第十章__刚体的一般运动分解
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第10章 刚体定点运动、刚体一般运动 刚体运动的合成
刚体定点运动的工程实例与基本概念
刚体绕定点运动
自由刚体运动 刚体绕相交轴转动的合成
结论与讨论
刚体定点运动的工程实例与基本概念
刚体定点运动的工程实例与基本概念
刚体定点运动的工程实例与基本概念
刚体定点运动的工程实例与基本概念
规则进动
＝ e＋ r＝ ＋
对于规则进动， 相对于动系为常矢量，
~ dω dω α ωe ω dt dt
由于e1 是e0 绕一次转动轴作定轴转动后到达的位置，则一次转 动轴基矢量 p 相对e1 和 e0 必有相同的坐标p1 ， p2， p3 ，即
p
(1)
p
( 0)
Ap
(1)
或写作 ( A E ) p
(1)
0
转动轴的位置由下列方程解得
( A E) p
2 1 2 2
(1)
0
2 3
p p p 1
转动轴矢量 p 可用不同的连体基 e0 和 e1 表示为
pe p
T 0
(0)
e p
T 1
(1)
p
( 0)
Ap
(1)
i0 i1 i0 j1 i0 k1 T A e0 e1 j0 i1 j0 j1 j0 k1 k0 i1 k0 j1 k0 k1
假设从 t 到 t+t 的 t 时间间隔内定点 运动刚体绕通过定点O的OC轴转过， 这时转动角速度为 ´；当t →0时，转 动轴则由 OC 轴→ OC* 轴。 OC* 轴称为 t 瞬时的瞬时转轴或瞬轴。这时的角速度 就是定点运动刚体在 t 瞬时的角速度。
C* C
O
来自百度文库´
瞬时转轴通过定点，但在不同的瞬时，瞬时转轴在 空间的方位以及刚体上的位置各不相同。 定点运动刚体在每一瞬时的真实运动，就是绕每一 瞬时的瞬轴转动；定点运动刚体的运动过程，就是刚 体绕一系列瞬轴的转动过程。
= (t), = (t), = (t).
运动方程
(t)， (t)， (t)确定了瞬时 t 定点运动刚体
在空间的位置。
欧拉角及其在刚体定点运动分析中的应用
O
O
欧拉角及其在刚体定点运动分析中的应用
O
O
欧拉角及其在刚体定点运动分析中的应用
转动角有以下计算公式
1 arccos ( trA 1) 2
有限转动次序的一可交换性
z z y x z
绕 z 轴转900
y x
绕 x 轴转900
y
x
z
x
y z y z
y
x
x
绕 x 轴转900 绕 z 轴转900
例 题 1
矩形板由铅垂位置转到水平位置，如图所示。
z
k0
求：（1）连体在转动前后位置间的 方向余弦矩阵； （2）有限转动轴的位置及转过的角度。
由
z
k0
( A E) p 0
2 2 p12 p2 p3 1
i0
j0
解得 由
3 p1 p2 p3 3 1 arccos ( trA 1) 2
O
i k
y
x
j
解得
120
3 n (i j k ), 120 3
3. 瞬时转动轴、角速度、角加速度
O
x
O
2. 欧拉定理 刚体定点运动的任何有限位移，都可以由绕通过定 点的某一轴的一次转动实现。 有限转动轴位置和有限转动角
设刚体在转动前的连体坐标系（Oxyz）与定参考系 （ Ox0y0z0 ）重合，刚体作有限转动后，随刚体到达的新位置 为（ Ox1y1z1 ）。将（ Oxyz ）各坐标轴的基矢量i，j，k排成的 矢量列阵记作e，称为刚体的连体基。连体基的转动前位置， 即定坐标系（ Ox0y0z0 ）各坐标轴的基矢量i0，j0，k0排成的列 阵为e0 。转动后的连体基，即（ Ox1y1z1 ）的基矢量i1，j1，k1 排成的列阵为e1 。
刚体定点运动的工程实例与基本概念
§10-1 刚体绕定点运动
1 运动方程
ON－节线：O坐标面与 Oxy坐标面的交线；
－进动角： ON与O轴的
夹角;
－章动角： O与Oz轴的
夹角;
－自转角： ON与Ox轴的
夹角;
、 、 －三者相互独立。
刚体作定点运动时， 三个欧拉角一般都随着 时间的变化而变化：
dr v dt
v v
dω α dt
v v r r
O r
O
定点运动刚体在不同瞬时的角速度矢量形成轨迹，不 同瞬时角加速度矢量沿着这一轨迹的切线方向。
例 题 2
高度为h、底半径为r的 圆锥体，以顶点O为定点 在水平面上作纯滚动。若 已知锥底圆心C处的vC为 常数。 求：圆锥体的角速度和角 加速度. 解：圆锥体绕定点O作定点运动。 定系Oηξζ 动系O x y z 绝对运动－定点运动 牵连运动－ O x y z绕ζ轴作定轴转动： 1＝ e 相对运动－ 圆锥体绕 O z 轴作定轴转动： 2＝ r
角加速度
定点运动刚体角速度矢量 对时间的导数 称为定点运动刚体的角加速度。
根据变矢量的导数定义
~ dω dω α ωe ω dt dt
~ dω －相对导数， 相对于动系的变化率； dt
ωe －动系的转动角速度。
定点运动刚体角速度矢量与角加速度矢量 一般 情形下不共线。
角加速度矢量的方向
解：由图示转动关系有
i0
j0
e0 A e1
i0 0 1 0 i j0 0 0 1 j k 1 0 0 k 0
O
i k
y
x
j
0 1 0 A 0 0 1 1 0 0
z x
y
解：圆锥体绕定点O作 定点运动。
纯滚动 y OC*上各点速度为0
z
x
OC*为瞬轴，ξ
vC vC ＝ AC rcos
r 2 h2 vC ＝常数 rh
z
y
x
＝ e ＝ 0 ＝ r
＝ e=常数
π ＝ － 2 ＝ r =常数
刚体定点运动的工程实例与基本概念
刚体绕定点运动
自由刚体运动 刚体绕相交轴转动的合成
结论与讨论
刚体定点运动的工程实例与基本概念
刚体定点运动的工程实例与基本概念
刚体定点运动的工程实例与基本概念
刚体定点运动的工程实例与基本概念
规则进动
＝ e＋ r＝ ＋
对于规则进动， 相对于动系为常矢量，
~ dω dω α ωe ω dt dt
由于e1 是e0 绕一次转动轴作定轴转动后到达的位置，则一次转 动轴基矢量 p 相对e1 和 e0 必有相同的坐标p1 ， p2， p3 ，即
p
(1)
p
( 0)
Ap
(1)
或写作 ( A E ) p
(1)
0
转动轴的位置由下列方程解得
( A E) p
2 1 2 2
(1)
0
2 3
p p p 1
转动轴矢量 p 可用不同的连体基 e0 和 e1 表示为
pe p
T 0
(0)
e p
T 1
(1)
p
( 0)
Ap
(1)
i0 i1 i0 j1 i0 k1 T A e0 e1 j0 i1 j0 j1 j0 k1 k0 i1 k0 j1 k0 k1
假设从 t 到 t+t 的 t 时间间隔内定点 运动刚体绕通过定点O的OC轴转过， 这时转动角速度为 ´；当t →0时，转 动轴则由 OC 轴→ OC* 轴。 OC* 轴称为 t 瞬时的瞬时转轴或瞬轴。这时的角速度 就是定点运动刚体在 t 瞬时的角速度。
C* C
O
来自百度文库´
瞬时转轴通过定点，但在不同的瞬时，瞬时转轴在 空间的方位以及刚体上的位置各不相同。 定点运动刚体在每一瞬时的真实运动，就是绕每一 瞬时的瞬轴转动；定点运动刚体的运动过程，就是刚 体绕一系列瞬轴的转动过程。
= (t), = (t), = (t).
运动方程
(t)， (t)， (t)确定了瞬时 t 定点运动刚体
在空间的位置。
欧拉角及其在刚体定点运动分析中的应用
O
O
欧拉角及其在刚体定点运动分析中的应用
O
O
欧拉角及其在刚体定点运动分析中的应用
转动角有以下计算公式
1 arccos ( trA 1) 2
有限转动次序的一可交换性
z z y x z
绕 z 轴转900
y x
绕 x 轴转900
y
x
z
x
y z y z
y
x
x
绕 x 轴转900 绕 z 轴转900
例 题 1
矩形板由铅垂位置转到水平位置，如图所示。
z
k0
求：（1）连体在转动前后位置间的 方向余弦矩阵； （2）有限转动轴的位置及转过的角度。
由
z
k0
( A E) p 0
2 2 p12 p2 p3 1
i0
j0
解得 由
3 p1 p2 p3 3 1 arccos ( trA 1) 2
O
i k
y
x
j
解得
120
3 n (i j k ), 120 3
3. 瞬时转动轴、角速度、角加速度
O
x
O
2. 欧拉定理 刚体定点运动的任何有限位移，都可以由绕通过定 点的某一轴的一次转动实现。 有限转动轴位置和有限转动角
设刚体在转动前的连体坐标系（Oxyz）与定参考系 （ Ox0y0z0 ）重合，刚体作有限转动后，随刚体到达的新位置 为（ Ox1y1z1 ）。将（ Oxyz ）各坐标轴的基矢量i，j，k排成的 矢量列阵记作e，称为刚体的连体基。连体基的转动前位置， 即定坐标系（ Ox0y0z0 ）各坐标轴的基矢量i0，j0，k0排成的列 阵为e0 。转动后的连体基，即（ Ox1y1z1 ）的基矢量i1，j1，k1 排成的列阵为e1 。
刚体定点运动的工程实例与基本概念
§10-1 刚体绕定点运动
1 运动方程
ON－节线：O坐标面与 Oxy坐标面的交线；
－进动角： ON与O轴的
夹角;
－章动角： O与Oz轴的
夹角;
－自转角： ON与Ox轴的
夹角;
、 、 －三者相互独立。
刚体作定点运动时， 三个欧拉角一般都随着 时间的变化而变化：
dr v dt
v v
dω α dt
v v r r
O r
O
定点运动刚体在不同瞬时的角速度矢量形成轨迹，不 同瞬时角加速度矢量沿着这一轨迹的切线方向。
例 题 2
高度为h、底半径为r的 圆锥体，以顶点O为定点 在水平面上作纯滚动。若 已知锥底圆心C处的vC为 常数。 求：圆锥体的角速度和角 加速度. 解：圆锥体绕定点O作定点运动。 定系Oηξζ 动系O x y z 绝对运动－定点运动 牵连运动－ O x y z绕ζ轴作定轴转动： 1＝ e 相对运动－ 圆锥体绕 O z 轴作定轴转动： 2＝ r
角加速度
定点运动刚体角速度矢量 对时间的导数 称为定点运动刚体的角加速度。
根据变矢量的导数定义
~ dω dω α ωe ω dt dt
~ dω －相对导数， 相对于动系的变化率； dt
ωe －动系的转动角速度。
定点运动刚体角速度矢量与角加速度矢量 一般 情形下不共线。
角加速度矢量的方向
解：由图示转动关系有
i0
j0
e0 A e1
i0 0 1 0 i j0 0 0 1 j k 1 0 0 k 0
O
i k
y
x
j
0 1 0 A 0 0 1 1 0 0
z x
y
解：圆锥体绕定点O作 定点运动。
纯滚动 y OC*上各点速度为0
z
x
OC*为瞬轴，ξ
vC vC ＝ AC rcos
r 2 h2 vC ＝常数 rh
z
y
x
＝ e ＝ 0 ＝ r
＝ e=常数
π ＝ － 2 ＝ r =常数