第十章 刚体的一般运动

第10章刚体定点运动、刚体一般运动刚体运动的合成

❒刚体定点运动的工程实例与基本概念

❒刚体绕定点运动

❒自由刚体运动

❒刚体绕相交轴转动的合成

❒结论与讨论

ON －节线：O νγ坐标面与

Oxy 坐标面的交线；

ψ、θ、ϕ－三者相互独立。

ψ－进动角：ON 与O ν轴的

夹角;

θ－章动角：O φ与Oz 轴的

夹角;

ϕ－自转角：ON 与Ox 轴的

夹角;

§10-1刚体绕定点运动

1 运动方程

刚体作定点运动时，

三个欧拉角一般都随着

时间的变化而变化：

ψ= ψ(t),

θ= θ(t),

ϕ= ϕ(t).

运动方程

ψ(t)，θ(t)，ϕ(t)确定了瞬时t 定点运动刚体在空间的位置。

γ

φ

O

ν

γφ

O

ψ

ψ

ν

νγφO νγ

φO ψψψψθ

θ

ν

γ

φ

O

ψ

ψ

θθ

ν

γ

φ

O

ψ

θθ

ψ

x

ϕ

ϕ

欧拉角及其在刚体定点运动分析中的应用

刚体定点运动的任何有限位移，都可以由绕通过定点的某一轴的一次转动实现。

2. 欧拉定理

有限转动轴位置和有限转动角

设刚体在转动前的连体坐标系（Oxyz）与定参考系

（Ox

y0z0）重合，刚体作有限转动后，随刚体到达的新位置

为（Ox

1

y1z1）。将（Oxyz）各坐标轴的基矢量i，j，k排成的矢量列阵记作e，称为刚体的连体基。连体基的转动前位置，

即定坐标系（Ox

y0z0）各坐标轴的基矢量i0，j0，k0排成的列

阵为e

0。转动后的连体基，即（Ox

1

y1z1）的基矢量i1，j1，k1

排成的列阵为e

1

。

)

1(1

)

0(0

p

e p e p T T ==转动轴矢量p 可用不同的连体基e 0 和e 1 表示为

)

1()

0(p

p

A =⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=10101

0101010101010k k j k i k k j j j i j k i j i i i e e A T

10由于e 1 是e 0 绕一次转动轴作定轴转动后到达的位置，则一次转

动轴基矢量p 相对e 1 和e 0 必有相同的坐标p 1，p 2，p 3 ，即

)()

1()

1()

0()

1(=-==p

E A Ap

p

p

或写作

1

)(23

22

21

)

1(=++=-p p p p

E A ⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡-=)1tr (21arccos A γ转动轴的位置由下列方程解得

转动角有以下计算公式

有限转动次序的一可交换性z

x

y

x z

y

x

z

y

绕z轴转900

x

z

y

绕x轴转900

x

z

y

绕x轴转900

z

x

y

绕z轴转900

x

y

z

O

k

j

i

j 0

i 0

k 0

矩形板由铅垂位置转到水平位置，如图所示。

求：（1）连体在转动前后位置间的

方向余弦矩阵；

（2）有限转动轴的位置及转过的角度。例题1

解：由图示转动关系有

⎪

⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣

⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧k j i k j i 0011000100001

0e A e ⋅=

x

y

z

O

k

j

i

j 0

i 0

k 0

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001100010A 1

0)(23

22

2

1

=++=-p p p p E A 由

解得33

321=

==p p p ⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡-=)1tr (21arccos A γ由

解得

120

±=γ

120

),(3

3-=++=γk j i n

O

C

C*ω

ω´

3. 瞬时转动轴、角速度、角加速度

假设从t 到t +∆t 的∆t 时间间隔内定点运动刚体绕通过定点O 的OC 轴转过∆β，这时转动角速度为ω´；当∆t →0时，转动轴则由OC 轴→OC* 轴。OC* 轴称为t 瞬时的瞬时转轴或瞬轴。这时的角速度ω就是定点运动刚体在t 瞬时的角速度。

瞬时转轴通过定点，但在不同的瞬时，瞬时转轴在空间的方位以及刚体上的位置各不相同。

定点运动刚体在每一瞬时的真实运动，就是绕每一瞬时的瞬轴转动；定点运动刚体的运动过程，就是刚体绕一系列瞬轴的转动过程。