21控制系统的微分方程
自动控制原理试题库20套和答案详解
自动控制原理试题库20套和答案详解一、填空（每空1分，共18分）1．自动控制系统的数学模型有、、共4种。
2．连续控制系统稳定的充分必要条件是。
离散控制系统稳定的充分必要条件是。
3．某统控制系统的微分方程为：dc(t)+0.5C(t)=2r(t)。
则该系统的闭环传递函数dtΦσ；调节时间ts(Δ。
4．某单位反馈系统G(s)= 100(s?5)，则该系统是阶2s(0.1s?2)(0.02s?4)5．已知自动控制系统L(ω)曲线为：则该系统开环传递函数G(s)= ；ωC6．相位滞后校正装置又称为调节器，其校正作用是。
7．采样器的作用是，某离散控制系统(1?e?10T)G(Z)?（单位反馈T=0.1）当输入r(t)=t时.该系统稳态误差(Z?1)2(Z?e?10T)为。
二. 1.R(s) 求：C(S)（10分）R(S)2.求图示系统输出C（Z）的表达式。
（4分）四．反馈校正系统如图所示（12分）求：（1）Kf=0时，系统的ξ，ωn和在单位斜坡输入下的稳态误差ess.（2）若使系统ξ=0.707，kf应取何值？单位斜坡输入下ess.=？五.已知某系统L（ω）曲线，（12分）（1）写出系统开环传递函数G（s）（2）求其相位裕度γ（3）欲使该系统成为三阶最佳系统.求其K=？，γmax=?六、已知控制系统开环频率特性曲线如图示。
P为开环右极点个数。
г为积分环节个数。
判别系统闭环后的稳定性。
（1）（2）（3）七、已知控制系统的传递函数为G0(s)?校正装置的传递函数G0（S）。
（12分）一.填空题。
（10分）1.传递函数分母多项式的根，称为系统的2. 微分环节的传递函数为3.并联方框图的等效传递函数等于各并联传递函数之4.单位冲击函数信号的拉氏变换式5.系统开环传递函数中有一个积分环节则该系统为型系统。
6.比例环节的频率特性为。
7. 微分环节的相角为8.二阶系统的谐振峰值与有关。
9.高阶系统的超调量跟10.在零初始条件下输出量与输入量的拉氏变换之比，称该系统的传递函数。
控制系统的微分方程
J
d
dt
m
mc
整理得
La J CeCm
d 2 dt 2
Ra J CeCm
d dt
ua Ce
La CeCm
dmc dt
Ra mc CeCm
TaTm
d 2 dt 2
Tm
d dt
Kuua
Km (Ta
dmc dt
mc )
其中Ta
La Ra
和
Tm
Ra J CeCm
电机通电后产生转矩
Ce称为电动机电势常数
m K2ia K2K f i f ia Cmia
Cm称为电动机转矩常数，再根据牛顿定律可得机械转动方程
Wednesday, June 26,
J
d
dt
m
mc
2019
10
控制系统的微分方程
La
di dt
Rai
ea
ua
ea Ce
m Cmia
分别称为电磁时间常数和机电时间常数
Ku
1 Ce
和
Km
Ra CeCm
分别是转速与电压传递系数和转速与负载
传W递edn系esd数ay, 。Jun这e 26里, 已略去摩擦力和扭转弹性力。
2019
11
相似系统和相似量
[需要讨论的几个问题]：
1、相似系统和相似量：
我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全 一样的。
Ra La
if
i ua
ea
M
ω
这里输入是电枢电压ua和等效到电机
21-123 列写微分方程的一般方法及线性化
待定系数法
x 3 A( x 3) B( x 2) x 3 ( A B)x (3A 2B)
x 3 A( x 3) B( x 2) 代入特殊值
n
f (t) c1ep1t c2ep2t c3ep3t cnepnt ciepit i1
拉普拉斯变换
《自动控制理论》
例1：
x3 x3
AB
x2 5x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3) estdt 0 dt
L
df (t) dt
sF
(s)
f
(0)
微分定理：设 Lf t Fs 则
L f t s Fs f 0 L f n t snFs sn-1f 0 sn-2f 0 L sf n-2 0 f n1 0
C1
1
2
11
r
1
1
i dt i R (i i )dt
C2 2
22
C1
1
2
1
i dt u
C2
2
c
消去中间变量 i1,，i2 得
RRCC
d
2u c
(RC
RC
du RC ) c u
u
d t 1 2 1 2
2
11
22
1 2 dt
c
r
（2-2）
可知该电路的数学模型是一个二阶常系数非齐次微分方程。
数学模型分为静态模型和动态模型两种。
代数方程
微分方程
系统的动态特性
建立系统数学模型
解析法 实验法
1. 全面了解系统特性，确定研究目的以及准确性要求，决
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
控制工程基础 课件
2.积分环节
图2-9
积分环节框图
3.理想微分环节
理想微分环节的微分方程为
式中 τ——微分时间常数。 其传递函数为
其框图如图210所示。
3.理想微分环节
图2-10 理想微分环节框图
3.理想微分环节
解 输入ω或dθ/dt，输出是u，在零初始条件下对上式进行拉氏变 换，得
图2-11
测速发电机传递函数框图
由图226a的信号传递关系可写出
3.反馈联结等效变换 图2-26a所示为反馈联结的一般形式，其等 效变换的结构如图2-26b所示。
消去E(s) ， B(s)得
或
3.反馈联结等效变换 图2-26a所示为反馈联结的一般形式，其等 效变换的结构如图2-26b所示。
式(243)为反馈联结的等效传递函数，一般称它为闭环传递函 数。式中分母中的“+”号对应于负反馈，“-”号对应于正反馈。
图说
解 输入ω或dθ/dt，输出是u，在零初始条件下对上式进行拉氏变 换，得
图2-12
积分环节
解 由电压关系知
4.惯性环节 惯性环节的微分方程为
式中 T——惯性时间常数。 惯性环节的传递函数为
惯性环节框图如图213所示。
图2-13
惯性环节框图
图2-14 比例微分环节框图
5.比例微分环节
3.引出点
如图220b所示，它表示信号由该点取出，从同一信号线上取得的信 号，其大小和性质完全相同。
4.比较点(又称综合点)
如图220c所示，其输出量为各输入量的代数和。因此，在信号输 入处要注明它们的极性。 图221为一典型自动控制系统的结构图。
图2-21
典型自动控制系统结构图
2.3.2 系统结构图的画法
第2章-1-微分方程
K
eo
eo
ei
e
i1 i2 i3
i1 ui u R1
u u 0
d(u uo ) i2 C dt
i3
u uo R2
有源网络的微分方程为
C
duo uo ui dt R2 R1
自 动 控 制 原 理
2.1.3 机电系统
电枢
1．直流电动机，控制电压
Ce (t ) ua (t )
自 动 控 制 原 理
2.1.3 机电系统
La Ra
磁场控制式直流 电动机微分方程为
Rf
转动惯量 J 摩擦系数 f
激磁电流 负载
d 2 (t ) d (t ) Lf J Lf f Rf J R f f (t ) kmu f (t ) 2 dt dt dM c (t ) Lf R f M c (t ) dt
自 动 控 制 原 理
第2章 自动控制系统的数学模型
2.1 控制系统的微分方程
2.2 控制系统的传递函数
2.3 方块图
2.4 控制系统的信号流图
数学模型：系统的输入/输出时间函数描述
物理模型——任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以
对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简 化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。简化是
V
H
M
x
P M
自 动 控 制 原 理
2.1.1 机械系统
• 简化物理模型 • 列写控制系统各部分的微分方程 • 在平衡点附近线性化 各部分的微分方程：
I V sin H cos
d2 m 2 ( x sin ) H dt
自动化_自动控制原理_复习题库
自动控制原理习题1、反馈控制又称偏差控制，其控制作用是通过 与反馈量的差值进行的。
2、复合控制有两种基本形式：即按 的前馈复合控制和按 的前馈复合控制。
3、两个传递函数分别为G 1(s)与G 2(s)的环节，以并联方式连接，其等效传递函数为()G s ，则G(s)为 （用G 1(s)与G 2(s) 表示）。
4、若某系统的单位脉冲响应为0.20.5()105t t g t e e --=+，则该系统的传递函数G(s)为 。
5、根轨迹起始于 ，终止于 。
6、设某最小相位系统的相频特性为101()()90()tgtg T ϕωτωω--=--，则该系统的开环传递函数为 。
7、PI 控制器的输入－输出关系的时域表达式是 ，其相应的传递函数为 ，由于积分环节的引入，可以改善系统的 性能。
8、在水箱水温控制系统中，受控对象为 ，被控量为 。
9、自动控制系统有两种基本控制方式，当控制装置与受控对象之间只有顺向作用而无反向联系时，称为 ；当控制装置与受控对象之间不但有顺向作用而且还有反向联系时，称为 ；含有测速发电机的电动机速度控制系统，属于 。
10、稳定是对控制系统最基本的要求，若一个控制系统的响应曲线为衰减振荡，则该系统 。
判断一个闭环线性控制系统是否稳定，在时域分析中采用 ；在频域分析中采用 。
11、传递函数是指在 初始条件下、线性定常控制系统的 与 之比。
12、设系统的开环传递函数为2(1)(1)K s s Ts τ++，则其开环幅频特性为 ，相频特性为 。
13、频域性能指标与时域性能指标有着对应关系，开环频域性能指标中的幅值穿越频率c ω对应时域性能指标 ，它们反映了系统动态过程的 。
14、对自动控制系统的基本要求可以概括为三个方面，即： 、快速性和 。
15、控制系统的 称为传递函数。
一阶系统传函标准形式是 ，二阶系统传函标准形式是 。
16、在经典控制理论中，可采用 、根轨迹法或 等方法判断线性控制系统稳定性。
控制系统的微分方程
5 微分定理
序号 定理名称 1 常数定理 2 线性定理 3 衰减定理 4 延迟定理
数学描述
L Af (t) AF(s) Laf1(t) bf2(t) aF1(s) bF2(s)
L f (t)eat F (s a)
L[ f (t )] e s F (s)
0 (t)dt 1
0
0
系统在单位脉冲输入信号作用下的输出称为系统的单位脉冲响应，计作 g(t) 。
控制系统的微分方程
1.2 拉氏变换及其应用
2. 典型输入信号的拉氏变换
（2）阶跃信号。阶跃信号的数学表达式为
u(t)
0 ，t
A
，t
0 0
式中 A——常数，称为阶跃信号的阶跃值。
在t=0处的阶跃信号，相当于一 个不变的信号突然加到系统上，如 指令的突然转换、电源的突然接通、 负荷的突变等，都可视为阶跃信号。
Fd (t) f dt
将式（2-25）、式（2-26）代入式（2-24）得
dx(t) d2x(t)
F(t) kx(t) f
m
dt
dt 2
整理得
d2x(t) dx(t)
m
f
kx(t) F(t)
dt 2
dt
由此可见，描述该物体机械平移运动的微分方程是二阶微分方程。
（2-26） （2-27）
控制系统的微分方程
阶跃信号的拉氏变换为 Lu(t) u(t) estdt A 。
0
s
A 1时的阶跃信号称为单位阶跃信号，记为1(t) ，其拉氏变换为 L1(t) 1
s
系统在单位阶跃输入信号作用下的输出称为系统的单位阶跃响应，计作h(t) 。
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教学目的
• 掌握不同物理系统微分方程的建立 • 掌握拉氏变换及其性质 • 熟悉基本环节的传递函数 • 能用拉氏变换、框图化简及梅森增益公示求系
统的传递函数
学习重点和难点
• 建立系统的微分方程 • 拉氏变换的应用及框图化简
本次课程作业
2-13(c) 把求传递函数改为求微分方程 2-16(a) 把求传递函数改为求微分方程
and dn nc t(t)an1d dn n 1 t1c(t) a0c(t) b m d dm m tr(t)b m 1d dm m 1 t1r(t) b 0r(t)
式中： r(t)— 输入，c（t）— 输出
ai,bj(i0~n ,j0~m )为常系要数
补充题1 弹簧—阻尼器系统
Fi
Ff
这也是一个二阶定常线性微分方程
2 电气系统的微分方程
例2-3 无源电路网络
C i1(t)
R1
ui(t)
i2(t) i(t) R2 uo(t)
解：
i1(t)i2(t)i(t) u i(t)u o(t)R 1i2(t) 1
c i1(t)dtR1i2(t)
uo(t)R2i(t)
由以上四式整理得：
R 1 C dd o (u t)t R 1 R 2 R 2u o (t) R 1 C dd i(tu )t u i(t)
Ke
do(t) dt
ei
(t)
3 液压系统的线性化方程（了解）
4 相似系统
不同系统的微分方程形式一样，称为数学模型相同
m x fx kx F
JfkT m y fy k ym x
R 1 C dd o (u t)t R 1 R 2 R 2u o (t) R 1 C dd i(tu )t u i(t)
f
T
k
J
T
f k
J
J
根据牛顿定理，可列出转动物 体的转矩平衡方程如下：
JfkT
这也是一个二阶定常线性微分方程
例2-1 机械式加速度计
解：
质量m在水平方向的受力如下
k
f
m
y
ky m fy
mx
x
其中： x' y x
根据牛顿定理，可列出转动物体的转矩平衡方程如下：
m x fy k y0
把 xyx带入整理得： m y fy k ym x
x of(K K1 1K 2K2)xoK1K 1K2x i
补充题2 电气系统
R2i2(t) u m i5(t) R3
C1 C2 i4(t)
u i R1
i1(t) R0
i3(t) R4
-
+
列写方程组
7个方程可 以消除6个 中间变量
uo
i1i2i3i4i5 (1) ( 2 )
i1
ui R1
(3)
i2R2
例2-4 有源电路网络
i2(t) C
ui R
-
uo
i1(t)
+
解：
i1(t)i2(t)
ui(t)0Cd(0uo(t))
R
dt
ui(t) Cduo(t)
R
dt
RCduo(t) dt
ui(t)
在列写微分方程时：一般把系统的输出量及其各阶 导数放在微分方程的左边，把输入量及其各阶导数 放在方程右边！
例2-4 电枢控制式直流电动机 电枢回路方程为:
1 机械系统的微分方程
求弹簧-质量-阻尼的机械位 移系统的微分方程。输入量 为外力F，输出量为位移x。
根据牛顿定理，可列出质量块 的力平衡方程如下：
m x fx kx F
Fk
mfxຫໍສະໝຸດ F kxmfx mx
这是一个二阶定常线性微分方 程
求弹簧-惯量-阻尼机械回转系统的微分方程。输入 量为外加转矩T，输出量为角位移θ。
Fi K1(xi xf ) Ff f (x f xo)
Fo K2xo
A
Ff
B
Fo
K 1 (x i x f) f(x f x o ) K 2 x o
f(x f x o)K2xo
(1)
K1(xi xf)K2xo
(2)
对 ( 2 )求导得 x f
待入 (1) 整理得
K2 K1
xo xi
f
xf
若忽略电枢电感La得： R a J d 2 d o 2 (t) t (R af K T K e)d d o (t)t K T e i(t)
假定系统的输出量不是 o (t)而是 o (t ) R a J d d o (t)t (R af K T K e) o (t) K T e i(t)
若忽略电枢电感La及电枢电阻Ra得：
J ωo(t)
N
S
回转电机轴：
由以上四式整理得：
T(t)fddo(tt)Jd2d o2(tt)
L a J d 3 d o 3 ( t ) t( L a f R a J ) d 2 d o 2 ( t ) t( R a f K T K e ) d d o ( t ) t K T e i( t )
Ra La ei (ut)a iai(t) em e(ta)
if
Mc
T (t)
M
JJ
ωo (t )
f R aia(t)L add a(it)tem (t)ei(t)
电磁转矩：
T(t)KTia(t)
反电势：
em(t)Ke do(t) f RaLaif
d t euia(t)ia(t)eme(ta)
M
Mc
RCduo(t) dt
ui(t)
R a J d 2 d o 2 (t) t (R af K T K e)d d o (t)t K T e i(t)
[定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。
[作用] 利用相似系统的概念可以用一个易于实现的 系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。
线性定常系统的微分方程的一般形式可表示为：
1 C1
i3dt
(4)
0umi2R2 (5)
um0C 12 i4d ti4R4(6 )
umuo i5R3
(7)
补充题3 p42 2-21
2-17
[数学模型]：描述控制系统变量（物理量）之间动态关系的数 学表达式。常用的数学模型有微分方程，传递函数，结构图， 信号流图，状态空间表达式等。
建立微分方程应根据组成系统各元件在工作过程中所遵循 的物理定律来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定律，力学 中的牛顿定律，热力学中的热力学定律等。
一 控制系统的微分方程