理论力学@5点的一般运动和刚体的基本运动
95
第5章 点的一般运动和刚体的基本运动 5.1 主要内容
5.1.1 点的运动的表示法
研究如何描述一个几何点（即动点）在空间运动的规律。
物体的运动是相对于某一参照物而言，离开参照物，无法确定物体在空间的位置。这一特点称为运动的相对性。通常以地球为参照系。
在同一参照系上，可以建立不同的坐标系来描述物体的位置及其随时间的变化。如本章讨论的各种坐标系。
点的运动方程描述动点在空间的几何位置随时间的变化规律。对于不同的坐标系，将有不同的形式。
1．矢量式
()t r r =
其中r 是点的矢径。此式主要用于理论推导。
2．直角坐标形式—用于轨迹未知的情形
建立直角坐标系Oxyz ，动点M 的位置由其在坐标系中的x ，y ，z 坐标确定。
()()()()()()t f t z z t f t y y t f t x x 321,,======
上式亦可看作点的运动轨迹的参数方程。如果消去时间参数t ，即可得到轨迹的曲线方程，它是下列两空间柱面方程的交线。
()0,=y x ψ ()0,=z y ψ
3．弧坐标形式（自然法）—用于轨迹已知的情形 在轨迹上建立弧坐标系，以s 为弧坐标。
()()t f t s s ==
点的速度是个矢量，它反映点的运动的快慢和方向。
点的加速度是个矢量，它反映速度大小和方向随时间的变化率。 1．矢径法
r r
v a r r v =====22d d d d ,d d t
t t 2．直角坐标法
96 ?????
????======z t z v y
t y v x t x v z y x d d d d d d ????
?????=========z t z t v a y t y t v a x t x t v a z z y y x x
222222d d d d d d d d d d d d ， k j i v z y x ++=，k j i a z
y x ++=
222z y x ++=v ，222z
y x ++=a 3．弧坐标法
τττv v s t s ===
d d τττa ττa s t
v
=== d d
n n a n n a v ==
ρ
2
0=b a
b n τa a a a ++=
2
2n a a +=τa
切向加速度τa 只反映速度大小随时间的变化，法向加速度n a 只反映速度方向随时间的变化。
0>?v a τ：加速运动 0τ
（1）直线运动 ∞→≡ρ,0n a （2）圆周运动 常数（圆的半径）=ρ （3）匀速运动 0≡τa （4）匀变速运动 常数=τa
5.1.2 刚体的基本运动
刚体的平行移动和定轴转动称为刚体的基本运动。是刚体运动的最简单形态，刚体的复杂运动均可分解成若干基本运动的合成。
刚体平动的特点是：刚体上各点的轨迹形状、速度及加速度相同。因此，只要求得刚体
97
上任一点的运动，就可得知其它各点的运动，从而确定整体运动。
刚体绕定轴转动用角坐标?确定定轴转动刚体的位置。 运动方程
)()(t t f ??==
角速度
??
ω ==
t d d 角加速度
?ω
ε ==
t
d d 转动刚体上各点的速度分布
ωR v =
转动刚体上各点加速度分布
ετR a = 2
ωR a n = R 为点到转轴的距离。 矢量表示法
ωk ω= ω为ω在z 轴上的投影； εk ε= ε为ε在z 轴上的投影。 定轴转动刚体上各点速度v 及加速度a 的计算： r v ?=ω v r a ?+?=ωε r a ?=ετ， 切向加速度； v a n ?=ω， 法向加速度。 n a a a +=τ
其中r 为由转动轴上任一点引向该点的矢径。
5.2 基本要求
1掌握描述运动的矢径法、直角坐标法和弧坐标法，能求点的运动轨迹，能熟练地求解与点的速度和加速度有关的问题。
2熟悉刚体平动和定轴转动的特征。能正确判断作平动的刚体和定轴转动的刚体 3能熟练地求解与定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体内各点的速度和加速度有关的问题。熟悉角速度、角加速度及刚体内各点速度和加速度的矢量表示法。
5.3 重点讨论
三种方法描述同一点的运动，其结果应该是一样的。如果将矢径法中的矢量r、v、a用解析式表示，就是坐标法；矢量v、a在自然轴上的投影，就得出自然法中的速度与加速度。
直角坐标系与自然轴系都是三轴相互垂直的坐标系。直角坐标系是固定在参考体上，可用来确定每一瞬时动点的位置。自然轴系是随动点一起运动的直角轴系(切向轴、法向轴n及副法向轴b)，因此，不能用自然轴系确定动点的位置。自然法以已知轨迹为前提，用弧坐标来建立点的运动方程，以确定动点每一瞬时在轨迹上的位置。
用直角坐标法求速度和加速度是将三个坐标分别对时间取一阶和二阶导数，得到速度和加速度在三轴上的投影，然后再求它的大小和方向。用自然法求速度，则将弧坐标对时间取一阶导数，就得到速度的大小和方向。自然法中的加速度，物理概念清楚，和分别反映了速度大小和速度方向改变的快慢程度。
在点的运动学中，问题的类型一般分为三类。
1．已知运动方程，求轨迹、速度、加速度运动量。这类问题首先要建立点的运动方程，通过求导数运算计算速度和加速度。
2．已知动点的速度或加速度的变化规律，求运动方程。这类问题可通过积分运算求得运动方程，积分常数由运动的初始条件确定。
3．综合问题。给出用直角坐标法表示的点的运动方程，需求点沿轨迹的运动方程，点的切向加速度、法向加速度、全加速度及点的曲率半径等。这类问题表明，可用不同的方法描述同一点的运动问题。
在刚体的基本运动中，首先要判断刚体作何种运动(平动或定轴转动)，然后根据刚体的运动选用相应的方法。
对于平动刚体的问题，可归结为点的运动学问题；
对于定轴转动刚体的问题，可归结为两类问题。
1．给出刚体转动方程，依次对时间求导数，得到刚体的角速度、角加速度，并求出刚体上任一点的速度、加速度。
2．给出转动刚体的角加速度，经过积分运算，求刚体的转动方程，但需给出初始条件。
5.4 例题分析
例5-1已知小环由静止从A开始沿轨迹运动。
︵
︵
DE
CD=。在AB段，加速度为a = g，
在
︵
BCE段，切向加速度?
τ
cos
g
a=；求小环在C、D两处的速度和加速度。
98
99
解 在AB 段，由g a s
v
v t v a ===d d d d 作积分
s g v v R
v B
d d 0
?
?
=
得
gR v B 22
=
在︵
BCE 段，由
??
cos d d d d g R v v t v a ===
作积分
???
d cos d 0
gR v v v v B
?
?
=
得
?sin 22
2gR v v B +=
在C 点处，gR v C 2,2
π
==?，
g a a a g R
v a n c C C C n C
4,0,42=====τ 在D 点处，2
2)()(,)22(,2
2,848.1,π43ττ?D n D D n D D D a a a g a g a gR v +=+=-===
= 3.487g 。
例5-2 A 处抛一石刚能过仓库，取重力加速度g = 10m/s 2； 求 l 为多大可使初速度v 0最小？不计空气阻力。
解 石块的运动方程为
2002
1sin cos gt
tv y tv x -==θθ 消去t 得轨迹方程
)tan 1(2tan 22
20
θθ+-
=x v g x y 将B 、C 两点坐标代入，分别得
)tan 1(21tan 2022
2
θθ+-
=l v g l (1)
)tan 1()40(21tan )40(202
22
θθ++-+=l v g l (2)
图5-1
100 由式（1）、（2）消去（1+tan 2θ）得
20)40(240tan l
l l
++=
θ
(3)
由式（1）－式（2），得 ??
? ?
?+
+=θθtan 1tan )20(2
0l g v 将式（3）代入上式，令
0d d 0=l
v ，得l 2
+ 40l －800 = 0 解得
l = 14.64m 时最小
例5-3 半径为r 的车轮在直线轨道上滚动而不滑动，如图5-3示。已知轮心A 的速度u 是
常量，求轮缘上一点M 的轨迹、速度、加速度
和轨迹的曲率半径。 解：取Ox y 坐标系如图示。令0=t 时，M 点
位于坐标原点O ，轮心A 位于Oy 轴的A 0点。设
在t 瞬时，轮心和M 点位于图示位置。由于轮只滚不滑
ut A A MC OC ===0
(a) 又 r
ut
r MC ==?
(b)
M 点的x 、y 坐标都是角?的函数 ?sin r OC BC OC OB x -=-== (c)
?cos r r AE AC MB y -=-==
(d)
将式（a ）、式（b ）代入式（c ）、（d ）
r ut
r ut x sin
-= (e)
r
ut r r y cos -= (f)
这就是M 点的运动方程。消去时间参量t ，得M 点的轨迹方程
()???
??-=-+r y r y r y x 1arccos 2
这就是旋轮线或摆线方程。
图5-3 ︵ ︵
101
式（e ）、式（f ）对时间求一阶导数得速度的投影
??? ?
?
-=r ut u v x cos 1
(g)
r ut
u v y sin =
(h)
M 点的速度的大小和方程余弦为
()()MD
DE r ut
v v MD ME r ut
v v r ut u r ut r ut u v v v y x y
x
====
=====??? ?
?
+??? ??-=+
=
2cos 2cos
,cos 2sin 2sin ,cos 2sin
2sin cos 12
222??j v i v (i)
可见，速度v 恒通过车轮的最高点D 。
式（g ）、式（h ）对时间求一阶导数得加速度的投影
r ut r u t v a x x sin d d 2==
r ut r u dt dv a y y cos 2==
M 点的加速度的大小和方向余弦为
()()MA
AE
r ut a a MA ME
r ut a a r
u a a a y x y
x
====
=
=====+
=
??cos cos
,cos sin sin ,cos 2
22
j a i a 常量 (j)
可见，加速度a 恒通过车轮中心A 。
式（i ）对时间求一阶导数，得M 点的切向加速度
r
ut
r u dt dv a 2cos
2==τ (k)
式（j ）、式（k ）代入式（5-21），得M 点的法向加速度
r
ut
r u a a a n 2sin
22
2
=-=τ
由式（5-20）得轨迹在M 点处的曲率半径
102
r
ut r a v n 2sin 42==ρ
由此可见，当
π=r
ut
(对应轨迹的最高点)，曲率半径最大，)(2,4max →==u v r ρ )(2↓-=r u a ；当0=r ut 或π2 时(M 点在轨道上)，曲率半径最小，,0,0m i n ==v ρ
)(2
↑=r
u a 。轨迹在这里是两段连续旋轮线的连接点——不连续的尖端点。
例5-4 已知 OA = 1.5m ，AB = 0.8m 。机构从? = 0开始匀速转动，运动中AB 杆始终铅垂，B 端速度v B = 0.05m/s;求 转动方程? = f ( t )和点B 的轨迹。
解 AB 杆平动，==B A v v 0.05m/s ，30
1
==OA v A ωrad/s ，
t t 30
1
==ω?rad
B 点的坐标为 ?cos OA x =
AB OA y -=?sin
消去?，得其轨迹方程为
2
2
2
5.1)8.0(=++y x （圆）
例5-5 已知 ? = b sin ω t ，O 1A = O 2B = l ，AB = O 1O 2，轮2
的半径为r 2；求 s 2π
ω
=t 时，轮2的角速度ω2和角加速度α2。
解 刚体ACB 平动，D 点是轮2上与轮B 啮合的点，其速度为
t lb l v v A D ωω?
cos === 加速度为 2
22
,s i n r v a t lb l a a D n
D
A D =-===ωω?
τ
τ
当s 2πω
=
t 时， 2,0,0ωτb l
a a v D n
D D -=== 所以
22
2222,0ωαωτr lb r a r v D D -====
例5-6 已知上题机构从静止开始运动，轮2的角加速度α2为恒量；求 曲柄O 1A 的转动规律。
解 参照上题的分析，得A 点的切向加速度和O 1A 杆的角加速度
图5-5
103
2222,ααααττ
τl
r
l a r a A D
A ====
积分得O 1A 的角加速度和转动方程
222
22
2d ,d t l
r t t l
r t t t αω?ααω=
==
=
?
?
5.5 习题解答
本章中5-1；5-2；5-3；5-4；5-7；5-11；5-12 ；5-13；5-14题解答略。
5-5 动点A 和B 在同一笛卡尔坐标系中的运动方程分别为
???
??==?????==42222t y t x t y t x B B A A 其中x 、y 以cm 计，t 以s 计，试求：（1）两点的运动轨迹；（2）两点相遇的时刻；（3）相遇时A 、B 点的速度、加速度。
解：（1）由????
?==????
?==4
22
22t
y t x t y t x B B A A
消去t ，即得动点的轨迹： 22
2;2A A B B y x y x ==； （2）令两方程组中;A B A B x x y y ==，得到两点相遇的时刻为t ＝1 s ； （3）求速度。
A 点的速度，d 1d A Ax x v t ==，d 4d A
Ay y v t t ==，v A ＝4.13 cm/s ； B 点的速度，d 2d B Bx x v t t ==，3d 8d B
By y v t t
==，v B ＝8.25 cm/s 。
（4）求加速度。
A 点的加速度，22
d 0d A Ax x a t
==，22d 4d A Ay y a t ==，a A ＝4 cm/s 2
； B 点的加速度，22
d 2d B
Bx x a t
==，222d 24d B By y a t t ==，a B ＝24.1 cm/s 2。 5-6 已知动点的运动方程为x ＝t 2–t ，y ＝2t ，求其轨迹及t ＝1 s 时的速度、加速度，并分别求切向、法向加速度及曲率半径。x 及y 的单位为m ，t 的单位为s 。
解：（1）由?????=-=t
y t t x 22
消去t ，即得动点的轨迹：0422
=--x y y
（2）求速度与加速度。
d 21d x x v t t =
=-，d 2d y y
v t
==
104 v ==，1| 2.24m/s t v ==，cos()0.45x
v ,v
=
=v i d 2d x
x v a t
==，d 0d y y
v a t ==，22m/s x a a == 切向加速度，
2
2m/s 894.015
4424d d ==+--==
ττa s t t t t t
v a 时，
法向加速度，
22τa a a n -=
m
8.2789
.15m/s 789.1894.0212222====-==n n a v a s t ρ曲率半径
时当
5-8 如题5－8图所示，摇杆机构的滑杆AB 以匀速u 向上运动，试建立摇杆OC 上点C 的运动方程，并求此点在 π
4
?=的速度大小。假定初始瞬时?＝0，摇杆长OC ＝a ，距离OD ＝l 。
解：如图示坐标系，点C 的坐标为，
????
?==?
?
sin cos a y a x 点A 的坐标为，
tan x l y l ut
φ=??
==?，arctg ut
l ?= 动点C 的运动方程为，
????
?+=+=2222
22//t u l aut y t u l al x C
C
用弧坐标表示点C 的运动方程，则有
arctan
ut
s a a l
?==? 当u
l
t =
=
时，4
π
?，
题5-8图
105
22
2
d /2d 1l C
t l
u
t u
l t u
u
s l v a au l u t t l
====
=?=+
5-9 曲柄OA 长r ，在平面内绕O 轴转动，如题5－9图所示。杆AB 通过固定于点N 的套筒与曲柄OA 铰接于点A 。设?＝ωt ，杆AB 长l ＝2r ，试求点B 的运动方程、速度和加速度。
解：如图建立直接坐标系xoy ，由已知条件得到，π2
?
θ-=。 B 点的运动方程为，
cos cos cos 2sin
2
B t
x r l r t r ω?θω=+=+sin cos sin 2cos
2
B t
y r t l r t r ωωθω=-=-
B 点的速度为，
d sin cos d 2B Bx x t
v r t r t ωωωω=
=-+ d cos sin d 2
B By y t v r t r t ωωωω==+
B v =
B 点的加速度为，
222
2d cos sin d 22B Bx x r t a r t t ωωωω==--
222
2d sin cos d 22
B By y r t a r t t ωωωω==-+。
B a ω
=
5-10 如题5－10图所示，OA 和O 1B 两杆分别绕O 和O 1轴转动，用十字形滑块D 将两杆连接。在运动过程中，两杆保持相交成直角。已知：OO 1＝l ，∠AOO 1＝?＝kt ，其中k 为常数。求滑块D 的速度和相对于OA 的速度。
题5-9图
106
（a ）
（b ）
题5-10图
解：（1）如题5-10图（b ）建立直接坐标系xoy ，则D 点的运动方程为，
???
???
?
=?==-=-==∴??
???=
===kt lk kt k l t y v kt lk kt kt lk t x v kt
l
kt kt l y kt
l kt kt l x y x 2cos 2cos 22d d 2sin sin cos 2d d 2sin 2sin cos cos cos cos 2
得到滑块D 的速度，
D v lk ==
用自然坐标法，点D 的轨迹是圆弧，运动方程和速度为
ak s
v akt R s D ==== ,θ （2）以O 为原点，OA 为坐标轴建立动坐标系Ox '， 点D 在Ox '轴的坐标和速度为
x '＝l cos kt cos D
x l kt '= 所以相对于OA 的速度，
v 'D =kt lk t
x v r sin d d -='
=
v D 和v 'D 的方向如图所示。
5-15 物体作定轴转动的运动方程为?＝4t －3t 2（?以rad 计，t 以s 计）。试求此物体内，转动半径r ＝0.5 m 的一点，在t 0＝0与t 1＝1 s 的速度和加速度的大小，并问物体在哪一瞬时改变转向？
107
解：（1） 由定轴转动的运动方程?＝4t －3t 2，
得到定轴转动物体的角速度与角加速度，46t ω=-，6ε=-。 （2）速度和加速度的大小
速度，23v r t ω==-，加速度，22
n 82436a r t t ω==-+；τ3a r ε==-。
t 0＝0时，
速度，v 0＝2 m/s ，加速度，n 8a =m/s 2；τ3a =-m/s 2，a 0＝8.54 m/s 2 t 1＝1 s 时，
速度，v 1＝－1m/s ，加速度，n 20a =m/s 2；τ3a =-m/s 2，a 1＝20.2m/s 2 （3）物体改变转向时，460t ω=-=，由此得到t ＝0.667 s 。
5-16 搅拌机如题5－16图所示，已知O 1A ＝O 2B ＝R ，O 1O 2＝AB ，杆O 1A 以不变转速n r/min 。试分析 BAM 构件上M 点的轨迹、速度和加速度。
(a)
(b)
题5-16图
解： 由于构件BAM 作平移，所以 M 点的轨迹与A 相同 A 的轨迹、速度、加速度为， 2
2
2
R y x =+；
2
2
τ
n
2ππ
6030
2ππ0,
6030A A A n n v R R n n a a R R
=
=????=== ? ?????
M 的轨迹 222R y x =+
M 的速度
π
30
M Rn v =
O 1 x
A a
b
v m
M
y a M
v A
n O 2 B
a
108 M 的加速度 τ0M
a =，22
π900
M Rn a =
5-17 某飞轮绕固定轴O 转动的过程中，轮缘上任一点的全加速度与其转动半径的夹角恒为α＝60?。当运动开始时，其转角?0为零，角速度为ω0，求飞轮的转动方程及其角速度与转角间的关系。
解： 由于有，τn tan60a a =，即32=r r ωε，2
3ωε=。
)
31ln(31d d 311131d 3d 3d d 00
000022t t
t
t t t ωωω??
ωωωωωω
ωωω--=
∴=
-=∴=???? ??-==
解出，?
ωωω?300e ,311ln 33=-=
t
。
5-18 当起动陀螺罗盘时，其转子的角加速度从零开始与时间成正比地增大。经过 5 min 后，转子的角速度ω＝600π rad/s 。试求转子在这段时间内转过多少转？
解： 由条件得到，kt ε=，其中k 为比例常数。
由d d kt t ω=，得22
π2150k t t ω=
=， 对上式积分得到3π450t ?=，3
1900
N t =
代入条件解出转子在这段时间内转过N ＝30 000转。
5-19 OA 杆长L ＝1m 。在题5-19图所示瞬时杆端A 点的全加速度a 与杆成θ 角。θ＝60?，a ＝20m/s 2。求该瞬时OA 杆的角速度和角加速度。
解： 由于有，τ
n tan60a a
=，
即τsin60a a L ε==，n 2
cos60a a L ω==，
联立解出，s /110s /13102
==ωε。
5-20 如图所示，曲柄CB 以匀角速度ω0绕C 轴转动，其转
题5-17图
题5-19图
a a τ a n
O
60?
109
动方程为?＝ω0t ，通过滑块B 带动摇杆OA 绕O 转动，设OC ＝h ，CB ＝r ，求摇杆的转动方程。
解：以C 为原点，x 、y 轴分别如图示，则对于B ：
????
?==?
?
cos sin r y r x 在图示中，
sin tan cos sin arctan
cos r h r r h r ?
θ?
?
θ?=
-=-
又
?＝ω0t
摇杆的转动方程为，
t
r h t
r A 00cos sin arctg ωωθ-=。
5-21 一木板放在两个半径r ＝0.25 m 的传输鼓轮上面。在题5－21图所示瞬时，木板具有不变的加速度a ＝0.5 m/s 2，方向向右；同时，鼓轮边缘上的点具有一大小为3 m/s 2的加速度。如果木板在鼓轮上无滑动，试求此木板的速度。 解：由条件知传输鼓轮边缘上的点具有的加速度大小为，a r = 3 m/s 2。并且其τ0.5a a ==m/s 2。
有关系， n 2r v a r
=，222τn
r a a a =+
联立以上方程解出， v ＝0.86 m/s 。
5-22 题5－22图所示一偏心圆盘凸轮机构如图示。圆盘C 的半径为R ，偏心距为e 。设凸轮以匀角速度ω绕O 轴转动，求导板AB 的速度和加速度。
解：如图建立坐标系。
则圆盘C 沿y 向的运动方程为 y C ＝e sin θ
而导板的运动与圆盘C y 向运动相同，所以导板运动方程为
sin sin y e e t R θω==+
导板的速度与加速度为
题5-20图
题5-21图
题5-22图
110 2
cos sin AB AB
AB v y e t a v e t
ωωωω'=='==-
5-23 题5－23图所示仪表机构中，已知各齿轮的齿数为z 1＝6，z 2＝24，z 3＝8，z 4＝32，齿轮5的半径R ＝4 cm 。如齿条BC 下移1 cm ，求指针OA 转过的角度?。
解：设齿条移动l ＝1cm 时，各齿轮分别转过φ1～φ5
3
35455φφφφ?==
∴=r r R
l l R R l r r r r r r r r r r r r r r 31425341231213253
43??=?==
?==
φφφφ
φφφ
)
rad (44
1
68243231422
1
21=???=??=
∴=R l Z Z Z Z r r Z Z φ
5-24 题5－24图所示摩擦传动机构的主动轮Ⅰ的转速为n ＝600 r/min ，它与轮Ⅱ的接触点按箭头所示的方向平移，距离d 按规律d ＝10－0.5t 变化，单位为厘米。摩擦轮的半径r ＝5 cm 。求：（1）以距离d 表示的Ⅱ的角加速度；（2）当d ＝r 时，轮Ⅱ边缘上一点的全加速度的大小。
解：（1）对于主动轮：
m/s
rad/s
2030
πωππω====
ⅠⅠⅠr v n
在图示瞬时，主动轮与轮Ⅱ的接触点与主动轮边缘具有相同的线速度,即：
v d ＝v Ⅰ 对于轮Ⅱ： d 100πv d d
ω=
=Ⅱ rad/s
又
d ＝10-0.5t
题5-23图
111
轮Ⅱ的角加速度为：
2d d 100π50πd d t t d d
ωε??=
== ???Ⅱ rad/s 2
（2）d ＝r 时，对于轮Ⅱ：
12π10ω=? rad/s
2
50π2π5
ε=
= rad/s 2
a τ＝R ε a n ＝R ω2
2
2
4424
22
2cm/s π400001π210π16π4+=?+=+=+=∴R R R a a a n ωετ
题5-24图
理论力学课后习题答案 第6章 刚体的平面运动分析
第6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 2 2 1t α?= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += （4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角 表示杆的角速度。 解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆 AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 h v AC v AP v AB θθω2000cos cos === 6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。 解：R v R v A A ==ω 习题6-1图 A B C v 0 h 习题6－2图 P AB v C A B C v o h 习题6－2解图 习题6-3解图 习题6-3图 v A = v v B = v
清华大学版理论力学课后习题集标准答案全集第6章刚体平面运动分析
6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 22 1t α?= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += （4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。 解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 h v AC v AP v AB θθω2 000cos cos === 6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。 解：R v R v A A == ω R v R v B B 22==ω B A ωω2= 6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30?，?＝60?，BC ＝270mm 。试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。 习题6-1图 A B C v 0 h θ 习题6－2图 P ωAB v C A B C v o h θ 习题6－2解图 习题6-3解图 习题6-3图 v A = v v B = v ωA ωB
理论力学---第4章点的运动和刚体基本运动习题解答
第四章 点的运动和刚体基本运动 习题解答 4-1 图示曲线规尺的杆长200==AB OA mm ，50====AE AC DE CD mm 。杆OA 绕O 轴转动的规律为t 5 π?= rad ，并且当运动开始时，角 0=?，求尺上D 点的运动方程和轨迹。 解： 已知t π?2.0=，故点D 的运动方程为 m m 2.0cos 200D t x π= m m 2.0sin 100D t y π= 消去时间t 得到点D 的轨迹方程为 11002002 222=+D D y x （椭圆） 4-2 图示AB 杆长l ，以t ω?=的规律绕B 点转动， ω为常量。而与杆连接的滑块B 以t b a s ωsin +=的规 律沿水平线作谐振动，a 、b 为常量。求A 点的轨迹。 解： 采用直角坐标法，取图示直角坐标系O xy , 则A 点位置坐标为?sin l s x += ，?cos l y -=，即 ()t l b a x ωsin ++= t l y ωcos -=. 消去时间t 得A 点轨迹方程为： 2 2 2 2()1()x a y b l l -+=+.（椭圆） 4-3 套筒A 由绕过定滑轮B 的绳索牵引而沿导轨上升，滑 轮中心到导轨的距离为l ，如图所示。设绳索以等速0v 拉下，忽略滑轮尺寸。求套筒A 的速度和加速度与距离x 的关系式。 解：设0=t 时，绳上C 点位于B 处，在瞬时t ,到达图示位置 则 =++= +t v l x BC AB 022常量，将上式求导，得到管套 A 的速度和加速度为 2 20d d l x x v t x v A +-==， 32 20d d x l v t v a A A -==， 负号表示A A a v ,的实际方向与x 轴相反。 4-4 如图所示，半径为R 的圆形凸轮可绕O 轴转动，带动顶杆BC 作铅垂直线运动。设凸轮圆心在A 点，偏心距e =OA ，t ω?=，其中ω为常量。试求顶杆上B 点的运动方程、速度和加速度。 解：以O 点为原点建立坐标系，由余弦定理可得 2222cos AB OA OB OA OB t ω=+-?? 其中OA=e ，AB=R ，设B y =OB 代入上式 题 4-1图 题4-2图 题4-3图
理论力学刚体的平面运动
理论力学-刚体的平面运动
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第七章 刚体的平面运动 一、是非题 1．刚体作平面运动时，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选取无关。 ( ) ２．作平面运动的刚体相对于不同基点的平动坐标系有相同的角速度与角加速度。（ ) 3．刚体作平面运动时,平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。 ( ) 4.某刚体作平面运动时，若A 和B 是其平面图形上的任意两点，则速度投影定理AB B AB A u u ][][ =永远成立。 ( ） 5.刚体作平面运动,若某瞬时其平面图形上有两点的加速度的大小和方向均相同，则该瞬时此刚体上各点的加速度都相同。 （ ) ６．圆轮沿直线轨道作纯滚动，只要轮心作匀速运动,则轮缘上任意一点的加速度的方向均指向轮心。 ( ） 7．刚体平行移动一定是刚体平面运动的一个特例。 （ ) 二、选择题 １．杆AB 的两端可分别沿水平、铅直滑道运动,已知B 端的速度为B u ,则图示瞬时B 点相对于A 点的速度为 。 ①ｕB si ｎθ; ②u B cos θ； ③ｕＢ/sin θ； ④u Ｂ/cos θ。 2．在图示内啮合行星齿轮转动系中,齿轮Ⅱ固定不动。已知齿轮Ⅰ和Ⅱ的半径各为r １和r 2，曲柄ＯA 以匀角速度ω0逆时针转动,则齿轮Ⅰ对曲柄OA 的相对角速度ω1r 应为 。 ①ω１r =（r 2/ r 1)ω0（逆钟向）; ②ω1ｒ＝(r 2/ r 1）ω0（顺钟向）； ③ω1ｒ=［（r 2＋ r １）／ r 1] ω0(逆钟向)； ④ω1r ＝[(ｒ2＋ r 1)/ r 1］ ω０（顺钟向)。 3.一正方形平面图形在其自身平面内运动，若其顶点A 、B 、C 、D 的速度方向如图(a ）、图(b)所示,则图(a)的运 动是 的，图（b)的运动是 的。 ①可能; ②不可能; ③不确定。
理论力学-点的合成运动
第六章点的合成运动 一、是非题 1、不论牵连运动的何种运动，点的速度合成定理v a=v e+v r皆成立。（） 2、在点的合成运动中，动点的绝对加速度总是等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。（） 3、当牵连运动为平动时，相对加速度等于相对速度对时间的一阶导数。（） 4、用合成运动的方法分析点的运动时，若牵连角速度ωe≠0，相对速度υr≠0，则一定有不为零的科氏加速度。（） 5、若将动坐标取在作定轴转动的刚体上，则刚体内沿平行于转动轴的直线运动的动点，其加速度一定等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。（） 6、刚体作定轴转动，动点M在刚体内沿平行于转动轴的直线运动，若取刚体为动坐标系，则任一瞬时动点的牵连加速度都是相等的。（） 7、当牵连运动定轴转动时一定有科氏加速度。（） 8、如果考虑地球自转，则在地球上的任何地方运动的物体（视为质点），都有科氏加速度。（） 二、选择题 1、长L的直杆OA，以角速度ω绕O轴转动，杆的A端铰 接一个半径为r的圆盘，圆盘相对于直杆以角速度ωr，绕A轴 转动。今以圆盘边缘上的一点M为动点，OA为动坐标，当AM 垂直OA时，点M的相对速度为。 ①υr=Lωr，方向沿AM； ②υr=r（ωr－ω），方向垂直AM，指向左下方； ③υr=r（L2+r2）1/2ωr，方向垂直OM，指向右下方； ④υr=rωr，方向垂直AM，指向在左下方。 2、直角三角形板ABC，一边长L，以匀角速度ω绕B轴转动，点M以S=Lt的规律自A向C运动，当t=1秒时，点M的相对加速度的大小α r= ；牵连加速度的大小αe = ；科氏 加速度的大小αk = 。方向均需在图中画出。 ①Lω2； ②0； ③3Lω2；
理论力学合成运动习题解
2 v v e =1 v v =AB r v v =0 450 45 v r =N 竞赛资料 点的合成运动习题解 [习题7-1]汽车A 以h km v /401=沿直线道路行驶，汽车B 以h km v /2402=沿另一叉道行驶。求在B 车上观察到的Ａ车的速度。 解： 动点：A 车。 动系：固连于B 车的坐标系。 静系：固连地面的坐标系。 绝对运动：动点A 相对于地面的运动。 相对运动：动点A 相对于B 车的运动。 牵连运动：在动系中，动点与动系的重合点， 即牵连点相对于静系（地面）的运动。当Ａ、 Ｂ两车相遇时，即它们之间的距离趋近于０时， Ａ、Ｂ相重合，Ｂ车相对于地面的速度就是 牵连速度。2v v e =。由速度合成定理得： → →→ +=r e v v v 。用作图法求得： h km v v AB r /40== （↑） 故，Ｂ车上的人观察到Ａ车的速度为h km v v AB r /40==，方向如图所示。 [习题7-2]由西向东流的河，宽1000m ，流速为s ，小船自南岸某点出发渡至北岸，设小船相对于水流的划速为1m/s 。问：（1）若划速保持与河岸垂直，船在北岸的何处靠岸？渡河时间需多久？（2）若欲使船在北岸上正对出发点处靠岸，划船时应取什么方向？渡河时间需多久？ 解：（１） 动点：船。 动系：固连在流水上。 静系：固连在岸上。 绝对运动：岸上的人看到的船的运动。 相对运动：船上的有看到的船的运动。 牵连运动：与船相重合的水体的运动。 绝对速度：未知待求，如图所示的v 。 相对速度：s m v r /1=，方向如图所示。 牵连速度：s m v e /5.0=，方向如图所示。 由速度合成定理得：
刚体的平面运动动力学课后答案
刚体的平面运动 刚体的平面运动 刚体的平面运动是刚体运动的一种特殊形式，可视为刚体的平移与转动的合成。本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动，以及如何计算刚体上点的速度和加速度。 一、 刚体的平移（平动） 刚体在运动过程中，如果其上任一直线始终保持与初始的方向平行，则称该刚体作平移或平动。 平移刚体上各点的速度相同，加速度相同，运动轨迹的形状也相同。因此研究刚体的平移问题可简化成一个质点的运动问题来研究。 二、 刚体的定轴转动 刚体在运动过程中，若其上（或刚体的延展体上）有一直线保持不动，且刚体绕此直线转动，则称该刚体作定轴转动。 （1）定轴转动刚体的运动方程： )(t f =? （2）定轴转动刚体的角速度： )(t f ==?ω （3）定轴转动刚体的角加速度： )(t f ===?ω α （4）定轴转动刚体上一点P 的速度和加速度用矢量表示 速度： r v ?=ω （7－1） 加速度：v r a a a ?+?=+=ωαn t （7－2） 其中：ωα,为定轴转动刚体的角速度和角加速度矢量，r 是由转轴上任一点引向P 点的矢径。 三、刚体的平面运动 刚体在运动过程中，若其上任一点到某一固定平面的距离保持不变，则称该刚体作平面运动。研究刚体的平面运动可简化为研究一个平面图形在其所在平面内的运动。 1、 刚体平面运动的角速度和角加速度 在平面图形上任取两点A 、B ，过这两点的连线某一基准线的夹角为θ（如图7-2）。当刚体运动时这个夹角将随时间变化)(t θ，刚体平面运动的角速度和角加速度分别定义为： θ ω =， （7－3） θω α == （7－4） 2、 刚体平面运动的运动方程 平面运动刚体有三个自由度，其运动方程为： )(),(), (321t f t f y t f x A A ===? （7－5） 其中：A 点称为基点（如图7-3所示）。因此刚体的平面运动可视为刚体随基点的平 图7－1 刚体的平面运动是刚体运动的一种特殊形式，可视为刚体的平移与转动的合成。本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动，以及如何计算刚体上点的速度和加速度。
刚体的平面运动1答案
刚体的平面运动作业1参考答案 1．图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。如曲柄OA 以等角加速度α 绕O 轴转动，当运动开始时，角速度ω0=0，转角?0=0，求动齿轮以中心A 为基点的平面运动方程。 答案： 2A 2 2 )(21 , 2 sin )( , 2 cos )(t r R r t r R y t r R x A A α?αα+= +=+= 2． 图示平面机构中，曲柄OA =R ，以角速度ω 绕O 轴转动。齿条AB 与半径为 2 R r =的齿轮相啮合，并由曲柄销A 带动。求当齿条与曲柄的交角θ =60o时，齿 轮的角速度。 答案：顺时针 31ωω= 提示：可先用速度投影法求出齿条上与齿轮重合点的速度。
3．图中曲柄OA 长150mm ，连杆AB 长200mm ，BD 长300mm 。设OA ⊥OO 1时，AB ⊥OA ，θ =60o，曲柄OA 的角速度为4rad/s ；求此时机构中点B 和D 的速度以及杆AB 、O 1B 和BD 的角速度。 答案： 逆时针 顺时针顺时针 rad/s 3 4 , rad/s 4 , rad/s 3 , mm/s 800 , mm/s 34001 O =====BD B AB D B v v ωωω 提示：在图示瞬时，杆AB 的速度瞬心为点C ，杆BD 的速度瞬心为点E 。 4．图示平面机构中，曲柄长OA =r ，以角速度ω0绕O 轴转动。某瞬时，摇杆O 1N 在水平位置，而连杆NK 和曲柄OA 在铅垂位置。连杆上有一点D ，其位置为 DK =31 NK ，求D 点的速度。 答案：←= 3 2 0ωr v D 提示：在图示瞬时，杆AB 瞬时平动，杆KN 的速度瞬心为点N 。
第3章 平面机构的运动分析答案
一、填空题： 1．速度瞬心是两刚体上瞬时速度相等的重合点。 2．若瞬心的绝对速度为零，则该瞬心称为绝对瞬心； 若瞬心的绝对速度不为零，则该瞬心称为相对瞬心。 3．当两个构件组成移动副时，其瞬心位于垂直于导路方向的无穷远处。当两构件组成高副时，两个高副元素作纯滚动，则其瞬心就在接触点处；若两个高副元素间有相对滑动时，则其瞬心在过接触点两高副元素的公法线上。4．当求机构的不互相直接联接各构件间的瞬心时，可应用三心定理来求。5．3个彼此作平面平行运动的构件间共有 3 个速度瞬心，这几个瞬心必定位于一条直线上。 6．机构瞬心的数目K与机构的构件数N的关系是K＝N(N－1)/2 。 7．铰链四杆机构共有6个速度瞬心，其中3个是绝对瞬心。 8．速度比例尺μν表示图上每单位长度所代表的速度大小，单位为：(m/s)/mm 。 ？ 加速度比例尺μa表示图上每单位长度所代表的加速度大小，单位为(m/s2)/mm。9．速度影像的相似原理只能应用于构件，而不能应用于整个机构。 10．在摆动导杆机构中，当导杆和滑块的相对运动为平动，牵连运动为转动时（以上两空格填转动或平动），两构件的重合点之间将有哥氏加速度。哥氏加速度的大小为2×相对速度×牵连角速度；方向为相对速度沿牵连角速度的方向转过90°之后的方向。 P直接标注在图上)。 二、试求出图示各机构在图示位置时全部瞬心的位置(用符号 ij
> " 12 三、 在图a 所示的四杆机构中，l AB =60mm,l CD =90mm ， l AD =l BC =120mm ， ω2=10rad/s ，试用瞬心法求： : a ) 24） （P 13） P P 23→∞
刚体平面运动习题
刚体平面运动习题 第八章刚体平面运动的练习 1.真或假(勾选正确和交叉错误) 8-1。刚体的平面运动是一种运动，在这种运动中，刚体上的任何一点与固定平面之间的距离总是平行的。()8-2。平面图形的运动可以看作基点的平移和围绕基点的旋转的组合。()8-3。平面图形上任意两点的速度都相等地投影在一个固定的轴上。()()()8-6。瞬时速度中心的速度为零，加速度为零。()8-7。刚体的平移也是一种平面运动。()2。填空(在横线上写出正确答案) 8-8。在直线轨道上纯滚动时，圆轮与地面接触点的速度为。8-9。平面图上任意两点的速度在上投影中相等。 8-10。瞬时刚体平移时的角速度是:刚体上每个点的速度；每个点的加速度。 3.简短回答问题 8-11。确定图中所示平面运动物体的瞬时速度中心的位置。AbabaccωOboaωOdbω(b)Co(a)(c)图8-11 (d) 8-12。如果一个刚体在一个平面上运动，下面平面图中A和B的速度方向是正确的吗？问题8-12图(c) 8-13。下图中O1A和AC的速度分布是否正确？ 8-14。当圆形车轮在曲线上滚动时，某一瞬时车轮中心的速度vo和加速度ao，而车轮的半径是R，即车轮中心的角度 加速度是多少？如何确定瞬时速度中心的加速度的大小和方向？
蟹爪兰O1VβA01ωO2P 8-13 图8-14 8-15。为什么用基点法计算平面图中单个点的加速度时没有科里奥利加速度？4.计算问题 8-16。椭圆规AB由曲柄OC驱动，曲柄OC以均匀的角速度ω O绕O轴旋转。如图所示，如果以C为基点，OC=BC=AC=r，试着找出椭圆规AB的平面运动方程。 8-17。半径为R的齿轮由曲柄OA驱动，沿半径为R的固定齿轮滚动，如图所示。曲柄以均匀的角加速度α绕O轴旋转，并设定初始角速度ω。角加速度α？0.角落？？0.如果选择移动齿轮的中心C点作为基点，试着找出移动齿轮的平面运动方程。 yay rarαφBMMoxorBx 8-16图ωOO 图8-17 8-18。曲柄和连杆机构，称为OA = 40cm厘米，连杆AB = 1m米，曲柄OA绕O轴以N？180转/分钟均匀旋转，如图所示。当曲柄臂与水平线成45度角时，试着找出连杆臂的角速度和中点的速度。 8-19。众所周知，曲柄OA=r，连杆BC=2r，曲柄OA处于均匀角速度ω？4顺时针旋转/秒，如图所示。试着找出图中瞬时点B的速度和连杆BC的角速度。 AMnOBArOB302rCω问题8-18 图8-19 8-20。如图所示，筛选机通过曲柄OA驱动筛BC摆动。众所周知，
理论力学-刚体的平面运动
第七章 刚体的平面运动 一、是非题 1．刚体作平面运动时，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选取无关。 （ ） 2．作平面运动的刚体相对于不同基点的平动坐标系有相同的角速度与角加速度。（ ） 3．刚体作平面运动时，平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。 （ ） 4．某刚体作平面运动时，若A 和B 是其平面图形上的任意两点，则速度投影定理AB B AB A u u ][][ 永远成立。 （ ） 5．刚体作平面运动，若某瞬时其平面图形上有两点的加速度的大小和方向均相同，则该瞬时此刚体上各点的加速度都相同。 （ ） 6．圆轮沿直线轨道作纯滚动，只要轮心作匀速运动，则轮缘上任意一点的加速度的方向均指向轮心。 （ ） 7．刚体平行移动一定是刚体平面运动的一个特例。 （ ） 二、选择题 1．杆AB 的两端可分别沿水平、铅直滑道运动，已知B 端的速度为B u ，则图示瞬时B 点相对于A 点的速度为。 ①u B sin ； ②u B cos ； ③u B /sin ； ④u B /cos 。 2．在图示内啮合行星齿轮转动系中，齿轮Ⅱ固定不动。已知齿轮Ⅰ和Ⅱ的半径各为r 1和r 2，曲柄OA 以匀角速度 0逆时针转动，则
齿轮Ⅰ对曲柄OA的相对角速度 1r应为 。 ① 1r=（r2/ r1） 0（逆钟向）； ② 1r=（r2/ r1） 0（顺钟向）； ③ 1r=[(r2+ r1)/ r1] 0（逆钟向）； ④ 1r=[(r2+ r1)/ r1] 0（顺钟向）。 3．一正方形平面图形在其自身平面内运动，若其顶 点A、B、C、D的速度方向如图（a）、图（b）所示，则 图（a）的运动是的，图（b）的运动是的。 ①可能； ②不可能； ③不确定。 4．图示机构中，O1A=O2B。若以 1、 1与 2、 2分别表示O1A杆与O2B杆的角速度和角加速度的大小，则当O1A∥O2B时，有。 ① 1= 2， 1= 2； ② 1≠ 2， 1= 2； ③ 1= 2， 1≠ 2； ④ 1≠ 2， 1≠ 2。
理论力学 刚体平面运动部分参考答案
一、如图所示，OA 杆以匀角速度ω绕O 轴转动，圆轮可沿水平直线作纯滚动。已知圆轮半径为R ，且OA=R ， AB=2R 。试求图示位置圆轮的角速度和圆心B 的加速度。 一、如图所示，OA 杆以匀角速度ω绕O 轴转动，圆轮可沿水平直线作纯滚动。已知圆轮半径为R ，且OA=R ，AB=2R 。试求图示位置圆轮的角速度和圆心B 的加速度。（18分） 解：（1）速度分析及计算：AB 杆和圆轮作平面运动，选A 为基点 BA A B v v v += OA 杆绕O 轴转动：ω?=R v A AB=2R ，圆轮半径为R ，所以杆AB 与水平面夹角为30° 速度平行四边行如图。由图中几何关系可得： 3/330tan ω?= =R v v A B C 为速度瞬心，此瞬时，圆轮可看成绕速度瞬心C 做定轴转动。 O 轴转动： 2ω?==R a a n A A 由速度平行四边行中几何关系可得： 3 / 230cos /ω?==R v v A BA 所以：22 2 3 2 2// ω?== = R R v AB v a BA BA n BA 选A 为基点，则B 点加速度: τ ++=BA n BA a a a a A B 将上式向x 轴投影得：n BA a a a n --= 30cos 30cos
二、平面连杆机构如图所示。已知：OA =10cm ，AB =BC =24cm 。在图示位置时，OA 的角速度ωOA =3rad/s ，角加 速度αOA =0，θ=60°。图示瞬时O 、A 、C 三点位于同一水平线上。试求该瞬时AB 杆的角速度和角加速度。 二、平面连杆机构如图所示。已知：OA =10cm ，AB =BC =24cm 。在图示位置时，OA 的角速度ωOA =3rad/s ，角加速度αOA =0，图示瞬时O 、A 、C 三点位于同一水平线上。试求该瞬时AB 杆的角速度和角加速度。 解：以A 为基点，根据速度合成定理BA A B v v v +=，对B 进行速度分析, 在速度平行四边形中得： cm /s 30310=?=?===OA v v v oA B A BA ω 选A n B A B A a a a a ++= τ A B 即：n B A B A B n B a a a a a ++=+ττA B 点作加速度矢量图如图。由题可知： 222cm /s 90310=?=?=ωOA a n A 222cm/s 5.3724 30===AB v a BA n BA 22 2cm/s 5.372430===BC v a B n B 将 B 点作加速度矢量式向y 轴投影得： τBA n BA n A n B a a a a +-=- 60cos 30sin 得 ： 2cm /s 75.63 -=τBA a 因此得杆AB 的角加速度：
第八章 刚体的平面运动习题解
第八章 刚体的平面运动习题解 [习题8-1] 椭圆规尺ＡＢ由曲柄ＯＣ带动，曲柄以匀角速度ω０绕Ｏ轴匀速转动。如ＯＣ＝ ＢＣ＝ＡＣ＝ｒ，并取Ｃ为基点，求椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程。 解： 椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程为： t r r x C 0cos cos ω?== t r r y C 0sin sin ω?== t 0ω?-=（顺时针转为负）。 [习题8-2] 半径为ｒ的齿轮由曲柄ＯＡ带动，沿半径为Ｒ的固定齿轮滚动。如曲柄ＯＡ以匀加 速度α绕Ｏ轴转动，且当运动开始时，角速度ω０＝０，转角φ＝０，求动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程。 解： αω =dt d dt d αω= 1C t +=αω 100C +?=α 01=C t αω= t dt d αω? == tdt d α?= 222 1C t +=α? 2202 1 0C +?=α 02=C 22 1t α?=
2cos )(cos )(2 t r R r R x A α?+=+= 2 sin )(sin )(2 t r R r R y A α?+=+= A A r t r R OA v ωαω=?+=?=)( t r r R A αω?+= t r r R dt d A α??+= dt t r r R d A ??+= α? 32 2 C t r r R A +??+=α? 32020C r r R +??+= α 03=C 22t r r R A α??+= 故，动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程为： 2 cos )(2 t r R x A α+= 2 sin )(2 t r R y A α+= 22t r r R A α??+= [习题8-3] 试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢量和之一半。 已知：如图所示，CB AC =， →A v ，→ B v 求证：)(2 1→ →→ +=B A C v v v 证明：
理论力学动力学知识点总结
质点动力学的基本方程 知识总结 1.牛顿三定律适用于惯性参考系。 质点具有惯性，以其质量度量； 作用于质点的力与其加速度成比例； 作用与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个物体上。 2.质点动力学的基本方程。 质点动力学的基本方程为，应用时取投影形式。 3.质点动力学可分为两类基本问题。 质点动力学可分为两类基本问题： （1）. 已知质点的运动，求作用于质点的力； （2）. 已知作用于质点的力，求质点的运动。 求解第一类问题，需先求得质点的加速度；求解第二类问题，一般是积分的过程。质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关，这两类的综合问题称为混合问题。 动量定理 知识点总结 1.牛顿三定律适用于惯性参考系。 质点具有惯性，以其质量度量； 作用于质点的力与其加速度成比例； 作用与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个物体上。 2.质点动力学的基本方程。 质点动力学的基本方程为，应用时取投影形式。 3.质点动力学可分为两类基本问题。 质点动力学可分为两类基本问题： （1）. 已知质点的运动，求作用于质点的力； （2）. 已知作用于质点的力，求质点的运动。
求解第一类问题，需先求得质点的加速度；求解第二类问题，一般是积分的过程。质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关，这两类的综合问题称为混合问题。 常见问题 问题一在动力学中质心意义重大。质点系动量，它只取决于质点系质量及质心速度。 问题二质心加速度取决于外力主失，而与各力作用点无关，这一点需特别注意。 动量矩定理 知识点总结 1.动量矩。 质点对点O 的动量矩是矢量。 质点系对点O 的动量矩是矢量。 若z 轴通过点O ，则质点系对于z 轴的动量矩为 。 若 C 为质点系的质心，对任一点O 有。 2.动量矩定理。 对于定点O 和定轴z 有 若 C 为质心，C z 轴通过质心，有
15春地大《理论力学》在线作业一答案
15春地大《理论力学》在线作业一答案 一、单选题（共 25 道试题，共 100 分。） 1. 在惯性参考系中，不论初始条件如何变化，只要质点不受力的作用，则该质点应保持静止或等速直线运动状态。 A. 正确 B. 错误 正确答案：A 2. 杆OA绕固定轴O转动，某瞬时杆端A点的加速度分别如图（a）、（b）、（c）所示。则该瞬时（）的角速度为零 A. 图（a）系统 B. 图（b）系统 C. 图（c）系统。 正确答案：A 3. 刚体作平面运动时，平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。 A. 正确 B. 错误 正确答案：B 4. 刚体作平面运动时，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选取无关。 A. 正确 B. 错误 正确答案：A 5. 在任意初始条件下，刚体不受力的作用、则应保持静止或作等速直线平动。 A. 正确 B. 错误 正确答案：B 6. 冲量的量纲与动量的量纲相同。 A. 正确 B. 错误 正确答案：A 7. 刚体作定轴转动，动点M在刚体内沿平行于转动轴的直线运动，若取刚体为动坐标系，则任一瞬时动点的牵连加速度都是相等的。 A. 正确 B. 错误 正确答案：B 8. 作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。 A. 正确 B. 错误
正确答案：A 9. 任意质点系（包括刚体）的动量可以用其质心（具有系统的质量）的动量来表示。 A. 正确 B. 错误 正确答案：A 10. - A. A B. B C. C D. D 正确答案：A 11. - A. A B. B C. C D. D 正确答案：A 12. 作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。 A. 正确 B. 错误 正确答案：A 13. 在点的合成运动中，动点的绝对加速度总是等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。 A. 正确 B. 错误 正确答案：B 14. 一动点作平面曲线运动，若其速率不变，则其速度矢量与加速度矢量 A. 平行 B. 垂直 C. 夹角随时间变化 正确答案：B 15. 下列关于刚体平面运动的说法错误的是（） A. 刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变 B. 可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形在自身平面内的运动代替刚体的整体运动 C. 刚体的平面运动可分解为随基点的平动和绕基点的转动 D. 基点可以是平面图形内任一点，通常其运动状态未知 正确答案：D 16. 关于刚体的平面运动，下列说法正确的是（） A. 平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点的选择无关 B. 平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择无关，而绕基点转动的规律与基点的选择有关
刚体的平面运动作业习题参考答案1
8-1 图示四杆机构1OABO 中，AB B O OA 2 1 1= =；曲柄OA 的角速度s rad /3=ω。求当090=?而曲柄B O 1重合于1OO 的延长线上时，杆AB 和曲柄B O 1的角速度。 参考答案： 因OA 杆作定轴转动，故OA v A ?=ω。AB 杆做平面运动其速度瞬心为O 点， s rad OA v A AB /3=== ωω，而OA OB v AB B ?=?=ωω3， 所以s rad s rad B O OA B O v B B O /2.5/3333111≈==?== ωωω（逆时针） 8-2 四连杆机构中，连杆AB 上固联一块三角板 ABD 。机构由曲柄A O 1带动。已知：曲柄 的角速度s rad A O /21=ω；曲柄cm A O 101=，水平距离cm O O 521=；AD=5cm ,当A O 1铅垂时， AB 平行于21O O ，且AD 与1AO 在同一直线上；角030=?。求三角板ABD 的角速度和D 点的速度。 参考答案：三角板 ABD C ，由此可得： s rad ctg O O AO AO AC v A O A /07.121111=?+?==?ωω s cm CD v D /35.25=?=ω 8-7 如图所示，在振动机构中，筛子的摆动由曲柄连杆机构所带动。已知曲柄OA 的转速cm OA r n 30min,/40==。当筛子BC 运动到与点O 在同一水平线上时，090=∠BAO ，求此瞬时筛子BC 的速度。 解：由图示机构知BC 作平行移动，图示位置时，B v 与CBO 夹角为30°， 与AB 夹角为60°。 A v B v A v B v
刚体的平面运动作业参考答案
刚体的平面运动作业参考答案 1．图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。如曲柄OA 以等角加速度α 绕O 轴转动，当运动开始时，角速度ω0=0，转角?0=0，求动齿轮以中心A 为基点的平面运动方程。 答案： 2A 2 2 )(21 , 2 sin )( , 2 cos )(t r R r t r R y t r R x A A α?αα+= +=+= 2． 图示平面机构中，曲柄OA =R ，以角速度ω 绕O 轴转动。齿条AB 与半径为 2 R r =的齿轮相啮合，并由曲柄销A 带动。求当齿条与曲柄的交角θ =60o时，齿 轮的角速度。 答案：顺时针 31ωω= 提示：可先用速度投影法求出齿条上与齿轮重合点的速度。
3．图中曲柄OA 长150mm ，连杆AB 长200mm ，BD 长300mm 。设OA ⊥OO 1时，AB ⊥OA ，θ =60o，曲柄OA 的角速度为4rad/s ；求此时机构中点B 和D 的速度以及杆AB 、O 1B 和BD 的角速度。 答案： 逆时针 顺时针顺时针 rad/s 3 4 , rad/s 4 , rad/s 3 , mm/s 800 , mm/s 34001 O =====BD B AB D B v v ωωω 提示：在图示瞬时，杆AB 的速度瞬心为点C ，杆BD 的速度瞬心为点E 。 4．图示平面机构中，曲柄长OA =r ，以角速度ω0绕O 轴转动。某瞬时，摇杆O 1N 在水平位置，而连杆NK 和曲柄OA 在铅垂位置。连杆上有一点D ，其位置为 DK =31 NK ，求D 点的速度。 答案：←= 3 2 0ωr v D 提示：在图示瞬时，杆AB 瞬时平动，杆KN 的速度瞬心为点N 。
清华大学版理论力学课后习题答案大全 第5章点的复合运动分析
第5章 点的复合运动分析 5－1 曲柄OA 在图示瞬时以ω0绕轴O 转动，并带动直角曲杆O 1BC 在图示平面内运动。若d 为已知，试求曲杆O 1BC 的角速度。 解：1、运动分析：动点：A ，动系：曲杆O 1BC ，牵连运动：定轴转动，相对运动：直线，绝对运动：圆周运动。 2、速度分析：r e a v v v += 0a 2ωl v =；0e a 2ωl v v == 01e 1 ωω==A O v BC O （顺时针） 5－2 图示曲柄滑杆机构中、滑杆上有圆弧滑道，其半径cm 10=R ，圆心O 1在导杆BC 上。曲柄长cm 10=OA ，以匀角速rad/s 4πω=绕O 轴转动。当机构在图示位置时，曲柄与水平线交角 30=φ。求此时滑杆CB 的速度。 解：1、运动分析：动点：A ，动系：BC ，牵连运动：平移，相对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动。 2、速度分析：r e a v v v += πω401a =?=A O v cm/s ； 12640a e ====πv v v BC cm/s 5－3 图示刨床的加速机构由两平行轴O 和O 1、曲柄OA 和滑道摇杆O 1B 组成。曲柄OA 的末端与滑块铰接，滑块可沿摇杆O 1B 上的滑道滑动。已知曲柄OA 长r 并以等角速度ω转动，两轴间的距离是OO 1 = d 。试求滑块滑道中的相对运动方程，以及摇杆的转动方程。 解：分析几何关系：A 点坐标 d t r x +=ω?cos cos 1 （1） t r x ω?sin sin 1= （2） （1）、（2）两式求平方，相加，再开方，得： 1．相对运动方程 t rd r d t r d t rd t r x ωωωωcos 2sin cos 2cos 2 2 222221++=+++= 将（1）、（2）式相除，得： 2．摇杆转动方程： d t r t r += ωω?cos sin tan d t r t r +=ωω?cos sin arctan 5－4 曲柄摇杆机构如图所示。已知：曲柄O 1A 以匀角速度ω1绕轴O 1转动，O 1A = R ，O 1O 2 =b ，O 2O = L 。试求当O 1A 水平位置时，杆BC 的速度。 解：1、A 点：动点：A ，动系：杆O 2A ，牵连运动：定 轴转动，相对运动：直线，绝对运动：圆周运动。 1a ωR v A =；2 21222a e R b R R b R v v A A +=+=ω 2、B 点：动点：B ，动系：杆O 2A ，牵连运动：定轴 转动，相对运动：直线，绝对运动：直线。 C 习题5-4图 习题5-1图 A 习题5-3图
理论力学(7.5)--点的合成运动
第七章作业 1、已知：如图所示，点 M 在平面Ox ' y '中运动，运动方程为：x' =40(1-cos t)mm , y' =40sin t mm，式中t 以 s 计，x ' 和 y ' 以 mm 计。平面Ox ' y ' 又绕垂直于该平面的O 轴转动，转动方程为 φ=t rad ，式中角 φ 为动坐标系的 x '轴与定坐标系的 x 轴间的交角。试求：点 M 的相对轨迹和绝对轨迹。 2 、已知：在图 a 和 b 所示的两种机构中，己知= a =200mm ， =3rad/s 。 试求：图示位置时杆 A 的角速度。 3、已知：绕轴O 转动的圆盘及直杆OA 上均有一导槽，两导槽间有一活动销子M ，如图所示， b =0.lm 。设在图示位置时，圆盘及直杆的角速度分别为 =9rad/s 和=3rad/s 。试求：此瞬时销子 M 的速度。
4、已知：图示偏心轮摇杆机构中，摇杆 A 借助弹簧压在半径为 R 的偏心轮 C 上。偏心轮C 绕轴 O 往复摆动，从而带动摇杆绕轴 摆动。设 OC ⊥O时，轮 C 的角速度为ω，角加速度为零，θ =。试求：此时摇杆 A 的角速度 和角加速度 。 5、已知：小车沿水平方向向右作加速运动，其加速度 。在小车上有一轮绕 O 轴转动，轮的半径 r =0.2m ，转动的规律为 。试求：当 t =1s 时，轮缘上点 A 绝对加速度。 6、已知：图示直角曲杆OBC 以匀角速度ω=0.5rad/s 绕 O 轴转动，使套在其上的小环 M 沿固定直杆 OA 滑动， OB =0.1m ， OB 与BC 垂直。 试求：当 φ =时，小环 M 的速度和加速度。
《理论力学》第八章 刚体的平面运动习题解
第八章 刚体的平面运动习题解 [习题8-1] 椭圆规尺ＡＢ由曲柄ＯＣ带动，曲柄以匀角速度ω０绕Ｏ轴匀速转动。如ＯＣ＝ ＢＣ＝ＡＣ＝ｒ，并取Ｃ为基点，求椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程。 解： 椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程为： t r r x C 0cos cos ω?== t r r y C 0sin sin ω?== t 0ω?-=（顺时针转为负）。 [习题8-2] 半径为ｒ的齿轮由曲柄ＯＡ带动，沿半径为Ｒ的固定齿轮滚动。如曲柄ＯＡ以匀加 速度α绕Ｏ轴转动，且当运动开始时，角速度ω０＝０，转角φ＝０，求动齿轮以中心Ａ为基点 的平面运动方程。 解： αω =dt d dt d αω= 1C t +=αω 100C +?=α 01=C t αω= t dt d αω? == tdt d α?= 222 1C t +=α? 22021 0C +?=α 02=C 22 1t α?=
2cos )(cos )(2 t r R r R x A α?+=+= 2 sin )(sin )(2 t r R r R y A α?+=+= A A r t r R OA v ωαω=?+=?=)( t r r R A αω?+= t r r R dt d A α??+= dt t r r R d A ??+= α? 32 2 C t r r R A +??+=α? 32020C r r R +??+= α 03=C 22t r r R A α??+= 故，动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程为： 2 cos )(2 t r R x A α+= 2 sin )(2 t r R y A α+= 22t r r R A α??+= [习题8-3] 试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢量和之一半。 已知：如图所示，CB AC =， →A v ，→ B v 求证：)(2 1→ →→ +=B A C v v v 证明：
第八章刚体的平面运动习题解答
习 题 8-1 椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以匀角速度O ω绕轴O 转动，初始时OC 水平，如图8-28所示。OC = BC = AC =r ，取C 为基点，试求椭圆规尺AB 的平面运动方程。 图8-28 t t r y t r x O O C O C ω?ωω===sin cos 8-2 半径为R 的圆柱缠以细绳，绳的B 端固定在天花板上，如图8-29所示。圆柱自静止下落，其轴心的速度为3/32gh v A =，其中g 为常量，h 为轴心A 至初始位置的距离。试求圆柱的平面运动方程。 图8-29 3/32gh v A = 3/22 gh v A = 3/g a A = 3/2 gt x A = 0=A y )3/(2r gt A =? 8-3 杆AB 的A 端以等速v 沿水平面向右滑动，运动时杆恒与一半径为R 的固定半圆柱 面相切，如图8-30所示。设杆与水平面间的夹角为θ，试以角θ表示杆的角速度。 图8-30 瞬心法 θ θθ θ ωcos sin cot sin 2 R v R v AI v A == = 基点法 θsin v v CA = θ θ θ θωcos sin cot sin 2 R v R v CA v CA === 8-4 图8-31所示两平行齿条同向运动，速度分别为v 1和v 2，齿条之间夹一半径为r 的齿轮，试求齿轮的角速度及其中心O 的速度。 图8-31 AB B A v v v += ωr v v 221+= r v v 22 1-= ω OB B O v v v += 2 2 12v v r v v O += +=ω 8-5 两直杆AC 、BC 铰接于点C ，杆长均为l ，其两端A 、B 分别沿两直线运动，如图8-32所示。当ADBC 成一平行四边形时，m/s 4.0m/s,2.0==B A v v ，试求此时点C 的速度。 图8-32