理论力学@5点的一般运动和刚体的基本运动

95第5章 点的一般运动和刚体的基本运动 5.1 主要内容5.1.1 点的运动的表示法研究如何描述一个几何点（即动点）在空间运动的规律。

物体的运动是相对于某一参照物而言，离开参照物，无法确定物体在空间的位置。

这一特点称为运动的相对性。

通常以地球为参照系。

在同一参照系上，可以建立不同的坐标系来描述物体的位置及其随时间的变化。

如本章讨论的各种坐标系。

点的运动方程描述动点在空间的几何位置随时间的变化规律。

对于不同的坐标系，将有不同的形式。

1．矢量式()t r r =其中r 是点的矢径。

此式主要用于理论推导。

2．直角坐标形式—用于轨迹未知的情形建立直角坐标系Oxyz ，动点M 的位置由其在坐标系中的x ，y ，z 坐标确定。

()()()()()()t f t z z t f t y y t f t x x 321,,======上式亦可看作点的运动轨迹的参数方程。

如果消去时间参数t ，即可得到轨迹的曲线方程，它是下列两空间柱面方程的交线。

()0,=y x ψ ()0,=z y ψ3．弧坐标形式（自然法）—用于轨迹已知的情形 在轨迹上建立弧坐标系，以s 为弧坐标。

()()t f t s s ==点的速度是个矢量，它反映点的运动的快慢和方向。

点的加速度是个矢量，它反映速度大小和方向随时间的变化率。

1．矢径法r rv a r r v =====22d d d d ,d d tt t 2．直角坐标法96 ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫======z t z v yt y v x t x v z y x d d d d d d ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=========z t z t v a y t y t v a x t x t v a z z y y x x222222d d d d d d d d d d d d ， k j i v z y x ++=，k j i a zy x ++=222z y x ++=v ，222zy x ++=a 3．弧坐标法τττv v s t s ===d d τττa ττa s tv=== d dn n a n n a v ==ρ20=b ab n τa a a a ++=22n a a +=τa切向加速度τa 只反映速度大小随时间的变化，法向加速度n a 只反映速度方向随时间的变化。

0>⋅v a τ：加速运动 0τ<⋅v a ：减速运动 几种特殊运动（1）直线运动 ∞→≡ρ,0n a （2）圆周运动 常数（圆的半径）=ρ （3）匀速运动 0≡τa （4）匀变速运动 常数=τa5.1.2 刚体的基本运动刚体的平行移动和定轴转动称为刚体的基本运动。

是刚体运动的最简单形态，刚体的复杂运动均可分解成若干基本运动的合成。

刚体平动的特点是：刚体上各点的轨迹形状、速度及加速度相同。

因此，只要求得刚体97上任一点的运动，就可得知其它各点的运动，从而确定整体运动。

刚体绕定轴转动用角坐标ϕ确定定轴转动刚体的位置。

运动方程)()(t t f ϕϕ==角速度ϕϕω ==t d d 角加速度ϕωε ==td d 转动刚体上各点的速度分布ωR v =转动刚体上各点加速度分布ετR a = 2ωR a n = R 为点到转轴的距离。

矢量表示法ωk ω= ω为ω在z 轴上的投影； εk ε= ε为ε在z 轴上的投影。

定轴转动刚体上各点速度v 及加速度a 的计算： r v ⨯=ω v r a ⨯+⨯=ωε r a ⨯=ετ， 切向加速度； v a n ⨯=ω， 法向加速度。

n a a a +=τ其中r 为由转动轴上任一点引向该点的矢径。

5.2 基本要求1掌握描述运动的矢径法、直角坐标法和弧坐标法，能求点的运动轨迹，能熟练地求解与点的速度和加速度有关的问题。

2熟悉刚体平动和定轴转动的特征。

能正确判断作平动的刚体和定轴转动的刚体 3能熟练地求解与定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体内各点的速度和加速度有关的问题。

熟悉角速度、角加速度及刚体内各点速度和加速度的矢量表示法。

5.3 重点讨论三种方法描述同一点的运动，其结果应该是一样的。

如果将矢径法中的矢量r、v、a用解析式表示，就是坐标法；矢量v、a在自然轴上的投影，就得出自然法中的速度与加速度。

直角坐标系与自然轴系都是三轴相互垂直的坐标系。

直角坐标系是固定在参考体上，可用来确定每一瞬时动点的位置。

自然轴系是随动点一起运动的直角轴系(切向轴、法向轴n及副法向轴b)，因此，不能用自然轴系确定动点的位置。

自然法以已知轨迹为前提，用弧坐标来建立点的运动方程，以确定动点每一瞬时在轨迹上的位置。

用直角坐标法求速度和加速度是将三个坐标分别对时间取一阶和二阶导数，得到速度和加速度在三轴上的投影，然后再求它的大小和方向。

用自然法求速度，则将弧坐标对时间取一阶导数，就得到速度的大小和方向。

自然法中的加速度，物理概念清楚，和分别反映了速度大小和速度方向改变的快慢程度。

在点的运动学中，问题的类型一般分为三类。

1．已知运动方程，求轨迹、速度、加速度运动量。

这类问题首先要建立点的运动方程，通过求导数运算计算速度和加速度。

2．已知动点的速度或加速度的变化规律，求运动方程。

这类问题可通过积分运算求得运动方程，积分常数由运动的初始条件确定。

3．综合问题。

给出用直角坐标法表示的点的运动方程，需求点沿轨迹的运动方程，点的切向加速度、法向加速度、全加速度及点的曲率半径等。

这类问题表明，可用不同的方法描述同一点的运动问题。

在刚体的基本运动中，首先要判断刚体作何种运动(平动或定轴转动)，然后根据刚体的运动选用相应的方法。

对于平动刚体的问题，可归结为点的运动学问题；对于定轴转动刚体的问题，可归结为两类问题。

1．给出刚体转动方程，依次对时间求导数，得到刚体的角速度、角加速度，并求出刚体上任一点的速度、加速度。

2．给出转动刚体的角加速度，经过积分运算，求刚体的转动方程，但需给出初始条件。

5.4 例题分析例5-1已知小环由静止从A开始沿轨迹运动。

︵︵DECD=。

在AB段，加速度为a = g，在︵BCE段，切向加速度ϕτcosga=；求小环在C、D两处的速度和加速度。

9899解 在AB 段，由g a svv t v a ===d d d d 作积分s g v v Rv Bd d 0⎰⎰=得gR v B 22=在︵BCE 段，由ϕϕcos d d d d g R v v t v a ===作积分ϕϕϕd cos d 0gR v v v v B⎰⎰=得ϕsin 222gR v v B +=在C 点处，gR v C 2,2π==ϕ，g a a a g Rv a n c C C C n C4,0,42=====τ 在D 点处，22)()(,)22(,22,848.1,π43ττϕD n D D n D D D a a a g a g a gR v +=+=-==== 3.487g 。

例5-2 A 处抛一石刚能过仓库，取重力加速度g = 10m/s 2； 求 l 为多大可使初速度v 0最小？不计空气阻力。

解 石块的运动方程为20021sin cos gttv y tv x -==θθ 消去t 得轨迹方程)tan 1(2tan 2220θθ+-=x v g x y 将B 、C 两点坐标代入，分别得)tan 1(21tan 20222θθ+-=l v g l (1))tan 1()40(21tan )40(20222θθ++-+=l v g l (2)图5-1100 由式（1）、（2）消去（1+tan 2θ）得20)40(240tan ll l++=θ(3)由式（1）－式（2），得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=θθtan 1tan )20(20l g v 将式（3）代入上式，令0d d 0=lv ，得l 2+ 40l －800 = 0 解得l = 14.64m 时最小例5-3 半径为r 的车轮在直线轨道上滚动而不滑动，如图5-3示。

已知轮心A 的速度u 是常量，求轮缘上一点M 的轨迹、速度、加速度和轨迹的曲率半径。

解：取Ox y 坐标系如图示。

令0=t 时，M 点位于坐标原点O ，轮心A 位于Oy 轴的A 0点。

设在t 瞬时，轮心和M 点位于图示位置。

由于轮只滚不滑ut A A MC OC ===0(a) 又 rutr MC ==ϕ(b)M 点的x 、y 坐标都是角ϕ的函数 ϕsin r OC BC OC OB x -=-== (c)ϕcos r r AE AC MB y -=-==(d)将式（a ）、式（b ）代入式（c ）、（d ）r utr ut x sin-= (e)rut r r y cos -= (f)这就是M 点的运动方程。

消去时间参量t ，得M 点的轨迹方程()⎪⎭⎫⎝⎛-=-+r y r y r y x 1arccos 2这就是旋轮线或摆线方程。

图5-3 ︵ ︵101式（e ）、式（f ）对时间求一阶导数得速度的投影⎪⎭⎫ ⎝⎛-=r ut u v x cos 1(g)r utu v y sin =(h)M 点的速度的大小和方程余弦为()()MDDE r utv v MD ME r utv v r ut u r ut r ut u v v v y x yx=========⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=2cos 2cos,cos 2sin 2sin ,cos 2sin2sin cos 12222ϕϕj v i v (i)可见，速度v 恒通过车轮的最高点D 。

式（g ）、式（h ）对时间求一阶导数得加速度的投影r ut r u t v a x x sin d d 2==r ut r u dt dv a y y cos 2==M 点的加速度的大小和方向余弦为()()MAAEr ut a a MA MEr ut a a ru a a a y x yx==========+=ϕϕcos cos,cos sin sin ,cos 222j a i a 常量 (j)可见，加速度a 恒通过车轮中心A 。

式（i ）对时间求一阶导数，得M 点的切向加速度rutr u dt dv a 2cos2==τ (k)式（j ）、式（k ）代入式（5-21），得M 点的法向加速度rutr u a a a n 2sin222=-=τ由式（5-20）得轨迹在M 点处的曲率半径102rut r a v n 2sin 42==ρ由此可见，当π=rut(对应轨迹的最高点)，曲率半径最大，)(2,4max →==u v r ρ )(2↓-=r u a ；当0=r ut 或π2 时(M 点在轨道上)，曲率半径最小，,0,0m i n ==v ρ)(2↑=ru a 。

轨迹在这里是两段连续旋轮线的连接点——不连续的尖端点。