反分析的原理和计算方法
反求工程的原理以及应用
反求工程的原理以及应用概述反求工程（Reverse Engineering）是一种通过对已有产品、系统或软件进行分析和逆向工程，来获取其设计和功能实现方式的过程。
它主要通过观察、测试和分析目标产品的结构、行为和性能来推断其工作原理和设计思路，从而帮助开发人员理解和改进现有产品，或者开发出相似的产品。
原理反求工程的主要原理是将已有的产品或软件分解成其组成部分，并对这些组成部分进行逆向分析。
具体来说，反求工程通常包括以下步骤：1.逆向分析：通过分析目标产品的功能、结构和性能来理解其工作原理。
这一步骤包括动态分析和静态分析两种方法。
–动态分析：在运行时观察和分析目标产品的行为。
这可以包括调试程序、监视网络通信、记录系统调用等。
–静态分析：对目标产品的代码和二进制文件进行分析，包括反汇编、反编译、静态分析工具等。
2.重构设计：根据对目标产品的分析，重新设计产品的结构和功能。
这可以包括改进现有产品的性能、优化代码、修复漏洞等。
3.定位差异：将已有产品与目标产品进行对比，找出它们之间的差异，从而更好地理解目标产品的设计思路和实现方式。
这可以包括比较代码、分析算法等。
应用反求工程有着广泛的应用领域，下面列举了几个常见的应用场景：1. 逆向工程逆向工程是反求工程的一种具体应用，主要用于对已有的硬件设备、软件程序或网络协议进行分析。
逆向工程可以帮助开发者理解已有的产品或系统，并推断其工作原理和设计思路，从而根据需求进行修改、优化或开发类似的产品。
2. 恶意代码分析恶意代码分析是反求工程在安全领域的应用之一，它通过对恶意软件进行逆向工程，分析其行为和功能，以发现并抵御潜在的威胁。
恶意代码分析可以帮助安全专家了解恶意软件的特征、传播途径和攻击方式，从而提供有效的保护措施。
3. 数据恢复当一个软件产品或文件损坏或者无法访问时，反求工程可以帮助恢复被损坏的数据。
通过对损坏文件进行逆向分析，可以尝试修复文件或从损坏文件中提取出有用的数据。
土方工程中的边坡稳定性分析与加固处理方法
土方工程中的边坡稳定性分析与加固处理方法引言：边坡稳定性在土方工程中扮演着至关重要的角色。
随着城市化进程的加快和土地开发的不断扩大，对土方工程的要求也越来越高。
因此，对边坡的稳定性分析和加固处理方法的研究显得尤为重要。
一、边坡稳定性分析的基本原理边坡的稳定性是指在承受水压、荷载和地震等自然力作用下，坡体不发生破坏或发生破坏但不影响工程安全的能力。
边坡稳定性分析的基本原理包括地质条件分析、边坡形态参数计算、荷载计算和边坡稳定性分析方法选择等。
地质条件分析是边坡稳定性分析的基础。
通过对岩土层的工程地质调查，获取边坡的地质信息，如土层厚度、土层类型、坡度等，从而确定边坡的物理性质。
边坡形态参数计算包括边坡高度、坡度和坡面形状等参数的计算。
这些参数的合理选择对于边坡稳定性分析起着重要的作用。
荷载计算是指对边坡上的荷载进行合理的计算。
荷载分为静荷载和动荷载两种类型，静荷载包括土重荷载、地震力和水压力等，动荷载包括风荷载和车辆荷载等。
边坡稳定性分析方法的选择根据边坡的具体情况而定。
常用的边坡稳定性分析方法有平衡法、有限元法、反分析法等。
二、边坡稳定性问题及其原因边坡稳定性问题主要表现为边坡滑塌、边坡侧移、边坡临界水位降低等现象。
这些问题的发生原因一般可以归结为外力因素、地质因素和施工因素三个方面。
外力因素包括降雨、地震、水压力等自然力对边坡的影响。
降雨过程中，土壤的饱和度增加，会导致边坡重力和孔隙水压力的增加，从而导致边坡滑塌的发生。
地震则会导致边坡土层的动力性质发生改变，引起边坡的破坏。
水压力也会通过渗流等方式对边坡产生不利影响。
地质因素主要包括土层的物理性质、岩土层结构的稳定性等。
土体的力学性质和岩土层的结构对边坡的稳定性起着关键作用。
如土壤的黏性和强度等决定了边坡的抗剪强度。
施工因素主要包括边坡施工过程中的不当操作、施工方法的选择不合理等。
如边坡施工中土方的开挖和填筑操作不当会导致边坡的不稳定。
三、边坡稳定性分析方法的选择边坡稳定性分析方法的选择应根据边坡的具体情况和工程要求来确定。
岩体工程中的反分析方法概述
② 几何方程
B e
31 38 81
其中： x , y , xy T
B B1 B2 B3 B4
N
i
x
Bi
0
N
i
y
0
N i
y
N
i
x
（i=1、2、3、4）
根据等参单元的坐标变换式：
4
x i1 N i xi
y
4 i 1
Ni yi
E0 Et E t
P
t
[K ]U t
E0 Et E t
P
t
E0[K *]U t
E0
Et E t
P
t
[K *]U t
E0 Et E0Et
P
t
1 Et
P t
[T ]
sin
cos
sin
cos
则：
{ }M [ A* ]{ 0 }
其中 [ A* ] [T ][ A]
上式中待求量 { 0 } 为3个，若量测值 { }M 刚 好为3个，则可从上式中求出唯一的 { 0 }
{ 0 } [ A* ]1{ }M
若量测值{ }M 多于3个，则通过最小二乘法 求得{ 0 } ，构造以下目标函数
相应的平衡方程写为：
E
K1*1
2
{ {
}M }N
x
[[BB]]1112
y
[ [
B]12 B]22
xy
[ [
B]13 B]32
将未知位移消去：
E
[
K
* N
]{
}M
x[B]x
y[B]y
xy[B]xy
离散傅里叶反变换
离散傅里叶反变换离散傅里叶反变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是一种重要的信号分析方法，用于将时域信号转换为频域信号。
本文将介绍离散傅里叶反变换的原理、算法以及应用。
一、傅里叶分析的背景傅里叶分析是一种将时域信号分解为频域信号的方法，以描述信号的频率成分。
它的基本思想是：任何一个周期信号都可以由若干个不同频率的正弦和余弦函数叠加而成。
由此可知，一个信号在时域表达和频域表达是等效的。
离散傅里叶变换是将连续信号的傅里叶变换推广到离散信号的一种方法。
二、离散傅里叶变换概述离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是将一个N个采样点的离散信号转换为相应的频率谱，即频率成分和振幅的关系。
离散傅里叶变换的计算公式如下：X(k) = ∑[n=0 to N-1]x(n)e^(-2πijk/N)其中x(n)表示原始信号的第n个采样点的值，X(k)表示对应的频域表示的第k个频率成分。
三、离散傅里叶反变换的原理离散傅里叶反变换是将信号从频域转换为时域的方法。
它与离散傅里叶变换是互逆的，即进行离散傅里叶变换之后再进行离散傅里叶反变换，可以还原出原始信号。
离散傅里叶反变换的计算公式如下：x(n) = (1/N) * ∑[k=0 to N-1]X(k)e^(2πijk/N)其中x(n)表示对应的时域信号的第n个采样点的值，X(k)表示频域表示的第k个频率成分。
四、离散傅里叶反变换算法离散傅里叶反变换的计算可以通过直接计算的方式，也可以通过快速傅里叶变换的方式实现。
由于快速傅里叶变换算法比较复杂，本文将介绍使用直接计算的方式实现离散傅里叶反变换。
步骤如下：1. 给定频域信号X(k)和采样点数N；2. 根据反变换公式计算每个时域采样点的值x(n)；3. 返回时域信号x(n)。
五、离散傅里叶反变换的应用离散傅里叶反变换广泛应用于信号处理、图像处理和通信等领域。
云岭隧道围岩物理力学参数正演反分析
武汉
４０７ ； ３０ ４ ４０１） １０ ２
３ 湖 北 省 十 漫 高 速 公 路 建 设 指 挥 部 ， 北 十 堰 ． 湖
４２１ ； ． ４ ０ １ ４ 中铁 十二 局 集 团第 一 工 程 公 司 ，山西 临 汾
摘 要 ： Ｆ ＡＣ 差 分 程 序 作 为 模 拟 隧 道 开 挖 的 正 演 工 具 ， 合 Ｂ 以 Ｌ 结 Ｐ神 经 网 络 程 序 ， 云 岭 隧 道 软 弱 岩 层 施 工 对
维普资讯
第 ２ ４卷第 ２ 期
２０ 年 ６ ０７ 月
华
中
科
技
大
学
学
报 （ 市科学版 ） 城
Ｖ０ ． ４ Ｎｏ ２ Ｉ２ ．
Ｊ ｆＨＵＳ ．０ Ｔ． （ ｂ ｎ Ｓ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ Ｕｒ ａ ｃｅ ｃ ｉｉ ） ｏ
Ｊｎ ２ ０ ｕ．０ ７
１ Ｂ Ｐ神 经 网络 原 理 和 步 骤
求 逆原 理 建 立 的反 演分 析计 算 法 ， 适 用 于 线性 仅
问题 的反 演计 算 。正 反分 析法是 借 助 由正演 分析
计 算 过程 所得 到 的结 果 建 立 的反 演 分 析 的 计 算
法 ， 推广 应用 于非线 性 问题 的反 演分 析计 算 ［ 。 可 １ ］ 正 反 分析 中 ， 演 工具 一般 采 用 有 限单 元 法 及 边 正
输 入层 ｌ
隐 含层
．
输 出 层 ａ ＝ ｏ ｓ （ 口 ＋ ｌｇ ｉ Ｉ６ ） ２ ｇ ２
口 ｏ ｓ （ Ｐ＋ 。 Ｉｌｇ ｉ ＷＩ ｂ ） ｇ Ｉ
图 １
三 层 ＢＰ 神 经 网 络 结 构
三 层 前馈 型 Ｂ 网络 学 习的基 本 思 想 是 ： Ｐ 把
机械原理 反函数
机械原理反函数机械原理中的反函数是指在机械系统中，通过对系统中各个元件的运动学分析和动力学分析，得到系统中各个元件的运动规律，并且能够将输入的运动规律转化成输出规律的过程。
在机械原理中，反函数有着广泛的应用，例如在运动仿真、机器人控制、机械系统设计等领域中，都需要用到反函数。
一、反函数的定义在机械系统中，每个元件都有一定的运动学关系，也就是所谓的输入与输出的关系。
例如一个传动体系，输入为驱动轴的转速，输出为被驱动轴的转速，这个输入与输出之间的关系就是这个传动体系的运动学关系。
反函数就是一种将输入与输出之间的关系转换的函数。
反函数的定义是：对于给定的系统输出，在系统的运动学和动力学条件下，反函数可以计算出所需的输入。
反之，对于给定的输入，反函数可以计算出相应的输出。
二、反函数的计算方法在机械系统中，反函数的计算方法一般有两种：基于解析方法和基于数值方法。
1.基于解析方法基于解析方法是指利用数学解析方法来求解反函数。
这种方法需要建立数学模型，利用数学公式和方程来计算反函数。
主要使用的公式有导数公式、微分方程、积分方程等，这些公式能够直接求得反函数。
此种方法的优点是计算精度高，但对于复杂机械系统来说，和解析方法常常难以得出结果。
基于数值方法是指通过数值计算来求解反函数，包括数值逼近法、数值积分法、差分法、迭代法等。
这些方法主要适用于复杂的机械系统，因为这些系统中的运动关系往往不是我们能够解析求解的。
此种方法的优点是适用范围广，计算较为简单。
机械原理中的反函数在实际中有着广泛的应用，下面列举一些常见的应用场景。
1.运动仿真运动仿真是机械系统设计中的一个重要工具，可以帮助机械工程师通过数字模拟的方式分析机械系统中的运动状态。
在运动仿真中，反函数可以将输入的位置、速度、加速度等参数转换为输出的运动状态，例如机械系统中各个元件的位置、速度、加速度等。
通过反函数的计算，可以得到机械系统中运动状态的关系，便于机械工程师更好地理解系统的运动状态。
多层膜反射率计算方法研究及精度分析
多层膜反射率计算方法研究及精度分析薄膜技术是近年来非常重要的一项技术，其主要应用于光电子、新材料等领域。
而这其中的基础是多层膜反射率计算方法。
本文将介绍多层膜反射率计算方法的研究及精度分析。
一、多层膜反射率计算方法在多层膜反射率计算中，常用的方法是矩阵法。
其原理是将多层膜看作一系列的反射和折射事件，应用麦克斯韦方程和边界条件来计算不同层次的反射率和透射率。
具体的步骤如下：1、将多层膜分为多个薄层，每个薄层都有自己的光学特性，如折射率、厚度等。
2、根据麦克斯韦方程和边界条件，求解每层的反射率和透射率矩阵。
3、将反射率和透射率矩阵相乘，求得整个多层膜的反射率和透射率。
4、根据反射率和透射率，可以得到吸收率、散射率等其他参数。
5、通过与实验对比，对反射率进行修正，提高计算精度。
二、多层膜反射率计算方法的精度分析相比于实验方法，多层膜反射率计算方法具有操作简便、数据处理方便、能够预测各种光学参数和结构的优势。
但是，其计算精度也受到一些因素的限制。
首先，多层膜结构的复杂性会影响计算结果。
多层膜的结构包含很多的微观细节，例如界面层的存在、薄膜中的缺陷等。
这些微观细节的存在会导致计算结果与实验结果存在误差。
其次，材料光学常数数据的准确性对计算精度也有很大影响。
在实践中，常数数据是针对单晶体或母材的，但在制备多层膜时，常数值会发生变化，这也就在一定程度上降低了计算精度。
此外，多层膜的制备条件和实验条件也对计算精度产生了非常大的影响。
不恰当的制备条件和实验条件会导致多层膜的物理结构发生变化，进而影响计算结果的精度。
总之，多层膜反射率计算方法虽然在技术上具有明显的优势，但其计算精度受到许多因素的限制。
因此，需要采用多种方法和手段，不断提高多层膜反射率计算精度，为薄膜技术的研究和应用提供更好的服务。
简述反求工程技术的原理
简述反求工程技术的原理反求工程技术是一种通过逆向分析和研究现有产品或系统的运行原理和结构，以实现逆向设计、逆向制造或逆向仿制的技术方法。
它应用于多个领域，如工业、电子、软件和通信等。
反求工程技术的原理基于以下几个方面：1. 逆向工程原理：反求工程的核心原理是通过逆向分析目标系统或产品的结构、功能和行为，以揭示其内部机制和开发过程。
逆向工程主要包括逆向设计、逆向工程和逆向仿制三个方面。
逆向设计是通过反向设计产品的外观、结构和材料等方面的特征，推导出产品的设计思路和制造工艺。
逆向工程是通过对产品或系统的运行原理和行为进行逆向分析，揭示其内部结构和功能。
逆向仿制是基于逆向工程的结果，进行类似或相似产品的制造和生产。
2. 逆向分析原理：逆向分析是反求工程技术中最关键的步骤之一。
通过逆向分析，可以了解产品或系统的功能、结构和性能等关键指标，确定其工作原理和核心技术。
逆向分析通常包括以下几个主要步骤：收集目标产品或系统的各种信息和数据；通过逆向工程技术手段，对这些信息和数据进行处理和解析；根据解析结果，推导出产品或系统的内部结构和功能；通过模拟和测试等方法，验证逆向分析的正确性和可靠性。
3. 逆向工程技术手段：为了实现反求工程，需要运用一系列逆向工程技术手段。
逆向工程技术手段可以分为硬件逆向工程和软件逆向工程两大类。
硬件逆向工程主要是针对电子产品、机械设备等物理实体进行逆向分析和研究，常用的技术手段包括：X光扫描和成像技术、光学显微镜和电子显微镜等。
软件逆向工程主要是针对软件系统进行逆向分析和研究，常用的技术手段包括：反汇编、逆向编译和调试等。
4. 数据获取和处理：反求工程技术需要大量的目标产品或系统的数据和信息来进行分析和研究。
数据获取主要分为可用数据和潜在数据两种类型。
可用数据是指可以直接获得的产品或系统的信息和数据，如产品的外观、组成部分和测试数据等。
而潜在数据是指无法直接获取的、但可能对逆向分析有用的信息，如产品的故障现象、工作环境和材料特性等。
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反分析的原理和计算方法3.1 概述地下工程开挖过程中，岩土体性态、水土压力和支护结构的受力状态都在不断变化，采用确定不变的力学参数分析不断变化的体系的力学状态，显然不可能得到预想的效果。
软件提供的反分析方法以现场位移或内力增量量测值等为依据，借助优化反分析方法确定地层性态参数值，并将可使以这些参数值为输入量算得的测点位移计算值与实测值相比误差为最小的量作为优化反分析解，尔后将其用作预测计算分析的依据。
位移反分析方法可分为正反分析法和逆反分析法两类。
后者为正分析的逆过程，计算过程简单，但须先建立求逆公式和编制相应的程序，适用性差。
前者为正分析计算的优化逼近过程，一般通过不断修正未知数的试算值逼近和求得优化解，计算机运作时间虽长，但可利用原有正算程序进行计算，便于处理各种类型的反分析问题，并可用于各类非线性问题的分析，适用性强。
本软件采用的方法为正反分析法。
地下结构的施工常采用分步开挖、分步支护的方式，其位移、结构内力及岩土层应力等随着施工阶段的变化呈现出一种动态响应过程。
因此，有必要将常规的反演分析法与施工模拟过程结合起来，建立一种施工动态反演分析方法。
在相同工程及地层条件下，通过利用当前施工阶段量测到的全量或增量信息，来反求地层性态参数和初始地应力参数，进而达到准确预测相继施工阶段的岩土介质和结构的力学状态响应，为施工监控设计提供指导性依据。
3.2 量测信息的种类及表达式在建立的反演分析计算法中,现场量测信息一般用作建立反演计算方程的输入量,因而通常是进行反演计算的主要依据。
岩土体在工程施工过程中受到扰动后发生的现象，主要是继续变形和破坏，如果归诸于力学原理，则是岩土体的应力场、应变场、位移场和稳定状态在受到扰动的过程中发生了变化。
鉴于受力物体的变形、内力、应力和荷载之间存在依存关系，可以推理如能取得岩土体在受到扰动的过程中发生的应力、应变、内力或位移变化值的量测信息，则可望通过正演计算的逆过程得出初始地应力的量值和作用方向，以及用于描述岩土介质的受力变形性态的特性参数。
3.2.1 位移量测信息围岩地层中位移量测分为洞周表面各点的收敛位移量测如拱顶下沉、洞周收敛变形、地表沉降、盾构管片接头相对位移等和围岩域内各点的位移量测，主要为围岩径向多点位移、地表深层沉降、水平位移等。
在软土岩土工程中，位移量测主要有地表沉降、围护结构的水平位移、垂直位移、土体测斜、周围建筑物、道路和官线的沉降及水平位移等。
位移量又分为绝对位移（相对于不动点）和相对位移（相对于同一测线上的基准测点）两种。
3.2.2 内力量测信息内力量测信息包括扰动应力即由开挖等引起的岩土体应力的变化量和构件（支撑、围护、锚杆及衬砌结构等）轴力、弯矩。
其中扰动应力为将来扩展反演量测信息。
3.2.3 压力量测信息压力量测信息包括岩土体内部土压力和结构（喷射混凝土、衬砌、围护结构）与岩土体之间的接触压力两种，为将来扩展反演量测信息。
3.2.4 应变量测信息有开挖引起的应变可分为在洞室壁面上发生的应变和在岩土体内部发生的应变两类。
前者称为表面应变，后者称为域内应变。
在应变量测中常用的是电阻应变片和千分表，其中前者对量测表面应变和域内应变都适用，后者仅适用于量测表面应变。
3.3 目标函数和适应性函数3.3.1 目标函数隧道及地下结构施工动态反演过程的量测信息拟采用结构变形、内力及地层水平和垂直变形等，待求未知参数X可设定为各地层弹性模量和初始地应力参数。
关于待求未知量X的最小二乘目标函数为∑==K i i i iF F w X F 10)( （3— 1） 式中：K 为量测信息种类，包括绝对位移、相对位移、结构轴力、弯矩等；()()∑∑==∆=∆-∆=i i K j j i K j j j iF F F F F 12012**, （3— 2）其中：*,j j F F ∆∆—任意两施工阶段测点处对应绝对位移、相对位移、结构轴力或弯矩等的计算值和实测值增量；i K —第i 种量测信息种类的测点个数；i w —加权常数，一般取i w =1。
3.3.2 适应性函数对于岩土工程的位移优化反分析，在应用遗传算法时，由于目标函数比较小，采用适应性函数)(1)(X F x fitness = 来区分不同的个体（关于遗传算法，详见下节）。
3.3 优化方法反演分析中，优化方法和初始值的选择十分重要，这关系到反演最终能否获得成功（即获得正确合理的反演结果）。
同济曙光软件提供多种优化方法供用户选择。
3.3.1 单纯形法单纯形法的思想是通过对n 维空间上1+n 顶点的函数值进行比较，通过反射、收缩、延伸来排除函数值最大的点，找到函数值最小的点，并形成新的单纯形，这样逐步逼近极小值点。
单纯形是n 维空间中n +1个点构成的体积不为零的多面体，这n +1个点称为该单纯形的顶点。
顶点的位置由n 维空间中的坐标给出，目标函数f(X)定义于n 维空间中。
给定顶点的初值X 1，X 2…，X n+1后，可求得顶点处的目标函数值f(X i )。
单纯形形心处的坐标为∑+=+=1111n i i X n X （2— 1）令X h ，X l 分别为目标函数值取最大和最小的顶点，单纯形法就是要寻找一个具有较小目标函数值的点来取代顶点X h ，方法是通过三种运算：反射，收缩和延伸。
在反射运算中，新顶点坐标为)(h X X X X -+=αμ （2— 2)式中，α称为反射系数。
在计算目标函数后，如有)()()(h l X f X f X f <<μ则以X μ替代X h 构成新的单纯形。
如有)()(l X f X f <μ则可以扩大步长，进一步寻找更好的点X ν)(X X X X -+=μνβ （2— 3)式中β称为扩张系数。
这时，对于X ν点，如有)()(μνX f X f <则以X ν置换X h ，并构成新的单纯形。
但是如果有)()(μνX f X f >则以X μ置换X h 并构成新的单纯形。
如果对于反射后得到的点X μ，有)()(i X f X f >μ，i ≠h则新的X h 将是相应于目标函数f(X h )和f(X μ)中较低者。
设该点为X h ＇，用收缩算法寻找新点)(X X X X h c -'+=γ （2— 4)式中，γ为收缩系数。
如有)()('<h c X f X f则以Xc 置换Xh ＇构成新的单纯形。
若)()('>h c X f X f则以下式取代单纯形的全部顶点)(21i l i i X X X X -+=，i =0，1，…，n （2— 5) 得到新的单纯形。
上式实际上是缩小原来的单纯形，并使最好点仍为缩小后的单纯形的一个顶点。
重复上述单纯形的算法，单纯形的尺寸将会不断缩小，直至缩小到指定的精度范围以内。
3.3.2 阻尼最小二乘法阻尼最小二乘法在给定参数初值的领域内，把函数通过泰勒级数展开，通过反复迭代逐渐逼近目标函数的极小值，得到参数的最优解，增加阻尼因子，大大改善了系数矩阵的求逆条件，为了进一步减少初始参数的影响、增加解的稳定性以及收敛速度，具体过程和算法如下：假设原方程为：d Gx = （2— 6）式中：G 、x 、d 分别为系数矩阵、参数矩阵和实测数据阵。
目标函数：∑∑=-*-==--=n i ni i i i u u x f Gx d Gx d x F 1122)()())(()( （2— 7） 式中：*i u 、i u 分别为位移实测值和有限元计算值；),,,(21n i x x x u u =；n 为实测值的个数；T m x x x X ],,,[21 =，m 为参数个数。
2||)(||m in )()(m in )(m in x f x f x f x F T == （2— 8）∑=∂∂=∂∂n i j ii j x x f x f x x F 1)()(2)( ),,2,1(m j = （2— 9） ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂=∇m x x F x x F x x F x F )()()()(21 =2⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂∂∂∂∂∂m n m mn n x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f )()()()()()()()()(212222111211 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)()()(21x f x f x f n=)()(2x f x J T （2— 10） 矩阵)(x J 为)(x f 在x 处的Jacobi 矩阵。
将)(x f i 在点)(k x 处Taylor 展开到一次项：))(()()()()()(k k i k i i x x x f x f x f -∇+≈ （2— 11）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=n x k n k k k x J x f x f x f x f δδδ 21)()(2)(1)()()()()()(δ)()()(x J x f k += （2— 12）=∇)(x F {})()()()()()()(k k k T k x J x f x J δ+=0 （2— 13）得迭代公式：{})()()()()()(1)()()()1(k T k k T k k k x f x J x J x J x x -+-=)()(k k p x -= （2— 14） 为了保证收敛于最优解，减少初值的影响，对（2-16）式进行了改进，增加步长因子得迭代方程：)()()()1(k k k k p x x α+=+ （2— 15）使得 )()()()()()(k k k k x F p x F α+同时不断地调整α以改变搜索步长，增加解的稳定性和收敛速度。
在（2-8）式中，要求对称半正定矩阵)()()()(k T k x J x J 是非奇异的，由于)(x f i 的复杂的非线性，这一要求并不总能满足，造成)()()()(k T k x J x J 是病态的或接近病态的，导致收敛速度极慢或计算终止，为此，进行了改进，增加阻尼因子，增大矩阵)()()()(k T k x J x J 的主对角线元素，迭代方程为：{})()()()()()(1)()()()()1(k T k k T k k k k x f x J I x J x J x x -+++=μα （2— 16） Jacobi 矩阵元素的求解，用有限差分代替一阶导数：)()(k x j i x x f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=j k j k i j k j k i x x f x x f )()()()()()(∆-∆+ （2— 17） 根据对称矩阵)()()()(k T k x J x J 的正交分解，可以分解为：)()()()(k T k x J x J =T R R Λ （2— 18）Λ为)()()()(k T k x J x J 的特征值构成的对角线矩阵，而R 为)()()()(k T k x J x J 的特征向量矩阵，且满足I RR R R T T == （2— 19）[)()()()(k T k x J x J +I μ]=[T R R Λ+I μ]=T R R 'Λ （2— 20） ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=Λμλμλμλr 0021' （2— 21） i λ为)()()()(k T k x J x J 的特征值，矩阵[)()()()(k T k x J x J +I μ]的条件数为：cond[)()()()(k T k x J x J +I μ]=μλμλ++min max min maxλλ =cond[)()()()(k T k x J x J ] （2— 22） 3.3.3 遗传算法遗传算法是模拟自然进化过程搜索全局最优解的方法。