电子能带理论
电子能带理论对固体导电性的解释
电子能带理论对固体导电性的解释导电性是固体物质最基本的性质之一，通过导电性，人类可以发明电子器件，实现信息的传递和能量的转换。
然而，要理解固体物质的导电性，我们需要借助电子能带理论。
本文将探讨电子能带理论对固体导电性的解释，解析电子在固体中的行为和运动规律。
1. 能带理论的基本概念电子能带理论是固体物理学的重要理论之一，它描述了电子在固体中能量与动量的分布规律。
根据能量与动量的关系，电子在固体中分布形成了能带。
简单来说，能带是指一系列的能级，类似于梯田状。
能带之间存在禁带区域，电子不能在禁带区域内存在。
2. 价带与导带在固体中，能带可以分为价带和导带。
价带是指包含了已经被电子占据的能级，也被称为电子态带。
导带是指包含了尚未被电子占据的能级，即空的或能够被电子占据的能级。
在导带和价带之间存在一个禁带区域，称为能隙。
这个能隙的大小和位置对固体的导电性起着决定性的作用。
能隙较大的固体是绝缘体或半导体，因为需要较大的能量才能将电子从价带激发到导带；能隙较小的固体是导体，因为电子很容易跃迁从价带到导带。
3. 满带和空带在能带理论中，还有两个重要的概念，即满带和空带。
满带是指价带中的能级都被电子占满的情况，不再有空能级可供电子跃迁；空带是指导带中的能级都是空的，可以容纳更多的电子。
在固体中，满带和空带的存在与导电性密切相关。
对于导体来说，由于存在空带，电子可以自由地在导带中传导，实现电流的流动。
而对于绝缘体或半导体来说，由于存在满带或能隙较大，电子无法自由地在导带中传导，导致固体不具备良好的导电性。
4. 能带与带隙的调控固体的导电性不仅仅取决于存在导带和价带，还取决于能带结构中的带隙大小和带隙位置。
通过调控能带结构，我们可以实现对固体导电性的调控。
一种调控能带结构的方法是通过外界的物理或化学处理。
例如，通过施加外电场或通过掺杂材料，可以改变固体内部的电子分布，从而改变带隙大小和带隙位置。
这样的调控方式在半导体和光电器件中得到了广泛应用。
固体物理中的电子结构与能带理论
固体物理中的电子结构与能带理论在固体物理学中，电子结构与能带理论是研究固体材料中电子的行为和性质的重要理论。
通过理解电子结构和能带理论，我们可以深入了解固体材料的导电性、磁性、光学性质等，并为材料设计和应用提供基础。
一、电子结构电子结构是指描述固体材料中电子分布和能级的方式。
根据波尔模型，原子中的电子分布在不同的能级上，而在固体中，原子之间的相互作用会导致电子能级的改变。
在经典物理学中，电子的行为可用经典力学描述，但是在固体中，电子的波动性变得显著，因此需要引入量子力学的概念。
量子力学中的薛定谔方程描述了电子在固体中的行为。
根据波粒二象性，电子既可以被视为粒子，也可以被视为波动。
薛定谔方程描述了电子波函数的演化，并通过解方程得到电子的能级和波函数。
电子结构的计算方法有多种，如密度泛函理论（DFT）、紧束缚模型等。
二、能带理论能带理论是解释固体材料中电子能级分布的重要理论。
它基于电子在固体中的周期性势场中运动的性质。
根据布洛赫定理，电子波函数可以表示为平面波和周期函数的乘积形式。
在周期势场中，电子波函数满足布洛赫定理的条件。
根据能带理论，固体中的电子能级可以分为禁带和能带。
禁带是指电子不能占据的能级范围，而能带是指电子可以占据的能级范围。
能带又可以分为价带和导带。
价带是指电子占据的能级范围，而导带是指电子可以自由运动的能级范围。
固体材料的导电性质与其能带结构密切相关。
对于导体，导带中存在自由电子，电子可以在导带中自由移动，导致材料具有良好的导电性。
对于绝缘体，导带与价带之间存在较大的能隙，电子不能跃迁到导带中，导致材料具有较差的导电性。
对于半导体，导带与价带之间的能隙较小，可以通过施加外界电场或提高温度来激发电子跃迁，从而改变导电性。
能带理论还可以解释固体材料的光学性质。
在能带中，电子跃迁可以吸收或发射光子。
固体材料的能带结构决定了其能量吸收和发射的范围，从而影响其光学性质。
例如，带隙较小的材料通常对可见光具有较好的吸收和发射能力，因此在太阳能电池等领域有广泛应用。
电子结构和能带理论研究
电子结构和能带理论研究自从量子力学的发展，人们开始深入研究物质的内部结构和性质。
其中，电子结构和能带理论是固体物理学中非常重要的研究方向。
本文将讨论电子结构和能带理论的基本概念、发展历程以及在实际应用中的意义。
1. 电子结构和能带理论的基本概念电子结构是指描述原子核周围电子分布的方式。
根据量子力学的原理，电子存在于不同的能级上，每个能级最多容纳一定数量的电子。
通过解析波恩-奥本海默方程，可以得到原子内电子的分布情况。
然而，当多个原子接近并形成晶体时，电子结构变得更加复杂。
为了解释晶体物质中的电子行为，人们发展了能带理论。
在晶体中，原子间的相互作用导致原子能级发生分裂，形成一系列能带。
能带是指原子电子能级在晶格相互作用下形成的一系列允许态。
根据能带理论，对于绝缘体，导带和价带之间存在一个能隙，而对于导体，两者之间的能隙不存在。
2. 能带理论的发展历程能带理论的历史可以追溯到20世纪初。
根据布洛赫定理，电子在晶体中表现出类似于自由电子的行为，其波函数可以用平面波和周期函数的乘积表示。
这一理论为解释电子在晶体中运动提供了新的框架。
在20世纪30年代，埃里希·曼恩和哈特穆特·鲍尔提出了著名的能带结构理论。
他们以三角晶格为例，研究了电子在晶格中的运动行为，并揭示了带隙的存在。
此后，维布洛尼克和科尔茨在1954年提出了第一性原理计算的方法，可以用数学模型计算晶体的电子结构。
随着计算机技术的发展，人们开始使用图像计算和密度泛函理论等新方法研究电子结构和能带理论。
这些方法在准确性和计算效率上都取得了巨大的进步，为材料科学和能源研究提供了强大的工具。
3. 电子结构和能带理论的意义和应用电子结构和能带理论对现代科学和工程领域具有重要意义。
首先，它解释了物质的导电性质。
通过研究能带的性质，我们可以预测不同材料是导体、绝缘体还是半导体，从而为电子器件的设计和制造提供指导。
其次，电子结构和能带理论对材料性能的研究也具有重要意义。
自由电子与电子能带理论的解释
自由电子与电子能带理论的解释自由电子理论是固体物理学中的一个重要概念，它被广泛运用于描述和解释物质的电子结构和导电性质。
在这个理论中，电子被认为是不受束缚的，它们可以在一个无限深势阱中自由移动。
在固体中，电子受到其他原子核电荷的吸引，同时与其他电子之间的相互作用也不可忽视。
自由电子理论假设固体中的价电子（最外层电子）可以忽略其他电子和原子核之间的相互作用，从而成为类似自由粒子的行为。
这个假设为我们提供了描述固体中电子的简单模型，它可以用来解释电子的运动和导电性质。
自由电子理论对于描述导电性质而言是非常有效的。
在固体中，电子可以上升到更高的能级，或者从高能级下降到低能级。
当电子遇到外电场时，它们可以自由地加速或减速，并且在导体中形成电流。
这就是为什么金属具有良好导电性质的原因。
自由电子理论可以用来解释导体中的电子运动和导电现象，尽管它忽略了许多真实物质之间的相互作用。
然而，自由电子理论也有一些限制。
首先，它无法解释像绝缘体和半导体这样的材料的导电性质。
这些材料中的电子在价带和导带之间存在能隙，只有当光子提供足够的能量时，电子才能从价带跃迁到导带，形成电流。
自由电子理论无法描述这种现象。
为了解决这个问题，人们发展出了电子能带理论。
根据电子能带理论，固体中的电子在能量空间中被分布为一系列能带，每个能带可以容纳一定数量的电子。
其中，价带是最低能级的能带，它容纳了价电子；而导带是更高能级的能带，它容纳了自由电子。
能带之间的间隙被称为能隙。
电子能带理论在解释固体的导电性质时更加准确。
对于绝缘体而言，价带和导带之间的能隙非常大，因此电子无法跃迁到导带中。
这导致了绝缘体的低导电性质。
而半导体中的能隙比较小，一些电子可以通过吸收热量或光子来跃迁到导带，形成电流，使半导体表现出可变的导电性。
电子能带理论还可以解释为什么金属具有良好的导电性。
在金属中，导带与价带之间没有明显的能隙，因此即使不需要外电场的加速，电子也可以自由地在导带中移动和形成电流。
物质的电子结构与能带理论
物质的电子结构与能带理论物质的电子结构是指物质中电子的分布状态和能量分布规律，对于理解物质的性质和特性具有重要意义。
能带理论是解释物质电子结构的一种重要理论，它有效地解释了许多物质的导电性、光学性质等现象。
本文将首先介绍电子结构和能带理论的基本概念，随后展开对能带结构和导电性的讨论，最后探究外场作用对能带的影响。
一、电子结构和能带理论的基本概念物质中的电子具有双重性质，既表现为粒子，又具有波动性。
根据波粒二象性理论，物质中的电子可以用波函数描述，波函数的模的平方表示电子的概率分布密度。
电子的波函数满足薛定谔方程，由此可求解电子的能量和波函数。
能带理论是根据固体物质中电子的量子力学性质提出的。
根据波赫（Bloch）定理，固体中电子的波函数可以表示为平面波和周期函数的乘积。
能带理论认为，固体中的电子不再是独立的粒子，而是以能带的形式存在。
能带是指一系列能量相近的电子所占据的能级区域。
二、能带结构和导电性能带理论解释了物质的导电性。
在能带理论中，电子的能量分布被分为两类：价带和导带。
价带是指位于较低能量的带，其中能量较低的电子处于稳定状态，难以移动。
导带是指位于较高能量的带，其中能量较高的电子具有较高的运动能力，容易被外界电场激发出来。
半导体和绝缘体的能带结构具有明显的能隙。
能隙是指导带和价带之间的能量差异。
在绝缘体中，能隙较大，导带中几乎没有电子，因此没有导电性。
而在半导体中，能隙较小，可以通过热激发等方式使部分电子进入导带，形成导电。
金属的能带结构具有重叠的特点。
金属的价带和导带高度重叠，导电的电子处于高能态，可以自由地移动，从而形成良好的导电性。
这也是金属具有良好导电性的重要原因。
三、外场作用对能带的影响外场作用对能带结构具有重要影响。
外场包括温度、外界电场等因素。
温度的升高会增加电子的热运动能量，使部分电子脱离价带进入导带，增加导电性。
外界电场则会使能带发生位移和畸变，进而影响电子的能级分布和运动状态。
电子结构与能带理论分析
电子结构与能带理论分析电子结构是指描述原子、分子或固体材料中电子的分布和能量状态的理论框架，是理解物质性质和反应机制的基础。
而能带理论，则是理解电子在晶体材料中的行为的关键概念。
本文将探讨电子结构与能带理论，分析其基本原理和实际应用。
一、电子结构的基本原理电子结构理论基于量子力学的框架，通过求解薛定谔方程，描述电子在原子核势场下的运动。
根据波粒二象性，电子可以被看作是一种波动粒子，其运动状态通过波函数来描述。
波函数包含了电子的位置和能量等信息，通过求解波函数，可以得到电子在原子轨道中的分布及其能量。
电子结构理论提供了一种准确的工具，用于预测化学反应、分析分子形状、解释光谱现象等。
二、能带理论的原理当引入晶体材料的概念时，基于单个原子的电子结构理论显然不足以描述自然界中的材料行为。
在晶体材料中，原子排列形成了周期性的结构，这导致电子能量与晶体中的电子位置发生耦合。
能带理论的基本思想就是将晶体中的电子能级劈裂成一系列能带，来描述材料中的电子行为。
能带理论通过将一组重复的波函数引入薛定谔方程中，构建了一组反映晶格周期性的能量本征态。
这些本征态在动量空间中形成了一系列的能带，称为价带和导带。
其中，价带占据态的能级较低，导带未占据态的能级较高。
能带理论解释了为何有些材料是导体，有些材料是绝缘体，以及半导体材料在不同条件下的行为变化。
通过调控晶体结构以及掺杂等手段，可以改变能带结构，从而实现材料性能的调控和优化。
三、能带理论的实际应用能带理论为材料科学和电子学领域提供了重要的理论基础。
通过对材料的电子结构进行计算和理论分析，可以预测材料的化学反应性、力学性能和光电性能等。
其中，有两个重要应用值得强调。
首先，能带理论在材料设计和发现中扮演着关键角色。
通过计算机模拟和高通量计算等方法，可以快速筛选大量候选材料，并预测其在特定应用中的性能。
这为新材料的合成和应用提供了重要的指导。
此外，能带理论在半导体器件设计和优化中也具有重要意义。
电子能带理论
电子能带理论电子能带理论是固体物理学中的重要概念，它描述了固体材料中电子的能量分布和运动方式。
该理论对于研究金属、半导体和绝缘体等材料的电子性质具有广泛的应用。
本文将介绍电子能带理论的基本原理和应用。
一、能带结构的基本概念能带是指固体中电子能量分布的一种模式。
根据布洛赫定理，固体中的周期势场会导致能量在能量-动量空间中的布洛赫态分布。
能带结构可以通过能量-动量关系图来表示。
在能量-动量图中，各能量带之间存在能隙区，能隙区可分为导带和价带。
导带是指具有高能量的电子能级区域，电子在导带中具有较高的能量和较大的动量。
电子在导带中的运动自由度较高，因此金属等导电材料在导带中具有良好的电子导电性。
价带是指具有低能量的电子能级区域，电子在价带中具有较低的能量和较小的动量。
电子在价带中的运动受到固体晶格的束缚，因此在绝缘体等材料中电子的导电性较差。
二、能带理论的形成机制能带理论对固体材料中的电子结构进行了解释，其中包括原子轨道的混合和能带的形成机制。
能带的形成主要有晶格势和电子间相互作用两个方面的影响。
晶格势是指原子间相互作用形成的周期势场。
晶格势对电子的影响主要是在导带和价带之间形成能隙，并且能量随着动量的变化而呈现周期性变化。
电子间相互作用是指电子之间的库伦相互作用和交换作用。
电子间的库伦相互作用可以导致能带的分裂，而电子的交换作用则是能带宽度的起因。
三、能带理论的应用能带理论在材料科学和工程中有着广泛的应用。
以下是几个能带理论应用的例子：1. 半导体器件设计能带理论可用于解释半导体器件的导电和非导电行为。
通过控制半导体材料的能带结构，可以实现器件的导电性能调控，以满足不同应用需求。
2. 能源材料研究能带理论可以用于研究光伏材料、燃料电池材料等能源材料的电子结构和电荷传输机制。
通过理论模拟，可以预测材料的光电转换效率和电催化性能，加速新型能源材料的发现和优化。
3. 光电子器件设计能带理论可应用于光电子器件的设计和优化。
电子的激发态与电子能带理论
电子的激发态与电子能带理论电子是一种基本的粒子，它在固体材料中起着至关重要的作用。
在量子物理学中，电子的激发态和电子能带理论是研究电子行为的重要理论框架。
本文将探讨电子的激发态及其与电子能带理论的关系。
电子的激发态是指电子从其基态转移到一个高能级的状态。
当电子受到能量的激发时，它可以从原来的轨道跳到一个更高的能级上。
这种激发态可以通过热激发、光激发或其它方式来实现。
一旦电子进入激发态，它就可以在这个能级上停留一段时间，然后会退回到基态。
电子的激发态的性质与其所处的能级有关。
电子能带理论是描述固体中电子行为的关键概念之一。
根据电子能带理论，固体中的电子可以分布在一系列能级上，这些能级被称为能带。
每个能带可以容纳一定数量的电子。
能带的能级间隔会因材料的不同而有所差异。
在导体中，能带之间的间隔很小，而在绝缘体中，能带之间的间隔很大。
电子能带理论解释了为什么一些材料有良好的导电性而另一些则是绝缘体。
当一个能带被填满时，电子无法再进入该能带，因此这个能带将不会贡献导电性。
当能带只填满一部分时，这个能带将对导电性有所贡献。
对于导体来说，其能带几乎是完全填满的，因此具有良好的导电性。
而绝缘体的能带则完全填满或几乎填满，因此电子无法在能带之间移动，导致绝缘体不导电。
除了导体和绝缘体外，半导体是另一类材料，其导电性介于导体和绝缘体之间。
半导体的能带结构可以通过外界因素如温度和施加电压的改变而发生变化。
在半导体中，能带之间的间隔较小，当外界施加足够的能量时，电子可以从一个能带跃迁到另一个能带，导致电导率的变化。
电子的激发态和电子能带理论密切相关。
当电子从一个能带跳到另一个能带时，它经历了一个激发态。
激发态的能量取决于跃迁的能级差异。
电子能带理论提供了解释激发态能量以及电子行为的框架。
在材料科学和电子学领域，对于电子的激发态与电子能带理论的研究具有重要意义。
通过深入理解电子行为，我们可以设计和开发出更高效的材料和器件，进一步推动科学技术的发展。
材料科学中的电子能带理论与导电性质
材料科学中的电子能带理论与导电性质材料科学是一门研究物质组成、结构、性质以及在各种环境条件下如何改变和应用的学科。
而在材料科学领域，电子能带理论是一项重要的理论基础，用于解释物质的导电性质。
本文将探讨电子能带理论在材料科学中的应用以及与导电性质的关系。
电子能带理论是描述物质中电子能量分布的理论模型。
它基于量子力学的原理，将固体中的原子视为周期性排列的晶格结构，每个原子贡献一个或多个能级。
在理想的晶体中，能级的排列形成由连续能带（能量范围）组成的能带结构。
电子在能带中运动，每个能带内的电子数目有限，称为占据数，而不能被电子占据的能带称为禁带。
电子能带理论的一个重要应用是解释材料的导电性质。
根据电子能带理论，材料中的导电性质主要取决于最高占据能带和最低未占据能带之间的能带间隙，即所谓的带隙。
在金属中，能带之间不存在带隙，电子可以在能带之间自由移动，因此金属具有良好的导电性。
而在绝缘体和半导体中，最高占据能带和最低未占据能带之间存在带隙，电子受限于带隙的宽度，导电性较差。
这种带隙的大小直接影响了材料的导电性能，为材料的电导率提供了重要依据。
半导体是一种既不是完全导电又不是完全绝缘的材料。
在半导体中，电子能带结构被分为价带和导带。
价带是最高占据能带，导带是最低未占据能带。
在室温下，半导体中的电子大部分集中在价带中，导带几乎没有电子。
然而，在激发条件下，由于外界的刺激，例如光照、加热或施加电场，电子可以从价带跃迁到导带，形成电子与空穴（缺少电子的价带状态）对。
这些电子与空穴的运动会产生电流，从而表现出半导体的导电性。
导体、绝缘体和半导体这三类材料的导电性质，实际上是电子能带结构特征的反映。
导体的能带结构中存在重叠的能带，电子可以自由移动，因此具有极好的导电性。
绝缘体的能带结构中带隙较大，除非外界提供足够的能量以克服带隙，否则电子无法跃迁到导带中，因此不导电。
而半导体的带隙宽度介于导体和绝缘体之间，可通过外界刺激改变带隙宽度，因此表现出导电性能的可调控。
固体物理学中的电子结构和能带理论
固体物理学中的电子结构和能带理论固体物理学是研究物质的电子结构、自旋、磁性、导电、热学等性质的分支学科。
而电子结构与能带理论是固体物理学中最基础、最基本的概念之一。
电子结构指的是物质中电子的分布状态。
在经典物理学中，物质中的电子被视为点电荷，可以精确地计算出电子在各个位置上的势能的大小。
但是，在量子力学中，电子被视为一种波动性粒子，其能量和动量在各个方向上都是有限制的。
因此，在固体中，每个电子存在着特殊的运动方式，也即是所谓的“波函数”。
能带理论是电子结构理论中的一种，用于解释在固体物质中电子结构与导电性等现象。
能带即不同电子能量的总体能量段。
在能带理论中，一个电子在周期性势场作用下发生运动，其波函数可以写成布洛赫函数的形式。
由于电子的波函数受局限于介质的周期性势场，存在独特的运动方式，所以电子的能量只能分布在特定能量范围内，而不是一种连续的分布。
电子的能量态分布在空间中的不同区域、形成电子能带结构或禁带结构。
由于禁带存在，在晶体中当电子没有激发到更高的能量带时，这些电子是不能参与导电的，因此，晶体的导电性与禁带的大小有着密切的联系。
除此之外，电子的运动、能量和动量在车里士空间中是有限制的，车里士空间即为由倒易格子所构成的空间。
倒易空间的概念，在固体物理学中也是非常重要的概念之一。
由倒易空间的性质可以分析出生长晶体过程中的晶格常数大小对于晶体中能带结构的影响。
总之，电子结构与能带理论在固体物理学、材料学、电子学等领域的应用不可谓不广泛。
对于制造半导体材料与计算机芯片来说，这些概念至关重要。
同时，电子结构理论的另一大作用，是使得物理学者们在研究电子结构时，更进一步理解微观世界的本质。
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格矢量： E[n]Te[n]Ee[ne]Ee[np]TpEppE0
定 义： E[n]Te[n]Ee[ne]Ee[np]TpEppE0
倒格矢： E [n]T e[n]E e[n e]E e[n p ]T pE p pE 0
晶格的周期性
1 晶格周期性的描述 —— 原胞和基矢
注* ：我们把以原点为中心的第一能带所处的 k 值 范围称为第一布里渊区;第二、第三能带所处的 k值范围称为第二、第三布里渊区，并以此类推。
E[n]Te[n]Ee[ne]Ee[np]TpEppE0
布里渊区：
• 布里渊区边界描述了晶体周期性边界（势场）对电子作用。
• 电子先填充低能级，对应等能面离布里渊区边界远，不受周期场 的影响，是球面；
因此，布洛赫函数是比自由电子波函数 更接近实际情况的波函数。
• 在一定波长和角度时幅度为零（对应能隙）
• 其它位置原子能级被调幅（有增有减）成为能带。
问题：a、能带理论 b、能带模型
E[n]Te[n]Ee[ne]Ee[np]TpEppE0
c、能隙的宽度可用来区分
（4）能带理论解释导体、半导体、绝缘体形成
4
2
(Eg3~6eV)
E
第二章复习要点
1.近自由电子近似的基本方法
2.能带形成及其解释
3.布里渊区理论
作业：1.什么是费米能？试解释温度升高 为什么费米能降低？ 2. 自由电子理论与近自由电子理论的主要结论 有哪些不同?
第三章 现代电子理论
一、密度泛函理论 材料科学基本物理原理：材料的性质取决于结构。
空带
禁带
No Image
满带
No Image
例如硅Eg=1.14电子伏，锗 Eg=0.67电子伏，砷化镓
Eg=1.43电子伏。
导体、半导体、绝缘体的不同，主要是能带结构不同
金属导电与半导体导电的差别：金属导电的载流子是自 由电子，半导体导电的载流子是导带中的电子和价带中 的空穴。
2.2 布里渊区理论
晶体结构周期性的函数 E[n]Te[n]Ee[ne]Ee[n的p]TpEppE0乘积。
它是按照晶格的周期 a 调幅的平面波，通解称 布洛赫波，调幅函数与晶体周期相同
这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的 倾向，又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。
只有在
3
a
等于常数时，在周期场中运动的
电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。
推广： 3.3原子的作用力：
计算： 微扰理论：
E [n ] T e[n ] E e[n e] E e[n p ] T p E p p E 0
E [ n ] T e [ n ] E e[ n e ] E e[ n p ] T p E p p E 0
3.4 科恩 — 萨姆泛函
E[n]Te[n]Ee[ne]Ee[np]TpEppE0
E[n]Te[n]Ee[ne]Ee[np]TpEppE0E[n]Te[n]Ee[ne]Ee[np]TpEppE0
a
v (i
2
v j)
—— 原胞中只包含一个原子
4 晶格周期性的描述 —— 布拉伐格子
简单晶格，任一原子A的位矢
En
n H ˆ n
(H ˆEn)|n 0
n|(H ˆEn)0
n|(HˆEn)|nn|(HˆEn)|n0n|Hˆ|nn|En|n0
3~6eV
能带中的能级数
晶体中电子的能量不能取禁带中的数值， 只能取能带中的数值。由 图 5 可以看出：
第二章 电子能带理论
教学目的：
●掌握近自由电子近似方法、 ●理解能带的物理意义、能带的形成 ●理解布里渊区概念 ●了解密度泛函理论基本思想
2.1近自由电子近似
一、能带的形成
零势场中的电子E[n]Te[n]Ee[ne]Ee[np]TpEppE0
单电子的运动 — 势场的单电子：
自由电子的运动： V(r)
av 1
单胞基矢
av,
v b,
cv
av 2
av 3
a
v (j
v k)
2
a
v (k
v i)
2
a
v (i
v j)
2
一些情况下 —— 单胞就是原胞 一些情况下 —— 单胞不是原胞
简单立方 — 单胞是原胞
av 1 av 2 av 3
a
v (j
v k)
2
a
v (k
v i)
2
a
v (i
v j)
2
加一项其他粒子对电子的作用势
一维晶体的Schodinger方程：
En
(n 1 2)
电子在周期性的势场中运动，满足：
Hˆ x2
•
能带理论：
• 求解金属晶体中电子的容许能态的能带模型
能带模型：
• 其一：近自由电子近似 • 其二：紧束缚近似、克隆尼克 — 潘纳近似、
瓦格纳 — 赛茨近似、原胞和原子轨道线性组合法
结构(r)
波函数ψ(r)
材料的性质
电子密度n(r)
• 用传统的多体量子力学精确求解薛定谔方程得波函数不现实时， 可以从电子密度入手！
• 材料的性质中起主要作用的是基态能，基态能是：
E [ n ] T e [ n ] E e [ n e ] E e [ n p ] T p E p p E 0
uk (x)
uk (x)
uk (x)
uk (x)
uk (x)
No Image
性排列而使价电子不再
No Image
为单个原子所有的现象，
晶体中周期性势场
称为电子的共有化。
对大量原子有规则地排列成晶体时，由于原子离得很近， 每个电子不仅受到本身原子核的作用，而且受到邻近原子 核的影响,内层电子因受原子核的牢牢束缚而影响较小；价 电子或外层电子却不同，外层电子受邻近原子的作用更强， 容易脱离原来的原子而进入到其他原子当中。 即电子不再 分属各个原子所有，而是属于整个原子所共有，这称电子 的共有化。
• 基态电子密度的函数：
即：
d[E n(r)]
d(n r ) 0E 0
关键要得到E[n(r)]的函数形式!!
E [ n ] T e [ n ] E e[ n e ] E e[ n p ] T p E pp
分析：
Tp 0
Te — 电子振动 晶格振动不计
1
Epp 2
zizj | Ri Rj |
因为当有N个相同的自由原子时，每个原子内的电子有相同的 分立的能级，它们是N重简并的，当这N个原子逐渐靠近时，原 来束缚在单原子中的电子，不能在一个能级上存在（违反泡利不 相容原则）从而只能分裂成N个非常靠近的能级（10-22ev），因 为能量差甚小，可看成能量连续的区域，称为能带。
电
电 子
2p 2s
n=2
子 能
能
量
量
1s n=1
孤立原子的能级
2p 2s n=2
1s n=1 原子间距 能级分裂
分裂的能级数计算： 两个原子组成晶体时 2s能级分裂为二个能级； 2p能级本身是三度简并，分裂为六个能级。
能带
E
2p
禁带
禁带
2s
1s
o
原子间距
Eg
3~6eV
（2）电子的Bragg散射与能带
E[n]Te[n]Ee[ne]Ee[np]TpEppE0
核、核作用能
E e[p n ]n (r )V (r )d r 电、核作用能
E e[n e ] 静 交 电 关 换 能 E 联 能 H (n ) E x 能 c
关键在于求： Te[n]?E ;x[cn]?
1)、托马斯 — 费米理论: E [ n ] T e [ n ] E e[ n e ] E e[ n p ] T p E p
电子被晶格散射后的波：
No Image
a
2
a
E
E7
E[n]Te[n]Ee[ne]Ee[np]TpEppE0
32, 23 a aaa
2, 2 a aaa
E6
0
E[n]Te[n]Ee[n]Ee[np]TpEp0
E[n]Te[n]Ee[ne]Ee[np]TpEppE0
3 a
E5 E4 E3 E2 E1 H22
x （ 2m1) (2m1) a ,波函数振幅为0...பைடு நூலகம்.....波. 节
4
2
2 Ae e j2kx j2vt Ae e j2kx j2vt
x m ma时， 电子波函数振幅0..........波节 2
x （ 2m1) (2m1) a ,波函数振幅为2A.........波. 腹
• 但随着电子依次向高能级填充，对应等能面接近布里渊区边界， 受周期场的影响，发生变形；
• 等能面与布里渊区边界相交时。形成不连续能带。
布里渊区的两个著名应用：• 其一：用来区分金属和绝缘体
• 其二：合金相的琼斯理论
rE
二维正方晶格的布里渊区
1 2Acos(2kx)cos(2vt)
x m ma时， 电子波函数振幅为2A..........波腹 2
单胞的体积
R l l1 a 1 l2 a 2 l3 a 3
2 简单晶格
—— 由完全等价的一种原子构成的晶格
1) 简单立方晶格 —— 原胞为简单立方晶格的立方单元
基矢 R2a3a l 1 2
av 1 av 2
a
v (j
v k)
2
a
v (k
v i)
2
原胞体积 R l 3 a 1 a 2 a 3 av 3
5
Te[n] Ckn(r)3dr E e[n e ] 静 交 电 关 换 能 E 联 能 H (n ) E x 能 Exc[n] n(r)xc(n(r))dr