 刚体转动的描述 角坐标 (t ) 约定 沿逆时针方向转动 r
z
(t )
>0 r 沿顺时针方向转动 < 0
Rm1 rm2 g 2 2 I m1 R m2 r
图3.12
代入数据得
9.8 6.13 rad s 2
0.2 2 0.1 2 1 1 10 0.202 4 0.102 2 0.202 2 0.102 2 2
(2) 由①式有 T2 m2 r m2 g
mg
v 2ah v 1 R R
刚体旋转知识点归纳总结
刚体旋转知识点归纳总结1. 刚体旋转的基本概念刚体是指在一定时间内，其内部各点的相对位置不改变的物体。
刚体旋转是指刚体围绕固定点或固定轴发生的旋转运动。
在刚体旋转中，需要引入一些基本概念：1.1 刚体的转动刚体的旋转可以是定点转动，也可以是定轴转动。
在定点转动中，刚体绕固定点旋转，而在定轴转动中，刚体绕固定轴旋转。
定点转动和定轴转动都是刚体旋转运动的两种基本形式。
1.2 刚体的转动角度和角速度刚体的转动角度是刚体在单位时间内所转过的角度，通常用θ表示。
刚体的角速度是指刚体单位时间内转过的角度，通常用ω表示。
在刚体定点转动中，角速度是刚体绕定点旋转的角度速度；在刚体定轴转动中，角速度是刚体绕定轴旋转的角度速度。
1.3 刚体的转动惯量刚体的转动惯量是衡量刚体抵抗旋转的惯性大小，通常用I表示。
刚体转动惯量的大小取决于刚体形状、质量分布以及旋转轴的位置。
对于质点组成的刚体，其转动惯量可以通过对质点的质量进行积分得到。
1.4 刚体的角动量刚体的角动量是刚体旋转运动的物理量，通常用L表示。
角动量的大小和方向分别由角速度和转动惯量决定。
在定点转动中，如果刚体的角速度和转动惯量都不变，那么刚体的角动量也保持不变；在定轴转动中，如果刚体绕固定轴旋转，那么刚体的角动量也保持不变。
2. 刚体的转动力学刚体的转动力学研究刚体在旋转运动中所受的力和力矩，包括转动定律、角动量定理、动能定理等内容。
2.1 刚体的平衡刚体旋转平衡需要满足一定的条件，包括力矩平衡条件和动量平衡条件。
刚体力矩平衡条件是指刚体所受的合外力矩为零；刚体动量平衡条件是指刚体所受的合外力矩关于某一点的力矩为零。
2.2 刚体的角动量定理刚体的角动量定理描述了刚体在受到外力矩作用下，其角动量的变化规律。
根据角动量定理，刚体所受外力矩产生的角动量变化率等于刚体所受外力矩的矢量和。
2.3 刚体的动能定理刚体的动能定理描述了刚体在旋转运动中，其动能的变化规律。
根据动能定理，刚体所受外力矩产生的功率等于刚体动能的变化率。
物理刚体的转动
例题
均匀圆环 ： m i
JC mi R R
2
2
m
i
C R
J C mR
2
例题
均匀圆盘：
m dm ds 2 R ds 2rdr
2 R 0
面密度rJ 源自 dm r 2 2 rdr R4
2
1 2 mR 2
半径为R质量为M的均匀圆盘联结一长为L质量为m 的均匀直棒，写出刚体对O轴的转动惯量。（O轴垂直 纸面）
J
r
2
dm
转动惯量与下列三个因素有关：
⑴形状、大小相同的均匀刚体总质量越大，转动惯量越大。 ⑵总质量相同的刚体，质量分布离轴越远，转动惯量越大。 ⑶同一刚体，转轴不同，质量对轴的分布就不同，因而转 动惯量不同。
4、转动惯量的计算 Calculation of moment of inertia 例题:三个质量为m的质点，A、B、C由三个长为L的 轻杆相联结。求该质点系通过A点和O点，且垂直于 三个质点所在平面的转轴的转动惯量。
4、刚体的一般运动
A r 1
A' B r 2
o1
o2
B'
刚体的一般运动可看作 是平动和转动的叠加
5、角速度矢量：
z
, α
v
angular velocity vector
刚体作定轴转动时，各质元 的线速度、角加速度一般是 不同的，但由于各质元的相 对位置保持不变，所以描述 各质元的角量，如角位移、 角速度、角加速度都是一样 的。因此描述刚体的整体运 动时，用角量最为方便
⑶ v R 78.5m s
1
a R an R 2
2 a a2 a n 6.16 m s 1
刚体定轴转动的转动定律
R
M
h
Hale Waihona Puke 解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以
o R M
T
h
a
G
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R
2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
r近日 r远日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有 r近日 v近日 r远日 v远日 因为 r近日 v近日 ，r远日 v远日
r近日v近日 所以 r远日 v远日
代入数据可, 得
J r 2dm
m
R 0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
5. 如图所示，一质 量为M 、半径为R 的匀 质圆盘形滑轮，可绕一 无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 绳子，绳子一端固定在 滑轮上，另一端悬挂一 质量为m 的物体，问物 体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少？
点的一般运动与刚体的基本运动
05 点与刚体的相互作用
与力矩作用在刚体上
力是改变物体运动状态的原因，力的大小、方向和作用点决定了力的效果。
力矩是力和力臂的乘积，用来描述力对物体转动效果的量，其方向垂直于 力和转动轴所在的平面。
在刚体上施加力或力矩，会导致刚体产生平动或转动加速度，进而改变其 运动状态。
旋转矩阵描述
旋转矩阵是一个3x3的实数矩阵，用 于描述刚体在三维空间中的旋转。
旋转矩阵描述的优点是数学表达严谨， 适用于进行复杂的坐标变换和组合旋 转。
通过给定绕着三个坐标轴的旋转角度， 可以计算出一个唯一的旋转矩阵。
四元数描述
四元数是复数的一种扩展，用于描述三维空间中 的旋转和方向。
四元数由一个实部和三个虚部组成，可以表示为 一个有序实数四元组。
2. 可描述性
点的运动可以通过数学方程进 行描述，如运动方程和轨迹方
程。
3. 受约束性
点在运动过程中可能受到某些 约束，如固定点、运动范围等
。
运动方程与轨迹
运动方程
描述点在空间中的位置随时间变化的数学表达式。
轨迹
点在空间中移动时所形成的路径。
速度与加速度分析
速度
描述点在空间中移动的快慢程度，由 方向和大小组成。
课程目标
理解点的一般运动和平动、转动的关系。 掌握刚体运动的基本定理和定理的应用。
掌握刚体的基本运动和平动、旋转、平移的关系。 了解刚体运动的实例和应用。
02 点的一般运动
定义与特性
01
02
03
04
定义
点的一般运动是指一个点在三 维空间中按照一定的规律和轨
刚体运动知识点总结
刚体运动知识点总结刚体运动是物理学中的一个重要研究领域，它涉及到力学、动力学等多个方面的知识。
在学习刚体运动的过程中，我们需要了解刚体的运动方式、刚体的平动和转动运动、刚体的运动方程、刚体动力学等知识点。
下面将针对这些知识点进行详细的总结和讨论。
一、刚体的运动方式刚体可以进行平动运动和转动运动。
在平动运动中，刚体上所有的点都以相同的速度和相同的方向运动。
在转动运动中，刚体绕着固定轴线旋转，使得刚体上的各个点绕着这个轴线做圆周运动。
刚体的平动运动可以分为匀速直线运动和变速直线运动两种情况。
在匀速直线运动中，刚体上各个点的速度大小和方向都保持不变；在变速直线运动中，刚体上各个点的速度大小和方向都在不断地变化。
刚体的转动运动可以分为定轴转动和不定轴转动两种情况。
在定轴转动中，刚体绕着固定的轴线旋转，而在不定轴转动中，刚体绕着移动的轴线旋转。
二、刚体的平动运动在学习刚体的平动运动时，我们通常关心刚体上各点的速度、加速度和位移等动力学量。
1. 速度：刚体上任意一点的速度可以表示为该点的瞬时线速度，即该点的位矢对时间的导数。
刚体上不同点的速度大小和方向可以不同，但它们的速度矢量之间满足相对运动关系。
2. 加速度：刚体上任意一点的加速度可以表示为该点的瞬时线加速度，即该点的速度对时间的导数。
刚体上不同点的加速度大小和方向可以不同，但它们的加速度矢量之间满足相对运动关系。
3. 位移：刚体上任意一点的位移可以表示为该点的位矢的变化量。
刚体上不同点的位移可以通过相对位移关系来描述。
刚体的平动运动可以通过运动方程来描述，其中包含了刚体上不同点的速度、加速度和位移之间的关系。
在解决刚体平动问题时，我们通常会使用牛顿运动定律和动量定理等知识来进行分析和求解。
三、刚体的转动运动在学习刚体的转动运动时，我们需要了解刚体绕着固定轴线旋转的运动规律，以及刚体上各点的角速度、角加速度和角位移等动力学量。
1. 角速度：刚体上任意一点的角速度可以表示为该点的瞬时角位置对时间的导数。
刚体力学第1讲——刚体的运动、定轴转动定律
(3)
1 J mC R 2 , 利用已知关系式： 2
解(1)(2)(3)得：
1 ( m A m C )m B g 2 T2 1 m A m B mC 2
a
mB g m A mB 1 mC 2
m Am B g T1 1 m A m B mC 2
物体B由静止出发作匀速直线运动
B A rA f B fA rB
小结
一、刚体运动学
v r
d dt
二、刚体转动定律
M J
作业：5.6、5.8、5.10 预习：5.3、5.4节
二、刚体转动定律
（一）力矩
Liz
ω
z
（二）转动定律
M J
Li
m i
●
说明 1、任何刚体都有保持其转动状态 （角速度）不变的性质，这样的性 质叫转动惯性；
roi
ri vi
●
Oi
●
O
2、转动惯量是转动惯性大小的量度； 3、也叫力矩瞬时作用规律。
(三) 转动惯量
J mi ri
i
2
dm
●
单位：kg m
2
2
r 体分布
J r dm
dl
dm dV
dm dl
线分布
面分布dm ds例2：均匀细杆1 J C mL2 12
1 J A mL2 3
A● L/2
dx
C
●
m
L/2 dx
x
d
L
m
x
转动惯量的决定因素： (1) 刚体的总质量；
(2) 刚体的质量分布； (3) 转轴与刚体的相对位置。
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ω = ωe + ωr = ω1 + ω2
⎯⎯角速度合成定理
20
刚体空间运动
推广：绕 n个相交轴转动
n
ω = ∑ ωi i =1
二、刚体绕相交轴转动的角加速度合成定理
ω = ωe + ωr
~
α
=
d ω= dt
d ωe dt
+
d ωr dt
+
ωe
×
ωr
α = αe + αr + ωe × ωr
OC*为瞬轴 vC = AC ⋅ ω ω = vC = vC AC r cos β
=
h2 + rh
r2
v C = 常数
25
刚体空间运动
2） 求角加速度
先求牵连角速度和相对角速度。
运动分解： 研究对象：圆锥 动系： Oz轴
牵连运动：Oz轴绕ζ 轴的转动
相对运动：绕Oz轴的自转
ωe = ψ& ωr = ϕ& θ& = 0 θ = 常数 ω = ωe + ωr = ψ& + ϕ& 这种 θ = 常数，ψ& = 常数,ϕ& = 常数 的情况: 规则进动
说明: 上述的转角可以是有限值(相对于无限小而言)， 称为有限转动。相应地，△t 也可以是有限值。
10
刚体空间运动
11
刚体空间运动
12
刚体空间运动
第四届全国大学生力学竞赛第九题：
z
z
A
A
O
b x
B a
y
O
b x
C B ay
13
刚体空间运动
二、转动瞬轴、瞬时角速度与角加速度
下面在无限小时间间隔内应用欧拉定理 转动瞬轴
ωθ = θ& i1
自转角速度 方向沿 z2(z) 轴
ωϕ = ϕ& k 2
ωϕ ωψ
k2 k0 i1
ωθ
瞬时角速度 ω = ωψ + ωθ + ωϕ
思考：角加速度如何求？
24
刚体空间运动
[例14-1] 正圆锥体
已知： h，r，vC =常数，
圆锥体作纯滚动。
求：圆锥体的角速度
ω
和角加速度。
解： 1） 求角速度
2
刚体空间运动
§14-1 刚体定点转动力学模型的再简化
一、定义 刚体在运动过程中，其上有一点始终保持不动。
3
刚体空间运动
4
刚体空间运动
5
刚体空间运动
§14-1 刚体定点转动力学模型的再简化
一、定义 二、力学模型的简化
确定作定点转动刚体的位置 球面图形S在球面上的位置 球面图形S上圆弧AB的位置
18
刚体空间运动
§14-4 刚体绕相交轴转动的角速度合成定理
一、 刚体绕相交轴转动的角速度合成定理
框架以ω1绕 z轴转动，同时圆盘又以ω2绕CD轴转动。 ω1 ω2
19
刚体空间运动
动系： 框架 绝对运动： 定点转动 相对运动： 绕CD轴转动 牵连运动： 定轴转动
ω1
ω
ω2
ωe = ω1 ωr = ω2
( β&
+
γ&)
=
β&&
+
γ&& +
β&
× γ&
在地面上看，其 dt
(α&
+
β&
+
γ&)
=
α&&
+
β&&
+
α&
×
β&
+
γ&& +
(α&
+
β&) ×
γ& 22
刚体空间运动
三、用欧拉角速度表示刚体的角速度
23
刚体空间运动
进动角速度 方向沿 z0(ζ) 轴
ωψ = ψ&k 0
章动角速度 方向沿 x1(N) 轴
当△t 趋于零时，OC的极 限位置记为OC*，即
OC * = lim OC Δt→ 0
OC* 即为刚体定点转动 的转动瞬轴，简称为瞬轴。
注意：在不同的瞬时，刚体的瞬轴的位置不同。 ⇔瞬轴在空间的方位是在不断变化的。
14
刚体空间运动
瞬时角速度矢量
大小:
ω = lim Δϕ
Δt→0 Δt
方向： 沿瞬轴
指向： 右手法则
瞬时角加速度矢量
α = dω dt
方向：沿角速度矢端曲线的切线方向
15
刚体空间运动
v = dr dt
α = dω dt
v v v vv v vv
r
rr
α α ααα α
ω
ω
O
O
注意：角加速度矢量与角速度矢量一般是不共线的。
16
刚体空间运动
17
刚体空间运动
三、刚体定点转动的运动性质 在每一瞬时都存在一根通过定点的转动瞬轴； 刚体的连续运动为绕一系列的瞬轴以不同的 瞬时角速度作连续的瞬时转动。
三、自由度
确定S上圆弧AB的位置需要 三个独立的坐标
作定点转动的刚体有 三个自由度
6
刚体空间运动
§14-2 用欧拉角描述刚体定点转动
一、欧拉角 作定点转动的刚体
在空间的位置可以用唯 一的一组欧拉角表示。
定系：Oξηζ
连体坐标系：Oxyz
节线：ON ⎯ Oxy坐标面与Oξη 坐标面的交线
7
刚体空间运动
26
刚体空间运动
27
刚体空间运动
计算角加速度
~
α
=
dω= dt
d ωe dt
+
d ωr dt
+
ωe
× ωr
~
d ωe = 0 d ωr = 0
dt
dt
α = ωe × ωr
由图: ω e = ω ⋅ tan β
α = ω eω r cos β
=
h2 +r2 rh3
vC2
方向？
α
ωe
28
刚体空间运动
α = ωe × ωr
特例 αe = 0 , αr = 0
21
刚体空间运动
第三届江苏省大学生力学竞赛二（4）： α&,α&&
转子的绝对角速度矢量
ω = α& + β& + γ&
在内框上看，其角加
速度矢量
ε1
=
d γ& dt
=
γ&&
β&, β&&
γ&, γ&&
在外框上看，其角加
速度矢量
ε2
=
d dt
欧拉角： 进动角 ψ ， 章动角 θ，自转角 ϕ 。
8
刚体空间运动
二、运动方程
用欧拉角ψ，θ，ϕ 作为坐标来描述刚体定点转动
的位置，则运动方程为：
ψ = ψ (t)
θ = θ (t)
ϕ = ϕ (t)
9
刚体空间运动
§14-3 欧拉定理
一、欧拉定理 作定点转动的刚体，从某一位置到另一位置的任
何位移，可以由绕过定点的某一轴的一次转动来实现。 ⎯⎯ 达朗贝尔-欧拉位移定理
刚体空间运动
专题部分
第 14 章 刚体空间运动
2015年11月21日
1
刚体空间运动
第14章 刚体定点转动与刚体一般运动
§14-1 刚体定点转动力学模型的再简化 §14-2 用欧拉角描述刚体定点转动 §14-3 欧拉定理 §14-4 刚体绕相交轴转动的角速度合成定理 §14-5 刚体定点转动时各点的速度与加速度分析 §14-6 刚体一般运动 §14-7 讨论与小结
讨论： 求角速度时可否用
? ω = vC r
α
ω
29
刚体空间运动
§14-5 刚体定点转动时各点的速度与加速度分析
一、速度
已知：刚体绕定点O 转动，
瞬时轴OC*，ω ， rP
C* h
vP
v P = ω × rP vP = ω ⋅ rP sin (ω , rP )
=ωh
P