矩阵行列式(较难与困难)

第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题1．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图1所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，…n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方，记n阶幻方的对角线上数的和为N，如图1的幻方记为N3=15，那么N12的值为（）A．869 B．870 C．871 D．875第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、解答题2．已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121a A 的一个特征值3=λ所对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11e ，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．3．已知矩阵 10120206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，求矩阵1.A B - 4．选修4-2：矩阵与变换已知直线:23l x y -=，若矩阵13a A b -⎛⎫=⎪⎝⎭,a b R ∈所对应的变换σ把直线l 变换为它自身。

（Ⅰ）求矩阵A ； （Ⅱ）求矩阵A 的逆矩阵.5．求曲线1x y +=在矩阵M 10103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．6．（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知二阶矩阵M 有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321e 并有特征值12-=λ及属于特征值－1的一个特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112e ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11α（Ⅰ ）求矩阵M ；（Ⅱ ）求5M αr．7．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 满足：i i i l =M αα，其中(1,2)i i l =是互不相等的实常数，(1,2)i i =α，是非零的平面列向量，11l =，211⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求矩阵M .8．变换T 1是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝.（1）求点P （2,1）在T 1作用下的点P ′的坐标；（2）求函数y ＝x 2的图象依次在T 1，T 2变换的作用下所得曲线的方程．9．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M ；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程．10．设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍,纵坐标伸长到3倍的伸缩变换. (1)求矩阵M 的特征值及相应的特征向量.(2)求逆矩阵M -1以及椭圆+=1在M -1的作用下的新曲线的方程.11．．已知矩阵A ＝11a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝21⎡⎤⎢⎥⎣⎦.设向量β＝74⎡⎤⎢⎥⎣⎦，试计算A 5β的值．12．二阶矩阵M 有特征值6λ=，其对应的一个特征向量e=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 对应的变换将点(1,2)变换成点(8,4)．（1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的另一个特征值及对应的一个特征向量．13．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．将边长分别为1、2、3、…、n 、n+1、…（）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、……、第n 个阴影部分图形.设前n 个阴影部分图形的面积的平均值为．记数列满足,（1）求的表达式；（2）写出的值，并求数列的通项公式；（3）记，若不等式有解，求的取值范围. 14．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14*n ∈N ()f n {}n a 11a =()+1(),,n n f n n a f a n ⎧⎪=⎨⎪⎩当为奇数当为偶数()f n 23,a a {}n a ()n n b a s s =+∈R 21111000nn n n n b b b b b ++++>s分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3-46-7M ，向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=56ξ． (I)求矩阵M 的特征值1λ、2λ和特征向量12ξξru u r和；(II)求ξ6M 的值．（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ，为参数x y ααα=⎧⎨=⎩．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 （Ⅰ）已知：a 、b w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅱ）某长方体从一个顶点出发的三条棱长之和等于3，求其对角线长的最小值.15．附加题) 已知矩阵2121A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，1201B -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（1）计算AB ；（2）若矩阵B 把直线:20,l x y l l ''++=变为直线求直线的方程。

16．已知矩阵A =3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求A 的特征值1λ，2λ及对应的特征向量12,αα． 17．（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=111a A ，其中∈a R ，若点P （1，1）在矩阵A 的变换下得到点P ′（0，－3），求矩阵A 的特征值及特征向量． 18．本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知向量βu r =31⎛⎫⎪⎝⎭，变换T 的矩阵为A =11b c ⎛⎫⎪⎝⎭，平面上的点P （1，1）在变换T 作用下得到点P′（3，3），求A 4βu r.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程直线12()32t x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数与圆22x y a +=（a >0）相交于A 、B 两点，设P （－1，0），且|PA |:|PB |=1:2，求实数a 的值（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲对于x ∈R ，不等式|x －1|+|x －2|≥a 2+b 2恒成立，试求2a +b 的最大值。

19．在非负数构成的39⨯数表111213141516171819212223242526272829313233343536373839x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，， 使得⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，． 求证：（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列． （ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质()O ．20．（本小题15分）已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （0，2），B （1，1），C （1，3）．若△ABC 在一个切变变换T 作用下变为△A 1B 1C 1，其中B （1，1）在变换T 作用下变为点B 1（1，-1）．（1）求切变变换T 所对应的矩阵M ；（2）将△A 1B 1C 1绕原点按顺时针方向旋转45°后得到△A 2B 2C 2．求B 1变化后的对应点B 2的坐标．，则实数x = ． 22，则实数x = ．参考答案1．B 【解析】2【解析】试题分析：运用矩阵的运算法则及特征向量的概念求解即可．试题解析：解：由题意：11Ae e λ=u v u v ，∴113211a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1213,221a a A ⎡⎤⇒+=⇒=⇒=⎢⎥⎣⎦，考点：1、矩阵及逆矩阵的概念及求解方法；2、矩阵的特征向量及有关概念和求解方法． 3．11203A B ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【解析】，再利用矩阵运算得11203A B ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，11203A B ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 考点：逆矩阵 4．（Ⅰ）1143A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭；（Ⅱ）13141A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭【解析】试题分析：（Ⅰ）通过设直线23x y -=上任意一点P x y （，），利用其在A 的作用下变为x y ''（，），可用x y 、表示出x y ''、，代入23x y '-'=，计算即可；（Ⅱ）直接计算 试题解析：（Ⅰ） 设),(y x P 为直线32=-y x 上任意一点其在A 的作用下变为),(y x ''则133a x x ay x b y bx y y '-⎛⎛-+⎛⎛⎫⎫⎫⎫==⎪⎪⎪⎪'+⎝⎭⎭⎭⎭⎝⎝⎝3x x ayy bx y'=-+⎧⇒⎨'=+⎩ 代入23x y ''-=得：3)32()2(=-++-y a x b 其与32=-y x 完全一样得⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=-=--1413222a b a b 则矩阵1143A -⎛⎫=⎪-⎝⎭M 的逆矩阵为13141A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭．考点：矩阵，逆矩阵5【解析】试题分析：再根据曲线形状：菱形，计算其面积：试题解析：设点00(,)x y为曲线得到的点为(,)x y ''，3分即00,3,x x y y '=⎧⎨'=⎩ 5分所以作用下得 8分10分 考点：矩阵变换6．（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛2321；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11． 【解析】试题分析：（1）利用矩阵的运算法则进行求解；（2）利用矩阵的乘法法则进行求解．试题解析：（Ⅰ）设M =a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a b 228 4c d 3312⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2a 3b 82c 3d 12+=⎧⎨+=⎩① 又a b 111 1c d 111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（），∴a b 1c d 1-=-⎧⎨-=⎩② 由①②可得a=1,b=2,c=3,d=2，∴M =12.32⎛⎫⎪⎝⎭4分（Ⅱ）易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11)1(320α，∴561(1)1Mαα-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭rr ．考点：矩阵的运算． 7．0110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 【解析】试题分析：所以1ab =，又2011011a b l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以22,.a b l l =⎧⎨=⎩，所以221ab l ==．21l =-，1a b ==-试题解析：由题意，1l ，2l 是方程因为11l =，所以1ab =．① 2分 又因为222l =M αα，所以2011011a b l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，从而22,.a b l l =⎧⎨=⎩ 5分所以221ab l ==．因为12l l ≠，所以21l =-．从而1a b ==-． 8分故矩阵0110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . 10分 考点：矩阵运算8．（1）P′（－1,2） （2）y －x ＝2y【解析】试题分析：掌握矩阵运算以及矩阵变换的规律,直接根据矩阵乘法的定义.矩阵的运算难点是乘法运算，解题的关键是熟悉乘法法则,并且要理解二阶矩阵变换的定义，熟悉五种常见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点.对于矩阵乘法，应注意几何意义在解题中的应用．还要注意矩阵的知识并不是孤立存在的，解题时应该注意矩阵与其他知识的有机结合．另对运算律的灵活运用将有助于我们简化运算，但要十分注意的是，有些运算（如交换律和消去律）在矩阵的乘法运算中并不成立．用矩阵解二元一次方程组，关键是把方程组转化为矩阵，而运算中求矩阵的逆是重要的环节，在求逆之前首先必须熟悉公式再进行应用．试题解析：（1）所以点P （2,1）在1M 作用下的点P′的坐标是P′（－1,2）．（2），设是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是，则M ＝，也就是⎩⎨⎧==-y x x y x 000，即⎩⎨⎧-==xy y yx 00，所以，所求曲线的方程是y －x ＝2y .考点：矩阵变换的有关内容.9．（1）1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）x ＋y ＋2＝0【解析】(1)设M ＝a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则有a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝11-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝02⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，所以11a b c d ⎧⎨⎩－＝－－＝－ 且2022a b c d ⎧⎨⎩－＋＝－＋＝－解得12a b ⎧⎨⎩＝＝和34c d =⎧⎨=⎩所以M ＝1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (2)因为''x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝234x y x y +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦且m ：x ′－y ′＝4，所以(x ＋2y)－(3x ＋4y)＝4，即x ＋y ＋2＝0，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.10．(1) 特征值为2和3,对应的特征向量分别为0t ⎛⎫⎪⎝⎭及0t ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2) M -1=102103⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x 2+y 2=1【解析】(1)由条件得矩阵M=2003⎛⎫⎪⎝⎭, 它的特征值为2和3,对应的特征向量分别为0t ⎛⎫⎪⎝⎭及0t ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)M -1=102103⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,椭圆+=1在M -1的作用下的新曲线的方程为x 2+y 2=1. 11．435339⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题设条件可得，11a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦21⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝221⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即2422a b +=⎧⎨-+=⎩解得24a b =⎧⎨=⎩得矩阵A ＝1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦. 矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝1214λλ--⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝λ2－5λ＋6，令f (λ)＝0，解得 λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，得α1＝21⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当λ2＝3时，得α2＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由β＝mα1＋nα2，得274m n m n +=⎧⎨+=⎩得m ＝3，n ＝1，∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A 5α2＝3(51λα1)＋52λα2＝3×2521⎡⎤⎢⎥⎣⎦＋3511⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝435339⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．（1）42;82⎡⎤⎢⎥-⎣⎦（2）4-，14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ 【解析】试题分析：（1）由于二阶矩阵M 有特征值6λ=，其对应的一个特征向量e=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 对应的变换将点(1,2)变换成点(8,4).所以通过假设二阶矩阵，其中有四个变量，根据以上的条件特征值与特征向量，以及点通过矩阵的变换得到的点，可得到四个相应的方程，从而解得结论.（2）求矩阵M 的特征值λ，根据特征多项式即()0f λ=，可求得λ的值，即可得另一个特征值.即可写出相应的一个特征向量. 试题解析：（1）解：（1）设M=a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则由a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=611⎡⎤⎢⎥⎣⎦得a b c d +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦=66⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 即a+b=c+d=6． 由a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭12⎡⎤⎢⎥⎣⎦=84⎡⎤⎢⎥⎣⎦,得2824a b c d +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，从而a+2b=8，c+2d=4．由a+b =6及a+2b=8，解得a=4，b=2；由c+d =6及c+2d=4，解得c=8，d=-2， 所以M=42;82⎡⎤⎢⎥-⎣⎦（2）由（1）知矩阵M 的特征多项式为 令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为6与4-． 当4λ=-时， (4)20408(2)0x y x y x y λλ--=⎧⇒+=⎨-++=⎩故矩阵M的属于另一个特征值4-的一个特征向量为14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．考点：1.矩阵的变换.2.特征向量特征值的求法.3.线性问题模型化.13．解：（1）由题意，第1个阴影部分图形的面积为，第2个阴影部分图形的面积为，……，第n 个阴影部分图形的面积为.（2分）故 （4分）（2），，，当n 为偶数时，， （3分）2221-2243-()222(21)n n --()()()22222221432(21)()n n f n n⎡⎤-+-+--⎣⎦=1234(21)221n nn n+++++-+==+L 11a =2(1)3a f ==32()2317a f a ==⨯+=(1)21n a f n n =-=-当n 为大于1的奇数时，，故． （5分）（3）由（2）知．又． （ⅰ）当n=1时，即，于是 （ⅱ）当n 为偶数时，即 于是，． （3分） （ⅲ）当n 为大于1的奇数时，即 于是，． （5分） 综上所述：． （7分） 【解析】略 14．（1）解： （I ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3-46-7M 的特征多项式为令()0f λ=，得12,3λλ==1，22,3λλ== ……………………………………………………2分 当12,3λλ==1时，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111ξ；当23λ=时，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=232ξ ……………………………4分 (II)由21ξξξn m +=得⎩⎨⎧=+=+5263n m n m ，得3,1m n == ……………………………5分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+=1460219033262161216611ξλξλξξξ）（）（M M …………………………7分[]11()2122(1)1145n n n a f a a n n --==+=--+=-1,121,45,1n n a n n n n =⎧⎪=-⎨⎪-⎩当当为偶数当为大于的奇数1,121,45,1n s n b n s n n s n +=⎧⎪=-+⎨⎪-+⎩当当为偶数当为大于的奇数21111000nn n n n b b b b b ++++>11212()0n n n n n n n b b b b b b b +++++⇔-=->213()(3)(6)0b b b s -=+->303s s +<⇒<-[]()()4(1)5(21)2(2)141(4)0n s n s n s n s +-+-+-+-+=-+->⎡⎤⎣⎦g 410n s -+<()max 426s n <-+=-[]()()()()2(1)1454(2)52180n s n s n s n s +-+⋅-+-+-+=++⋅->⎡⎤⎣⎦210n s ++<max (21)7s n <--=-3s <-（2）解：（Ⅰ）()πcos 224ρθ-=化简为cos sin 4ρθρθ+=，∴直线l 的直角坐标方程为4x y +=； ……………………………………………3分（Ⅱ）设点P 的坐标为()2cos sin ，αα， 得P 到直线l 的距离2cos sin 42d αα+-=， ………………………………………5分即()5sin 42d αϕ+-=，其中12cos ,sin 55ϕϕ== ．当()sin 1αϕ+=-时，max 10222d =+． …………………………………………7分 （3）m 解：（Ⅰ）+∈R c b a ,,，ks5u2222222:()(111)(111)a b c a b c ++++≥⋅+⋅+⋅根据柯西不等式有，22221(),.3a b c a b c a b c ++≥++==即当且时等式成立 ………………………4分（Ⅱ）不妨设长方体同一个顶点出发的三条棱长分别等于a 、b 、c ，222213,()3,3a b c l a b c a b c ++==++≥++=故有其对角线长1 3.a b c ===当且仅当时对角线长取得最小值 ………………………7分【解析】 15．【解析】16．矩阵A 的特征值为λ1=3，λ2=1-；1α=10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2α=14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦【解析】矩阵A 的特征多项式为 ()f λ=3101λλ--+=(3)(1)λλ-+ ……………………………2分 令()f λ=0，得到矩阵A 的特征值为λ1=3，λ2=1-． ………………4分 当λ1=3时，由3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得333x y x y y +=⎧⎨-=⎩,，∴0y =，取1x =，得到属于特征值3的一个特征向量1α=10⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ……………………7分当λ2=1-时，由3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得3x y x y y +=-⎧⎨-=-⎩,， 取1x =，则4y =-，得到属于特征值1-的一个特征向量2α=14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ (10)分 17．3，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21 ；-1，⎥⎦⎤⎢⎣⎡21 【解析】由题意得:4-=a …………2分特征值3对应特征向量为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21…………5分特征值-1对应特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21…………7分18．（Ⅰ）163161⎛⎫⎪⎝⎭.（Ⅱ）a =3.（Ⅲ）(2a +b )max =5.【解析】（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换本题主要考查矩阵、矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。