全等三角形几何证明-通用辅助线

几何证明-常用辅助线 (一)中线倍长法:
例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。

已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤2
1
(AB+AC) 分析：要证明AD ﹤
2
1
(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD ，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。

待证结论AB+AC>2AD 中，出现了2AD ，即中线AD 应该加倍。

证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连CE ，则AE=2AD 。

在△ADB 和△EDC 中，
AD =DE ∠ADB =∠EDC BD =DC
∴△ADB ≌△EDC(SAS) ∴AB=CE
又 在△ACE 中，
AC+CE ＞AE
∴AC+AB ＞2AD ，即AD ﹤2
1
(AB+AC)
小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。

它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。

课题练习:ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=AC
C
例2:中线一倍辅助线作法
△ABC中
方式1：延长AD到
E，AD是BC边中线
使DE=AD，
连接BE
方式2：间接倍长
作CF⊥AD于F，延长MD到N，
作BE⊥AD的延长线于使DN=MD，
连接BE 连接CD
例3：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围
例4：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE
课堂练习：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长
BE 交AC 于F ，求证：AF=EF
例5：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.
求证：AE 平分BAC ∠
课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE
作业：
1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论
第 1 题图 A B F D E
C
2、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.
3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC
于F ，求证：AF=EF
4：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE
5、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论
D A B C
M T E
A
D
B
C
E
图2-1
（二）截长补短法 例1.
已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .
求证：∠BAD +∠BCD =180°.
分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转
化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，
可通过“截长补短法”来实现.
证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图
1-2
∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，
⎩
⎨
⎧==CD AD DF
DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180°
例2. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .
求证：CD =AD +BC .
A
B C
D
图1-1
F
E D
C
B
A
图1-2
例3. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.
求证：∠BAP+∠BCP=180°.
例4. 已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
求证：AB=AC+CD.
A
B C
D
P
1
2
N
图3-1
D C
B
A
12
图4-1
作业：
1、已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.
2、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE
C
E D
B
A
（三）其它几种常见的形式：
1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。

例：如图1：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,
求证：BE＋CF＞EF。

F
E D C
B
A
A
B
C
D
E F
N
1
图
1
234
2、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全
等三角形。

例：：如图2：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF
练习：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证EF ＝2AD 。

3、延长已知边构造三角形：
例如：如图6：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ， 求证：AD ＝BC
2
图A
B
C
D
E
F
M 123
4A B C D E F
4
图A
B
C
D
E
6
图O
4、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。

例如：如图7：AB ∥CD ，AD ∥BC 求证：AB=CD 。

5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

例如：如图8：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。

求证：BD ＝2CE
6连接已知点，构造全等三角形。

例如：已知：如图9；AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝DC ，AC ＝BD ，求证：∠A ＝∠D 。

A
B
C
D 7
图1
2
3
4
D C B A
110 图O
九、取线段中点构造全等三有形。

例如：如图10：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。

10图D
C
B A
M
N。