信号的基本分解
电系统第五章 信号的频域分解
即、均方误差 2 1
t2 t1
[t2
t1
f (t)
n
C j j (t )]2 d t
j 1
极小值
｛ i(t) ｝正交
2
Ci Ci
[t2
t1
f (t)
n
C j j (t)]2 d t
j1
0
Ci
t2 t1
[2Ci
f
(t ) i
(t)
C
i2
2 i
(t)] d t
0
2
t2 t1
f (t)i (t)d t 2Ci
t2 t1
2 i
(t
)
d
t
0
Ci
t2 t1
f (t)i (t)d t
t2 t1
2 i
(
t
)
d
t
1 Ki
t2 t1
f (t )i (t)d t
2 1
t2 t1
[t2
t1
f (t)
n
C j j (t )]2 d t
j1
[t2 t1
f (t)
虚指数函数集 {ejnΩt，n=0，±1，±2，…}
是在 (t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。
二、信号的正交分解
设n个｛ i(t) ｝︳i = 1, 2,…...n在 (t1，t2) 正交。f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn
问题：Cj = ? 使f(t) 与 (C11+ C22+…+ Cnn )在 (t1，t2)内最接近？
1 T
e 2 jnt
2
dt
1 T
实验四 信号的分解与合成
实验四信号的分解与合成实验目的：1.了解信号的分解与合成原理；2.掌握连续时间信号的傅里叶级数分解公式及其应用；3.掌握离散时间信号的傅里叶变换公式及其应用。
实验原理：1.信号的分解任何信号都可以分解成若干谐波的叠加。
这是因为任何周期信号都可以表示为若干谐波的叠加。
傅里叶级数分解公式：$$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} C_ne^{jn\omega_0t}$$其中，$C_n$为信号的各级谐波系数，$\omega_0$为信号的基波频率。
当信号为实信号时，其傅里叶级数中只有实系数，且对称性可利用，因此实际计算中可以只计算正频率系数，即$$x(t)=\sum_{n=0}^{+\infty} A_n\cos(n\omega_0t+\phi_n)$$其中，$A_n$为信号各级谐波幅度，$\phi_n$为各级谐波相位。
若信号不是周期信号，则可以采用傅里叶变换进行分解。
2.信号的合成对于任意信号$y(t)$，都可以表示为其傅里叶系数与基波频率$\omega_0$的乘积的叠加，即$$y(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}C_ne^{jn\omega_0t}$$若$y(t)$为实信号，则其傅里叶系数中只有正频率系数，即$$y(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}A_n\cos(n\omega_0t+\phi_n)$$实验步骤：一、连续时间信号的傅里叶级数分解1.打开Matlab软件，使用line或scatter等函数绘制出函数$f(x)=x(0<x<2\pi)$的图像。
2.使用Matlab的fft函数对f(x)进行逆傅里叶变换得到其傅里叶级数分解。
3.将得到的傅里叶级数分解与原函数的图像进行比较，分析级数中谐波幅度的变化规律。
二、离散时间信号的傅里叶变换1.使用Matlab生成一个为$sin(\pi k/4),0\le k\le 15$的离散时间信号。
信号的分解
fe(t )
1 f (t)
2
f
(t)
fo (t)
1f
2
(t )
f
(t)
5
2. 奇分量与偶分量
信号平均功率
P lim 1
T T
T /2
T /2 fe (t )
fo (t )2 d t
fe (t ) fo (t )为奇函数， 在对称的区间积分为0
lim 1
T T
T/2 T /2
f (t)
fD (t )
fA (t )
常数
平均
E
E
值为0
O
tO
tO
t
1
T
t0 T f (t )d t = 1
t0
T
t0T t0
fA (t )
fD (t )d t
fD (t )
直流分量，就是信号的平均值。
1. 直流分量与交流分量
功率 P 1 t0T f 2 (t )d t
T t0
1
T
6
2. 奇分量与偶分量
f (t) 2A
t O
f (t) 2A
t O
fe(t )
1f
2
(t)
f
(t)
fo(t )
1f
2
(t)
f
(t )
fe (t )
OA
t
fo (t)
A t
O
7
3. 实部分量与虚部分量
瞬时值为复数的信号可分解为实虚部两部分之和
f (t) fr (t ) jfi (t )
第一章 信号与系统分析导论
1.6 信号的分解
1
主要内容
信号的分解原理
信号的分解原理
信号的分解原理是通过将复杂的信号拆分为若干个简单的成分来进行分析和处理。
这种分解可以帮助我们更好地理解信号的性质和特征。
在信号处理中，常常使用傅里叶变换和小波变换等方法来实现信号的分解。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
它通过将一个连续时间域上的信号分解为一系列复指数函数的线性组合，来表示信号的频谱特性。
傅里叶变换可以将信号分解为一组不同频率分量的振幅和相位，从而揭示了信号在频率域上的能量分布。
小波变换是一种将信号分解为一系列小波基函数的线性组合的方法。
小波是一种局部化的基函数，能够更好地描述信号的瞬时特性。
小波变换将信号分解为不同尺度和位置上的小波基函数，从而能够同时提供时域和频域的信息。
通过信号的分解，我们可以获得信号在不同频率、不同时间、不同尺度上的特征信息。
这种分解原理可以应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域，帮助我们更好地理解和处理复杂的信号。
§1.3信号的分解
j fi (t ) [ f (t ) f (t )]
1 2 *
8
0.5
fo(t)
0.5
奇分量
－2
－1 0
1
2
3
t
－2
－1 0
1
2
3
t
5
-0.5
-0.5
3 信号分解成冲激脉冲分量之和
f (t )
f (t1 )
t1
t1
t t1 0
t
6
f (t ) f (t1 )[u(t t1 ) u(t t1 t1 )]
f (t ) f (t1 )[u(t t1 ) u(t t1 t1 )]
§1-1-4 信号的分解
为了便于研究信号的传输和处理问题，往 往将信号分解为一些简单(基本)的信号之和， 分解角度不同，可以分解为不同的分量。 •直流分量和交流分量 •偶分量与奇分量 •脉冲分量 •实部分量与虚部分量
1
1 信号分解成直流分量和交流分量
f (t ) f D f A (t )
直流分量 交流分量
信号平均值
fD
f A (t )
f (t )
f A (t )dt 0 。即交流分量在一个周期内的积分为0。 对于交流分量，必有 T / 2 2 另外，一个信号的平均功率等于直流功率和交流功率之和。
T /2
2 信号分解成偶分量与奇分量
偶分量定义 奇分量定义
f e (t ) fe (t )
fo (t ) fo (t )
0 t
0
t
3
信号分解为奇、偶分量：
偶分量：fe (t ) fe (t ) 奇分量：f 0 (t ) f0 (t ) 信号 f (t )可 表示为：
信号的分解概述.
二、偶分量与奇分量
对任何实信号而言： f e ( t ): 偶分量 f ( t ) f e ( t ) f o ( t ) f o ( t ): 奇分量 f e t f e t e : even f o t f o t
o : odd
1 f e ( t ) f ( t ) f ( t ) 2 1 f o ( t ) f ( t ) f ( t ) 2 信号的平均功率 = 偶分量功率 + 奇分量功率
四、正交信号
• 信号正交分解的目的？ • 在信号空间中如果能找到一系列相互正 交的信号，并以它们为基本信号，信号空 间中的任一信号都可以用它们的组合来表 示。
正交函数集
• 信号空间类似空间矢量，找到基向量，就 可以用它们的组合表示信号空间任一向量。 • 1）正交函数集：若两个非零实函数能满足 t2 式∫ f1(t)f2(t)dt=0, 则称f1(t)与f2(t)在 t1 • （t1，t2）内正交。 • 2）若有N个非零实函数构成一个函数集,而 且在（t1，t2）内满足 t2 0 i≠j • ∫ fi(t)f2(t)fj(t)f2(t)dt= ｛ ki i=j t1
信号的分解
什么是分解
• • • • 数学上有向量分解X,Y,Z轴上的投影； 物理上力的分解， 化学上水的分解（电解水）。 总之分解可以使得数学物理的计算更方便， 使得物质吸收或者释放能量，那么信号的 分解是怎样的呢？
一、信号为什么要分解
原因： 便于分析复杂的信号， • 例如： • 1）把一个平均值不为零的信号分 解为直流分量和交流分量； • 2）也可以把任意 信号分解为偶分量 和奇分量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三、分解成冲击信号的和
信号与系统1.7.x 信号的分解
则实信号x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 为正交信号。
将x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )在区间(t1,t2)构成一个n维正交信号集
若不存在任何非零信号g(t)满足
t2 t1
g(t)xi (t)dt
0
(i 1,2,, n)
则n维正交信号集是完备的 。
t 2
t 2
P4
3．信号分解为实部分量与虚部分量
连续时间信号 x(t) xr (t) j xi (t)
实部分量
虚部分量
x * (t) xr (t) j xi (t)
1
xr (t)
[ x(txi (t)
[x(t) 2j
x * (t)]
离散时间信号 x[k] xr [k] j xi [k]
若xi(t)为实信号，则
Ci
t2 t1
x(t)xi (t)dt
t2 t1
x
2 i
(
t
)dt
若xi(t)为复信号，则
Ci
t2 t1
x(t
)
x
* i
(t
)dt
t2 t1
x
i
(
t
)
x
* i
(
t
)dt
P7
江西财经大学
Jiangxi University of Finance and Economics
信号的分解
1．信号分解为直流分量与交流分量
2．信号分解为奇分量与偶分量之和
3．信号分解为实部分量与虚部分量
4．连续信号分解为冲激函数的线性组合
5．离散序列分解为脉冲序列的线性组合
信号的几种分解形式
信号的几种分解形式
信号是消息的表现形式，消息则是信号的详细内容。
为了讨论信号传输与信号处理的问题，往往将一些信号分解成比较简洁的信号重量之和，信号可以从不同角度进行不同的信号分解。
一、直流重量与沟通重量
信号平均值即信号的直流重量，从原信号中去掉直流重量即得到信号的沟通重量。
设原信号为f(t)分解为直流重量fD与沟通重量fA(t)。
表示为f(t)=fD+fA(t)
信号的平均功率= 信号的直流功率+ 沟通功率
二、偶重量与奇重量
任何信号都可以分解为偶重量与奇重量两部分之和。
信号的平均功率= 偶重量功率+ 奇重量功率
这个分解方法的优点是可以分别利用偶函数与奇函数的对称性简化信号运算。
三、脉冲重量
一个信号可以近视分解为很多脉冲重量之和。
可以分解为矩形窄脉冲重量（窄脉冲组合的极限状况就是冲激信号的叠加）或者分解为阶跃信号重量的叠加。
用矩形脉冲靠近信号f（t）
这类分解的优点是基本信号元的波形简洁，响应好求，并且可以
充分利用LTI系统的叠加、比例与时不变性，便利的求解简单信号的响应。
四、正交函数重量
在频域法中，将信号分解为一系列正弦函数的和(或积分)，通过系统对正弦信号的响应求解系统对信号的响应。
信号的分解(课件)
周期信号和非周期信号
周期信号是在一定时间范围内以相同方式重复的信 号，非周期信号没有重复的周期。
信号分解的意义与应用
信号滤波
信号分解可以过滤掉某些频率分量，使得信号更清晰。
信号压缩
信号分解可以去除信号中的噪声或冗余信息，从而压缩信号。
2
级数的推导
将目标函数展开为周期函数，根据三角公式计算正余弦项的系数。
3
应用：音频处理和图像压缩
傅里叶级数可以用于声音信号的分析和处理，以及图像压缩。
傅里叶变换的定义和性质
傅里叶变换
傅里叶变换将时域信号分解为不同频率的复指数，可以得到信号的基频、谐波和相位等频域信息。
线性
线性是指信号的傅里叶变换与 它的线性组合的傅里叶变换之 和相等。
应用：声音处理和图像处理
DFT可以用于信号的分析、解调、滤波和特征提取， 常用于音频和图像处理。
信号重构和合成
信号重构原理
信号重构是使用信号分解的结果重新合成原始信号， 可以恢复信号的时域和频域特性。
信号合成原理
信号合成是将不同的频域分量组合在一起，以产生 新的信号。
信号分解的实际案例分析
1
信号分解在滤波器设计中的应用
对称
实信号的傅里叶变换是一个共 轭对称函数，虚部为奇函数， 而复信号可以表示为共轭的实 信号相加。
平移
时域上的平移会导致频域上的 相位变化，而频域上的平移会 导致时域上的实位移。
傅里叶变换的时频分析
时频分析原理
时频分析可以将信号同时在时间和频率上进行分析， 并最小化时域和频域中的不确定性。
短时傅里叶变换(STFT)的应用
信号分解的四种方法
信号分解的四种方法
信号分解是一种将复杂信号分解为其组成部分的方法。
以下是四种常见的信号分解方法：
1.傅里叶变换：将信号分解为一系列正弦和余弦函数的和，从而分析信号的频谱特性。
傅里叶变换对于频域分析非常有用，能够揭示信号中的频率成分。
2.小波变换：利用小波函数对信号进行变换，得到信号的时频表示。
小波变换可以提供更好的时频局部化，对非平稳信号的分析效果较好。
3.奇异值分解（SVD）：将信号的矩阵表示进行奇异值分解，将信号分解为一系列奇异值和对应的奇异向量。
SVD在信号降维和去噪方面有广泛应用。
4.经验模态分解（EMD）：EMD将信号分解为一组本征模态函数（IMF），每个IMF描述了信号中的一种本征振动模式。
EMD主要用于非线性和非平稳信号的分解。
这些方法在信号处理领域有着不同的应用和优势，选择适当的方法取决于信号的性质以及分析的目的。
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(t)
1 [x(t) 2j
x
*(t)]
x *(t) xr (t) j xi(t)
3. 信号分解为实部分量与虚部分量
离散时间信号 x[k] xr[k] j xi[k]
实部分量
虚部分量
xr [k]
1 2
{x[k]
x
*[k]}
xi [ k ]
1 {x[k] 2j
x
*[k]}
x *[k] xr[k] j xi[k]
1
a
b
x(t)dt
a
xAC(t) x(t) xDC(t)
-T0 0
T0
t
直流分量
xDC ห้องสมุดไป่ตู้t)
1 T0
T0/2 x(t)dt 1
T0/2
T0
/2 Adt A
/2
T0
1. 信号分解为直流分量与交流分量
利用整流电路从交流电压中提取所需幅值的直流电压
变
全
压
波
交流电源
电
整
路
流
工频交流
滤
主讲人：陈后金
电子信息工程学院
信号分解
※ 信号分解为直流分量与交流分量 ※ 信号分解为偶分量与奇分量 ※ 信号分解为实部分量与虚部分量 ※ 信号分解为信号的线性组合
1. 信号分解为直流分量与交流分量
连续时间信号
...
x(t) xDC (t) xAC (t)
x(t)
A ...
xDC (t)
b
2. 信号分解为奇分量与偶分量
连续时间信号
x(t) xe(t) xo(t)
偶分量
奇分量
xe (t)
1 2
[x(t)
x(t)]
xe (t) xe (t)
xo
(t)
1 2
[x(t)
x(t)]
xo (t) xo (t)
[例]画出连续时间信号x(t) 的奇、偶分量
解：
xe
(t)
1 2
[x(t)
x(t)]
实际应用
当求解信号通过LTI系统产生的响应时，只需求解冲激 信号通过该系统产生的响应，然后利用LTI系统的特性，即 可求得信号x(t)作用于系统产生的响应。
4. 信号分解为 信号的线性组合
x[k ]
离散时间信号
k 1 0 1 2 3
x[k] L x[1][k 1] x[0][k] x[1][k 1] L x[n][k n] L
4. 信号分解为 信号的线性组合
x(t)
连续时间信号
x(k)
0 2
t
k (k1)
连续信号表示为冲激信号的迭加
x(t) x(0)[u(t) u(t )] x()[u(t ) u(t 2)]
x(k)[u(t k) u(t k )]
4. 信号分解为 信号的线性组合
x(t)
2
k
3 1 0 1 2 3
k
0.5
2. 信号分解为奇分量与偶分量
人脸具有较强的对称性， 但又不是完全对称，其 奇偶分量特点突出。
原图像
奇分量
偶分量
3. 信号分解为实部分量与虚部分量
连续时间信号 x(t) xr (t) j xi (t)
实部分量
虚部分量
xr
(t)
1 [x(t) 2
x
*(t)]
xi
1 b
xDC (t) b a
x(t)dt
a
UDC
100
1
100 0
Um
sin(2π
50t)
dt
2 π
Um 0.64Um
1. 信号分解为直流分量与交流分量
离散时间信号 x[k] xDC[k] xAC[k]
1
N2
xDC[k]
N 2
N1
x[k ] 1 kN1
xAC[k] x[k] xDC[k]
x(t)
1
2
1 0
1
1
x(t) 1
2
t
2
1
01
2
t
1
xo
(t)
1 2
[x(t)
x(t)]
xe(t)
2
1
0
1
0.5
xo(t) 1 0.5
2 1
0
1
0.5
1
t 2
t 2
2. 信号分解为奇分量与偶分量
离散时间信号 x[k] xe[k] xo[k]
偶分量
xe[k]
1 {x[k] 2
x[k]}
奇分量
x [k] 1 {x[k] x[k]}
o
2
xe[k] xe[k]
xo[k] xo[k]
[例]画出离散时间信号x[k] 的奇、偶分量
解：xe[k]
1 2
{x[k]
x[k]}
xo[k]
1 {x[k] 2
x[k]}
x[k] 2
1
xe[k] 1.5
1
k
k
3 2 1 0 1 2 3
3 2 1 0 1 2 3
x[-k]
xo[k]
2
1
0.5
3 2 1 0 1 2 3
x(k) [u(t k) u(t k )]
k
x(t) lim x(k) (t k) 0 k
x( ) (t )d
4. 信号分解为 信号的线性组合
物理意义
x(t) x( )(t )d
不同的连续信号都可以表示为冲激信号及其时移的 线性组合，不同的信号只是它们对应的系数不同。
x[k] x[n][k n]
n
任意离散序列可表示为脉冲序列及其位移的线性组合。
信号分解
谢谢
本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累，来 源于多种媒体及同事、同行、朋友的交流，难以一一注明出处， 特此说明并表示感谢！
波
负
稳
载
压
直流
1. 信号分解为直流分量与交流分量
利用全波整流电路从220V-50Hz交流信号中提取直流分量
U 220V
0
1
100
2
3
100 100
U
Um
4 t0
1
100
100
2
3
100 100
U
Um
4 t0
100
1
2
3
4t
100
100
100
100
220V-50Hz交流信号
Um-50Hz交流信号
Um-50Hz全波整流信号