探索勾股定理(3)
探索勾股定理(公开课课件)
数学领域中的应用
三角函数
勾股定理与三角函数密切相关， 它可以用于求解三角函数的值， 以及推导三角函数的性质和公式。
解析几何
在解析几何中，勾股定理可以用于 求解直线、圆和曲线的方程，以及 解决几何问题。
数论
勾股定理在数论中也有应用，例如 在证明一些数学定理和猜想时，勾 股定理可以提供重要的思路和方法。
公式表示
勾股定理的公式可以表示为 a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两条直角 边，c是斜边。
勾股定理的重要性
01
几何学基础
勾股定理是几何学中的一个基础定理，它为解决与直角三角形相关的问
题提供了重要的工具。
02 03
实际应用
勾股定理在现实生活中有着广泛的应用，例如建筑、航海、航空等领域。 通过应用勾股定理，我们可以解决与直角三角形相关的问题，从而更好 地理解和设计各种实际结构。
数学发展史
勾股定理在数学发展史上具有重要地位。它的证明和推广对于数学的发 展起到了重要的推动作用，也激发了人们对数学研究的兴趣和热情。
02 勾股定理的起源与历史
CHAPTER
毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯学派是古希腊时期的一个重要哲学和数学学派， 他们发现了音乐、政治、宇宙和数学之间的联系，并提出了 “万物皆数”的哲学思想。
CHAPTER
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
如果一个三角形的三边满足勾股定理 ，则这个三角形是直角三角形。
逆定理的证明
假设三角形ABC的三边满足勾股定理， 即$a^2 + b^2 = c^2$，根据余弦定 理，有$cos C = frac{a^2 + b^2 c^2}{2ab} = 0$，因此角C是直角。
初二数学探索勾股定理
初二数学探索勾股定理勾股定理，哎呀，这个名字听起来就像是高大上的数学概念，其实说白了，就是在讲一个很简单的道理。
想象一下，你在玩一个拼图游戏，拼图的每一块都是一个三角形，尤其是那种直角三角形，特别好玩。
直角三角形就像是三个人在一起开派对，两个短边是他们的腿，而最长的那条边，就是他们一起拉的“友谊的手”。
这个手的长度可不是随便来的，得通过一条神奇的公式来计算，那就是：a² + b² = c²。
听起来是不是有点拗口？但别担心，咱们慢慢来。
你可能会问，这个定理有什么用啊？哈哈，告诉你，别小看这小小的勾股定理，它可是个大功臣！想想看，当你在操场上玩飞盘，飞盘从你手里飞出去，落在了某个地方，你想知道它离你有多远，这时候，勾股定理就派上用场了！你只要测量一下你到飞盘的直线距离，再测量你移动的横纵距离，哦，计算一下，嘿，结果出来了！这就像是在解谜题，瞬间让你感觉自己是个数学侦探，真是酷毙了。
勾股定理在建筑上也大显身手。
那些高楼大厦，都是在这个定理的保驾护航下建成的。
你想象一下，工人们在高空作业，用一根长绳子把角度测量得特别精准，哇，整个建筑物就像是拼图一样，完美无缺。
没错，工人们就像是艺术家，利用勾股定理的力量，让一座座大楼矗立在城市的天际线上。
那种感觉，真是让人心潮澎湃。
如果你觉得数学无聊，那是因为你没有发现它的乐趣！勾股定理可以用来测量草地上三角形的面积。
随便找个地方，测量一下长和宽，咔嚓一声，面积出来了！然后，告诉你的朋友：“嘿，我刚用勾股定理算了个三角形的面积！”他们肯定会崇拜你的数学天赋，心里想：哇，真有学问！这时候你就可以抖抖肩，装作一副数学高手的样子，真是让人乐不可支。
再说说生活中的小细节，譬如你在公园里遛狗，狗狗撒欢儿跑的时候，你想知道它跑的直线距离。
想象一下，你在树和长椅之间画一条直线，测量一下，嘿，你就能知道狗狗有多开心，简直是乐翻天的事。
这就是勾股定理的魔力，让生活变得更有趣、更丰富。
《探索勾股定理》教案设计有趣的勾股定理数学游戏
【前言】勾股定理是我们学习数学时最基础的知识之一。
作为一名优秀的数学老师，如何让学生在轻松愉快的氛围中掌握勾股定理呢？经过反复研究，我给大家带来了一个有趣的勾股定理数学游戏——《探索勾股定理》教案设计。
【教案设计】一、活动目的1.掌握勾股定理的基本概念和运用方法。
2.培养学生的逻辑思维和数学分析能力。
3.通过实践提高学生的空间想象能力。
二、活动准备1.游戏道具：带刻度的正方形模型和带刻度的平行四边形模型；固定长度的木棒。
2.活动环境：宽敞明亮的活动场地，大屏幕电视。
三、活动过程1.引导学生分工合作，每个小组从模型材料中制作出三角形。
2.学生在制作三角形之后，按照勾股定理的要求，测量并填写三角形每个角度及边长，同时对三角形面积进行计算。
3.根据已知数据（两个边长和一角度），学生利用勾股定理计算三角形第三边的长度。
4.通过比较计算结果和测量结果，验证勾股定理的正确性。
5.游戏深入：每个小组在制作好的三角形上，用木棒连成等腰直角三角形，并在最长的一边上刻度，计算出每个直角边的长度。
6.游戏拓展：将学生为每个直角边涂上颜色，并在屏幕上显示每个小组制作的三角形成品，让学生自己观察，看看是不是每组画出的直角三角形边长总和相等。
四、活动收获1.游戏过程中，学生通过制作三角形、计算量角器的角度、测量三角形的边长和面积，以及应用勾股定理和弦正切公式，增进了对勾股定理的理解。
2.在游戏深入环节中，学生动手制作、参与计算，强化了对勾股定理的记忆和运用能力。
3.在游戏拓展环节中，学生通过观察屏幕上的成品图形，巩固了对勾股定理的理解，并加强了对图形的空间想象力。
【总结】通过这个游戏，学生不仅能够更深刻地理解勾股定理，而且在游戏的实践中提高了自己的数学能力。
教师也可以通过观察学生的实践表现，及时发现和纠正学生的错误思考方式，减少学生的盲点和误区。
让我们一起来探索勾股定理，让数学就在有趣的游戏中学起来！。
《探索勾股定理》第三课时上课课件
B C
动手操作
五巧板的制作： 五巧板的制作：
I H D G
F E
练一练
1 、下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积 下列阴影部分是一个正方形，
15厘米 厘米 17厘米 厘米
设正方形的边长为x厘米 解：设正方形的边长为 厘米 , 则 x2=172-152 x2=64 正方形的面积是64平方厘米 平方厘米。 答：正方形的面积是 平方厘米。
拓展练习 如图，受台风麦莎影响， 2、如图，受台风麦莎影响，一棵高 18m的大树断裂 的大树断裂， 18m的大树断裂，树的顶部落在离树根 折断后有多高 底部6米处，这棵树折断后有多高？ 底部6米处，这棵树折断后有多高？
6米 米
补充练习： 补充练习：
1、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东 、放学以后，小红和小颖从学校分手， 南方向和西南方向回家， 南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都 分钟到家， 分钟到家， 是40米/分，小红用 分钟到家，小颖用 分钟到家， 米 分 小红用15分钟到家 小颖用20分钟到家 小红和小颖家的距离为 （ C ） A、600米； B、800米； C、1000米； D、不能确定 、 米 、 米 、 米 、 2、直角三角形两直角边分别为 厘米、12厘米，那么 、直角三角形两直角边分别为5厘米 厘米、 厘米 厘米， 斜边上的高是 （ D ） A、6厘米； 、 厘米 厘米； B、 8厘米； 厘米； 、 厘米 D、 60/13厘米； 厘米； 、 厘米 C、 80/13厘米； 、 厘米； 厘米
探索勾股定理3(1) - 副本
解：有勾股定理可求得：AB2=AC2+BC2 解AB=10cm，由题意可知AE=AC， DE=DC,∠ACD=∠AED=90° 所以BE=AB-AE=4cm
设DC=xcm，则BD=（8-x）cm 在Rt△BDE中，（8-x）2=x2+42 解得x=3，即CD的长为3cm
8
6
X
6 10
一架云梯AB长25m,如图斜靠在一面墙上梯子底端离墙7m (1) 这个梯子的顶端距离地面的高度AC是多少? (2) 如果梯子的顶端下滑了4m,那么梯子的底端在水平方向移 动的距离为 m 思考:梯子在下滑的过程中,什么量是不变的?
爬到点B处吃食,要爬行的最短路程 ( 取3）是
(B )
A.20cm B.10cm
C.14cm D.无法确定
2O
蛋糕 B
C
6
B
8
8
A
A
12
如图：一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm、高为9cm的长方形纸
箱的A点沿纸箱爬到B点，它所走的最短路线的长是 15 。
B
A
勾股定理:
直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,则有
4．已知某个三角形的三边长分别为5,13,12，则此三角形的面积为( A )
A．30
B．60
C．78
D．不能确定
【解析】 ∵此三角形的三边长分别为5,13,12，而52＋122＝132，∴此三角
形为直角三角形，此三角形的面积为12×5×12＝30.故选A.
• 5.三角形各边长度的平方比如下,其中不是直角三角形的是
解（2）∵a2=（m2-n2）2=m4-2m2n2+n4， b2=（m2+n2）2=m4+2m2n2+n4 c2=（2mn）2 =4m2n2
北师大版八年级数学上册《勾股定理3》课件
1
1
•1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” •2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 •5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/72021/11/72021/11/711/7/2021
▪ 1876年4月1日，伽菲尔德 在《新英格兰教育日志》 上发表了他对勾股定理的 这一证法。
▪ 1881年，伽菲尔德就任美 国第二十任总统。后来， 人们为了纪念他对勾股定 理直观、简捷、易懂、明 了的证明，就把这一证法 称为“总统”证法。
青九
刘
朱章 出算
徽
入术
图
无字证明
④
bc
⑤
③aຫໍສະໝຸດ ①②青无朱字出证入明图
▪ 赵爽：东汉末至三国时 代吴国人
▪ 为《周髀算经》作注， 并著有《勾股圆方图 说》。
▪ 赵爽的这个证明可谓别 具匠心，极富创新意识。 他用几何图形的截、割、 拼、补来证明代数式之 间的恒等关系。
毕达哥拉斯
在国外，相传勾股 定理是公元前500多年 时古希腊数学家毕达哥 拉斯首先发现的。因此 又称此定理为“毕达哥 拉斯定理”。法国和比 利时称它为“驴桥定 理”，埃及称它为“埃 及三角形”等。但他们 发现的时间都比我国要 迟得多。
青出
青方
青 出
青 入
朱
朱方 出
朱入 青入
青出
五巧板的制作 A
④
E
⑤
G
b
Hc
③
1.1探索勾股定理3
第一节探索勾股定理教学目标：1、 经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2、 探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。
重点难点：重点：了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。
难点：勾股定理的发现 教学过程掌握勾股定理的内容，能利用勾股定理进行计算与证明。
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
即：c 2=a 2+b 2(c 为斜边)。
它反映了直角三角形三边之间的数量关系，是解决直角三角形中计算问题以及解直角三角形的主要依据之一。
一、问题的提出：小明放学回家要经过一块长方形的麦地。
如图： 1、 小明本来应走大路从A 经B 到C 可是他却直接从A 到C ，为什么？ 2、 为什么近、近多少？ 3、用数学知识如何解答？二、量一量，算一算：1、直角三角形的两条直角边的长度分别为3㎝，4㎝和5㎝，12㎝请你量出斜边的长度。
2、进行有关的计算。
3、得出结论： 三、证明结论：利用拼合三角形的方法，如下：（1）b a a bca c cb a a a b a bc b c b b c aa b a b （1） （2）由（1）S ab c ab c 正=⨯+=+412222 A B C D由（2）S a b ab 正=++222 ∴+=++22222ab c a b ab ∴+=a b c 222（2）如图：S c S S S a b b a a b b a a b a b c a b 正正小正==+=⨯+-=++-=+∴=+222222222441222∆() 练习： 1、判断：（1）已知a 、b 、c 是三角形的三边，则∴+=a b c 222（ ） （2）在直角三角形中两边的平方和等于第三边的平方。
（ ） （3）在Rt ABC ∆90=∠B ∴+=a b c 222（ ） 2、填空：在Rt ABC ∆中，∠=C 90（1）如果a=3，b=4，则c= （2）如果a=6，b=8，则c= （3）如果a=5，b=12，则c= (4) 如果a=15，b=20，则c=3、 解决新课开始提出的问题c ab ac b b c ba ac。
1.1.2探索勾股定理(教案)
（二）新课讲授（用时10分钟）
在学生小组讨论环节，我尽量让自己成为一个引导者和协助者，让学生们充分发表自己的观点。从讨论成果来看，学生们对于勾股定理在实际生活中的应用有了更深入的认识。但同时，我也发现有些学生在讨论中较为沉默，可能是因为缺乏自信或者不敢表达自己的看法。针对这个问题，我打算在以后的教学中多关注这部分学生，鼓励他们积极参与讨论。
（3）学会运用勾股定理解决实际问题，例如计算直角三角形的斜边长度或已知斜边长度求直角边的长度。
举例：在讲解勾股定理时，可以引用教材中的例子，如一个直角三角形，两直角边分别为3和4，求斜边长度。通过计算3²+4²=9+16=25，然后开方得到斜边长度为5，使学生理解并掌握勾股定理的应用。
2.教学难点
（1）理解并证明勾股定理：对于部分学生来说，理解直角三角形两条直角边与斜边之间的数量关系可能存在困难。因此，教师需要采用生动形象的方法，如实物操作、动画演示等，帮助学生突破这一难点。
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过探索勾股定理的过程，让学生理解数学结论的严谨性，提高他们的逻辑思维水平；
2.培养学生的空间想象力和几何直观，通过观察和分析直角三角形的性质，发展学生对图形的认识和处理能力；
3.培养学生的数学建模素养，使学生能够运用勾股定理解决实际问题，建立数学模型，感受数学与现实生活的紧密联系；
1.1 .2探索勾股定理（教案）
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课题：1.1探索勾股定理 (3)
教学目标：1、用拼图的方法验证勾股定理；
2、掌握勾股定理，并能运用它解决一些实际问题；
教学重点：掌握勾股定理，会运用它进行简单的计算及解决一些实际问题； 教学难点：用拼图的方法验证勾股定理；
导入方式：复习引入
一、课前练习：
1、 在Rt ΔABC 中，∠C=900，a=8，b=15，求c 。
2、 如图：Rt ΔABC 中，∠C=900，AC=10，BC=24，求AB 的长。
3、 完成书本P11知识技能#1。
二、知识点一：
1、课外阅读P12～13页， 从“朱青出入图”的拼图方法理解勾股定理的验证。
2、完成书本P26页#7题，动手验证勾股定理。
3、 试与同学交流一下你的体会。
4、 完成书本P14页议一议，
A C B
三、知识二：
1、完成书本P15随堂练习#1
2、求图中直角三角形的未知边长。
3、要修建一个育苗棚，棚高h =1.8 m,棚宽a =2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
5、 完成书本：P15页问题解决#1
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