灰色预测马尔科夫
《2024年基于灰色马尔可夫模型的北京市文化消费预测》范文
《基于灰色马尔可夫模型的北京市文化消费预测》篇一一、引言随着经济的快速发展和人民生活水平的提高，文化消费逐渐成为消费结构的重要组成部分。
作为我国首都，北京市文化消费的发展不仅影响着其自身经济文化水平，还具有强烈的示范和带动作用。
因此，准确预测文化消费趋势，对政策制定和文化产业发展具有重要的指导意义。
本文采用灰色马尔可夫模型对北京市文化消费进行预测，以期为相关决策提供科学依据。
二、灰色马尔可夫模型简介灰色系统理论是一种研究信息不完全、数据不足或不确定性问题的控制理论。
马尔可夫模型则是一种基于随机过程的统计预测模型，能够通过捕捉数据的动态变化特性进行预测。
灰色马尔可夫模型将灰色系统理论与马尔可夫模型相结合，适用于数据量少、不确定性强的问题。
三、数据来源与处理本文选取北京市近十年的文化消费数据作为研究对象，数据来源于北京市统计局。
在数据处理过程中，首先对原始数据进行清洗和整理，去除异常值和缺失值。
然后，采用灰色系统理论对数据进行灰色化处理，以揭示数据间的内在联系和规律。
四、模型构建与预测1. 灰色马尔可夫模型的构建在灰色化处理的基础上，构建灰色马尔可夫模型。
该模型包括灰色预测部分和马尔可夫转换部分。
灰色预测部分用于预测文化消费的未来趋势，马尔可夫转换部分则用于描述文化消费在不同状态之间的转移概率。
2. 模型参数估计与优化利用北京市历史文化消费数据，对灰色马尔可夫模型的参数进行估计和优化。
通过不断调整模型参数，使模型能够更好地拟合历史数据，提高预测精度。
3. 文化消费预测根据优化后的灰色马尔可夫模型，对北京市未来几年的文化消费进行预测。
预测结果将包括文化消费的未来趋势和不同状态之间的转移概率。
五、结果分析1. 预测结果根据灰色马尔可夫模型，我们得出了北京市未来几年的文化消费预测结果。
结果显示，北京市文化消费呈现稳步增长的趋势，且在不同状态之间的转移概率相对稳定。
2. 结果分析从预测结果来看，北京市文化消费将继续保持增长态势，这表明北京市居民对文化产品的需求持续增加，文化产业的发展具有较大的潜力。
试析黄金市场的灰色——马尔可夫预测
试 析黄 金 市场 的灰 色
刘 亚非 陈燕 武
马 尔可夫 预 测
（ 华侨大学经济与金 融学院， 福建 泉 州 ３２２ ） ６０ １ 【 要】 摘 本文通过对 影响黄金 市场的因素 的分析， 利用灰 色系统理论 建立相应 的灰 色—— 马 尔 夫预测模型 ， 柯 并结合对上 海
灰色系统理论 的一个核心基础预测模型， 在诸多领域中取得 了 较好的效果 ； 但是 Ｇ （，） Ｍ １ １模型所刻画 的灰色量度 ， 其几何 图
Ｑ【
一
ｚ”ｎ （ ） （
种表现模式 ， 其中必然蕴含着某种 内在定律。Ｇ １ １模型是 参数列 ， Ｍ（，） 用最 ， －乘估计得 ： ｆｂＴ （ Ｔ ） ， 白化 方程 Ｊ ￣ ａ ａ ］＝Ｂ Ｂ。 ， Ｂ 则 ＋ Ｘ（ 的时 间响应函数 为 ｘ （ １ ＝ Ⅲ Ｉ一． ） Ｌ旦 ， ａ １ ｂ ｍ ｔ ）（ （） ｅ 卜 ＋ ＝ｘ
（） ‘ｉｋ Ｉ ， ，； ｋ＝ ０ ） ＝ ， … ｎ 构造 ｚ１ ｘ［ ）， ２ （ － 【 ） 】 为 】 的紧邻均 值生成序列： 】 ｚ）
ｉ ｌ
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（ （） ｍ３， ， （）， 中 ｚ （） （∞ｋ＋ ｍｋ ）ｋ ２３ ｚ ２， （） ｚ ｎ）其 ｍ ｚ … ｍ ｍｋ＝ ｘ （）ｘ （～１ ， ， ）＝ ，
Ｉ ， Ｅ ， ∈Ｅ经 过 ｋ步转移到 ｘ ‘ ｊ ， Ｅ Ⅱ （ ｕ ∈Ｅ Ｌ 金价格作为其系统行为的主要特征量是一个灰色量， 同时我们 态记为 Ｅ， ２… ， ｌ则 ｘ ｉ 把灰 色预测和 马尔 可夫预测两 种预测 方法结合为 一：用 Ｇ Ｍ 的转移概率为： ＝ ｛ ‘ Ｉ ｋ ｝ Ｊ． ＝ ，，， ’； ｐ Ｐ （ ｎｎｉ ｌ ３… ｍ ｘ ， ２ ｊ ＝ ，，， （ ） ｍ－ １ ． （ ，） １ １模型来 揭示经济现象 长期发展变化 的某 种总趋势 ， 马 ｋ ｌ２ ３ … ， １ 。式 中 １ 为状态 Ｅ经 过一步转移到状态 Ｅ 用
灰色马尔科夫模型在我国肺结核发病率预测中的应用
灰色马尔科夫模型在我国肺结核发病率预测中的应用随着科技的不断进步，预测模型在医疗方面得到了广泛的运用。
其中，灰色马尔科夫模型（Gray Markov Model，简称GM(1,1)模型）是一种较为常用的模型，具有较高的预测精度和实时性。
在我国肺结核高发国家的现状下，研究肺结核发病率的变化规律和预测肺结核发病率的趋势，具有重要的现实意义。
一、灰色马尔科夫模型简介灰色马尔科夫模型是将灰色系统理论与马尔科夫转移概率矩阵相结合所形成的一种新型预测模型。
该模型适用于样本量较小的情况下，可以根据序列中的数据，对序列未来的趋势进行预测。
GM(1,1)模型是灰色马尔科夫模型家族中的一员，它以低强度的可预测性和对非线性、小样本和不稳定时间序列的适应性为其主要优势。
二、肺结核发病率变化趋势分析2005年，我国肺结核发病率为93/10万，在此之后随着我国经济发展和卫生保健制度改革的实施，肺结核发病率呈下降趋势。
2010-2018年，我国肺结核发病率分别为65/10万、62/10万、58/10万、55/10万、53/10万、50/10万、47/10万、42/10万、39/10万。
可以看出，我国肺结核发病率在逐年下降，但下降幅度有所减缓。
1、建模：采用GM(1,1)模型对我国肺结核发病率进行预测。
将我国2005-2018年的肺结核发病率数据作为灰色马尔科夫模型的输入变量，以2019-2023年为预测年份。
2、模型训练：用我国2005-2018年的肺结核发病率数据训练GM(1,1)模型，得到预测公式。
在本次研究中，采用GM(1,1)模型的基本步骤如下：①数据一次累加生成新数据序列：$B={b(1),b(2),...,b(n)}$：$b(k)=\sum\limits_{j=1}^{k}x(j)$。
②用新的序列得出数据的矩阵形式:$$ \overset{\sim}{X}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}(x(1)+x(2))&1 \\ -\frac{1}{2}(x(2)+x(3))&1 \\\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot&\cdot \\ -\frac{1}{2}(x(n-1)+x(n))&1 \\ \end{bmatrix} $$③建立一阶常系数非齐次线性微分方程：$$\frac{d\overline{x}}{dt}+a\overline{x}=u(t)$$式中，$a$为灰色作用量或灰色关联系数，$u(t)$为输入序列。
灰色马尔可夫预测模型在公路交通事故中的应用
摘
要： 将结合灰 色 系统理 论与马 尔可夫理论 ， 对公 路 交通事故 进行预 测． 利用灰 色马 尔可夫预 测模 型 ， 可有 效地
处理 类似 交通事故等随机性 、 波动较大的数据 。
关键 词： 色模 型； 灰 预测 ； 马尔可夫 ； 公路 交通 事故
第２ ２卷
第 ２期
长
春
大
学
学
报
Ｖｏ ． ２ Ｎｏ ２ １２ ． Ｆｅ ｂ．２０１ ２
２１ ０ ２年 ２月
Ｊ ＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｃ ０ ＨＡＮＧＣ ＨＵＮ Ｕ ＶＥＲ Ｉ ＮＩ Ｓ ＴＹ
灰 色 马 尔 可 夫 预 测 模 型 在 公 路 交 通 事 故 中 的应 用
沈 晋 会
由表 １可 知 ，９８— ０７年全 国公 路交 通 事故 的平 均值 为 ５９５ ， １９ ２０ ２５ ２ 由于数 据 较为 接 近 ， 这里 只 划 分 为 ２
根据 以上 划分 ， 算得状 态 转移 概率 矩 阵为 可
Ｐ＝
据 此便 可 预测 ２ ０ ０ ８年 的交通 事故 发生 量最 有 可能处 于状 态⑧ 而 最有 可能 的预 测值 为 ，
＝
（ ） Ｂ Ｙ． Ｂ Ｂ
其 中
一
（ （ ）＋ 。（ ） ㈩ １ （ ２ ）
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１ （ （ ） ）＋ 。 ） ’
收 稿 日期 ：０ １１ －３ ２ １—２２
作者简介 ： 沈晋会（ ９ ７ ）男 ， １７ 一 ， 山西晋城人 ， 讲师 ， 硕士 ， 主要从事应 用数学和数学教育方面研究 。
灰色-马尔可夫链模型在股市预测中的应用
灰色-马尔可夫链模型在股市预测中的应用作者：简艳群来源：《价值工程》2010年第24期摘要:用GM(1,1)预测具有良好的精确性和规律性,但对于随机波动性较大的股市行业,它的预测精度比较低,而马尔可夫模型可以克服波动性较大的局限性,弥补灰色模型的不足,因此将两者结合起来对股市进行预测将能提高预测的精度。
本文依据上交所20 个月末收盘指数预测后四个月的月末收盘指数范围,实证分析表明灰色马尔可夫链模型在股市预测中应用的可行性Abstract: Using GM(1,1)model to predict has great accuracy and regularity.But for the random high waving stock market,The accuracy is low. But Markov model can overcome the defection of high waving and make up the shortage of GM(1,1) model. So combining GM(1,1) with Markov chain model to predict stock market can improve the precision of prediction. Based on the indexes ended in the twenty months in Shanghai Stock Exchange,the range of the index in the end of next four months was predicted. Empirical analysis shows that GM - Markov chain model is a feasible tool to predict the stock market.关键词:灰色预测模型;马尔可夫模型;月末上证收盘指数;预测Key word: gray prediction;markov model;the index of shanghai stock exchange close in the end of month;predict中图分类号:F22 文献标识码:A文章编号:1006-4311(2010)24-0255-020引言在股票市场中,股票价格是一个基本特征量,但是它总受政治、经济等各方面的影响,具体的影响因素的程度和信息是不完全的,所以我们可以把股市当成一个灰色系统来处理。
道路交通事故灰色马尔可夫预测模型
值 G ( t) , 即
G( t) = 2 - 1 ( 1 i + 2 i) = ^Y ( t) + 2 - 1 ( Ai + B i) (10)
τ∼
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状态转移概率矩阵 P ( k) 描述了系统各状态转移 的全部统计规律[2] ,在实际运用中 ,一般只要考察一步 转移概率矩阵 P(1) ,设预测时刻道路交通事故处于 k 状态 ,则考察状态转移概率矩阵 P ( k) 中第 k 行 ,若
max ( Pkj) = Pkl
(9)
则可认为下一时刻系统最有可能由 k 状态转向 l
;
i =1, 2,
…,
n
(7)
状态转移概率矩阵
P11 ( k) P12 ( k) … P1 n ( k)
P21 ( k) P22 ( k) … P2 n ( k)
P( k) =
(8)
… … … …
Pn1 ( k) Pn2 ( k) … Pnn ( k) 式中 , Mij ( k) 表示道路交通事故数由状态 i 经过 k 步转移到状态 j 的原始道路交通事故数据样本数 ; Mi 表示处于 i 状态的原始道路交通事故数据样本 数 ; Pij ( k) 表示道路交通事故由 i 状态经 k 步转 移到状态 j 的概率 。
道路交通事故灰色预测具有所需信息较少 ,计算 简便 ,精度较高等特点 ,它克服回顾模型以及经验模型 的缺点 ,不必罗列影响道路交通事故的因素数据 ,而是 从道路交通事故自身时间数据序列中寻找有用信息 , 探究其内在规律 ,建立 GM (1 ,1) 模型进行预测 。道路 交通事故灰色预测的实质是以指数型曲线去拟合原始 数据 ,其预测结果几何图形是一条较为平滑的曲线 ,因 而对于波动性较大的道路交通事故数据列拟合较差 , 预测精度较低 。虽然灰色预测模型本身也具有一些提 高预测精度的方法 ,如残差辨识法以及提高预测模型 阶数等方法 ,但是对于波动性较大的非平稳数列的预 测 ,预测结果精度较低 ,甚至可能增大误差 。基于马尔 可夫随机过程的马氏链理论则为问题的解决提供了可 能 。马尔可夫随机过程理论指出 :系统将来所处的状 态只与现在系统状态有关 ,而与系统过去的状态无关 。 马尔可夫预测是根据系统状态之间的转移概率来预测 系统未来发展 ,转移概率反映了各种随机因素的影响 程度 ,反映了各状态之间的内在规律性 。马尔可夫预 测适用于随机波动性较大的问题的预测 ,由于道路交 通系统是一个动态的时变系统 ,道路交通事故作为道 路交通系统这一灰色系统的行为特征量 ,它的发生呈 现某种变化趋势的非平稳随机过程 。所以可以利用灰 色预测和马尔可夫预测各自特点建立道路交通事故的 灰色马尔可夫预测模型 ,用灰色预测来揭示道路交通 事故时序变化的总体趋势 ,用马尔可夫预测来确定状 态的转移规律[2] 。道路交通事故灰色马尔可夫预测模 型能够有效地利用道路交通事故历史数据给予的信 息 ,可以大大提高随机波动性较大数据列的预测精 度[2] 。
灰色预测检验
道路交通事故灰色VerhUlSt预测模型网灰色预测是通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现和掌握系统发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。
目前应用较多的灰色预测模型是GM(1,1)模型、灰色马尔可夫预测模型等，可用于预测交通事故发生次数、死亡人数、受伤人数和财产损失等指标。
GM(1』)模型适用于具有较强指数规律的序列，只能描述单调的变化过程。
但是道路交通系统是一个动态的时变系统，道路交通事故作为道路系统的行为特征量，具有一定的随机波动性，它的发展呈现某种变化趋势的非平稳随机过程，因此可建立交-563-通事故灰色马尔可夫预测模型，以提高预测精度。
但灰色马尔可夫预测模型的应用难点是如何进行状态划分，故对于非单调的摆动发展序列或具有饱和状态的S形序列，Verhulst模型，GM(2,1)模型等更适用。
Verhulst模型主要用来描述具有饱和状态的过程，即S形过程，常用于人口预测、生物生长、繁殖预测及产品经济寿命预测等。
近年来中国道路交通事故表现为具有饱和状态的S形过程，故可采用VerhUlSt模型对其进行预表5谡是检验表平均相对误差A关联度r均方差比值C 小误差概率P0.03130.98150.2202 1表6常用的精度等级表等级平均相对误差A关联度r 均方差比值C 小误差概率P级0.010.90 0.35 0.95二级0.050.80 0.5 0.80三级0.100.70 0.65 0.70四级0.200.60 0.80 0.60把误差检验表跟常用的精度等级表对比可知，模型的等级接近一级，也即是说，该模型的拟合精度很高，可用来预测。
3.模型2BP神经网络预测模型附件中根据污染程度不同把水质状况分为六类，可以分别针对各类水质状况的河流长度比例在未来十年的变化进行预测。
得到未来六类不同水质河长比例的变化，从而可以全面显示未来十年污染趋势的变化针对第i类污染程度的河流长度比例进行分析，首先选择输入数据，不同水质河长的比例必然同长江流域内的排污量有关，而未来十年的排污量已经由灰色模型预测得到。
灰色马尔可夫预测模型在台风诱发灾害研究中的应用的开题报告
灰色马尔可夫预测模型在台风诱发灾害研究中的应用的开
题报告
一、选题的背景和意义
灰色马尔可夫预测模型是一种运用灰色理论和马尔可夫链方法相结合的时间序列预测模型。
在自然灾害研究领域中，应用该模型可对台风诱发的灾害进行预测和预警，对于减少灾害损失具有重要意义。
二、研究的目的和内容
本研究旨在运用灰色马尔可夫预测模型，分析台风对某地区造成的灾害，提升该地区的防灾减灾能力。
具体内容包括：
（1）收集并整理该地区近年来台风灾情数据；
（2）基于灰色马尔可夫预测模型构建台风灾害预测模型；
（3）应用模型对该地区未来一段时间内的台风灾害进行预测和预警；
（4）提出相应的防灾减灾措施和应对策略。
三、研究的方法和步骤
本研究采用以下方法和步骤：
（1）文献调研，收集该地区近年来的台风数据；
（2）建立灰色马尔可夫预测模型，选取相应的灰色预测模型和马尔可夫链模型；
（3）应用模型进行数据预测，并与实际数据进行对比验证；
（4）分析预测结果，提出相应的措施和策略。
四、研究的预期结果
本研究预期能够：
（1）采用灰色马尔可夫预测模型对台风诱发的灾害进行预测；
（2）提出一定的防灾减灾措施和应对策略；
（3）为进一步研究台风灾害防治提供参考和借鉴。
五、研究的进度安排
本研究的具体进度安排如下：
（1）2021年6-8月：文献调研与理论研究；（2）2021年9-11月：数据收集与模型构建；（3）2021年12月-2022年3月：数据预测与分析；（4）2022年4-6月：撰写论文并进行答辩。
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姓名：徐茂森学号：200841004047 班级：统计2班日期：2011年1月9日基于灰色——马尔科夫模型的粮食产量预测 ——以山东省潍坊市粮食产量为例【摘要】：本文基于灰色预测GM （1,1) 模型基础上，结合马尔科夫链，针对传统预测方法精确度不高的问题，研究山东省粮食产量变化来预测未来粮食产量。
理论分析和实证计算表明，此种方法精确度更高，更加准确的预测未来的发展。
【关键词】：灰色预测模型，马尔可夫链，粮食产量一、引言我国是一个粮食大国，粮食关系到民生。
对于我们这个具有13亿人口的大国来说，粮食的作用更加重要。
如今存在很多预测方法能够预测粮食的产量，都有一定的优点和缺点。
灰度---马尔科夫模型是同时运用灰度预测模型和马尔科夫模型对问题进行分析预测。
灰度预测模型通常是研究宏观规律，马尔科夫模型而是研究围观波动。
恰当的运用这两种模型综合分析问题，会是预测精度明显提高。
二、理论分析及模型建立2.1、 灰色模型GM （1，1）的基本思想 2.1.1、灰色预测灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间的发展趋势的相私或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。
生成数据序列具有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。
灰色预测使用灰色模型GM （1，1）来进行定量的分析。
2.1.2、GM （1，1）模型的建立令(0)X 为GM （1，1）建模序列(0)X=（(0)x （1），(0)x （2），…，(0)x （n ））(1)X为(0)X 的1-AGO 序列(1)X =（(1)x （1），(1)x （2），…，(1)x （n ））(1)x（k ）=(0)1()ki x i =∑ k=1，2，，…，n令(1)Z 为(1)X 的紧邻均值（MEAN ）生成序列，(1)Z =（(1)z （2），(1)z （3），…，(1)z （n ））(1)z （k ）=0.5(1)x （k ）+0.5(1)x （k-1）则GM （1，1）的定义型，即GM （1，1）的灰微分方程模型为 (0)x （k ）+ a (1)z （k ）=b a 称为发展系数，b称为灰色作用量。
设a ∧为待估参数向量，即a ∧=[]Tab ，则灰微分方程 (0)x （k ）+ a (1)z （k ）=b 的最小二乘估计参数数列满足a ∧=（T B B ）1-T B Y 其中(1)(1)(1)(2)1(3)1()1z z B z n ⎛⎫- ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ， (0)(0)(0)(2)(3)()x x Y x n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦称(1)(1)()()dxt axt b dt+=为灰色微分方程 (0)x （k ）+ a (1)z （k ）=b 的白化方程，也叫影子方程。
GM （1，1）微分方程的解为(1)(0)(1)(1)ak b bx k x e a a∧-⎡⎤+=-+⎢⎥⎣⎦ k=1，2，…，n 拟合公式为、(0)(1)x k ∧+= (1)(1)x k ∧+-(1)()x k ∧2.1.3、灰色模型的改进方法如果原数据非常平滑，则令λ(1)1()x k +（1-λ）(1)1(1)x k -中的λ=0.5；如果数据波动但变动不大，λ的取值范围一般为（0，0.5），即数据权重大；反之，λ的取值范围一般为（0.5，1），即新数据权重大。
选择合适的背景值可以在一定程度上提高模型精度。
2.2对GM （1，1）进行马尔科夫改进的基本思想GM （1，1）通常用来揭示数据的发展趋势，不适合波动较大的数据序列预测。
而马尔科夫理论适合较大波动的数据序列。
因此建立灰色—马尔科夫模型，可以提高精度。
2.2.1马尔科夫链的基本原理设有一离散型随机过程，它所有可能出于状态的集合为S=｛1，2，…，N ｝，称其为状态空间。
系统只能在时刻0t ，1t ，3t ，…改变它的状态。
一般的说，描述系统状态的随机变量序列不一定满足相互独立的条件，也就是说，系统将来的状态与过去时刻以及现在时刻的状态是有关系的。
在实际情况下，也有具有这样的状态。
这个性质成为无后效性，即所谓的马尔科夫假设。
具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔可夫链。
用数学语言描述就是：如果对于任一n>1,任意的1i ，2i ，…，1n i -，j ∈S ，恒有 P{ n X =j1X =1i 2X =2i ,…， 1n X -=1n i -}=P ｛n X =j 1n X -=1n i - ｝称离散型随机过程｛t X ，t ∈T ｝称为马尔可夫链。
一步转移概率具有以下性质：0 (,1,2,,)ij p i j n ≥=11 (1,2,,)nij j p i n ===∑把各状态之间的一步转移概率排成矩阵，称为状态矩阵1111n n nn p p P p p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭每个状态i 对应状态矩阵P 的第i 行。
k 步转移概率系统从状态i 恰好经k 步转移到状态j 的概率。
()11{|}k ijk p p X j X i +===记为。
k 步转移矩阵()×()k k ij n n P p =()(), 0 (,1,2,,k k ijPp i j n ≥= 显然为概率矩阵即有()11 (1,2,,)nk ijj p i n ===∑ n n 步状态转移矩阵等于一步状态转移矩阵的次方，即()()()()n nn m n m ijik kjkPP n p p p -==∑，且步转移概率为。
多阶转移概率矩阵为P=11ii in i i ninn p p p p ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2.2.2 灰色模型与马尔科夫链结合的基本思路对于GM （1，1）模型得到的预测结果，可以根据马尔可夫链的方法获得GM （1，1）模型在已知年份里的偏差规律（即偏差状况和转移矩阵），并且依照此规律对GM （1，1）模型的结果进行修正。
三、应用灰色—马尔科夫模型的实例分析用山东省潍坊市1980年到2000年粮食产量建立模型，预测接下来粮食的产量。
3.1 建立GM （1，1）模型建模过程中，紧邻均值序列生成公式中的参数λ=0.75；建立山东省潍坊市20年粮食产量GM （1，1）模型为：(1)(0)0.01568(1)(1)110660110660kl xk x e∧⎡⎤+=+-⎣⎦ k=1，2，…，n 以此模型求解1981年到2000年的粮食产量拟合值。
3.2 建立灰色—马尔科夫模型 3.2.1状态的划分根据GM（1，1）模型求的的19年拟合值的相对误差分布建立分级标准。
文中3.2.2 计算转移概率并建立转移概率矩阵文中用1至4步转移概率修正拟合值。
对5年的预测值也都考虑4步次转移概率，所以需建立1至8阶转移概率矩阵。
3.2.3 利用转移矩阵对GM（1，1）模型的结果进行修正以对2000年的拟合值修正为例：根据1999年至1996年的状态（3，7，8，8）查1至4阶转移概率矩阵，得到2000年1至4状态转移及相应的转移概率，如下表）。
实际产量为2642.5，正好包含在修正范围区间内，对比GM（1，1）拟合值，提高了精度。
用马尔科夫模型对GM（1，1）拟合值修正前后的比较见图1由图1可知GM（1，1）模型建立的趋势产量可以揭示粮食产量的宏观发展规律。
但也可以看出，GM（1，1）模型拟合值曲线单调上升，无法反映粮食产量的波动性，拟合精度和可靠性不高。
相比之下，马尔科夫修正区间曲线不仅能揭示粮食产量的宏观规律，同时也能很好的反映粮食产量的围观波动规律，从而形像的反映产量的走势，拟合精度和可靠有很大提高。
至此，完成灰色-马尔科夫模型建模。
3.3 利用灰色-马尔科夫模型外推预测将来几年粮食产量变化灰色—马尔科夫模型的预测结果与前述的2000年类似，灰色—马尔科夫模型与GM（1，1）预测值、实际产量的对比图见图2.考查图2，2001年，2002年的马尔科夫修正区间都能准确包含实际产量。
图1 马尔科夫修正区间与GM（1，1）拟合值、实际产量对比图2 马尔科夫修正区间与GM（1，1）拟合值、实际产量对比四、结论文中先用GM（1，1）模型预测产量的宏观变化发展规律，建立产量发张趋势；再利用马尔科夫链寻找其中的围观变动规律，对GM（1，1）的趋势值进行修正，来适应粮食产量的变动。
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