第十章__刚体的一般运动分解
第十章：刚体动力学 (4)
所以，滚动摩擦干什么去了？虽然它没有真正的作 负功，但是他把平动动能偷走了，转化成了转动动 能。所以，当然也可以用能量来做这道题，能量守 恒方程后再两边求导。过程如下：
所以，f没有做功，只是调配了平动和转动动能的 分配。
小结：就是转动惯量越大，需要更多的μ，因为μ 的本质就是分配，如果μ =0，那就百分之百分配给 平动动能，如果μ = tanθ,那就百分之百分配给转动 动能。
第十：刚体动力学（4）
分析:
（1）纯滚动，可以把摩擦力画出来，用力矩产生 角加速度，力产生加速度，再利用角加速度和加速 度之间关联，用三个方程就够了，但是不能用到 f=μN.因为它们不相等，没有这个关系，而是要先 求出f和N的大小，反过来确定μ 的取值范围。这个 时候就需要滚动摩擦了，因为光滑的话做不到纯滚 动，会直接滑下来，而且纯滚动对摩擦力有一定要 求，所以摩擦系数要足够大才能满足。选择质心轴， 因为要考虑惯性力，但是以质心为轴，惯性力的力 矩不需要考虑。
分析：质心速度和转动角速度都在摩擦力的作用下 开始减，然后看谁先减到零，然后反向加速去与对 方匹配。如果两个同时减到零，那就停下来了。注 意自己规定的正方向。
分析：第（1）是个大前提，才会有第（2）问的分 为四种情况。如果最终往前纯滚，那一定能撞上， 如果最终往后滚，那就要求向前的最远距离是恰好 撞上。
分析：地面摩擦力会使得v0产生均匀的减小，同时 会使得ω产生均匀的增加，当满足ωR=v0时候就是 纯滚动了，所以它有个互相速度趋于一致的过程，
像这道题是v0减小，而ωR在逐渐增大。达到纯滚之 后摩擦力就消失了。
分析：其实跟上一题类似，现在是角速度开始减小， 质心速度均匀增大，最终两者趋于一致。
其实这个滚动过程是没有机械能损失的，就是重力
大学_理论力学第2版(唐国兴王永廉主编)课后答案_1
理论力学第2版(唐国兴王永廉主编)课后答案理论力学第2版内容简介第2版前言第1版前言第一章静力学基础知识要点解题方法难题解析习题解答第二章平面汇交力系知识要点解题方法难题解析习题解答第三章力矩、力偶与平面力偶系知识要点解题方法习题解答第四章平面任意力系知识要点解题方法难题解析习题解答第五章空间力系知识要点解题方法习题解答第六章静力学专题知识要点解题方法习题解答第七章点的运动学知识要点解题方法难题解析习题解答第八章刚体的基本运动知识要点解题方法习题解答第九章点的合成运动知识要点解题方法难题解析习题解答第十章刚体的平面运动知识要点解题方法难题解析习题解答第十一章质点动力学基本方程知识要点解题方法难题解析第十二章动量定理知识要点解题方法难题解析习题解答第十三章动量矩定理知识要点解题方法难题解析习题解答第十四章动能定理知识要点解题方法难题解析习题解答第十五章动静法知识要点解题方法习题解答参考文献理论力学第2版目录机械工业出版社本书是与唐国兴、王永廉主编的《理论力学》(第2版)配套的教学与学习指导书。
本书按主教材的章节顺序编写，每章分为知识要点、解题方法、难题解析与习题解答四个部分。
其中，“知识要点”部分提纲挈领地对该章的基本概念、基本理论和基本公式进行归纳总结，以方便读者复习、记忆和查询;“解题方法”部分深入细致地介绍解题思路、解题方法和解题技巧，以提高读者分析问题和解决问题的能力;“难题解析”部分精选若干在主教材的例题与习题中没有涉及的典型难题进行深入分析，以拓展读者视野，满足读者深入学习的需要;“习题解答”部分对主教材中该章的全部习题均给出求解思路和答案，但不提供详细解题过程，以期在帮助读者自主学习和练习的同时为他们留出适量的思考空间。
本书继承了主教材的风格特点，结构严谨、层次分明、语言精练、通俗易懂。
本书虽与主教材配套，但其结构体系完整，亦可单独使用。
本书可作为应用型本科院校与民办二级学院工科各专业学生的.学习和应试指导书，同样适合高职高专、自学自考和成人教育的学生使用，对考研者、教师和工程技术人员也是一本很好的参考书。
刚体力学
例、在光滑的水平桌面上有一小孔0，一细绳穿过小孔， 其一端系一小球放在桌面上，另一端用手拉绳， 开始时小球绕孔运动，速率为 v1 ，半径为 r1 ，当半径变 为 r2 时 r2 f拉 求小球的速率 v2 解：小球受力：
f拉
L2 = L1
因f 拉为有心力
r r L2 = L1
r1 mv 1 = r2 mv 2 r1 v 2 = v1 显然 v 2 v1 r2
' 2
m
.
R
m1 Mf
' T1
m2
m
如图
T2'
T2
对m2： m 2 g - T2 = m 2 a
- m1 g = m1a
' 1
T1
m1 g
T 对m： R - T R - M f = J
m2 g
1 2 ' ' a = R , J = mR , T1 = T1 , T2 = T2 2
联立求得： = a
r M
M = rF sin = Fd
o
r r
r M
r F
r F应理解为在垂直于转轴的平面内。 r o 若不在,则将 F 分解为平行 于转轴的分量和垂直于转轴 的分量.只有垂直于转轴的力 的分量才对转轴有力矩.
r 20 F 的方向与转轴平行.
r F
r r
合外力矩 M = r1 F1 sin 1 - r2 F2 sin 2 r3 F3 sin 3
r Fi = m
r dv c
dt
注意各量的 物理意义
质心运动定理说明：不管物体的质量如何分布、外力作用 在什么地方，质心的运动就象物体的全部质量都集中于此， 而且所有的外力都作用于其上的一个质点的运动一样。 （例:炮弹在飞行轨道上爆炸 ……见教材p98--例3)
4.1 刚体平面运动-运动分解
刚体的平面运动-运动分解刚体的平面运动刚体在运动过程中，其上任意一点到某一固定平面的距离保持不变。
M NS A 1A 2 A若用一与固定平面M 平行的平面N 去截割刚体得平面图形S ， 该平面图形S 始终在平面N 内运动。
垂直于图形S 的任一条直线A 1A 2作平动。
刚体的平面运动可以简化为平面图形S 在其自身平面内的运动。
研究刚体的平面运动 研究平面图形的运动12()()A A x f t y f t ==刚体平面运动方程点A 、B 是平面图形上的任意两点，AB 位置确定，平面图形的位置也唯一确定。
3()f t φ= 由刚体的平面运动方程可以看到，如果图形中的A 点固定不动，则刚体将作定轴转动；如果线段AB 的方位不变（即ϕ =常数），则刚体将作平动。
用什么方法研究刚体的平面运动？如果汽车沿直线行驶，车轮作平面运动。
建立动参考系x’o’y’,随车身一起平动。
轮相对轮心做转动刚体的平面运动分解为随平动参考系的平动（牵连运动）与绕基点的“定轴”转动（相对运动）。
SA ϕ x ' y ' O ' ϕ' 刚体的平面运动(绝对运动)随同基点的平动(牵连运动) 绕着基点的转动(相对运动) 刚体的平面运动分解与合成xy o S Aϕx ' y 'O ' 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）∆r A ≠ ∆r B ， v A ≠ v B ， a A ≠ a B—随基点的平动部分与基点的选择有关△ϕ1=△ϕ2=△ϕωA = ω B = ωαA = α B = α—绕基点的转动部分与基点的选择无关基点选择对运动分析有何影响？凡涉及到平面运动图形转动的角速度和角加速度时，不必强调基点，就是平面图形的绝对角速度和角加速度。
O ABθ ϕSA ϕ x ' y ' O ' ϕ' 刚体的平面运动(绝对运动)随同基点的平动(牵连运动) 绕着基点的转动(相对运动) 刚体的平面运动分解与合成xy o S Aϕx ' y 'O '思考题刚体的平动和定轴转动均是刚体平面运动的特例，对吗？有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）。
理论力学刚体的平面运动
车轮的平面运动
刚体的平面运动可以 分解为随基点的平动 和绕基点的转动．
随基点A的平动
绕基点A'的转动
平面图形Ｓ在ｔ时间内从位置I运动到位置II
以A为基点: 随基点A平动到A'B''后, 绕基点A'转 1角到A'B' 以B为基点: 随基点B平动到A''B'后, 绕基点B'转 2 角到A'B' 图中看出：AB A'B'' A''B' ，1 2 于是有
3
vC vB vCB
大小 ？ l l 2
方向 ?
vC vB2 vC2B 1.299 m s 方向沿BD杆向右
例3 曲柄连杆机构如图所示，OA =r, AB= 3。r 如曲柄OA以匀角速度ω转动。
求：当 60，0，90时点B的速度。
已知：OA r, AB
求：当机构在图示位置时，夹板AB的角速度。
已知：AB 600mm, OE 100mm, 10 rad s , BC GD 500mm, 求:
AB
解: 1 杆GE作平面运动,瞬心为 C1
OG 800mm 500mm sin 15 929.4mm
EC1 OC1 OE 3369mm
解： 1 AB作平面运动。
vB AB vA
vB cos 30 OA
OA
vB cos 30 0.2309 m s
已知
求
OA
vE
100mm,OA
2
rad
s
, CD
3CB, CD
刚体一般运动的描述
第４０卷第５期大 学 物 理Ｖｏｌ．４０Ｎｏ．５２０２１年５月ＣＯＬＬＥＧＥ ＰＨＹＳＩＣＳＭａｙ２０２１ 收稿日期：２０２０－０９－１１；修回日期：２０２０－１１－１８作者简介：邵瀚雍（２０００—），男，四川德阳人，北京师范大学物理学系２０１８级本科生．櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍殻殻殻殻大学生园地 刚体一般运动的描述邵瀚雍（北京师范大学物理学系，北京 １００８７５）摘要：刚体的一般运动是刚体运动学中最复杂的一类运动，其求解通常需要借助欧拉定理或沙勒定理．通过这两个定理，我们可以把刚体的一般运动分解成较简单的定轴转动和平动．本文主要应用代数理论中的正交矩阵描述刚体的运动，并用代数语言分析了定点转动的本征问题，证明了欧拉定理．随后，将刚体的定点转动进行分解，并给出了物理图像和推导结论，完成了对刚体复杂的一般运动的简单描述． 关键词：刚体一般运动；正交矩阵；沙勒定理；欧拉角中图分类号：Ｏ３１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００ ０７１２（２０２１）０５ ００６２ ０５【ＤＯＩ】１０．１６８５４／ｊ．ｃｎｋｉ．１０００ ０７１２．２００４０５一般运动是刚体运动学中最复杂的问题，因此国内的理论力学教材大多对此介绍较少．且由于刚体运动学教学难度大，课时少，故多数同学跳过了刚体一般运动的内容，但这恰是将刚体运动转化成代数知识的极佳机会，不得不说是一种遗憾．事实上，刚体的一般运动总能分解成基点的运动和绕过该点某轴线的定轴转动，国外教材对此用代数语言给出了证明，但也没有就代数理论和刚体运动的关联进行深入的探讨．本文从正交矩阵讲起，力图用清晰简明的语言，论证使用矩阵描述刚体运动的合理性和优越性，并借用代数思想，将刚体运动和线性代数的知识联系起来，希望能对理论力学的相关教学和学生的学习起到一定的补充和帮助作用．１ 参考系实验室参考系，即观者所在的惯性参考系；本体参考系，即固连在刚体上，并与之共同运动的参考系，一般是非惯性系．固连在两种参考系上的坐标系各有利弊．在实验室坐标系中，基矢对时间的微商为零，便于建立动力学方程，但许多力学量在该系中较复杂并不断变动；在本体坐标系中，这些力学量虽然直观简单，恒定不变，但其坐标轴的基矢处在变动之中．在研究刚体定点转动的问题时，我们需要寻找这两种系之间的关联，恰当使用它们描述刚体的运动［１］．２ 刚体的一般运动刚体在空间不受约束自由运动时，其自由度ｓ＝６．一般选定广义坐标（ｘｃ，ｙｃ，ｚｃ，φ，θ，ψ）描述刚体的状态，其中ｘｃ、ｙｃ、ｚｃ为刚体质心在实验室系中的笛卡尔坐标，φ、θ、ψ为刚体的本体系和实验室系坐标变换对应的欧拉角．刚体一般运动有４类特殊情况：平动、定轴转动、平面平行运动、定点转动．虽然它们形式各异，但可以证明如下两点［２］：１）定点转动总可以等效于绕过该定点某一轴线的定轴转动．２）刚体一般运动总可以分解为某点的运动和绕过该点某轴线的旋转．换言之，总可以将复杂的一般运动，分解成过一点的定轴转动（或由多个定轴转动合成）与该点的运动．第１点所谈到的内容，正是刚体运动欧拉定理．该定理指出，对于基点固定的刚体，其运动可以分解为绕某个或多个转轴的转动．根据欧拉运动定理，我们可以将之推广，即第２点，沙勒定理．该定理指出，刚体的最广义位移等价于一个平移和一次旋转．它们是本文的重点，在证明前，需要先通过代数的语言，合理描述刚体的运动，以便于后续的证明．第５期邵瀚雍：刚体一般运动的描述６３ ３ 正交矩阵在线性代数理论中，正交矩阵Ａ被定义为行向量、列向量皆正交且值为１的方阵［３］，即满足如下的性质（Ｅ为单位阵）：ＡＴＡ＝ＡＡＴ＝Ｅ（１）矩阵乘法等价于一次线性变换，换句话说，在数学里这种特殊的变换（正交变换）可以保持空间中任意两点的欧式距离不变．这意味着若将某向量ｖ乘上正交矩阵Ａ，得到的新向量长度不变，且空间的原点不变．我们通常将这种变换称为欧拉变换［４］．此外，由于正交矩阵满足：ＡＴＡ＝Ａ－１Ａ＝Ｅ（２）正交变换一定存在逆变换，而且该逆变换很容易写出：Ａ－１＝ＡＴ．正交矩阵的这些特殊性质在描述刚体运动时展现出极大的优越性，因此，我们常用它描述刚体运动．４ 刚体运动的代数表达［２］从物理上讲，根据沙勒定理，刚体的运动可以分为两种：定点转动和点的运动．也就是第２节中提到的６个广义坐标．而上一节中提到的正交变换———欧氏距离不变的线性变换，恰好可以准确反映刚体的定点转动．换言之，刚体的定点旋转过程可以由一次欧拉变换来描述．容易得知，这种变换对应的正交矩阵Ｒ应是一个含时矩阵，即Ｒ（ｔ）．仅仅描述旋转过程是不够的，还需要描述点的运动．易知，描述该运动只需在旋转后添上一个简单的平移矢量ｐ即可．从数学上讲，刚体的运动，可以反过来看作是坐标轴的运动．因此，假设两组正交基分别为［ｅ１，ｅ２，ｅ３］和［ｅ′１，ｅ′２，ｅ′３］．在这两组基下，某向量ｖ在这两组基下的值分别为［ａ１，ａ２，ａ３］Ｔ和［ａ′１，ａ′２，ａ′３］Ｔ．因此有｜ｖ｜＝［ｅ１ ｅ２ ｅ３］ａ１ａ２ａ３＝［ｅ′１ ｅ′２ ｅ′３］ａ′１ａ′２ａ′３（３）于是，得到ａ１ａ２ａ３＝ｅＴ１ｅ′１ ｅＴ１ｅ′２ ｅＴ１ｅ′３ｅＴ２ｅ′１ ｅＴ２ｅ′２ ｅＴ２ｅ′３ｅＴ３ｅ′１ ｅＴ３ｅ′２ ｅＴ３ｅ′３ａ′１ａ′２ａ′３（４）已知ａ＝［ａ１，ａ２，ａ３］Ｔ，ａ′＝［ａ′１，ａ′２，ａ′３］Ｔ且定义如下：ｅＴ１ｅ′１ ｅＴ１ｅ′２ ｅＴ１ｅ′３ｅＴ２ｅ′１ ｅＴ２ｅ′２ ｅＴ２ｅ′３ｅＴ３ｅ′１ ｅＴ３ｅ′２ ｅＴ３ｅ′３Ｒ（５）则可以将上式写为ａ＝Ｒａ′（６）称Ｒ是旋转矩阵．可以看到，Ｒ矩阵是由两个标准正交基相乘而来，在线性代数中可以很容易证明，这样得到的矩阵Ｒ是正交矩阵，或者反过来说，任何正交矩阵都可以拆分为两个标准正交基的矩阵乘积．因此，旋转矩阵Ｒ恰好是正交矩阵，而正交矩阵对应的变换也恰好是两组基之间的旋转变换，也就是实验室系和本体系的欧拉变换；并且，任意实正交矩阵都能看作为一个旋转矩阵．值得一提的是，旋转矩阵的集合称之为特殊正交群：ＳＯ（ｎ）＝｛Ｒ∈瓗ｎ×ｎ｜ＲＲＴ＝Ｅ，ｄｅｔＲ＝１｝这个正交群可以描述ｎ维空间的旋转变换，在此只考虑ｎ＝３的情况．再考虑定点的运动，可以将刚体的运动在数学上表示为ａ′＝ＲＴａ＋ｐ（７）数学的正交矩阵（变换），对应着欧式空间中距离不变的线性变换，而物理的旋转矩阵（旋转），对应着刚体运动时的任意两点保持相对距离不变的属性．这样，在本节和上一节中已经论证了刚体运动的代数表达，这种代数的表达方式是相当合适且严谨的．５ 旋转变换的本征问题刚体的定点转动定理指出，对于基点固定的刚体，其一般运动都可以分解为绕某个或多个轴的转动．根据定理，假设转轴对应的空间列向量为ｐ，由于转轴并不会因为刚体转动而发生任何变化（刚体本身就在绕轴转动），因此，当发生旋转变换时，ｐ应当保持不变．这对应着数学中的不变子空间理论．请看定理［４］：设φ是线性空间Ｖ上的线性映射（变换），而总能找到Ｖ的子空间Ｕ，使得φ（Ｕ） Ｕ即子空间Ｕ的任意元素ｐ在线性映射φ的像Ｉｍφ中依然是ｐ本身，称Ｕ为φ的不变子空间．易得，φ总有两种特殊的不变子空间Ｕ，分别是零子空间和６４ 大 学 物 理 第４０卷全空间Ｖ，并称之为平凡子空间．可以发现，在三维旋转映射Ｒ下，有一个我们最关注的非平凡不变子空间，这个子空间恰好就是转轴所处直线对应的子空间．上述内容也可以在拓扑理论中理解成映射的不动点原理（Ｂｒｏｕｗｅｒ’ｓＦｉｘｅｄ－ｐｏｉｎｔＴｈｅｏｒｅｍ）．从物理上讲，这是一类本征值问题．即在旋转后向量ｐ不发生改变，也就是Ｒｐ＝１ｐ．这与数学物理方法和量子力学中的本征问题有着异曲同工之妙．将线性算符Ｌ＾作用于某函数ψ，若有［５］Ｌ＾ψ＝λψ（８）则称函数ψ为线性算符Ｌ＾的本征函数，λ为算符Ｌ＾的本征值．例如，定态薛定谔方程Ｈ＾ψ＝Ｅψ．因此，由Ｒｐ＝１ｐ，得知ｐ为旋转变换φ的本征函数，λ为变换φ的本征值，这恰好就是线性代数中熟知的矩阵特征值问题：Ａｐ＝λｐ（９）所以若要证明欧拉定理，可以将定理的证明等价于证明旋转矩阵Ｒ的特征值组中必然有一特征值λ１＝１．本征值与本征函数对刻画线性系统的普遍性质和演化规律有着重要意义．它是所有线性体系中最根本的特点．如果能得到线性体系对应的本征值与本征函数，就可以通过线性组合的方法描述或解释这一体系更为普遍的规律．６ 欧拉运动定理的证明和推论欧拉运动定理的论证过程在Ｈ．Ｇｏｌｄｓｔｅｉｎ所著的ＣｌａｓｓｉｃａｌＭｅｃｈａｎｉｃｓ［６］和ＢｅａｔｔｙＭ．Ｆ．所著的Ｐｒｉｎ ｃｉｐｌｅｓｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＭｅｃｈａｎｉｃｓ：Ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ中都有着详细的描述．两本书巧妙利用矩阵和线性代数理论证明了欧拉定理，而我们的证明过程也借鉴了其中的思想．设旋转矩阵为Ｒ，欧拉定理中所描述的轴线为ｐ，则有：Ｒｐ＝ｐ．根据上一节中内容，若需要证明旋转过程中存在始终不变的轴线ｐ，则等价于证明矩阵Ｒ具有特征值λ１＝＋１．容易证明旋转矩阵Ｒ为正交矩阵，所以由ＲＴＲ＝ＲＲＴ＝Ｅ，可得：（Ｒ－Ｅ）ＲＴ＝Ｅ－ＲＴ（１０）｜Ｒ－Ｅ｜｜ＲＴ｜＝｜Ｅ－ＲＴ｜（１１）设旋转前后两组正交基的基点重合于刚体的定点，且初始基为标准正交基．则可以得出初始旋转矩阵为三阶单位阵Ｅ．因此，根据矩阵乘法，后续的旋转矩阵的行列式的值｜Ｒ｜和｜ＲＴ｜仍为＋１．由式（１１）可得｜Ｒ－Ｅ｜＝｜Ｅ－ＲＴ｜＝｜Ｅ－ＲＴ｜Ｔ＝｜Ｅ－Ｒ｜（１２）因此，有｜Ｒ－Ｅ｜＝｜Ｅ－Ｒ｜＝｜－１（Ｒ－Ｅ）｜（１３）而｜－１（Ｒ－Ｅ）｜＝（－１）ｎ｜Ｒ－Ｅ｜（１４）其中ｎ为矩阵维数，也是空间维数．所以得到｜Ｒ－Ｅ｜＝（－１）ｎ｜Ｒ－Ｅ｜（１５）刚体所处为三维空间，ｎ＝３，所以｜Ｒ－Ｅ｜＝－｜Ｒ－Ｅ｜＝０（１６）最终得出｜Ｒ－Ｅ｜＝０，即矩阵Ｒ至少有一个特征值λ１＝＋１，欧拉运动定理得证．需要多谈两个问题：其一［１］，如果刚体所处空间不为奇数维度，而是偶数维度，则得不到｜Ｒ－Ｅ｜＝０的结论，也就是说欧拉运动定理在二维、四维等偶数维空间失效．所以，平面内不存在欧拉定理，因为当坐标系转动时，任何位于平面内的矢量均会发生改变，唯有沿转轴方向的矢量不发生改变，但此时它与平面垂直，并不在平面内．这是一个相当有意思的推论，这意味着我们所处的三维空间并不是随便确定的．其二，是旋转矩阵Ｒ是否还存在别的特征值？答案是肯定的．利用矩阵的久期方程：｜Ｒ－λＥ｜＝０（１７）可以发现，这是一个关于λ的三次方程．高斯的代数基本定理指出，该一元三次方程在复数域C 中必然存在三个根．在文献［７］中，我们可以根据矩阵的迹ｔｒ（Ｒ）求得另外两个特征值分别为λ２，３＝ｅ±ｉΩ（１８）也就是说，旋转矩阵的另外两个复特征值的辐角，恰好为欧拉定理中绕固定轴线ｐ的旋转角Ω．这里给出两个特殊情况：１）λ１，２，３＝＋１：此时Ω＝０，意味着刚体保持了初始时刻的状态，为平凡解．２）λ１＝＋１；λ２，３＝－１：此时Ω＝π，意味着刚体绕轴转过了１８０°，刚体任意两点之间的矢量ｐ′都做了关于ｐ的空间坐标反演操作．而沙勒定理是欧拉定理的一个直接推论．该定理的证明如下．刚体的一般运动可以分解为刚体中某一点的运第５期 邵瀚雍：刚体一般运动的描述６５ 动并叠加上刚体对该点的定点运动．而根据欧拉运动定理，后一运动可以认为是绕过该点的某一轴线的转动．因此，刚体的一般运动可以分解为某点的运动和绕过该点某轴线的旋转．沙勒定理得证．至此，我们完成了刚体一般运动中沙勒定理的证明，论证了刚体的任意运动都可以分解为某点运动和定轴转动．矩阵语言虽然简练，但不能直观反映物理实质．这里需要寻找一种物理的描述办法刻画刚体的运动，这就是所谓的欧拉角，也是前面所述的３个广义坐标φ、θ、ψ．７ 欧拉角在天体和力学领域里，为了完备、清晰地刻画刚体运动，分别用了章动角θ、进动角φ和自转角ψ来描述．这些称呼来自陀螺的定点运动，如图１所示．图１ 陀螺定点运动示意图为了便于描述欧拉角的具体意义，可将刚体的定点转动通过坐标轴的旋转，依次分成３个步骤，如图２—图４，这里在每个步骤后面都写上了对应的旋转矩阵Ｒ．每一次的旋转并不是任意的，它们都可以在图１的陀螺运动中找到对应，转动顺序是进动、章动、自转，如下所示．１）绕Ｏｚ０轴进动φ：图２（ａ）→（ｂ）图２ 进动示意图从Ｏｘ０ｙ０ｚ０到Ｏｘ′ｙ′ｚ′的旋转矩阵为Ｒφ＝ｃｏｓφ－ｓｉｎφ０ｓｉｎφｃｏｓφ０００１（１９）２）绕Ｏｘ′轴（节线ＯＮ）章动θ：图３（ａ）→（ｂ）图３ 章动示意图从Ｏｘ′ｙ′ｚ′到Ｏｘ″ｙ″ｚ″的旋转矩阵为Ｒθ＝１０００ｃｏｓθ－ｓｉｎθ０ｓｉｎθｃｏｓθ（２０）３）绕Ｏｚ″轴自转ψ：图４（ａ）→（ｂ）图４ 自动示意图从Ｏｘ″ｙ″ｚ″到Ｏｘｙｚ的旋转矩阵为Ｒψ＝ｃｏｓψ－ｓｉｎψ０ｓｉｎψｃｏｓψ０００１（２１）经过上面的三次旋转变换，可以得到描述刚体的任意旋转的总变换矩阵：Ｒ ＝ＲψＲθＲφ（２２）由前面的结论可知，所有的变换矩阵都是正交矩阵，均由变换前后的两组基底相乘而来（此处为一组基的转置和另一组基之间的矩阵乘法）．在前文中，我们提到过刚体的定点运动可以由一个旋转矩阵Ｒ来描述，矩阵的特征值λ２，３＝ｅ±ｉΩ，其中Ω为绕该轴的转角．那么，我们现在找到了一６６ 大 学 物 理 第４０卷种物理的语言，可以将Ω对应的总角速度ω分解为刚体的章动、进动和自转．根据图２—图４中的转动过程，三个欧拉角的角速度方向分别为：φ 沿实验室系ｚ０轴，θ 沿节线ＯＮ，ψ 沿本体系ｚ轴，分解如下式：ω＝φ ｋ０＋θ ｉ′＋ψ ｋ（２３）将不同的角速度对应的基矢利用旋转矩阵得到的函数关系展开化简，可以得到如下的结论：ω在实验室系的坐标轴投影为ω０ｘ＝ψ ｓｉｎθｓｉｎφ＋θｃｏｓφω０ｙ＝ψ ｓｉｎθｃｏｓφ＋θｓｉｎφω０ｚ＝ψｃｏｓθ＋φ（２４）ω在本体系的坐标轴投影为ωｘ＝φ ｓｉｎθｓｉｎψ＋θ ｃｏｓψωｙ＝φ ｓｉｎθｃｏｓψ－θ ｓｉｎψωｚ＝ψ＋φ ｃｏｓθ（２５）这样，我们得到了刚体定点转动中绕某一轴线旋转的角速度ω的实际物理意义，即可以把这一定轴转动对应的转角Ω分解到３个有意义的欧拉角（也就是φ、θ、ψ）上去．不过，需要强调的是，在导出欧拉角的时候，所经历的三次连续旋转的转轴的选取顺序其实存在着随意性．只要每次选定的旋转轴不与上一次相同，便可以任意选取．因此，在右手系中我们有３×２×２＝１２种不同的旋转方法，这称为欧拉角的顺规．大多数的理论力学教材所采用的是ｘ顺规，即第二次旋转绕ｘ轴（前文中的节线ＯＮ），而多数的量子物理、核物理的教材所采用的是ｙ顺规，即第二次旋转绕ｙ轴．在工程中，为了弥补前两种顺规在变换前后的坐标系区分程度低的缺点，常采用第三种常见顺规：ｘｙｚ顺规［２］，这样得到的３个角就分别是飞机的偏航角（Ｙａｗ）、俯仰角（Ｐｉｔｃｈ）和滚动角（Ｒｏｌｌ）．８ 总结在本文中，我们介绍了正交矩阵在描述刚体运动的优越性，并将之应用到刚体的旋转运动中，随后利用旋转矩阵证明了刚体运动的沙勒定理，这意味着复杂的刚体一般运动可以由定轴转动和点的运动来描述．之后，我们从物理给出了刚体定点运动的图像，并用欧拉角来描述这样的运动．刚体的运动学在数学上和物理上都全部得以描述．参考文献：［１］ 秦敢，向守平．力学与理论力学（下册）［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１７：１３４ １３５．［２］ ＢｅａｔｔｙＪｒＭＦ．ＰｒｉｎｃｉｐｌｅｓｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＭｅｃｈａｎｉｃｓ：Ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ—ＴｈｅＧｅｏｍｅｔｒｙｏｆＭｏｔｉｏｎ［Ｍ］．ＳｐｒｉｎｇｅｒＳｃｉｅｎｃｅ＆ＢｕｓｉｎｅｓｓＭｅｄｉａ，２０１３．［３］ 同济大学数学系．工程数学线性代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４：１１８ １１９．［４］ 姚慕生，吴泉水，谢启鸿．高等代数学［Ｍ］．上海：复旦大学出版社，２００３：２０２．［５］ 杨福家．原子物理学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００８：１２５ １２６．［６］ ＧｏｌｄｓｔｅｉｎＨ，ＰｏｏｌｅＣ，ＳａｆｋｏＪ．ＣｌａｓｓｉｃａｌＭｅｃｈａｎｉｃｓ［Ｍ］．２００２．［７］ 毛文炜．刚体定点转动的欧拉定理［Ｊ］．大学物理，１９８８，１（４）：１５．Ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｏｆｔｈｅｒｉｇｉｄｂｏｄｉｅｓ ｇｅｎｅｒａｌｍｏｔｉｏｎＳＨＡＯＨａｎ ｙｏｎｇ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＰｈｙｓｉｃｓ，ＢｅｉｊｉｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１００８７５，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｍｏｔｉｏｎｏｆａｒｉｇｉｄｂｏｄｙｉｓｔｈｅｍｏｓｔｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄｔｙｐｅｏｆｍｏｔｉｏｎｉｎｒｉｇｉｄｂｏｄｙｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ，ａｎｄｉｔｓｓｏｌｕｔｉｏｎｕｓｕａｌｌｙｒｅｑｕｉｒｅｓｔｈｅａｉｄｏｆＥｕｌｅｒ＇ｓｔｈｅｏｒｅｍｏｒＣｈａｓｌｅｓ ｔｈｅｏｒｅｍ．Ｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｓｅｔｗｏｔｈｅｏｒｅｍｓ，ｗｅｃａｎｄｅｃｏｍｐｏｓｅｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｍｏｔｉｏｎｏｆａｒｉｇｉｄｂｏｄｙｉｎｔｏｓｉｍｐｌｅｒｆｉｘｅｄ－ａｘｉｓｒｏｔａｔｉｏｎａｎｄｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｍａｉｎｌｙｕｓｅｓｔｈｅｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｍａｔｒｉｘｉｎｔｈｅａｌｇｅｂｒａｔｈｅｏｒｙｔｏｄｅｓｃｒｉｂｅｔｈｅｍｏｔｉｏｎｏｆａｒｉｇｉｄｂｏｄｙ，ａｎｄａｎａｌｙｚｅｓｔｈｅｅｉｇｅｎｐｒｏｂ ｌｅｍｓｏｆｆｉｘｅｄ－ｐｏｉｎｔｒｏｔａｔｉｏｎ，ａｎｄｐｒｏｖｅｓＥｕｌｅｒ ｓｔｈｅｏｒｅｍ．Ｔｈｅｎｉｔｄｅｃｏｍｐｏｓｅｓｔｈｅｆｉｘｅｄ－ｐｏｉｎｔｒｏｔａｔｉｏｎｏｆａｒｉｇｉｄｂｏｄｙ．Ｐｈｙｓｉｃａｌｉｍａｇｅｓａｎｄｄｅｒｉｖａｔｉｏｎｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓａｒｅｇｉｖｅｎ，ａｎｄａｓｉｍｐｌｅｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｏｆｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｇｅｎｅｒａｌｍｏｔｉｏｎｏｆｒｉｇｉｄｂｏｄｉｅｓｉｓｃｏｍｐｌｅｔｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｒｉｇｉｄｂｏｄｉｅｓｇｅｎｅｒａｌｍｏｔｉｏｎ；ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｍａｔｒｉｘ；Ｃｈａｓｌｅｓ ｔｈｅｏｒｅｍ；ＥｕｌｅｒＡｎｇｌｅｓ。
刚体的一般运动的运动学和与动力学动力学
加速度
刚体在一段时间内速度的 变化率，表示刚体速度变 化的快慢。
刚体的平动
平动
刚体在运动过程中，其上任意两 点都沿着同一直线作等距离的移 动。
平动特点
刚体上各点的速度和加速度都相 等，与参考系的选择无关。
刚体的转动
转动
刚体绕某一定点做圆周运动。
转动特点
刚体上各点的速度和加速度大小相等，方向不同。
阻尼振动
阻尼振动是指由于阻力作用而使振动系统受到损 耗的振动。
受迫振动
受迫振动是指在外力作用下产生的振动。
刚体的稳定性和平衡性
静态平衡
刚体在静止状态下，如果受到微小扰 动后能恢复到原来的平衡位置，则称 该平衡为静态平衡。
动态平衡
刚体在运动状态下，如果受到微小扰 动后能保持原来的运动状态不变，则 称该平衡为动态平衡。
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刚体的平衡
总结词
刚体的平衡是指刚体在运动或静止时，其上各点的加速度均为零的状态。
详细描述
刚体的平衡可以通过力的合成和分解来分析。当刚体处于平衡状态时，其上各点的加速度均为零，即合外力为零。 根据力的平移定理，可以将力的作用点平移至刚体的质心，从而将刚体平衡问题转化为质点平衡问题。同时，根 据力矩平衡条件，可以得出刚体平衡的条件为合外力矩为零。
力矩和角速度
总结词
力矩是力和力臂的乘积，它描述了力对刚体转动的效应；角速度是描述刚体转动快慢的 物理量。
详细描述
力矩是力和力臂的乘积，其方向垂直于力和力臂所在的平面。力矩可以改变刚体的转动 状态，包括转动方向和角速度大小。角速度是描述刚体绕固定点转动的快慢的物理量， 其方向与转动方向相同。公式表示为M=FL，其中M表示力矩，F表示力，L表示力臂。
刚体平面运动分解为平动和转动
对于平面图形 S 对静坐标系Oxy 做平面运动的一般情况，可在平面
图形上任选一点 A，并以 A点为原点作坐标系 Axy 。平面图形 S 运动时，坐标系随之运动，并保持其原点与 S 上的 A 点重合，并且
坐标轴 Ax ，Ay 的方位不变。为明确起见，令 Ax 和 Ay 轴始终分别
与Ox 和 Oy 轴平行，如图7-6所示。因此，Axy 是一平动坐标系，A
点称为基点。这样，平面图形 S 的运动就可以分解成为：
（1）跟随平动坐标系的平动，简称为随基 点的平动； （2）相对平动坐标系绕基点的转动，简称 为绕基点的转动。
图7-6
在平面图形上选 A点为基点，线段 AC 的转角为A ，如取另一 点 B 为基点，线段 BC的转角B ，如图7-7所示。这两个转角只
理论力学
刚体平面运动分解为平动和转动
从平面运动方程式（7-1）可看出，平面图形 S 的运动有两种特殊情况：
（1）若 常数，即平面图形在运动过程中，线段 B 的方位保持 不变。显然，这是平面图形在平面内做运动，平面图形上任一点的 运动与 A 点的运动相同，而 A 点的运动由运动方程式（7-1a）和式 （7-1b）二式给出。 （2）若 xA 和 yA同为常数，说明 A 点不动，平面图形将绕过 A 点且 垂直于平面图形的固定轴转动，其转动规律由运动方程式（7-1c） 给出。
选 B点为基点，则 AB 先随 B 点平动到 A2B1 ，再绕 B1 点转动 到 A1B1 ，转角为1 ，显然有 A1B2 ∥ A2B1 ，从而 1 ，并且
转向相同。
图7-8
平面图形分解的平动部分与基点选择有关，转动部分 与基点选择无关。
理论力学
在一般情况下，刚体的平面运动可以看成是平动和转动这两种 刚体的基本运动合成的结果。也就是说，平面运动可分解成平 动和转动。例如，轮子在地面上滚动，如图7-5所示，轮子从位 置Ⅰ 到位置Ⅱ 的平面运动可以看成是：① 轮子随轮心 O平动到 假想的中间位置Ⅰ；② 再由该中间位置绕 O轴转动到位置Ⅱ 。 当然轮子的平面运动并不是先平动而后转动，它的运动是一个 连续过程，应当看成为同时进行着平动和转动。
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z
k0
( A E) p 0
2 2 p12 p2 p3 1
i0
j0
解得 由
3 p1 p2 p3 3 1 arccos ( trA 1) 2
O
i k
y
x
j
解得
120
3 n (i j k ), 120 3
3. 瞬时转动轴、角速度、角加速度
刚体定点运动的工程实例与基本概念
§10-1 刚体绕定点运动
1 运动方程
ON－节线：O坐标面与 Oxy坐标面的交线；
－进动角： ON与O轴的
夹角;
－章动角： O与Oz轴的
夹角;
－自转角： ON与Ox轴的
夹角;
、 、 －三者相互独立。
刚体作定点运动时， 三个欧拉角一般都随着 时间的变化而变化：
解：由图示转动关系有
i0
j0
e0 A e1
i0 0 1 0 i j0 0 0 1 j k 1 0 0 k 0
O
i k
y
x
j
0 1 0 A 0 0 1 1 0 0
由于e1 是e0 绕一次转动轴作定轴转动后到达的位置，则一次转 动轴基矢量 p 相对e1 和 e0 必有相同的坐标p1 ， p2， p3 ，即
p
(1)
p
( 0)
Ap
(1)
或写作 ( A E ) p
(1)
0
转动轴的位置由下列方程解得
( A E) p
2 1 2 2
(1)
0
2 3
p p p 1
规则进动
＝ e＋ r＝ ＋
对于规则进动， 相对于动系为常矢量，
~ dω dω α ωe ω dt dt
dr v dt
v v
dω α dt
v v r r
O r
ห้องสมุดไป่ตู้
O
定点运动刚体在不同瞬时的角速度矢量形成轨迹，不 同瞬时角加速度矢量沿着这一轨迹的切线方向。
例 题 2
高度为h、底半径为r的 圆锥体，以顶点O为定点 在水平面上作纯滚动。若 已知锥底圆心C处的vC为 常数。 求：圆锥体的角速度和角 加速度. 解：圆锥体绕定点O作定点运动。 定系Oηξζ 动系O x y z 绝对运动－定点运动 牵连运动－ O x y z绕ζ轴作定轴转动： 1＝ e 相对运动－ 圆锥体绕 O z 轴作定轴转动： 2＝ r
z x
y
解：圆锥体绕定点O作 定点运动。
纯滚动 y OC*上各点速度为0
z
x
OC*为瞬轴，ξ
vC vC ＝ AC rcos
r 2 h2 vC ＝常数 rh
z
y
x
＝ e ＝ 0 ＝ r
＝ e=常数
π ＝ － 2 ＝ r =常数
角加速度
定点运动刚体角速度矢量 对时间的导数 称为定点运动刚体的角加速度。
根据变矢量的导数定义
~ dω dω α ωe ω dt dt
~ dω －相对导数， 相对于动系的变化率； dt
ωe －动系的转动角速度。
定点运动刚体角速度矢量与角加速度矢量 一般 情形下不共线。
角加速度矢量的方向
转动角有以下计算公式
1 arccos ( trA 1) 2
有限转动次序的一可交换性
z z y x z
绕 z 轴转900
y x
绕 x 轴转900
y
x
z
x
y z y z
y
x
x
绕 x 轴转900 绕 z 轴转900
例 题 1
矩形板由铅垂位置转到水平位置，如图所示。
z
k0
求：（1）连体在转动前后位置间的 方向余弦矩阵； （2）有限转动轴的位置及转过的角度。
第10章 刚体定点运动、刚体一般运动 刚体运动的合成
刚体定点运动的工程实例与基本概念
刚体绕定点运动
自由刚体运动 刚体绕相交轴转动的合成
结论与讨论
刚体定点运动的工程实例与基本概念
刚体定点运动的工程实例与基本概念
刚体定点运动的工程实例与基本概念
刚体定点运动的工程实例与基本概念
假设从 t 到 t+t 的 t 时间间隔内定点 运动刚体绕通过定点O的OC轴转过， 这时转动角速度为 ´；当t →0时，转 动轴则由 OC 轴→ OC* 轴。 OC* 轴称为 t 瞬时的瞬时转轴或瞬轴。这时的角速度 就是定点运动刚体在 t 瞬时的角速度。
C* C
O
´
瞬时转轴通过定点，但在不同的瞬时，瞬时转轴在 空间的方位以及刚体上的位置各不相同。 定点运动刚体在每一瞬时的真实运动，就是绕每一 瞬时的瞬轴转动；定点运动刚体的运动过程，就是刚 体绕一系列瞬轴的转动过程。
转动轴矢量 p 可用不同的连体基 e0 和 e1 表示为
pe p
T 0
(0)
e p
T 1
(1)
p
( 0)
Ap
(1)
i0 i1 i0 j1 i0 k1 T A e0 e1 j0 i1 j0 j1 j0 k1 k0 i1 k0 j1 k0 k1
O
x
O
2. 欧拉定理 刚体定点运动的任何有限位移，都可以由绕通过定 点的某一轴的一次转动实现。 有限转动轴位置和有限转动角
设刚体在转动前的连体坐标系（Oxyz）与定参考系 （ Ox0y0z0 ）重合，刚体作有限转动后，随刚体到达的新位置 为（ Ox1y1z1 ）。将（ Oxyz ）各坐标轴的基矢量i，j，k排成的 矢量列阵记作e，称为刚体的连体基。连体基的转动前位置， 即定坐标系（ Ox0y0z0 ）各坐标轴的基矢量i0，j0，k0排成的列 阵为e0 。转动后的连体基，即（ Ox1y1z1 ）的基矢量i1，j1，k1 排成的列阵为e1 。
= (t), = (t), = (t).
运动方程
(t)， (t)， (t)确定了瞬时 t 定点运动刚体
在空间的位置。
欧拉角及其在刚体定点运动分析中的应用
O
O
欧拉角及其在刚体定点运动分析中的应用
O
O
欧拉角及其在刚体定点运动分析中的应用