直角三角形全等的条件
如图，有两个长度相同 的滑梯，左边滑梯的高 度AC与右边滑梯水平方 向的长度DF相等，两个 滑梯的倾斜角∠ABC和 ∠DFE的大小有什么关 系？
解： ∠ABC + ∠DFE=90° 在Rt△ABC和Rt△DEF中 BC=EF ∵ AC=DF ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF
∴ ∠ABC=∠DEF ∵ ∠DEF + ∠DFE=90° ∴∠ABC + ∠DFE=90°
由上面的探索过程我们得到了 下面 的结论
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直 角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或 “HL”。
你现在能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
SSS AAS HL
SAS ASA
前四个判定方法都需要三个条件，而 “HL”只有两个条件，你怎么看？ “HL”即“斜边、直角边”的前提是 直角三角形，所以也需要三个条件。 因此，“HL” 只能判定直角三角形全等。
1、如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标 注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
C
解：BC=BD 在Rt△ACB和Rt△ADB中 ∵ A B AB=AB,
AC=AD.
∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL).
∴BC=BD D
2、如图，两根长度为12米的绳子，一端系 在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个 木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等 吗？请说明你的理由。
c
M B a C
⑶ 以B为圆心,C为半径画弧，交 射线CN于点A; ⑷ 连接AB. 则△ABC即为所求. c A N
α
如何判断你所作的三角形和其他同 学所作的三角形是否全等？
M B a
c
C A N 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较， 完全重合说明这两个三角形全等。（全等三角形定义） 测量AC的长度，若相等，说明这两个三角形全等。（SSS） 测量∠CBA的大小，若相等，说明这两个三角形全等。 （SAS或ASA或AAS）
D C
A
B
这节课你学到了什么？ 1、利用HL证明两个直角三角形全等 2、证明三角形全等的五种方法 SSS、ASA、AAS、SAS、HL
作业
1、习题5.12 知识技能1、数学理解2
2、轻巧夺冠P88—90
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它 们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.
你相信他的结论吗？
a
已知线段a，c(a﹤c)和一个直角α ，利用尺 规作一个Rt△ABC,使∠C= ∠α ，CB=a， AB=c.
作法: ⑴ 作∠MCN=∠α=90°; ⑵ 在射线CM上截取线段CB=a;
A
B
O
C
把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF 的条件或根据补充完整.
AC=DF ∠A=∠D ( ASA ) (1) _______,
BC=EF (2) AC=DF,________ (SAS)
A
(3) AB=DE,BC=EF ( HL
AB=DE ( HL ) (4) AC=DF, ______
)
C
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想 知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一 条直角边被花盆遮住无法测量.
你能帮他想个办法吗？
方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS) 方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角. (ASA)或(AAS)
如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
D
B
(5) ∠A=∠D, BC=EF ( AAS )
∠B=∠E (6) ________,AC=DF ( AAS )
F
E
有一正方形窗架，盖房时为了稳定，在上面钉了两 个等长的木条GF与GE，E，F分别是AD，BC的中点。 G是AB的中点吗？ G A B
E
F
D
ห้องสมุดไป่ตู้
C
如图，∠ACB=∠BDA=90°。要说明 △ACB≌△BDA,需要再补充几个条件， 应补充什么条件？把它们分别写出来。
判定全等三角形的五种方法
判定全等三角形的五种方法全等三角形是指具有相同形状和相等边长的三角形。
判定两个三角形是否全等是数学中的一个重要问题。
下面将介绍判定全等三角形的五种方法。
方法一：SSS判定法（边边边）SSS判定法是指通过比较两个三角形的三条边是否相等来判定其是否全等。
如果两个三角形的三条边长度相等，则可以判断它们是全等三角形。
方法二：SAS判定法（边角边）SAS判定法是指通过比较两个三角形的两条边和夹角是否相等来判定其是否全等。
如果两个三角形的一边和夹角分别相等，则可以判断它们是全等三角形。
方法三：ASA判定法（角边角）ASA判定法是指通过比较两个三角形的两个角和夹边是否相等来判定其是否全等。
如果两个三角形的两个角和夹边分别相等，则可以判断它们是全等三角形。
方法四：AAS判定法（角角边）AAS判定法是指通过比较两个三角形的两个角和非夹边的对应边是否相等来判定其是否全等。
如果两个三角形的两个角和非夹边的对应边分别相等，则可以判断它们是全等三角形。
方法五：HL判定法（斜边和直角边）HL判定法是指通过比较两个直角三角形的斜边和直角边是否相等来判定其是否全等。
如果两个直角三角形的斜边和直角边分别相等，则可以判断它们是全等三角形。
通过以上五种方法，我们可以准确地判定两个三角形是否全等。
这些方法都是基于几何学中的一些定理和公理推导而来，经过严谨的数学证明，可以确保判定结果的准确性。
需要注意的是，在判定全等三角形时，我们需要确保给定的条件足够，即要求已知的边长、角度等信息能够满足相应的判定条件。
如果给定的信息不足够，或者不满足判定条件，那么就无法准确地判定两个三角形是否全等。
判定全等三角形的方法还可以用于解决一些实际问题，例如在建筑设计、图形测量等领域。
通过判定三角形是否全等，可以确保设计和测量的准确性，提高工作效率。
总结起来，判定全等三角形的五种方法分别是SSS判定法、SAS判定法、ASA判定法、AAS判定法和HL判定法。
这些方法都是基于几何学中的定理和公理推导而来，通过比较边长、角度等信息，可以准确地判定两个三角形是否全等。
直角三角形全等的判定
回味无穷
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之于人. • 证明的规范性在于：条理清晰，因果 相应,言必有据.这是初学证明者谨记 和遵循的原则.
；开天录 /booktxt/7044/ 开天录；
没来告诉你,也知道很麻烦."风若尔也叹了口气."那你现在有什么打算?"巧尔问她.风若尔叹道："还能有什么打算,去肯定是要去の,就怎么去了.""你真要进黑河谷?"巧尔她后说："不过咱告诉你,咱可不去那种鬼地方,为了壹个盘子丢了命可不值,你姐姐咱还想多活些年头呢.""咱没说要你去."风若 尔说："咱只是想请你出面,给咱邀请一些人罢了.""邀请人?"巧尔说："你要找人你自己找去,可别拉上咱.""刚刚还说你爱咱呢,怎么回事呀你,壹提到正事尔你就这样呀."风若尔有些无语了.巧尔壹本正经の说："这事尔可不是小事尔,都是丢命の事情,你说你为壹个盘子值得吗?""值得!"风若尔却沉 声道："因为那里面有咱の信仰.""还你の信仰呢."巧尔说："你和咱说,是什么信仰.""因为里面有咱の真爱."风若尔沉声道,"咱必须要找回它,找到咱の心.""咱说若尔,你还想着当年の事情呢?"巧尔有些无奈,她劝道："咱说这样真の值得吗?只不过是壹个空口承诺而已,你没有必要壹直这样子守 着.""这可不是壹般の承诺,而是咱の青春,咱の壹切."风若尔说."有什么壹切不壹切の."巧尔说："当年人家都和你说明白了,你又何苦壹厢情愿呢,你这是中了什么邪了你,这都过去了两千多年了."
三角形全等的判定方法6种
三角形全等的判定方法6种
1、SSS（Side-Side-Side）（边边边）：三边对应相等的三角形是全等三角形。
2、SAS（Side-Angle-Side）（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。
3、ASA（Angle-Side-Angle）（角边角）：两角及其夹边对应相等的三角形全等。
4、AAS（Angle-Angle-Side）（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。
5、RHS（Rightangle-Hypotenuse-Side）（直角、斜边、边）（又称HL定理（斜边、直角边））：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。
（它的证明是用SSS原理）
下列两种方法不能验证为全等三角形：
1、AAA（Angle-Angle-Angle）（角角角）：三角相等，不能证全等，但能证相似三角形。
2、SSA（Side-Side-Angle）（边边角）：其中一角相等，且非夹角的两边相等。
直角三角形全等的判定
B
B′
C
A C′
A′
直角三角形全等的判定定理
定理:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等(斜边,直角边或HL).
如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 , ∵ AC=A′C ′
AB=A′B′
B
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
B′
C
A C′
A′
知识在于积累
三角形全等的判定
两边及其中一边的对角对应相等的两个三 角形不一定全等.
如果其中一边的所对的角是直角呢?
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.但如 果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等. 已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中, AC=A′C ′, AB=A′B′, ∠C=∠C′=900. 求证:△ABC≌△A′B′C′.
回味无穷
结束寄语
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; / 私人保镖
玉盈先于她伸出手来，默默地拣咯壹盘素青菜、壹盘豆腐，直接摆到咯王爷の面前。望着玉盈布の菜，他の心中又是诧异又是甜蜜，壹颗烦燥の 心顿时安静咯下来，唯有低头默默无语地用起晚膳。水清见状，简直对玉盈崇拜至极！姐姐真是爷肚子里の蛔虫啊！居然知道爷の口味？自己可 是跟爷共进过两次家宴呢，怎么都没有注意到爷の喜好？水清和王爷共进过两次家宴都不知道自家爷の喜好，但是玉盈只与王爷共进过壹次午膳 就将他の口味牢牢地记在咯心间，永远也不会忘记。那是她与他唯壹の壹次共进午膳，壹年前の宝光寺里，王爷带她参观修缮壹新の寺院，对于 寺院の斋饭，他也是赞不绝口。玉盈从此记得，王爷喜好素食清淡，不喜荤腥油腻，而今天晚膳里の那壹桌子菜，不也就是素青菜和豆腐最对爷 の胃口吗？眼看着姐姐替自己解咯燃眉之急，水清向姐姐投去咯感激の目光，玉盈回咯她壹各安慰の眼神。好不容易待爷用过晚膳，水清赶快上 前收拾碗筷，布菜不会，这收拾碗筷她总是会の。吟雪也赶快递来咯漱口水和热巾。秦顺儿知趣地退到咯壹边，壹各是爷の侧福晋，壹各是爷心 爱の诸人，他根本就没有能插手の地方，倒也乐得清静。用过晚膳，还不待收拾完，他就立即起身去德妃娘娘那里请安。王爷壹走，主仆三人立 即得到咯释放，高高兴兴地退回咯自己の房间，将那各烂摊子留给咯秦顺儿。第壹卷 第229章 面对回到她们自己の房间，壹待吟雪关上门，水 清壹头扑进咯玉盈の怀中：“姐姐，谢谢姐姐！”“这还不是应该の？这有啥啊谢の？”“姐姐是怎么知道爷の口味？”“爷是参禅诵经、吃斋 念佛の人，爷怎么会喜欢荤腥油腻の吃食呢？刚刚我壹见你要拿那盘麻油鸡块，真是吓坏咯，生怕你又捅咯大娄子。爷の脸色已经很不好看咯 ……”“是啊，我也是看爷の脸色不好，可又不知道爷爱吃啥啊，本来准备不管是福是祸，先端上去再说咯！唉呀呀，幸亏姐姐及时出手相 救。”“这有啥啊幸亏の，不过是平时多注意，多观察罢咯。唉，凝儿这也是‘书到用时方恨少’呢！既然‘书’已经读得少咯，现在也补不上 来，可是临场就要多动动动脑子才行。哎，对咯，别光顾着说话，你也赶快吃饭吧，饭菜都要凉咯。”“嗯，姐姐咱们壹起吃吧。”“好啊。” 第二天壹早就要起程，中午又因为赶路，只是匆忙解决咯吃饭问题，因此早膳和午膳都是秦顺儿负责伺候王爷，吟雪照顾水清和玉盈姐妹俩人。 第二天晚上抵达行宫后，水清又照例带着吟雪先到德妃娘娘那里去请安。今天和昨天有点儿不壹样，昨天还没进门呢，就听到屋子里欢声笑语， 今天怎么静悄悄地壹点儿动静也没有？秋婵也不在，只有壹各生面孔の宫女。进咯里屋才知道，德妃今天
斜边、直角边判定三角形全等
B
AC=BD.(已知）
∴ Rt△ACB≌Rt△BDA (HL).
∴BC=AD
(全等三角形对应边相等).
例2.如图，AB=CD，AE⊥BC， DF⊥BC，CE=BF. 求证：AE=DF.
C
D
F E
A
B
归纳总结：
直角三角形 全等的条件：
1）定义（重合）法； 一般不用
2）解题 中常用的 4种方法
3）HL
SSS； SAS； ASA； AAS.
直角三角形全等用
拓展延伸：
1. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角， 求证： BC=BD
C
A
B
D
2.已知: AB BD, ED BD,C是BD上一点 且AC EC, AC EC 求证：BD AB ED
A
E
B
C
D
达标测评：
相应配练中的习题： A 组：全部完成 B、C：最后一题不要求完成（有能力的同 学可以试试），剩余的题全部完成
N
MA
C
动动手 做一做
1:画∠MCN=90°; 2:在射线CM上截取CA=8cm; 3:以A为圆心，10cm为半径画弧，交射线CN于B;
N
B
MA
C
动动手 做一做
1:画∠MC ′N=90°;
2:在射线C ′M上截取C ′A′=8cm;
3:以A′为圆心，10cm为半径画弧，交射线C ′N于B ′
4:连结A′ B ′; △ A′ B ′ C ′即为所要画的三角形
已经有什么元素对应相等? ∠B=∠B′=90°
你准备添上什么条件就可以证明这两个直角三 角形全等呢?
A
A′
B
C
B′
三角形全等的几个条件
三角形全等的几个条件
1. 全等条件一，SSS（边-边-边）条件。
当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形是全等的。
2. 全等条件二，SAS（边-角-边）条件。
当两个三角形的一对对应边相等，夹角相等，另一对对应边相等时，这两个三角形是全等的。
3. 全等条件三，ASA（角-边-角）条件。
当两个三角形的一对对应角相等，夹边相等，另一对对应角相等时，这两个三角形是全等的。
4. 全等条件四，AAS（角-角-边）条件。
当两个三角形的两对对应角相等，另一对对应边相等时，这两个三角形是全等的。
这些条件是用来判断两个三角形是否全等的基本依据。
在几何学中，通过这些条件可以快速判断两个三角形是否全等，从而推导出它们的性质和关系。
这些条件在解决各种相关问题时都具有重要的作用。
直角三角形全等的判定
三角形全等的判定
两边及其中一边的对角对应相等的两个三 角形不一定全等.
如果其中一边的所对的角是直角呢?
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.但如 果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等. 已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中, AC=A′C ′,
AB=A′B′, ∠C=∠C′=900.
C D
F
E
A
B
老师期望:请将证明过程规范化书写出来 .
3、已知BE和CF是△ABC的高， BE＝CF， H是BE和CF的交点。求证：HB＝HC。
A
F
H
E
B
C
2. 如图， AB是圆O的直径， ∠ 1 = ∠ 2 ， 试说明△ABC≌△ABD
C
1
2 A
•O
B
D
回味无穷
直角三角形全等的判定定理: 1.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜 边,直角边或
求证:△ABC≌△A′B′C′.
B
B′
C
A C′
A′
直角三角形全等的判定定理
定理: 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等(斜边,直角边或HL).
如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 , ∵ AC=A′C ′
AB=A′B′ ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
H.L.). 2.三边对应相等的两个三角形全等（S.S.S.）.
3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（S.A.S.）.
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（A.S.A.）.
5.两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（A.A.S.）.
综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为: 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两边对应相等的两个直角三角形全等;
判断三角形全等的条件
两个三角形全等条件共有五种：
1、边边边（SSS），三边相等。
即如果有两个三角形，它们三条边都相等，则可以判断为两个三角形全等。
2、边角边（SAS）两条边和它们间的夹角相等。
即如果有两个三角形，两条边相等，并且他们间的夹角也相等，可以判断为两个三角形全等。
3、角边角（ASA）两个角它们间夹边相等。
即如果有两个三角形，有两个角相等，并且他们间的夹边也相等，可以判断为两个三角形全等。
4、角角边（AAS）两个角和其中一角的边相等。
即如果有两个三角形，有两个角相等，并且他们任意一个角的一条边也相等，可以判断为两个三角形全等。
5、直角三角形斜边和一条直角边相等（HL）。
直角三角形比较特殊，它有一个角是90度的，所以只要它的斜边和一条直角边相等，可以判断为两个三角形全等。
以上五种情况，就是两个三角形全等的条件。
下面的图片直观说明：。
直角三角形全等的条件(HL)
B′ Rt△ABC≌ Rt△A′ C ′
斜边、直角边公理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边” 或“HL”
斜边、直角边公理 (HL)
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
B
∵∠C=∠C′=90°
在Rt△ABC和Rt△ ABC 中
AB=AB
A
C B′
(2)求证：△ABC是等腰三角形。 (1)证明 ：∵ DE⊥AB， DF⊥AC ∴∠BED=∠CFD=90° 在Rt△BED与Rt△CFD中, DE＝DF（已知） BD＝CD（已知）
∴ △BED≌△CFD(H.L)
∵△BED≌△CFD (2)证明 ：
(第 1 题)
∴ ∠B=∠C ∴AB=AC
如图，∠ACB=∠BDA=90°。要说明 △ACB≌△BDA,需要再补充几个条件， 应补充什么条件？把它们分别写出来， 有几种不同的方法就写几种。
Step1:画∠MCN=90°;
Step2:在射线CM上截取CA=8cm;
N
M A
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°;
Step2:在射线CM上截取CA=8cm;
Step3:以A为圆心，10cm为半径画弧，交射线CN于B;
N B
M A
C
动动手 做一做
1:画∠MC ′N=90°;
2:在射线C ′M上截取C ′A′=8cm;
C △ABC的形状与大小是唯
一确定的吗?
10cm 8cm 8cm
A
45° B B′
探索边边角
C
10cm
8cm
8cm
45° A B B′
显然： △ABC与△AB’C不全等
直角三角形全等三角形的判定
对应相等的两个直角三角
形全等(简写成“斜边、 直角边”或“HL”）。
例题讲解：
例1. 已知： AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD. 求证：BC=AD.
D A
C
B
巩 固 1.如图，AB⊥BC，AD⊥DC， 练 AB＝AD。 习 求证∠1=∠2 。
A
12
B
D C
巩 2.如图，C是路段AB的中点，两人 固 从C同时出发，以相同的速度分别 练 沿两条直线行走，并同时到达D，E 习
两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E 与路段AB的距离相等吗？为什么？
D A C B E
巩 固 3.如图，AB=CD，AE⊥BC， 练 DF⊥BC，CE=BF. 习 求证：AE=DF.
C
F A D E B
（1）学习了HL。 （2）由实践证明HL是真命题。
布置作业
P104 习题13.2 ： 7、 8.
画一个Rt△A/B/C/，使∠C/=900 ， A/B/=AB，B/C/=BC：
1、画∠DC/ E= 900 .
2、在射线C/ D上截取C/B/＝CB.
3、以B/为圆心，AB为半径画弧，交射线C/ E于点A/.
4、连结B/A/。 △A/B/C/就是所要画的三角形。
问：通过实验可以发现什么事实？
探究反映的规律是：
复习 讲授新课
巩固练习
评价 小结
作业布置
判定两个三角形全等
要具备什么条件?
边边边：
三边对应相等的两个
三角形全等。
边角边：
有两边和它们夹角对应 相等的两个三角形全等。
角边角：
有两角和它们夹边对应 相等的两个三角形全等
角角边：