公共经济预测与决策 第6章 马尔科夫预测法[精]
马尔科夫链
马尔科夫预测法一、马尔科夫转移矩阵法的涵义单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率。
在激烈的竞争中，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化。
企业在对产品种类与经营方向做出决策时，需要预测各种商品之间不断转移的市场占有率。
市场占有率的预测可采用马尔科夫转移矩阵法，也就是运用转移概率矩阵对市场占有率进行市场趋势分析的方法。
马尔科夫是俄国数学家，他在20世纪初发现：一个系统的某些因素在转移中，第n次结果只受第n-1的结果影响，只与当前所处状态有关，与其他无关。
比如：研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻的累计：销售额都无关。
，在马尔科夫分析中，引入状态转移这个概念。
所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状态；状态转移是指客观事物由一种状态转穆到另一种状态的概率。
马尔科夫分析法的一般步骤为：①调查目前的市场占有率情况；②调查消费者购买产品时的变动情况；③建立数学模型；④预测未来市场的占有率。
二、马尔科夫分析模型实际分析中，往往需要知道经过一段时间后，市场趋势分析对象可能处于的状态，这就要求建立一个能反映变化规律的数学模型。
马尔科夫市场趋势分析模型是利用概率建立一种随机型的时序模型，并用于进行市场趋势分析的方法。
马尔科夫分析法的基本模型为：X(k+1)=X(k)×P公式中：X(k)表示趋势分析与预测对象在t=k时刻的状态向量，P表示一步转移概率矩阵，X(k+1)表示趋势分析与预测对象在t=k+1时刻的状态向量。
必须指出的是，上述模型只适用于具有马尔科夫性的时间序列，并且各时刻的状态转移概率保持稳定。
若时间序列的状态转移概率随不同的时刻在变化，不宜用此方法。
由于实际的客观事物很难长期保持同一状态的转移概率，故此法一般适用于短期的趋势分析与预测。
三、马尔科夫过程的稳定状态在较长时间后，马尔科夫过程逐渐处于稳定状态，且与初始状态无关。
《系统工程原理》课程标准
《系统工程原理》课程标准（执笔人：颜兆林罗鹏程审阅学院：信息系统与管理学院）课程编号：0811208英文名称：Principle of Systems Engineering预修课程：高等数学、线性代数、概率论与数理统计、运筹学基础学时安排：54学时，其中讲授43学时，实践8学时，考核3学时学分：3一、课程概述（一）课程性质地位本课程为技术类系统工程、指挥信息系统工程、管理工程专业本科学员的学科基础必修课程，合训类系统工程专业本科学员的专业综合必修课程。
通过本课程的教学，使学员理解系统工程方法论，学会用系统的观点分析问题，并且掌握系统工程分析解决问题的基本概念、基本原理和基本方法，初步具有运用系统建模、系统分析、系统预测、系统评价、系统决策与系统网络计划等系统工程方法分析解决实际问题的能力，为达成相关专业人才培养的目标奠定基础。
（二）课程基本理念以素质教育和创新教育为指导思想，贯彻知识、能力、素质相结合以及发展性、教与学良性互动的原则，注重理论讲解与方法应用的结合，使学员掌握系统工程的基本概念、原理和方法，并初步具有运用系统工程有关方法来解决实际问题的能力。
（三）课程设计思路在相关专业教育改革的基本理念的指导下，结合我校本科生培养目标和专业需求，进行本课程教学的总体框架设计；以系统工程方法论、系统建模与系统分析、系统预测、系统评价、系统决策和网络计划技术为主要章节，合理划分课程教学的重点掌握内容和一般了解内容，教学过程中适当引入国内外系统工程方向的新进展和新成果，保证课程的先进性和创新性；采用课堂讲解的方式实施教学，通过闭卷考试的方式考核学员对内容的掌握情况并评价教学效果。
二、课程目标（一）知识与技能使学员能够描述和解释系统工程的基本原理和方法，能够阐述系统工程基本概念，并能够对系统工程的基本理论、模型和方法加以灵活运用，举一反三。
（二）过程与方法使学员理解运用系统工程的原理和方法解决工程实际问题的本质，掌握系统工程的有关模型和方法。
马尔科夫预测
马尔科夫预测马尔柯夫预测法第三节马尔柯夫预测 ? 马尔柯夫(A.A Markov)预测法是应用概率论中马尔柯夫链的理论和方法来研究随机事件变化并借此分析预测未来变化趋势的一种方法。
? 马尔柯夫(A.A Markov 俄国数学家)。
一(基本概念二(稳态概率三(实例第三节马尔可夫决策案例引入:实例2: P198 例6-7 我国出口某种设备，在国际市场上的销售状况有两种:畅销和滞销。
畅销每年可以获利 100万元，滞销时每年仅获利30万元。
以一年为一个时期，如果不采用广告推广产品或采取广告措施，状态的转移矩阵分别为如表6-5、表6-6所示。
第三节马尔可夫决策表6-3 不采取广告措施畅销畅销滞销 0.8 0.4 滞销0.2 0.6 表6-4采取广告措施畅销畅销滞销 0.9 0.7 滞销 0.1 0.3 假定上一年处于畅销状态，每年的广告费为15 万元。
为了保证今后3年的利润最大化，是否应该采用广告措施,案例引入:例6-5P194 某企业为使技术人员具有多方面经验，实行技术人员在技术部门，生产部门和销售部门的轮换工作制度。
轮换办法采取随机形式，每半年轮换一次，初始状态，即技术人员开始是在某部门工作概率用表示，j=1，2，;pij表示处于第i个部门的技术人员在半年后(一步) 转移到第j个部门的概率。
已知状态转移概率 ? P1 1 ? P ? P2 1 ? ?P ? 31 P (0) P1 2 P2 2 P3 2 (0) (0) P1 3 ? ? 0 .5 ? ? P2 3 ? 0 ? ? P3 3 ? ? 0 .7 5 ? ? (0) 0 .5 0 .5 0 .2 50 ? ? 0 .5 ? 0 ? ? ? ( p1 , p 2 , p 3 ) 如果某人开始在工程技术部门工作(部门1)，则经过2次转移后它在生产部门工作(部门2) 的概率是多少,一、基本概念 ? 20世纪初，马尔科夫在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。
第六章 系统预测
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第三节 马尔可夫预测法
一、马尔可夫过程的状态转移概率关系 假定某一预测对象可能处在S1，S2，…，Si，…，Sn， n个状态，而且每次只能处在一个状态Si（i=1，2，…，n） 中，那么经过⊿t时间后，Si状态有n种转移的可能性，如表 6-1所示。 表6-1 转移概率
状态转移 Si→S1 Si→S2
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
全国高等农林院校“十一五”规划教材
农业系统工程
王福林 主编
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第六章 系统预测
第一节 预测概述
第二节 德尔菲法
第三节 马尔可夫预测法
第四节 季节周期预测法
第五节 组合预测方法
第六节 人口预测方法
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第一节 预测概述
一、预测的概念、目的与意义
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第二节 德尔菲法
二、德尔菲法的基本步骤
当有n个专家时，对某一指标的回答分别为 x1 , x2 , x3 , , xn
且有 x1 x2 x3 xn1 xn
则其中位数 x 为
n为奇数 , n 1/2 k xk 1 x n 为偶数 , n/2 k xk xk 1 /2
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第二节 德尔菲法
德尔菲法的优点是，由于专家之间不发生联系，他们 各自仅知道某种意见，但不知是由谁提出的，便于排除有 碍面子、随声附和等心理因素的影响。
一、德尔菲法的主ห้องสมุดไป่ตู้特点
匿名性 反馈性 趋同性
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第二节 德尔菲法
马尔科夫矩阵
应用
假定某大学有1万学生，每人每月用1支牙膏，并且只使用 “中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。根据本月（12月）调 查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使用中华牙膏。
又据调查,使用黑妹牙膏的3000人中，有60％的人下月将继 续使用黑妹牙膏，40％的人将改用中华牙膏；使用中华牙膏的 7000人中，有70％的人下月将继续使用中华牙膏，30％的人将 改用黑妹牙膏。据此，可以得到如表所示的统计表。
称为二步转移矩阵，也即由12月份的情况通过2步转移到2 月份的情况。二步转移概率矩阵正好是一步转移概率矩阵的平方。
一般地， k步转移概率矩阵正好是一步转移概率矩阵的k次方。 可以证明，k步转移概率矩阵中,各行元素之和也都为1。
应用
例: 设某地区有甲、乙、丙三家企业，生产同一种产品，共
同供应1000家用户。假定在10月末经过市场调查得知，甲、
定义
转移概率矩阵(Transition Probability Matrix)： 由转移概率组成的矩阵就是转移概率
矩阵。也就是说构成转移概率矩阵的元素 是一个个的转移概率。
性质
转移概率矩阵有以下特征： ①0≤Pij≤1
n
② Pi j 1 ，即矩阵中每一行 j 1
转移概率之和等于1。
性质
马尔科夫矩阵的特征值： 1）λ=1是它的一个特征值，它对 应的特征向量x1的所有元素是非 负值； 2）所有其他的特征值 |λi|<1；
THANKS
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主讲人：左壮 ppt制作：程增瑞 资料整理：程增瑞 刘少丞 李若菡
张妍
本小组在一起讨论了两次 我们讨论了分工以及定下 的主题，并完成分配的 任务，并进行了排练，以应用_郝飞》、 《马尔科夫预测法在学生个人 成绩预测中的应用》、 《马尔科夫链模型在学生学习 评价中的应用》等文章
马尔可夫预测算法
马尔可夫预测算法综述马尔可夫预测法以系统状态转移图为分析对象，对服从给定状态转移率、系统的离散稳定状态或连续时间变化状态进行分析马尔可夫预测技术是应用马尔可夫链的基本原理和方法研究分析时间序列的变化规律，并预测其未来变化趋势的一种技术。
方法由来马尔可夫是俄国的一位著名数学家 (1856—1922)，20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。
针对这种情况，他提出了马尔可夫预测方法，该方法具有较高的科学性，准确性和适应性，在现代预测方法中占有重要地位。
基础理论在自然界和人类社会中，事物的变化过程可分为两类:一类是确定性变化过程；另一类是不确定性变化过程。
确定性变化过程是指事物的变化是由时间唯一确定的，或者说，对给定的时间，人们事先能够确切地知道事物变化的结果。
因此，变化过程可用时间的函数来描述。
不确定性变化过程是指对给定的时间，事物变化的结果不止一个，事先人们不能肯定哪个结果一定发生，即事物的变化具有随机性。
这样的变化过程称为随机过程一个随机试验的结果有多种可能性，在数学上用一个随机变量（或随机向量）来描述。
在许多情况下，人们不仅需要对随机现象进行一次观测，而且要进行多次，甚至接连不断地观测它的变化过程。
这就要研究无限多个，即一族随机变量。
随机过程理论就是研究随机现象变化过程的概率规律性的。
客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化状态即为客观事物可能出现或存在的状况，用状态变量表示状态：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==,2,1,,2,1t N i i X t 它表示随机运动系统，在时刻),2,1( =t t 所处的状态为),2,1(N i i =。
状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。
设客观事物有N E E E E ...,,321共 N 种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有N 个转向（包括转向自身），即由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。
案例九-马尔科夫预测
案例九-马尔科夫预测案例九 马尔科夫预测一、 市场占有率的预测重点例1：在北京地区销售鲜牛奶主要由三个厂家提供。
分别用1，2，3表示。
去年12月份对2000名消费者进行调查。
购买厂家1，2和3产品的消费者分别为800，600和600。
同时得到转移频率矩阵为：3202402403601806036060180N ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中第一行表示，在12月份购买厂家1产品的800个消费者中，有320名消费者继续购买厂家1的 产品。
转向购买厂家2和3产品的消费者都是240人。
N 的第二行与第三行的含义同第一行。
（1） 试对三个厂家1~7月份的市场占有率进行预测。
（2） 试求均衡状态时，各厂家的市场占有率。
解：（1）用800，600和600分别除以2000，得到去年12月份各厂家的市场占有率，即初始分布0(0.4,0.3,0.3)p =。
用800，600和600分别去除矩阵N 的第一行、第二行和第三行的各元素，得状态转移矩阵：0.40.30.30.60.30.10.60.10.3P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是，第k 月的绝对分布，或第 月的市场占有率为：00()(1,2,3,,7)k k P p P k p P =⋅=1k =时，()()10.40.30.30.40.30.30.60.30.10.520.240.240.60.10.3p ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭2k =时，()()()220.40.30.30.520.240.240.4960.2520.252p P P ===3k =时,()()()330.40.30.30.4960.2520.2520.50080.24960.2496p P P === 类似的可以计算出4p ，5p ，6p 和7p 。
现将计算结果绘制成市场占有率变动表，如表所示：从表中可以看到，厂家1的市场占有率随时间的推移逐渐稳定在50%，而厂家2和厂家3的市场占有率随都逐渐稳定在25%.由于转移概率矩阵P 是正规矩阵，因此P 有唯一的均衡点μ。
决策与预测第八章马尔可夫预测
决策与预测第八章马尔可夫预测马尔可夫预测（Markov Prediction）是一种基于马尔可夫模型的预测方法。
马尔可夫模型是一种具有状态转移特性的随机过程，即当前状态的发生只与前一个状态有关，与之前的状态无关。
马尔可夫预测依据这一性质，通过对已有的状态序列进行分析，来预测未来可能的状态。
马尔可夫预测在许多领域都有应用，比如天气预测、股市预测、自然语言处理等。
在天气预测中，我们可以将天气分为晴天、阴天、雨天等若干个状态，通过观察历史天气数据，建立马尔可夫模型，从而预测未来几天的天气情况。
在股市预测中，我们可以将股票价格分为涨、跌、平稳等若干个状态，通过分析历史股价数据，建立马尔可夫模型，从而预测未来股票价格的走势。
马尔可夫预测的关键是确定马尔可夫链的阶数。
马尔可夫链的阶数决定了当前状态只与前几个状态有关。
一般情况下，阶数越高，预测的准确性越高，但计算复杂度也越高。
选择合适的阶数需要根据具体问题进行权衡。
马尔可夫预测的关键步骤包括状态定义、状态转移矩阵的估计和预测结果生成。
首先，需要将观测序列转化为状态序列。
状态定义需要根据具体问题确定，通常是将连续的观测值离散化为若干个状态。
然后，需要估计马尔可夫链的状态转移矩阵。
状态转移矩阵描述了从一个状态转移到另一个状态的概率。
可以通过历史数据来估计状态转移矩阵，常用的方法有最大似然估计和贝叶斯估计。
最后，通过状态转移矩阵和当前的状态，可以通过马尔可夫链进行状态的预测。
马尔可夫预测有一些优点和限制。
优点是简单易用，不需要太多的领域知识，只需要一些历史数据。
同时，马尔可夫预测可以处理非线性和非平稳的数据，具有一定的适应性。
然而，马尔可夫预测也有一些限制。
首先，马尔可夫模型假设当前状态只与前一个状态相关，而与之前的状态无关，这个假设在一些情况下可能不成立。
其次，马尔可夫模型对于状态转移矩阵的估计需要大量的历史数据，否则预测的准确性可能较低。
在实际应用中，马尔可夫预测通常与其他方法结合使用，以提高预测的准确性。
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• 所谓“成熟”的股票市场是指这样的市场： 未来一天指数的涨跌只与未来一天将要公 布的信息有关，同时对当前指数的涨跌进 行必要的修正。以前股票市场的涨跌对未 来一天的涨跌不产生任何影响。
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6.1.3 一步转移概率矩阵
• 在例6.5中，Z t 的状态空间为S1,1。在第t
• 其中，p1,1(2)表示在第 t个交易日指数下 跌的条件下，第 t 2个交易日指数继续 下跌的概率。
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• 这些条件概率 p 1 , 1 (2 )p , 1 ,1 (2 )p ,1 , 1 (2 )p ,1 ,1 (2 ) 称为马尔科夫链 Z(t),tT的两步转移概率； 称由它们构成的矩阵
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6.1 马尔科夫链及转移概率
6.1.1 随机过程(Stochasitc Process)
在自然界和人类社会中，事物的变化过程 可分为两类：一类是确定性变化过程；另 一类是不确定性变化过程。
确定性变化过程是指事物的变化是由时间 唯一确定的，或者说，对给定的时间，人 们事先能确切地知道事物变化的结果。因 此，变化过程可用时间的函数来描述。
马尔科夫链是指具有无后效性的时间序列。
所谓无后效性是指序列将来处于什么状态只 与它现在所处的状态有关，而与它过去处于 什么状态无关。
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• 例6.5 考察一个“成熟”股票市场指数的涨 跌情况。记
Zt 1,1，第 第tt个 个交 交易 易日 日下 不t跌 跌 T 0 ,1 ,2 ,
是一随机变量，因此 Z (t)t, 0 , 是一随
机过程。
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6.1.2 马尔科夫链
离散随机序列也称时间序列。时间参数空间
通常取 T0,1 ,2,3 , ，Z (t)习惯上记为 Z t 。Z t
所有可能的取值构成的集合称为序列的状态 空间，记为 S。不妨设 S是一个整数集合。
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不确定性变化过程是指对给定的时间， 事物变化的结果不止一个，事先人们不 能肯定哪个结果一定发生，即事物的变 化具有随机性。这样的变化过程称为随 机过程。
随机过程是一连串随机事件动态关系的 定量描述。
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例6.1 设Z (t)是北京市未来一天 t时刻的温度。
p 1 , 1 ( 2 ) P Z t 2 1 Z t 1 ;p 1 ,1 ( 2 ) P Z t 2 1 Z t 1 p 1 , 1 ( 2 ) P Z t 2 1 Z t 1 ;p 1 ,1 ( 2 ) P Z t 2 1 Z t 1
ห้องสมุดไป่ตู้
•
由一步转移概率构成的矩阵
P
p1,1 p1,1
p1,1 p1,1
• 称为马尔科夫链的一步转移概率矩阵。
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• 定义6.1 设马尔科夫链 Z(t),tT的状态空间
为S1 ,2 , ,n ，用 p ij表示已知 t时刻Z t 处于状
态
i的条件下， t
p 1 , 1 P Z t 1 1 Z t 1 ;p 1 ,1 P Z t 1 1 Z t 1
• 其中，p1,1表示在第 t个交易日指数下跌的条件 下，第 t 1 个交易日指数继续下跌的概率。
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• 这些条件概率称为马尔科夫链的一步转 移概率。一步转移概率通常与时间 t有关。 如果一步转移概率与 t无关，我们称马尔 科夫链是平稳的。以后提到的马尔科夫 链都是指平稳的马尔科夫链。
显然，对任意指定的时间 t0,24，事先无
法确定 Z (t)的取值，即 Z (t)是一随机变量，
因此 Z(t)t, 0,24 是一随机过程。
例6.2 设Z (t)是某市电话局在未来时间 t内收
到的呼叫次数，t0,。由于对任意给定
的时间 t，事先无法确定Z (t) 的取值，即Z (t)
P(2)pp1,1,11((22))
p1,1(2) p1,1(2)
第6章 马尔科夫预测法
概述
马尔科夫(A. A. Markov)是俄国伟大的数 学家。
马尔科夫链是人类历史上第一个从理论 上提出并加以研究的随机过程模型。
马尔科夫预测法是应用马尔科夫链的基 本原理和基本方法研究分析时间序列的 变化规律，并预测其未来变化趋势的一 种方法。这种方法在经济预测与经营决 策等方面有着广泛的应用。
是已知
Zt
i的条件下
Z
t
的条件分布，
1
因此第 i行元素满足如下两个条件：
n
pij0, j1,2, ,n;
pij 1
j 1
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6.1.4 k步转移概率矩阵
• 例6.5中，在第 t个交易日指数不跌的条 件下，第t 2个交易日指数可能不跌， 也可能下跌。类似地，记
1时刻
Z
处于状态
t 1
j的条件
概率，即 p i jP Z t 1 j Z t i( i ,j 1 , 2 , , n ) ，
称 pij(i,j1,2, ,n)为马尔科夫链的一步转移
概率，并称 pij(i,j1,2, ,n)构成的n阶方阵
p11 p12p1n
P (pij)nn
p21
pn1
p22p2n
pn2
pnn
• 为一步状态转移概率矩阵。
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• 一步转移概率矩阵 P(pij)nn 描述了 t时 刻系统内各状态到 t 1时刻系统内各状
态的变化规律性。
• 一步转移概率矩阵P的第 i行元素实际上
个交易日指数不跌的条件下，第 t 1个交易日 指数可能不跌，也可能下跌。同样，在第 t个 交易日指数下跌的条件下，第 t 1个交易日指 数可能不跌，也可能下跌。记
p 1 , 1 P Z t 1 1 Z t 1 ;p 1 ,1 P Z t 1 1 Z t 1