马尔科夫预测
马尔可夫预测算法
马尔可夫预测算法综述马尔可夫预测法以系统状态转移图为分析对象，对服从给定状态转移率、系统的离散稳定状态或连续时间变化状态进行分析马尔可夫预测技术是应用马尔可夫链的基本原理和方法研究分析时间序列的变化规律，并预测其未来变化趋势的一种技术。
方法由来马尔可夫是俄国的一位著名数学家 (1856—1922)，20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。
针对这种情况，他提出了马尔可夫预测方法，该方法具有较高的科学性，准确性和适应性，在现代预测方法中占有重要地位。
基础理论在自然界和人类社会中，事物的变化过程可分为两类:一类是确定性变化过程；另一类是不确定性变化过程。
确定性变化过程是指事物的变化是由时间唯一确定的，或者说，对给定的时间，人们事先能够确切地知道事物变化的结果。
因此，变化过程可用时间的函数来描述。
不确定性变化过程是指对给定的时间，事物变化的结果不止一个，事先人们不能肯定哪个结果一定发生，即事物的变化具有随机性。
这样的变化过程称为随机过程一个随机试验的结果有多种可能性，在数学上用一个随机变量（或随机向量）来描述。
在许多情况下，人们不仅需要对随机现象进行一次观测，而且要进行多次，甚至接连不断地观测它的变化过程。
这就要研究无限多个，即一族随机变量。
随机过程理论就是研究随机现象变化过程的概率规律性的。
客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化状态即为客观事物可能出现或存在的状况，用状态变量表示状态：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==,2,1,,2,1t N i i X t 它表示随机运动系统，在时刻),2,1( =t t 所处的状态为),2,1(N i i =。
状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。
设客观事物有N E E E E ...,,321共 N 种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有N 个转向（包括转向自身），即由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。
时序预测中的马尔科夫模型介绍(Ⅰ)
时序预测中的马尔科夫模型介绍时序预测是指根据已知的一系列时间序列数据，利用数学模型对未来的数据进行预测。
其中，马尔科夫模型是一种常用的时序预测方法之一。
本文将介绍马尔科夫模型的基本原理、应用场景和局限性。
一、马尔科夫模型的基本原理马尔科夫模型是一种基于状态转移概率的时序预测模型。
它假设当前时刻的状态只与前一时刻的状态相关，与更早的状态无关。
这种假设被称为马尔科夫性质。
以一维离散状态马尔科夫链为例，设状态空间为{1,2,...,N}，则状态i到状态j的转移概率可以用矩阵P表示，其中P(i,j)表示从状态i到状态j的转移概率。
如果马尔科夫链的状态转移概率矩阵与时间无关，即P(i,j)与时间无关，那么这个马尔科夫链就是时间齐次的。
时间齐次马尔科夫链是时序预测中常用的模型之一。
二、马尔科夫模型的应用场景马尔科夫模型在时序预测中有着广泛的应用。
例如，在自然语言处理中，马尔科夫模型可以用来建模文本的生成过程，实现对文本的自动生成和预测。
在金融领域，马尔科夫模型可以用来预测股票价格走势，帮助投资者进行决策。
此外，马尔科夫模型还可以应用于天气预测、生态系统模拟等诸多领域。
在实际应用中，马尔科夫模型通常与其他模型结合使用。
例如，可以将马尔科夫模型与神经网络结合，构建混合模型，以提高预测准确度。
三、马尔科夫模型的局限性尽管马尔科夫模型在时序预测中有着广泛的应用，但它也存在一些局限性。
首先，马尔科夫模型假设状态转移概率与时间无关，这在某些场景下可能并不成立。
例如，某些金融时间序列呈现出明显的季节性变化，这就违背了马尔科夫性质。
其次，马尔科夫模型对状态空间的大小有一定的要求，当状态空间较大时，需要大量的数据来估计状态转移概率矩阵，这会增加模型的复杂度和计算成本。
另外，马尔科夫模型还存在“历史遗忘”问题。
由于马尔科夫模型假设当前状态只与前一时刻的状态相关，因此它无法很好地捕捉长期的依赖关系。
在某些需要考虑长期依赖关系的预测场景中，马尔科夫模型的效果可能不如其他模型。
第十一章马尔科夫预测法
12月份三个企业市场用户拥有量分别为：
甲：1000×0.306 = 306 户
乙：1000×0.246 = 246 户
丙：1000×0.448 = 448 户
17
稳定状态概率为：
Sn SS12nnP1P1121
P21 P221
P3110 P32 0
S3n 1
1 1 1
0.3 0.1 0.3
300 300 300
20
本月的状态：
S 1 S 1 1 S 2 1 S 3 1 S 0 P
0.4 0.3 0.3
0.4 0.3 0.30.6 0.3 0.1
0.6 0.1 0.3
0 .52 0 .24 0 .24
即本月A牌号味精的市场占有率为0.52，B牌号味精 的市场占有率为0.24，C牌号味精的市场占有率为0.24 。
根据市场调查情况，确定一次转移概率矩阵为：
230 10 10
P22500 300 30
250 250
300 10
34230150000 000..00.966277
0.04 0.833 0.022
0.04
0.1
0.911
450 450 450
14
步骤
利用马尔柯夫预测模型进行预测，11月份三个企业市 场占有率为：
R
5 1
1 1
试求下一个季度的即时期望利润和三个季度后的期望 利润。
30
步骤：
根据调查资料估计状态转移概率并确定状态转移概率 矩阵
PP1 177400.7.58 127400.2.52
9
9
31
P2P1P 0 0 .7 .580 0 .2 .5 2 2 0 0..5 66 40 0..4 3 4 6
马尔科夫预测课件.ppt
以 p11 表示连续畅销的可能性，以频率代替概率，得：
p11
7 15 1
50%
??
分子 7 是表中连续出现畅销的次数，分母 15 是表中出现畅销的 次数，因为第24季度是畅销，无后续记录，故减1。
季度
销售 状态
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 畅畅滞畅滞滞畅畅畅滞畅滞 112122111212
7 p21 9 78% 分子 7 是表中由滞销转入畅销的次数，分母数 9 是表中出
现滞销的次数。
季度
销售 状态
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 畅畅滞畅滞滞畅畅畅滞畅滞 112122111212
季度
销售 状态
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅畅滞滞畅畅滞畅滞畅畅畅 112211212111
一、基本概念
它可能跳到第一张或者第三张荷叶，也可能在原地不动。 我们把青蛙在某个时刻所在的荷叶称为青蛙所处的状态， 这样，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状 态有关，与它以前所处的状态无关，这种性质就是所谓 的“无后效性”。 上例中，青蛙所处的那张荷叶，称为青蛙所处的状态， 在经济系统的研究中，一种经济现象，在某一时刻 t 所 出现的某种结果，就是该系统在该时间t 所处的状态。
第三节 马尔可夫决策
一、基本概念
经济学中把这种现象称为“无后效性”，即 “系统在每一时刻的状态仅仅取决于前一时刻 的状态”。 例如，池塘里有三张荷叶，编号为1，2，3，假 设有个青蛙在荷叶上随机地跳来跳去，在初始 时刻 t0，它在第二张荷叶上。在时刻t1，
2
3 1
马尔科夫链预测方法
一、几个基本概念
3.马尔可夫过程 若每次状态的转移都只仅与前 一时刻的状态有关、而与过去的状态无关，或 者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状 态转移过程就称为马尔可夫过程。
在区域开发活动中，许多事件发展过程中的状 态转移都是具有无后效性的，对于这些事件的 发展过程，都可以用马尔可夫过程来描述。
9月
10月
0.1 0.2 0.7 p( 2) p(0) P 2 (0.3,0.2,0.5) 0 . 1 0 . 7 0 . 2 0.08 0.04 0.88
2
11月
0.1 0.2 0.7 (0.2512 ,0.1816 ,0.5672) p( 3) p(0) P 3 (0.3,0.2,0.5) 0 . 1 0 . 7 0 . 2 0.08 0.04 0.88 (0.2319 ,0.1698 ,0.5983 )
3
1 0.7 1 0.1 2 0.08 3 2 0.1 1 0.7 2 0.04 3 由 得 (0.219,0.156,0.625) 3 0.2 1 0.2 2 0.88 3 1 2 3 1
率及极限分布.
解：频数转移矩阵为
得转移概率矩阵为
336 48 96 N 32 224 64 64 32 704
0.7 P 0.1 0.08
0.1 0.7 0.04
0.2 0.2 0.88
n个月的市场占有率为 p(n)= p(0) Pn
二、马尔可夫预测法
表2-19 某地区1990—2000年农业收成状态概率预测值
二、马ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ可夫预测法
（二)终极状态概率预测
马尔科夫预测法简介
故可用矩阵式表达所有状态:
[S1(k),S2(k), …… ,SN(k)]= [S1(0),S2(0), …… ,SN(0)] P[k]
即 S(k) = S(0) P [k] 当满足稳定性假设时,有
S(k) = S(0) Pk 这个公式称为已知初始状态条件下的市场占有
率k步预测模型.
例:东南亚各国味精市场占有率预测, 初期工作: a)行销上海,日本,香港味精,确定状态1,2,3. b)市场调查,求得目前状况,即初始分布 c)调查流动状况;上月转本月情况,求出一步状 态转移概率. 1)初始向量: 设 上海味精状况为1;
0.5
P = 0.78
0.22
此式说明了：若本季度畅销，则下季度畅销和滞销的可能性 各占一半
若本季度滞销，则下季度滞销有78%的把握，滞销风 险22%
二步状态转移矩阵为：
[2] 2
P=P=
0.5 0.5
0.5 0.5
0.78 0.22 0.78 0.22
0.64
0.36
= 0.5616 0.4384
求T
0.6 0.1 0.3 解：设 U = [U1 U2 U3] = [U1 U2 1－U1－U2]
由 UP = U 有
0.4 0.3 0.3
[U1 U2 1－U1－U2] 0.6 0.3 0.1 = [U1 U2 U3]
0.6 0.1 0.3
即
-0.2U1 + 0.6 = U1
0.2U1 + 0.2U2 + 0.1 =U2
定理二：设X为任意概率向量，则XT = U 即任意概率向量与稳态概率矩阵之点积为 固定概率向量。
事实上： U1 U2 …… UN
XT = X• : :
马尔科夫预测法的原理
马尔科夫预测法的原理
马尔科夫预测法是一种基于马尔科夫链的预测方法。
其原理是利用过去的一系列观测值，通过构建一个马尔科夫链模型来预测未来的观测值。
马尔科夫链是一种具有状态转移概率的数学模型，其特点是当前状态的转移只依赖于前一个状态，与其他历史状态无关。
马尔科夫预测法假设未来的观测值只与过去的观测值有关，而与其他因素无关。
具体实施马尔科夫预测法的步骤如下：
1. 收集并整理历史数据，将其分为一系列观测值的序列。
2. 根据历史数据计算每个状态之间的转移概率。
即计算每个观测值之间的转移概率，这可以通过统计历史数据中观测值之间的频率来进行估计。
3. 根据已知的初始状态分布，选择一个初始状态作为预测的起点。
4. 根据转移概率和初始状态，依次生成未来的观测值，直到达到所需的预测长度。
马尔科夫预测法的关键在于确定状态和计算状态之间的转移概率。
这可以通过统计方法、最大似然估计或其他相应的方法来实现。
然后，使用马尔科夫链的转移概率来模拟未来的状态转移，从而得到未来观测值的预测。
马尔可夫预测法
马尔可夫预测法马尔可夫预测法是一种基于概率论的预测方法。
它通过分析系统的状态变化来预测未来的状态。
该方法适用于具有一定规律性的系统，并且可以用于各种领域，例如物理、经济、生物等。
下面将详细介绍马尔可夫预测法的原理和应用。
原理马尔可夫预测法是基于马尔可夫过程的。
马尔可夫过程是一个具有无记忆性的随机过程，即在给定当前状态的情况下，未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
这个过程可以用一个状态转移矩阵来描述。
状态转移矩阵描述了从一个状态到另一个状态的概率，它的每个元素都代表了从一个状态到另一个状态的概率。
通过对状态转移矩阵的分析，可以预测系统在未来的状态。
应用马尔可夫预测法在各种领域都有广泛的应用。
在物理学中，它可以用于预测粒子的运动状态；在经济学中，它可以用于预测股市的走势；在生物学中，它可以用于预测疾病的传播。
下面将分别介绍这些应用。
物理学中的应用在物理学中，马尔可夫预测法可以用于预测粒子的运动状态。
例如，在原子的轨道运动中，电子的运动状态可以用一个状态向量来描述。
通过对状态向量的分析，可以预测电子在未来的位置。
经济学中的应用在经济学中，马尔可夫预测法可以用于预测股市的走势。
例如，在股市中，每一天的股价可以看作是一个状态。
通过对状态转移矩阵的分析，可以预测未来股价的走势。
这种方法已经被证明是一种有效的预测股市走势的方法。
生物学中的应用在生物学中，马尔可夫预测法可以用于预测疾病的传播。
例如，在流行病学中，每个人的健康状态可以看作是一个状态。
通过对状态转移矩阵的分析，可以预测疾病的传播。
这种方法已经被证明是一种有效的预测疾病传播的方法。
总结马尔可夫预测法是一种基于概率论的预测方法。
它通过分析系统的状态变化来预测未来的状态。
该方法适用于具有一定规律性的系统，并且可以用于各种领域。
在物理、经济、生物等领域中，马尔可夫预测法已经成为一种重要的预测方法。
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第6章 马尔可夫预测马尔可夫预测方法不需要大量历史资料，而只需对近期状况作详细分析。
它可用于产品的市场占有率预测、期望报酬预测、人力资源预测等等，还可用来分析系统的长期平衡条件，为决策提供有意义的参考。
6.1 马尔可夫预测的基本原理马尔可夫（A.A.Markov ）是俄国数学家。
二十世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状态有关，而与事物的过去状态无关。
具有这种特性的随机过程称为马尔可夫过程。
设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济和社会行为都可用这一类过程来描述或近似，故其应用范围非常广泛。
6.1.1 马尔可夫链为了表征一个系统在变化过程中的特性（状态），可以用一组随时间进程而变化的变量来描述。
如果系统在任何时刻上的状态是随机的，则变化过程就是一个随机过程。
设有参数集(,)T ⊂-∞+∞，如果对任意的t T ∈，总有一随机变量t X 与之对应，则称{,}t X t T ∈为一随机过程。
如若T 为离散集（不妨设012{,,,...,,...}n T t t t t =），同时t X 的取值也是离散的，则称{,}t X t T ∈为离散型随机过程。
设有一离散型随机过程，它所有可能处于的状态的集合为{1,2,,}S N =L ，称其为状态空间。
系统只能在时刻012,,,...t t t 改变它的状态。
为简便计，以下将n t X 等简记为n X 。
一般地说，描述系统状态的随机变量序列不一定满足相互独立的条件，也就是说，系统将来的状态与过去时刻以及现在时刻的状态是有关系的。
在实际情况中，也有具有这样性质的随机系统：系统在每一时刻（或每一步）上的状态，仅仅取决于前一时刻（或前一步）的状态。
这个性质称为无后效性，即所谓马尔可夫假设。
具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔可夫链。
用数学语言来描述就是：马尔可夫链 如果对任一1n >，任意的S j i i i n ∈-,,,,121Λ恒有{}{}11221111,,,n n n n n n P X j X i X i X i P X j X i ----=======L (6.1.1)则称离散型随机过程{,}t X t T ∈为马尔可夫链。
例如，在荷花池中有N 张荷叶，编号为1,2,...,N 。
假设有一只青蛙随机地从这张荷叶上跳到另一张荷叶上。
青蛙的运动可看作一随机过程。
在时刻n t ，青蛙所在的那张荷叶，称为青蛙所处的状态。
那么，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状态()N i i ,,2,1Λ=有关，与它以前在哪张荷叶上无关。
此过程就是一个马尔可夫链。
由于系统状态的变化是随机的，因此，必须用概率描述状态转移的各种可能性的大小。
6.1.2 状态转移矩阵马尔可夫链是一种描述动态随机现象的数学模型，它建立在系统“状态”和“状态转移”的概念之上。
所谓系统，就是我们所研究的事物对象；所谓状态，是表示系统的一组记号。
当确定了这组记号的值时，也就确定了系统的行为，并说系统处于某一状态。
系统状态常表示为向量，故称之为状态向量。
例如，已知某月A 、B 、C 三种牌号洗衣粉的市场占有率分别是0.3、0.4、0.3，则可用向量()0.3,0.4,0.3P =来描述该月市场洗衣粉销售的状况。
当系统由一种状态变为另一种状态时，我们称之为状态转移。
例如，洗衣粉销售市场状态的转移就是各种牌号洗衣粉市场占有率的变化。
显然，这类系统由一种状态转移到另一种状态完全是随机的，因此必须用概率描述状态转移的各种可能性的大小。
如果在时刻n t 系统的状态为n X i =的条件下，在下一个时刻1n t +系统状态为1n X j +=的概率()ij p n 与n 无关，则称此马尔可夫链是齐次马尔可夫链，并记{}1,,1,2,,ij n n p P X j X i i j N +====L称ij p 为状态转移概率。
显然，我们有10,,1,2,,,1,1,2,,.ij Nij j p i j N p i N =≥===∑L L转移矩阵 设系统的状态转移过程是一齐次马尔可夫链，状态空间 {}N S ,,2,1Λ=有限，状态转移概率为ij p ，则称矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=NN N N N N p p p p p p p p p P ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 (6.1.2) 为该系统的状态转移概率矩阵，简称转移矩阵。
为了论述和计算的需要，引入下述有关概念。
概率向量 对于任意的行向量（或列向量），如果其每个元素均非负且总和等于1，则称该向量为概率向量。
概率矩阵 由概率向量作为行向量所构成的方阵称为概率矩阵。
对于一个概率矩阵P ，若存在正整数m ，使得m P 的所有元素均为正数，则称矩阵P 为正规概率矩阵。
例如，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5.05.03.07.0A 中每个元素均非负，每行元素之和皆为1，行数和列数相同，为22⨯方阵，故矩阵A 为概率矩阵。
概率矩阵有如下性质：如果A 、B 皆是概率矩阵，则AB 也是概率矩阵；如果A 是概率矩阵，则A 的任意次幂(0)m A m ≥也是概率矩阵。
对1k ≥，记(){}()()(),,kij n k n k k ijN Np P X j X i Pp +⨯==== (6.1.3)称()k ijp 为k 步状态转移概率，()k P为k 步状态转移概率矩阵，它们均与n 无关（从下面的式(6.1.4)也可看出）。
特别，当1k =时，()1ij ij p p =为1步状态转移概率。
马尔可夫链中任何k 步状态转移概率都可由1步状态转移概率求出。
由全概率公式可知对1≥k 有（其中()0P表示单位矩阵）：(){}kij n k n p P X j X i +==={}{}111Nn k n n k n k l P X l X i P x j X l +-++-====⋅==∑(1)1,,1,2,...,Nk il lj l p p i j N -===∑ 其中用到马尔可夫链的“无记忆性”和齐次性。
用矩阵表示，即为P P P k k )1()(-=，从而可得()1,≥=k P P k k (6.1.4)记0t 为过程的开始时刻，()(){}000i p P X X t i ===，则称()()()()()1200,0,...,0N P p p p =为初始状态概率向量。
如已知齐次马尔可夫链的转移矩阵()ij P p =以及初始状态概率向量()0P ，则任一时刻的状态概率分布也就确定了：对1≥k ，记(){}i k p k P X i ==，则由全概率公式有()()()10,1,2,,,1Nki j ji j p k p p i N k ==⋅=≥∑L (6.1.5)若记向量()()()()()12,,,N P k p k p k p k =L ，则上式可写为()()()()00k k P k P P P P == (6.1.6)由此可得，()()1P k P k P =- (6.1.7)例6.1 考察一台机床的运行状态。
机床的运行存在正常和故障两种状态。
由于出现故障带有随机性，故可将机床的运行看作一个状态随时间变化的随机系统。
可以认为，机床以后的状态只与以前的状态有关，而与过去的状态无关，即具有无后效性。
因此，机床的运行可看作马尔可夫链。
设正常状态为1，故障状态为2，即机床的状态空间由两个元素组成。
机床在运行过程中出现故障，这时从状态1转移到状态2；处于故障状态的机床经维修，恢复到正常状态，即从状态2转移到状态1。
现以一个月为时间单位。
经观察统计，知从某月份到下月份机床出现故障的概率为0.2，即120.2p =。
其对立事件，保持正常状态的概率为110.8p =。
在这一时间，故障机床经维修返回到正常状态的概率为0.9，即210.9p =；不能修好的概率为220.1p =。
机床的状态转移情形见图6.1。
由机床的一步转移概率得状态转移概率矩阵111221220.80.20.90.1pp P p p ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 若已知本月机床的状态向量(0)(0.850.15)P =，现要预测机床两个月后的状态。
先求出两步转移概率矩阵图6.1 机床的状态转移2(2)20.80.20.820.180.90.10.810.19P P ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦矩阵的第一行表明，本月处于正常状态的机床，两个月后仍处于正常状态的有0.82，转移到故障状态的有0.18。
第二行说明，本月处于故障状态的机床，两个月后转移到正常状态的有0.81，仍处于故障状态的有0.19。
于是，两个月后机床的状态向量(2)0.820.18(2)(0)(0.850.15)0.810.19(0.81850.1815)P P P ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦=6.1.3 稳态概率矩阵在马尔可夫链中，已知系统的初始状态和状态转移概率矩阵，就可推断出系统在任意时刻可能所处的状态。
现在需要研究当k 不断增大时，()k P 的变化趋势。
1． 平稳分布若存在非零概率向量()12,,,N X x x x =L ，使得XP X =，其中P 为一概率矩阵，则称X 为P 的固定概率向量。
特别，设()12,,,N X x x x =L 为一状态概率向量，P 为状态转移概率矩阵。
若XP X = (6.1.8)即N j x px j iji i,,2,1,Λ==∑则称X 为马尔可夫链的一个平稳分布。
若随机过程某时刻的状态概率向量()k P 为平稳分布，则称过程处于平衡状态。
一旦过程处于平衡状态，则过程经过一步或多步状态转移之后，其状态概率分布保持不变，也就是说，过程一旦处于平衡状态后将永远处于平衡状态。
对于我们所讨论的状态有限（即N 个状态）的马尔可夫链，平稳分布必定存在[1]。
特别地，当状态转移矩阵为正规概率矩阵时，平稳分布唯一。
此时，求解方程(6.1.8)，即可得到系统的平稳分布。
2． 稳态分布对概率向量()12,,...,N ππππ=，如对任意的S j i ∈,均有()lim ij j m p m π→+∞= (6.1.9)则称π为稳态分布。
此时，不管初始状态概率向量如何，均有()()()11lim lim0()0NNj i ij i j j m m i i p m p p m p ππ→+∞→+∞=====∑∑或12lim ()lim ()()()N m m P m p m p m p m π→∞→∞==（，，...,）这也是称π为稳态分布的理由。
设存在稳态分布()12,,...,N ππππ=，则由于下式恒成立()()1P k P k P =-+∞→k ，就得P ππ= (6.1.10)即，有限状态马尔可夫链的稳态分布如存在，那么它也是平稳分布。