基于ABAQUS的悬臂梁的弹塑性弯曲分析报告

基于ABAQUS的悬臂梁的弹塑性弯曲分析学院：航空宇航学院专业：工程力学指导教师：：学号：1. 问题描述考虑端点受集中力F 作用的矩形截面的悬臂梁，如图1所示，长度l=10m ，高度h=1m ，宽度b=1m 。

材料为理想弹塑性钢材（如图2），并遵守Mises 屈服准则，屈服强度为MPa Y 380=σ，弹性模量GPa E 200=，泊松比3.0=υ。

图1 受集中力作用的悬臂梁 图2 钢材的应力-应变行为首先通过理论分析理想弹塑性材料悬臂梁的弹塑性弯曲，得到悬臂梁的弹塑性弯曲变形的规律和塑性区形状，确定弹性极限载荷e F 和塑性极限载荷Y F ；其次利用ABAQUS 模拟了该悬臂梁受集中载荷作用的变形过程，得出弹性极限载荷e F 、塑性极限载荷Y F 、塑性区形状和载荷-位移曲线，与理论分析的结果进行对比，验证有限元分析的准确性。

2. 理论分析2.1梁的弹塑性纯弯曲对于矩形截面Euler-Bernoulli 梁，受弯矩M 作用，如图3所示，根据平截面假定，有图3 矩形截面梁受弯矩M 的作用y κε= （1）其中κ为弯曲后梁轴的曲率，规定梁的挠度w 以与y 同向为正，则在小变形情况有22-dx w d =κ （2）当弯矩M 由零逐渐增大时，起初整个截面都处于弹性状态，这是Hooke 定律给出()y E E y κεσ== （3） 再由平衡方程，可得到κEI M = （4） 其中，3121bh I =是截面的惯性矩。

将EI M /=κ带入（3）式，可知 I y /M =σ显然，最外层纤维的应力值最大。

当M 增大时，最外层纤维首先达到屈服，即Y h y bh M σσ==±=22/61/ （5）这时的弯矩是整个截面处于弹性状态所能承受的最大弯矩，即为弹性极限弯矩，它等于261bh M Y e σ= （6）对应的曲率可由式（4）求得Eh EI M Y e e /2/σκ== （7）当e M M >时，梁的外层纤维的应变继续增大，但应力值保持为Y σ不再增加，塑性区将逐渐向扩大。

弹塑性的交界面距中性面为)10(2≤≤=ξξhy e 。

在弹性区：e y y ≤≤0，Y σσey y=； 在塑性区：2hy y e ≤≤，Y σσ=在弹塑性区的交界处，Y σσ=，因而Y hE σξκ=)2(，由此可求出此时的曲率和弯矩分别为ξκξσκ/12e Y Eh =⋅=（8） ()232ξ-=eM M （9） 从这两个式子消去ξ，可得e M M >时的弯矩-曲率关系为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2321κκe e M M （10） 或eeM M 231-=κκ （12）当M 继续增加使得0→ξ时，截面全部进入塑性状态。

这时e M M 23→，而∞→κ。

当梁的曲率无限增大时，弯矩趋向一极限值，此极限值即为塑性极限弯矩。

可得矩形截面梁的塑性极限弯矩为241bh M Y p σ= （13）采用以下量纲为一的量：e M M m /=，e κκφ/= （14）矩形截面梁的弯矩-曲率关系可以写成⎩⎨⎧<≤-≤=5.11,23/11,m m m m φ （15）2.2 梁在横向载荷作用下的弹塑性弯曲考虑端点受集中力F 作用的矩形截面悬臂梁，若h l >>（本例中10=hl满足此要求），则梁中的剪应力可以忽略，平截面假定近似成立，于是就可以利用弹塑性纯弯曲的分析结果来研究横向载荷作用下的弹塑性弯曲问题。

本例中，显然根部弯矩最大，因而根部截面的最外层纤维（图1中的A 点与B 点）应力的绝对值最大。

当F 增加时，A 、B 点将进入塑性，这时的载荷是梁的弹性极限载荷l bh l M F Y e e 6//2σ== （16）当e F F >时，弯矩仍沿梁轴方向呈线性分布。

设在_x x =处有e M x l F =-)(_，则)/(_F M l x e -=。

在_x x <围的各截面，都有部分区域进入塑性，且由式（9）可知各截面上弹塑性区域的交界线决定于2121])(23[)23(lF x l F M M e e --±=-±=ξ （17）其中已用到()x l F M -=。

式（17）证明，弹塑性 区域的交界线是两段抛物线。

当l bh F F F Y e Y 4/232σ===时，梁的根部（x=0）处的弯矩达到塑性极限弯矩，即e p Y M M l F M 23===,这时梁塑性区如图4中的阴影部分所示，且塑性区域分界线连接成一条抛物线，梁的根部形成塑性铰。

这时，由于根部的曲率可以任意增长，悬臂梁丧失了进一步承载的能力。

因此，l M F p Y /=即为悬臂梁的极限载荷，悬臂梁不能承受超过Y F 的载荷。

图4 受集中力作用的悬臂梁在小挠度情形下，利用κ≈''y 的关系可以求得梁的挠度。

具体来说，在悬臂梁受端部集中载荷的问题中，以()x l F M -=带入式（15）可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤+-=-<≤--==≈p p p m p p m y e e 110,323/1231111),1(''ξξξξκκκ （18） 其中，e M M m /=，e F F f /=，l x /=ξ，22''dxyd y =，利用边界条件0)0()0('==y y 和在p1-1=ξ处的关于y 和'y 的连续性条件，可对式（18）积分两次，得到梁端挠度)(l y =δ的表达式2/]23)3(5[f p f e -+-=δδ （19） 其中e δ是f=1（即e F F =）时的δ，可按材料力学方法求出为3/2e l e κδ= （20）当23=f （即e Y F F F 23==）时，式（19）给出相应的梁端挠度为 e p δδ920= （21）代入题目所给数据可得到N lbh F Y e 621033.66⨯==σN F F e Y 61050.923⨯==mm Ehl EI l M Y e 7.1232322e ===σδmm e p 2.28920==δδ 3. 有限元分析 3.1 有限元模型此问题属于平面应力问题，采用二维有限元模型，选取平面图形作为分析模型，其长度l=10m ，高度h=1m 。

3.2 材料属性定义圆筒材料为钢材，弹性模量200Gpa，屈服强度380Mpa，泊松比0.3，截面属性选用实体、匀质，采用理想弹塑性本构关系。

3.3 分析步的定义由于是非线性分析，Step中设置分析过程和输出要求选择静态分析，最小分析步取0.05，最大分析步取0.1，输出要求采用默认输出。

3.4 载荷施加和边界条件布置载荷边界条件和位移边界条件，将模型左端固支，右上端顶点施加集中力载荷。

3.5 网格划分按照四节点四边形平面应力单元CPS4I（如图5）划分网格，定义不同大小位移载荷进行分析计算，分析采用Mises准则。

图5 悬臂梁的有限元网格3.6 结果及分析3.6.1 弹性极限载荷和塑性载荷压力的确定当取N.6⨯=时，等效塑性应变分布如图6所示，结构的等效塑性应1076F6变均为0，可以看出系统处于弹性状态并未产生塑性应变，此时悬臂梁处于弹性阶段。

图6 N.6⨯=等效塑性应变云图10F676当取N=时，等效塑性应变分布如图7所示，最大等效塑性应变F6.6⨯7710均为3.811e-6，最小等效塑性应变为0，可以看出系统部分处于弹性状态，部分处于塑性阶段，此时结构处于弹塑性阶段。

图7 N=等效塑性应变云图77.6⨯10F6当取N=时，应力分布如图8所示，可以看出根部还没有形成塑.9⨯F61084性铰，即根部还没有完全进入塑性，也就是说系统部分处于弹性状态，部分处于塑性阶段，此时结构仍处于弹塑性阶段。

图8 N F 61084.9⨯=应力云图当取N F 61085.9⨯=时，应力分布如图9所示，可以看出根部形成塑性铰，悬臂梁不能再承受超过N F 61085.9⨯=的载荷。

图9 N F 61085.9⨯=应力云图综上分析可知，有限元模拟所得的弹性极限载荷在N 661077.6~1076.6⨯⨯之间，塑性极限载荷在N 661085.9~1084.9⨯⨯之间。

与理论解相比，有限元所得弹性极限载荷的误差大约为%9.633.633.6-.776=，有限元所得塑性极限压力的误差大约为%6.350.950.9-.859=，与理论解相比，误差较小。

不仅如此，图9表明，弹塑性区域的交界线是两段抛物线，与塑性力学解式（17）相同。

3.6.2 悬臂梁弹塑性弯曲过程分析对于这种悬臂梁在端部受集中力的问题，在ABAQUS 中施加位移载荷模拟，取位移mm 30=δ，可以得到载荷作用点的载荷-位移曲线，如图10所示，图10 有限元所得的载荷-位移曲线将有限元所得的载荷-位移曲线与式（19）相比可知，有限元中悬臂梁的变形与理论分析结果基本一致，刚开始都是弹性阶段，随着载荷增大，进入弹塑性阶段，直到载荷增大到塑性极限载荷，根部形成塑性铰，悬臂梁丧失进一步承载的能力。

由上图也可看出，e F 大约为N 61077.6⨯，Y F 大约为N 61085.9⨯，同时可以得到e δ大约为13.6mm ，p δ大约为30.0mm ，与理论解相比，弹性极限位移误差大约为%1.77.127.126.13=-，塑性极限位移误差大约为%4.62.282.28-0.30=，位移误差相对于载荷误差较大。

原因可能有：一是随着位移增加，可能会进入弹塑性大挠度情形；二是模型所采用的单元不独有弯曲应力，即不满足平截面假设。

4. 总结首先，本文通过理论分析理想弹塑性材料悬臂梁受集中力作用的弹塑性弯曲，得到悬臂梁的弹塑性弯曲变形的一般规律和塑性区形状，确定了弹性极限载荷e F 和塑性极限载荷Y F ；其次，利用ABAQUS 模拟了该悬臂梁受集中载荷作用的变形过程，得出弹性极限载荷e F 、塑性极限载荷Y F 、塑性区形状和载荷-位移曲线，与理论分析的结果进行对比，结果相差不大，验证了有限元分析悬臂梁弹塑性弯曲的准确性。