§1.3信号的分解
信号分解的方法
信号分解的方法
信号分解是将一个信号分解为若干个小波成分的过程，方法可以采用
小波变换方法或者傅里叶变换方法。
1.小波变换方法。
小波变换方法可以将信号分解为若干个小波成分，每一个小波成分都
有不同的频率和能量，可以很好的描述信号的局部特征。
其主要步骤如下：（1）选择一个小波基函数进行分析，并将信号分解为小波系数。
（2）对小波系数进行滤波和下采样。
（3）继续对下采样后的信号进行小波分解，直到达到预定的层数。
（4）将分解得到的小波系数进行重建，即可得到分解后的信号。
2.傅里叶变换方法。
傅里叶变换方法可以将信号分解为若干个频率成分，每一个频率成分
都有不同的频率，可以很好的描述信号的整体特征。
其主要步骤如下：（1）将信号进行傅里叶变换得到其频率域表示。
（2）根据信号的频域表示进行选择性滤波，去除不需要的频率成分。
（3）将滤波后的信号进行傅里叶反变换，得到分解后的信号。
两种方法各有优缺点，选择哪种方法则要根据具体信号的特点和需要
进行选择。
信号的基本分解
(t)
1 [x(t) 2j
x
*(t)]
x *(t) xr (t) j xi(t)
3. 信号分解为实部分量与虚部分量
离散时间信号 x[k] xr[k] j xi[k]
实部分量
虚部分量
xr [k]
1 2
{x[k]
x
*[k]}
xi [ k ]
1 {x[k] 2j
x
*[k]}
x *[k] xr[k] j xi[k]
1
a
b
x(t)dt
a
xAC(t) x(t) xDC(t)
-T0 0
T0
t
直流分量
xDC ห้องสมุดไป่ตู้t)
1 T0
T0/2 x(t)dt 1
T0/2
T0
/2 Adt A
/2
T0
1. 信号分解为直流分量与交流分量
利用整流电路从交流电压中提取所需幅值的直流电压
变
全
压
波
交流电源
电
整
路
流
工频交流
滤
主讲人：陈后金
电子信息工程学院
信号分解
※ 信号分解为直流分量与交流分量 ※ 信号分解为偶分量与奇分量 ※ 信号分解为实部分量与虚部分量 ※ 信号分解为信号的线性组合
1. 信号分解为直流分量与交流分量
连续时间信号
...
x(t) xDC (t) xAC (t)
x(t)
A ...
xDC (t)
b
2. 信号分解为奇分量与偶分量
连续时间信号
x(t) xe(t) xo(t)
偶分量
奇分量
xe (t)
1 2
信号的分解与合成
信号的分解与合成在工程实践和科学研究中，存在着各种各样的物理量（如机械振动、噪声、切削力、温度和变形等）并且经常由于科学研究或工程技术的需要，要求人们对由物理对象所产生的这些量进行测量，被测的物理量以及由其转换所得的量统称为信号。
信号是携带信息的、随时间或空间变化的物理量或物理现象，是信息的载体与表现形式，如声信号、光信号、电信号等。
信息不同的物理形态并不影响他们所包含的信息内容，不同物理形态的信号之间相互转换。
在各种信号中，电信号是一种最便于传输、控制与处理的信号；同时，实际运用中的许多非电信号，如压力、流量、速度、转矩、位移等，都可以通过适当的传感器变换成电信号。
研究信号是为了对信号进行处理和分析，信号处理是对信号进行某些加工或变换，目的是提取有用的部分，去掉多余的部分，滤除各种干扰和噪声，或将信号进行转化，便于分析和识别。
信号的特性可以从时间特性和频率特性两方面进行描述，并且信号可以用函数解析式表示（有时域的，频域的及变化域的），也可用波形或频谱表示。
信号分析通过研究信号的描述、运算、特性以及信号发生某些变化时其特性相应的变化，来揭示信号自身的时域特性、频域特性等。
信号按其随时间变化的规律可以分为确定性信号和非确定性信号两大类。
可以用明确的时间函数表示的信号是确定性信号；确定性信号又分为周期信号和非周期信号。
周期信号分为简谐信号和复杂周期信号，在周期信号中，按正弦或余弦规律变化的信号称为简谐信号，复杂周期信号是由两个以上的频率比为有理数的简谐信号合成的，例如周期方波、周期三角波、周期锯齿波等。
非周期信号分为准周期信号和瞬变信号，准周期信号也是由两个以上的简谐信号合成的，但是其频率为无理数，在其组成分量之间无法找到公共周期，所以无法按某一周期重复出现；瞬变信号是在一定时间区间存在或者随时间的增长而衰减至零的信号，其时间历程较短。
非确定性信号又称为随机信号，是指不能用准确的数学关系式来描述的，只能有概率统计方法进行描述的信号。
信号的分解原理
信号的分解原理
信号的分解原理是通过将复杂的信号拆分为若干个简单的成分来进行分析和处理。
这种分解可以帮助我们更好地理解信号的性质和特征。
在信号处理中，常常使用傅里叶变换和小波变换等方法来实现信号的分解。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
它通过将一个连续时间域上的信号分解为一系列复指数函数的线性组合，来表示信号的频谱特性。
傅里叶变换可以将信号分解为一组不同频率分量的振幅和相位，从而揭示了信号在频率域上的能量分布。
小波变换是一种将信号分解为一系列小波基函数的线性组合的方法。
小波是一种局部化的基函数，能够更好地描述信号的瞬时特性。
小波变换将信号分解为不同尺度和位置上的小波基函数，从而能够同时提供时域和频域的信息。
通过信号的分解，我们可以获得信号在不同频率、不同时间、不同尺度上的特征信息。
这种分解原理可以应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域，帮助我们更好地理解和处理复杂的信号。
信号的分解
信号的分解
什么是分解
• 数学上有向量分解X,Y,Z轴上的投影； • 物理上力的分解， • 化学上水的分解（电解水）。 • 总之分解可以使得数学物理的计算更方便，
使得物质吸收或者释放能量，那么信号的 分解是怎样的呢？
一、信号为什么要分解
原因：
便于分析复杂的信号，
• 例如：
•
1）把一个平均值不为零的信号分
2
f (t)
fo(t)
1f
2
(t)
f
(t )
信号的平均功率 = 偶分量功率 + 奇分量功率
三、分解成冲击信号的和
• 任意信号X（t）可以近似用一些列等宽的矩 形脉冲之和来表示。如下图所示
• 图中 t→0的情况下，有
• x(t)=∫ ∞x(τ)δ(t-τ)dτ -∞
• 上式表明，任意信号x（t）可以经平移
的多个单位冲激函数加权后的连续和也就 是积分表示，既任意信号x(t)可以分解为一 系列具有不同强度的冲激函数
四、正交信号
• 信号正交分解的目的？ • 在信号空间中如果能找到一系列相互正
交的信号，以用它们的组合来表 示。
正交函数集
• 信号空间类似空间矢量，找到基向量，就 可以用它们的组合表示信号空间任一向量。
解为直流分量和交流分量；
•
2）也可以把任意 信号分解为偶分量
和奇分量。
二、偶分量与奇分量
对任何实信号而言：
f (t)
fe(t)
fo
(t
)
fe fo
(t (t
): ):
偶 奇
分 分
量 量
fe t fe t e : even
信号的分解概述.
二、偶分量与奇分量
对任何实信号而言： f e ( t ): 偶分量 f ( t ) f e ( t ) f o ( t ) f o ( t ): 奇分量 f e t f e t e : even f o t f o t
o : odd
1 f e ( t ) f ( t ) f ( t ) 2 1 f o ( t ) f ( t ) f ( t ) 2 信号的平均功率 = 偶分量功率 + 奇分量功率
四、正交信号
• 信号正交分解的目的？ • 在信号空间中如果能找到一系列相互正 交的信号，并以它们为基本信号，信号空 间中的任一信号都可以用它们的组合来表 示。
正交函数集
• 信号空间类似空间矢量，找到基向量，就 可以用它们的组合表示信号空间任一向量。 • 1）正交函数集：若两个非零实函数能满足 t2 式∫ f1(t)f2(t)dt=0, 则称f1(t)与f2(t)在 t1 • （t1，t2）内正交。 • 2）若有N个非零实函数构成一个函数集,而 且在（t1，t2）内满足 t2 0 i≠j • ∫ fi(t)f2(t)fj(t)f2(t)dt= ｛ ki i=j t1
信号的分解
什么是分解
• • • • 数学上有向量分解X,Y,Z轴上的投影； 物理上力的分解， 化学上水的分解（电解水）。 总之分解可以使得数学物理的计算更方便， 使得物质吸收或者释放能量，那么信号的 分解是怎样的呢？
一、信号为什么要分解
原因： 便于分析复杂的信号， • 例如： • 1）把一个平均值不为零的信号分 解为直流分量和交流分量； • 2）也可以把任意 信号分解为偶分量 和奇分量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三、分解成冲击信号的和
信号的几种分解形式
信号的几种分解形式
信号是消息的表现形式，消息则是信号的详细内容。
为了讨论信号传输与信号处理的问题，往往将一些信号分解成比较简洁的信号重量之和，信号可以从不同角度进行不同的信号分解。
一、直流重量与沟通重量
信号平均值即信号的直流重量，从原信号中去掉直流重量即得到信号的沟通重量。
设原信号为f(t)分解为直流重量fD与沟通重量fA(t)。
表示为f(t)=fD+fA(t)
信号的平均功率= 信号的直流功率+ 沟通功率
二、偶重量与奇重量
任何信号都可以分解为偶重量与奇重量两部分之和。
信号的平均功率= 偶重量功率+ 奇重量功率
这个分解方法的优点是可以分别利用偶函数与奇函数的对称性简化信号运算。
三、脉冲重量
一个信号可以近视分解为很多脉冲重量之和。
可以分解为矩形窄脉冲重量（窄脉冲组合的极限状况就是冲激信号的叠加）或者分解为阶跃信号重量的叠加。
用矩形脉冲靠近信号f（t）
这类分解的优点是基本信号元的波形简洁，响应好求，并且可以
充分利用LTI系统的叠加、比例与时不变性，便利的求解简单信号的响应。
四、正交函数重量
在频域法中，将信号分解为一系列正弦函数的和(或积分)，通过系统对正弦信号的响应求解系统对信号的响应。
《信号的分解与合成》课件
离散余弦变换的应用实例
图像压缩
音频编码
JPEG标准使用DCT作为其核心的图像压缩 算法。通过量化DCT系数，可以去除高频 分量，从而实现高效的图像压缩。
某些音频编码格式，如AAC，也利用了 DCT来压缩音频数据。
离散余弦变换的数学表达
$$X(k) = sum_{n=0}^{N-1} x(n) cosleft(frac{pi k(2n+1)}{2N}right)$$
二维DCT公式：对于图像信号，通常使用二维DCT进 行变换。二维DCT可以通过对图像的每个8x8块应用
一维DCT得到。
一维DCT公式：DCT-I（一维离散余弦变换） 的基本公式如下
《信号的分解与合成》ppt课件
目 录
• 信号分解的基本概念 • 信号的傅里叶分解 • 信号的离散余弦变换 • 信号的分解与合成 • 信号分解与合成的应用
01
信号分解的基本概念
信号的定义与性质
信号的定义
信号是传递信息的一种方式，通 常以某种物理量（如电压、电流 、声音等）的形式存在。
信号的性质
信号具有时间性和空间性，可以 随时间或空间变化。信号的幅度 、频率和相位是描述信号的三个 基本物理量。
信号的分解与合成在通信、音频处理 、图像处理等领域有着广泛的应用。
05
信号分解与合成的应用
在通信系统中的应用
信号传输
信号的分解与合成在通信系统中用于将复杂信号拆分为简单的正 弦波信号，便于传输和接收。
频谱分析
通过信号的分解，可以分析信号的频谱特性，了解信号中包含的频 率成分，用于调制解调、频分复用等技术。
§信号的分解
=−∞
[u(t −τ ) − u(t −τ − ∆τ）= du(t −τ ) = δ (t −τ ) ] lim
∆τ dt
∆τ →dτ ,
∞
∑ τ
∞
=−∞
→∫
∞
τ =−∞
所以 f (t ) = ∫ f (τ )δ (t −τ )dτ
−∞
出现在不同时刻的， 出现在不同时刻的， 不同强度的冲激函 数的和。 数的和。
§ 用信号分解的观点 看系统分析
为了便于研究信号的传输和处理问题， 为了便于研究信号的传输和处理问题，往 往将信号分解为一些简单(基本) 的信号之和， 往将信号分解为一些简单 ( 基本 ) 的信号之和 ， 分解角度不同， 分解角度不同，可以分解为不同的分量
• • • • • 直流分量与交流分量 偶分量与奇分量 脉冲分量 实部分量与虚部分量 正交函数分量
[
]
1 jfi (t ) = f (t ) − f * (t ) 2
[
]
实际中产生的信号为实信号， 实际中产生的信号为实信号 ， 可以借助于复信号来 研究实信号。 研究实信号。
5．正交函数分量
如果用完备正交函数集来表示一个信号， 如果用完备正交函数集来表示一个信号，那 组成信号的各分量就是相互正交的。 么，组成信号的各分量就是相互正交的。把信 号分解为正交函数分量的研究方法在信号与系 统理论中占有重要地位， 统理论中占有重要地位，下面我们重点讨论一 个信号在频域、 域以及离散信号Z域的分解。 个信号在频域、S域以及离散信号Z域的分解。
sin ωt 和 cosωt ，单位复指数信号
jω t
都可作为基本信号。由于三角函数是单频信号，复指 都可作为基本信号。由于三角函数是单频信号， 数信号据欧拉公式可表示为 e
信号的分解(课件)
周期信号和非周期信号
周期信号是在一定时间范围内以相同方式重复的信 号，非周期信号没有重复的周期。
信号分解的意义与应用
信号滤波
信号分解可以过滤掉某些频率分量，使得信号更清晰。
信号压缩
信号分解可以去除信号中的噪声或冗余信息，从而压缩信号。
2
级数的推导
将目标函数展开为周期函数，根据三角公式计算正余弦项的系数。
3
应用：音频处理和图像压缩
傅里叶级数可以用于声音信号的分析和处理，以及图像压缩。
傅里叶变换的定义和性质
傅里叶变换
傅里叶变换将时域信号分解为不同频率的复指数，可以得到信号的基频、谐波和相位等频域信息。
线性
线性是指信号的傅里叶变换与 它的线性组合的傅里叶变换之 和相等。
应用：声音处理和图像处理
DFT可以用于信号的分析、解调、滤波和特征提取， 常用于音频和图像处理。
信号重构和合成
信号重构原理
信号重构是使用信号分解的结果重新合成原始信号， 可以恢复信号的时域和频域特性。
信号合成原理
信号合成是将不同的频域分量组合在一起，以产生 新的信号。
信号分解的实际案例分析
1
信号分解在滤波器设计中的应用
对称
实信号的傅里叶变换是一个共 轭对称函数，虚部为奇函数， 而复信号可以表示为共轭的实 信号相加。
平移
时域上的平移会导致频域上的 相位变化，而频域上的平移会 导致时域上的实位移。
傅里叶变换的时频分析
时频分析原理
时频分析可以将信号同时在时间和频率上进行分析， 并最小化时域和频域中的不确定性。
短时傅里叶变换(STFT)的应用
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j fi (t ) [ f (t ) f (t )]
1 2 *
8
0.5
fo(t)
0.5
奇分量
－2
－1 0
1
2
3
t
－2
－1 0
1
2
3
t
5
-0.5
-0.5
3 信号分解成冲激脉冲分量之和
f (t )
f (t1 )
t1
t1
t t1 0
t
6
f (t ) f (t1 )[u(t t1 ) u(t t1 t1 )]
f (t ) f (t1 )[u(t t1 ) u(t t1 t1 )]
§1-1-4 信号的分解
为了便于研究信号的传输和处理问题，往 往将信号分解为一些简单(基本)的信号之和， 分解角度不同，可以分解为不同的分量。 •直流分量和交流分量 •偶分量与奇分量 •脉冲分量 •实部分量与虚部分量
1
1 信号分解成直流分量和交流分量
f (t ) f D f A (t )
直流分量 交流分量
信号平均值
fD
f A (t )
f (t )
f A (t )dt 0 。即交流分量在一个周期内的积分为0。 对于交流分量，必有 T / 2 2 另外，一个信号的平均功率等于直流功率和交流功率之和。
T /2
2 信号分解成偶分量与奇分量
偶分量定义 奇分量定义
f e (t ) fe (t )
fo (t ) fo (t )
0 t
0
t
3
信号分解为奇、偶分量：
偶分量：fe (t ) fe (t ) 奇分量：f 0 (t ) f0 (t ) 信号 f (t )可 表示为：
f (t ) 1 2 [ f (t ) f (t ) f ( t ) f ( t )] 1 1 [ f ( t ) f ( t )] 2 2 [ f (t ) f ( t )] f e (t ) f 0 (t )
0
变量置换: 筛选特性
7
积分变量t1 t , 观察时刻t t0
f (t0 ) f (t ) (t t0 )dt
0
t0
4 分解成实部分量和虚部分量
f (t ) f r (t ) jf i (t )
f (t ) f r (t ) jfi (t )
*
f r (t ) [ f (t ) f (t )]
t
[u(t t1 ) u(t t1 t1 )] f (t ) lim f (t1 ) t1 t1 0 t1 t1 0
t
t1 0
f (t ) lim f (t1 ) (t t1 ).t1
t1 0
t
t
t1 0
f (t ) f (t1 ) (t t1 ).dt1
f e (t ) 1 2 [ f (t ) f (t )] f 0 (t ) 1 2 [ f (t ) f (t )]
偶分量 fe(t)
奇分 量fo(t)
4
例：已知f（t）的波形，求其奇偶分量的波形？
解：
1
0
f(t)
1
2
f(-t) 1 t
－2 －1 0 1 2
Байду номын сангаас
倒置
t
偶分量
fe(t)