布里渊区求和及模式密度
合集下载
东南大学固体物理基础课后习题解答
《电子工程物理基础》课后习题参考答案第一章 微观粒子的状态1-1一维运动的粒子处在下面状态(0,0)()0(0)xAxe x x x λλψ-⎧≥>=⎨<⎩①将此项函数归一化；②求粒子坐标的概率分布函数；③在何处找到粒子的概率最大? 解：（1）由归一化条件，可知22201xAx edx λ∞-=⎰，解得归一化常数322A λ=。
所以归一化波函数为：322(0,0)()0(0)xxex x x λλλψ-⎧⎪≥>=⎨⎪<⎩（2）粒子坐标的概率分布函数为：32224(0,0)()()0(0)xx e x w x x x λλλψ-⎧≥>==⎨<⎩（3）令()0dw x dx =得10x x λ==或，根据题意，在x=0处，()w x =0，所以在1x λ=处找到粒子的概率最大。
1-2若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为n 。
①距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率是多少? ②n 取何值时，在此范围内找到粒子的概率最大?③当n→∞时，这个概率的极限是多少?这个结果说明了什么问题?解：（1）假设一维无限深势阱的势函数为U （x ），0x a ≤≤，那么在距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率为：22440211()()(sin )sin422a a n n P x x dx x dx a a n ππψπ===-⎰⎰。
（2）当n=3时，在此范围内找到粒子的概率最大，且max 11()+46P x π=。
（3）当n→∞时，1()4P x =。
此时，概率分布均匀，接近于宏观情况。
1-3一个势能为221()2V x m x ω=的线性谐振子处在下面状态2212()()x m x Aeαωψα-=求：①归一化常数A ；②在何处发现振子的概率最大；③势能平均值2212U m x ω=。
解：（1）由归一化条件，可知2221x A e dx α+∞--∞=⎰，得到归一化常数4A απ=。
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
布里渊区
固体物理 固体物理
布里渊区
主讲人： 主讲人：许本超 答疑人： 答疑人：李海龙 封福明
固体物理 固体物理
内容
• • • • • • • • • 1.倒易空间 2. 布里渊区基本概念 3. 典型格子的第一布里渊区 4.布里渊区的几何性质 5. 衍射条件在布里渊区诠释 6.布里渊区中的K点 7.布里渊区和能带的关系 8.布里渊区和费米面 9.MS计算能带实例图
14
固体物理 固体物理
7.2布里渊区和能带的关系
能带论的基本出发点: 能带论的基本出发点 固体中的电子可以在整个固体中运动 电子在运动过程中要受晶格原子势场的作用 由于周期场的微扰， 由于周期场的微扰，
E
E6
E(k)函数在布里渊区 函数在布里渊区
允许带
E5
边界k=± 边界 ±nπ/a处出现 处出现
3.2体心立方晶格的F.B.Z 体心立方晶格的F.B.Z 体心立方晶格的 体心立方晶格的倒格子为面心立方晶格
可以看出， 可以看出，面心立方倒 格子（即体心立方晶格） 格子（即体心立方晶格） 的F.B.Z为正菱形十二 为正菱形十二 面体（非正十二面体） 面体（非正十二面体）
8
固体物理 固体物理
3.3面心立方晶格的F.B.Z 面心立方晶格的 面心立方晶格的F.B.Z 面心立方晶格的倒格子为体心立方晶格
如右图所示， 如右图所示，黑框为体心立方 倒格子，取其体心（黄点） 倒格子，取其体心（黄点）作 为原点，红点（8个 为原点，红点（8个）为此原 点最相邻的倒格点，蓝点（6 点最相邻的倒格点，蓝点（ 个）为此原点次相邻倒格点 可以看出， 可以看出，体心立方倒 格子（即面心立方晶格） 格子（即面心立方晶格） 的F.B.Z为截角的八面体 为截角的八面体 十四面体） （十四面体）
布里渊区
主讲人： 主讲人：许本超 答疑人： 答疑人：李海龙 封福明
固体物理 固体物理
内容
• • • • • • • • • 1.倒易空间 2. 布里渊区基本概念 3. 典型格子的第一布里渊区 4.布里渊区的几何性质 5. 衍射条件在布里渊区诠释 6.布里渊区中的K点 7.布里渊区和能带的关系 8.布里渊区和费米面 9.MS计算能带实例图
14
固体物理 固体物理
7.2布里渊区和能带的关系
能带论的基本出发点: 能带论的基本出发点 固体中的电子可以在整个固体中运动 电子在运动过程中要受晶格原子势场的作用 由于周期场的微扰， 由于周期场的微扰，
E
E6
E(k)函数在布里渊区 函数在布里渊区
允许带
E5
边界k=± 边界 ±nπ/a处出现 处出现
3.2体心立方晶格的F.B.Z 体心立方晶格的F.B.Z 体心立方晶格的 体心立方晶格的倒格子为面心立方晶格
可以看出， 可以看出，面心立方倒 格子（即体心立方晶格） 格子（即体心立方晶格） 的F.B.Z为正菱形十二 为正菱形十二 面体（非正十二面体） 面体（非正十二面体）
8
固体物理 固体物理
3.3面心立方晶格的F.B.Z 面心立方晶格的 面心立方晶格的F.B.Z 面心立方晶格的倒格子为体心立方晶格
如右图所示， 如右图所示，黑框为体心立方 倒格子，取其体心（黄点） 倒格子，取其体心（黄点）作 为原点，红点（8个 为原点，红点（8个）为此原 点最相邻的倒格点，蓝点（6 点最相邻的倒格点，蓝点（ 个）为此原点次相邻倒格点 可以看出， 可以看出，体心立方倒 格子（即面心立方晶格） 格子（即面心立方晶格） 的F.B.Z为截角的八面体 为截角的八面体 十四面体） （十四面体）
30 布里渊区的知识
������
*简谐近似是晶格动力学处理许多物理问题的出发点!
* 对热膨胀和热传导等问题必须考虑高阶项 --- 特别是3次和4次项的作用 → 这称为非谐项或非谐作用 – V非谐 * 具体处理问题时,把非谐项看成是对起主要作用 的简谐项的微扰!
简正振动模式：在简谐近似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振 动, 可变为3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称 为简正振动模式 简正振动模式对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是 晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动 —格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加.
2
a
i
倒格矢的垂直平分面 构成第一布里渊区
a
O
一维晶格点阵
b
-π/a
O
倒格子点阵
π/a
二维晶格点阵的布里渊区 取正格子基矢为 a1 ai 和a2 a j 可求出倒格子基矢为
2 2 b1 i 和b2 j a a
作原点0至其它倒格点连线的中垂线，它们将二维倒 格子平面分割成许多区域
第三章 晶格动力学和 晶体的热学性质
固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即晶体点阵模型）， 即认为构成固体的原子在空间做严格的周期性排列，在该框架内， 我们讨论了X 光衍射发生的条件，求出了晶体的结合能，以后还将 在此框架内，建立能带论，计算金属大量的平衡性质。然而它只 是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或离子是不可能严 格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量范围 内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了晶格振动的规律， 更多的晶体性质才能得到理解。如：固体热容，热膨胀，热传导， 融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位 移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。
*简谐近似是晶格动力学处理许多物理问题的出发点!
* 对热膨胀和热传导等问题必须考虑高阶项 --- 特别是3次和4次项的作用 → 这称为非谐项或非谐作用 – V非谐 * 具体处理问题时,把非谐项看成是对起主要作用 的简谐项的微扰!
简正振动模式：在简谐近似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振 动, 可变为3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称 为简正振动模式 简正振动模式对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是 晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动 —格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加.
2
a
i
倒格矢的垂直平分面 构成第一布里渊区
a
O
一维晶格点阵
b
-π/a
O
倒格子点阵
π/a
二维晶格点阵的布里渊区 取正格子基矢为 a1 ai 和a2 a j 可求出倒格子基矢为
2 2 b1 i 和b2 j a a
作原点0至其它倒格点连线的中垂线，它们将二维倒 格子平面分割成许多区域
第三章 晶格动力学和 晶体的热学性质
固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即晶体点阵模型）， 即认为构成固体的原子在空间做严格的周期性排列，在该框架内， 我们讨论了X 光衍射发生的条件，求出了晶体的结合能，以后还将 在此框架内，建立能带论，计算金属大量的平衡性质。然而它只 是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或离子是不可能严 格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量范围 内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了晶格振动的规律， 更多的晶体性质才能得到理解。如：固体热容，热膨胀，热传导， 融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位 移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。
固体物理学：布里渊区(brillouin zone )
a1、a 2、a 3 ,
倒格基矢
b 1、b 2、b 3
Rm ma1 na2 pa3
Gn n1b1 n2 b2 n3b3
例1：下图是一个二维晶体结构图，画出它的第 一、第二、第三布里渊区。
aa
解：
首先写出正格子 原胞基矢为：
a1 ai
a2 a j
a
利用公式：
a2 a j
a1 ai
第二布里渊区是从原点出发经过1个中垂 面(或中垂线，或布拉格反射面)才能到达的区 域；
第n+1布里渊区是从原点出发经过n个中垂 面(或中垂线)才能到达的区域(n为正整数)。
（2）布里渊区作图法
对于已知的晶体结构，可以按照如下方法画 布里渊区。
晶体 结构
原胞
倒格点 排列
中垂面 (中垂线)
布里渊区
正格基矢
L
X
K
O：2π 0,0,0
a
X：2π 1,0,0
a
L：2π 1 , 1 , 1 a 2 2 2
K： 2π 3 , 3 ,0 a 4 4
第一布里渊 区为原点和8 个近邻格点 连线的垂直 平分面围成 的正八面体 ，和沿立方 轴的6个次近 邻格点连线 的垂直平分 面割去八面 体的六个角, 形成的14面 体。
二维正方晶格的十个布里渊区
第一区 第二区 第三区 第四区 第五区 第六区 第七区 第八区 第九区 第十区
例1： 简单立方格子
解:
正格子基矢：
倒格子基矢：
简单立方格子的第一布里渊区：原点和6个近 邻格点的垂直平分面围成的立方体。
简单立方格子的第一布里渊区
例2：画出体心立方的第一布里渊区。设体心立方
a
2π ( i j )
第三章 例题
dU (V ) E p=− +γ dV V
式中P是压强， E 为所有模式的振动能量，即
hωs (q ) ⎞ ⎛1 E = ∑ ⎜ hωs (q ) + hωs ( q ) kBT ⎟ e −1 ⎠ q ,s ⎝ 2
γ 为格林爱森常数
dl n ω s ( q ) γ =− dl n V
定义为简正模式频率对体积的对数导数的负值，和 点阵振动的非线性有关。在德拜模型下，有
5. 中子（或光子）的非弹性散射
声子对中子的非弹性散射可以用来测量声子能谱 （晶格振动谱）。该实验方法所依据的基本原理是 散射过程遵守能量守恒和动量(波矢)守恒定律。
′ ± hωs (q ) 能量守恒定律要求： E = En
i n
′ 是散射前后中子的能量， ωs (q ) 是吸收或 式中 Eni 和 En 发射的声子的频率。
在德拜模型下有式中p是压强为所有模式的振动能量即例1初基晶胞含有两个原子的一维点阵考虑一个双原子链其中两种具有相同质量m的离子交错排列只考虑近邻原子间的相互作用设力常数分别为ca证明简正模式的色散关系是b讨论在下列极限情况下色散关系的形式及简正模式的性质分别表示第s个初基晶胞中两个原子相对于平衡位置的位移
7. 爱因斯坦模型和德拜模型
爱因斯坦模型假定晶体中所有简正模式都具有 ω = ωE 相同的频率： 于是爱因斯坦模型的模式密度为
g E (ω ) = 3nδ (ω − ωE )
⎝ V ⎠
N⎞ 式中 n 是单原子点阵的原子密度 ⎛ n = ⎜ ⎟ ω = ν q ，声速 ν 为常数。另外，假定波矢q取 在波矢空间中半径为 qD 的球（称为德拜球）内， 而不是取第一布里渊区中的所有q值。
相应地点阵热容为
布里渊区的积分
4
(9)
(10)
I (E ) =
V
f (k )δ (E − ε(k ))dk =
i=1
pi Ii (E )
(11)
其中 Ii (E ) =
V
µi (x, y, z )δ (E − εl (x, y, z ))dxdydz
(12)
对于i=1,2,3,4，有µi (x,y,z)=1,x,y,z。 这样，I(E)变为四个独立的积分。接下来换元，令
计算体积分的一种办法是对面积分I(e)进行数值积分： J (E ) =
E −∞
I (e)de =
E Emin
I (e)de
(22)
但是我们更希望得到解析解。 首先对J(E)作变换： J (E ) =
tetra
f (k )θ (E − ε(k )) d3 k = Vtetra (E ) f occ
x = f (e, u, v )
y = g (e, u, v ) z = h(e, u, v )
(13)
3
4
ε1<e<ε2
ε2<e<ε3
4
ε3<e<ε4
4
e
e 1 3
1
e 3
1
3
2
2
2
Figure 2: 图2 得到εl (x,y,z)= εl (e,u,v)=e。于是 Ii (E ) =
对于三维体系由于二次曲面形式复杂除了态密度dos即ie中的被积函数恒等于1的计算能做到解析求解23以外目前最多只能做到半解析求解10即在某些维度上是解析的其它维度上是数值的因此积分的计算量稍大
布里渊区的积分
January 20, 2007
(9)
(10)
I (E ) =
V
f (k )δ (E − ε(k ))dk =
i=1
pi Ii (E )
(11)
其中 Ii (E ) =
V
µi (x, y, z )δ (E − εl (x, y, z ))dxdydz
(12)
对于i=1,2,3,4，有µi (x,y,z)=1,x,y,z。 这样，I(E)变为四个独立的积分。接下来换元，令
计算体积分的一种办法是对面积分I(e)进行数值积分： J (E ) =
E −∞
I (e)de =
E Emin
I (e)de
(22)
但是我们更希望得到解析解。 首先对J(E)作变换： J (E ) =
tetra
f (k )θ (E − ε(k )) d3 k = Vtetra (E ) f occ
x = f (e, u, v )
y = g (e, u, v ) z = h(e, u, v )
(13)
3
4
ε1<e<ε2
ε2<e<ε3
4
ε3<e<ε4
4
e
e 1 3
1
e 3
1
3
2
2
2
Figure 2: 图2 得到εl (x,y,z)= εl (e,u,v)=e。于是 Ii (E ) =
对于三维体系由于二次曲面形式复杂除了态密度dos即ie中的被积函数恒等于1的计算能做到解析求解23以外目前最多只能做到半解析求解10即在某些维度上是解析的其它维度上是数值的因此积分的计算量稍大
布里渊区的积分
January 20, 2007
第五部分 热学性质(声子2)-总结与习题指导
gD
(ω )
=
⎧3
⎪ ⎨
2π
2
ω2 v3
,
ω
<
ωD
(12)
⎪⎩ 0
,ω > ωD
如图 5.3 所示.
5．2 模式密度的范·霍夫(Van Hove)奇点 (a)对只考虑最近邻互作用的一维单原子点阵，简正模式的色散关系为
ω(K
)
=
ωm
sin
1 2
Ka
式中ωm 是简正模式的最高频率. ωm = 2
C ，C 是力常数，M 是原子质量．证 M
波矢空间中的频率等值面ω ( K ) ≡ ω 是一球面，如图 5．1 所示. 该球面内所包围
的模式数为
N
(K
)
=
4π 3
K3
⎛ ⎜⎝
L 2π
⎞3 ⎟⎠
=
V 6π
2
K3
(4)
式中V = L3 是晶体体积．利用色散关系式(1)将式(4)化为对频率ω 的函数
N
(ω )
=
V 6π
2
ω3 v3
6
于是得到
gD
程(U 过程)．倒逆过程是如下形式的三声子碰撞过程：
K1 + K2 = K3 + G
(5.15)
其中 G 是不为零的倒易点阵矢量．由于倒逆过程可以大幅度地改变声子团的总 动量，因而可以建立起声子的热平衡分布，并决定在高温下的点阵热阻．
8 点阵的自由能和格林爱森(Grüneisen)常数 点阵自由能为
(ω )
=
1 V
⎛ ⎜ ⎝
dN (ω )
dω
⎞ ⎟ ⎠
=
1 2π 2
ω2 v3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
取在BZ中分布比较均匀的M个q k，计算相应的k q k ，每个q k及k代表它
们附近的 q
b M
个模式。把整个频率区间分成P个等长区间i, i
1，统
计M个k在这些区间的分布Mi，于是有
Ni ≈ Mi ∗ q
b M
≈ gi ∗
gi ∗
准确积分值
Sm
42 2m12
fqx, qy dqxdqy 657. 874217282883
− −
∑ ∑ m m
f
k−m l−m
2∗k 2m1
,
2∗l 2m1
列表如下
m
Sm
相对误差
0 801. 3243588 22% 1 653. 0405273 −7 ∗ 10−3 2 657. 9654861 1. 4 ∗ 10−4 3 657. 8765141 3. 5 ∗ 10−6 4 657. 8739040 −4. 8 ∗ 10−7 5 657. 8742193 3. 1 ∗ 10−9
hgd
0
dN
q d3 q gd
BZ, q ∈,d
定义了（频域）模式密度g。 如何计算g？
g
V 83
dS ∇q q
缺点：没有实际用途，因为频谱全体 q 不可计算，只能对指定的任意有限个
q k计算相应的 q k 。 改进：回到模式密度g的原始定义dN gd
BZ
难点：除非知道f q 的解析表达式，否则不可能严格算出A0
解决方法：找M适当的个q k，使得对尽可能多的不太大的 l ≠ 0都有
∑M exp iq k l 0，于是
k1
∑M
f qk
k1
∑ A l ∑M exp iq l
l
k1
∑ MA0
AlSl
l 较大
0，
由于随着 l 的增大傅立叶系数A l 会比较快地趋于零，
≈
N
Mi M
N是晶体原胞数。 优点：无需知道频谱全体 q 即可较精确地计算近似的模式密度g
缺点：需要计算大量的数值点才能得到好的结果。
方法二：定义模式密度的主要目的是为了计算∑ f q ，应该回归本源，直接从
BZ
求和式本身着手。 由于f q 是q的周期函数，因此可以把它写成傅立叶级数
f q ∑ A exp iq l l l
k−m
2∗k Ma
na
0。如Βιβλιοθήκη M2m是偶数，则qk
∗2k−1 ，
Ma
k −m, … , m − 1这M − 2个qk使得对所有的非M整数倍的
Sna
∑m−1
exp
k−m
i
∗2k1 Ma
na
0。
例：函数fqx, qy 112 131 sin2qx 300 cos4qy ，
一般来说随着 l 的增大傅立叶系数A l 会比较快地趋于零。
∑f q
BZ
∑ ∑ A l exp iq l
BZ l
∑ A l ∑ exp iq l
l
BZ
容易证明，当 l 0时∑ exp q l N，且 l ≠ 0时∑ exp iq l
BZ
BZ
于是
∑ f q NA0
布里渊区求和、模式密度 在固体物理中经常遇到需要对所有的晶体运动模式的某个物理量求和，由于晶体 的微观平移对称性，晶体的基本运动模式都可以用布里渊区BZ内均匀分布的波矢量
q标记，相应的物理量都可以写成f q 形式，且f q G f q 。
如何求这些物理量∑ f q f q q d3 q ？
BZ
BZ
方法一：许多物理量f仅仅通过f q h q 间接地依赖于q, 因此积分或者
求和时可以先把频率 q ∈ , d之间的q找出来完成积分，然后再对积
分，这就导出了（频域）模式密度的概念，
通过等式
hq BZ
q d3 q h
q d3q
BZ, q ∈,d
S ∑M exp iq l
l
k1
M，因此
N M
∑M f
k1
qk
可以作为∑ f
BZ
q
NA0的
一个较好的近似。
如何选取有这种良好性质的q k？以一维晶体为例，如果M 2m 1是奇数，则
qk
2∗k Ma
，k
−m, … , m这M个qk使得对所有的非M整数倍的
Sna
∑m expi