2、探索勾股定理2
探索勾股定理2
补 充 ： 如 图 ， 已 知 长 方 形 ABCD 中 AB=8 cm,BC=10 cm, 在 边 CD 上 取 一 点 E ， 将 △ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F， 求CE的长.
（3）如图在△ABC中，∠ACB=90º，
CD⊥AB，D为垂足，AC=2.1cm,BC=2.8cm.
求① △ABC的面积； ②斜边AB的长；
c a
=2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2
c a
b
c a
b
c a
b
b
∴a2+b2=c2
自学课本P9例1
自学检测
飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男 孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这 个男孩5000米，飞机每小时飞行多少千米？
C
B
4000
4000
A
你认为利用勾股定理可以解决什么数 学问题？
探索勾股定理（2）
ac b
a2+b2=c2
利用拼图来验证勾股定理：
1、准备四个全等的直角三角形（设直角三角 形的两条直角边分别为a，b，斜边为c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正 方形吗？拼一拼试试看
3、你拼的正方形中是否含有以斜边c的正 方形？
4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
C、 80/13厘米；
3、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个
三角形的面积
A
解：设这个三角形为ABC，
高为AD，设AB为X，则BC
为（32-2X），BD是（16－x)
8
由勾股定理得： X2=(16-X)2 +82
B
C D
16-X
鲁教版(五四制)七年级上册3.1探索勾股定理(二) 优质教案
课题鲁教版七年级数学（上）第三章 1.探索勾股定理（二）作者及工作单位教材分析《探索勾股定理》是鲁教版七年级上册第三章第一节，本节有二课时，本课是第二课时，主要内容是探索勾股定理的证明。
勾股定理是直角三角形三边之间的一种美妙关系，将数与形密切联系起来，在几何学中占有非常重要的位置。
同时勾股定理在生产、生活中也有很大的用途。
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要的结论，它有着广泛的应用，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
同时在勾股定理的探索中，让学生发展合情推理能力，为以后的学习打下基础。
因为勾股定理的出现，使数学从单一的纯计算进入了几何图形的证明，所以为了让学生感受数形结合这一数学思想，让学生亲自动手，互相协作，因此引入了“等积法”证明勾股定理。
学情分析学生经历了一年的初中学习，具备了一定的归纳、总结、类比、转化以及数学表达的能力，对现实生活中的数学知识充满了强烈的好奇心与探究欲，并能在老师的指导下通过小组成员间的互助合作，发表自己的见解。
另外，在学本节课时，通过前置知识的学习，学生对直角三角形有了初步的认识，并能从直观把握直角三角形的一些特征，为此在授课时要抓住学生的这些特点，激发学生学习数学的兴趣，建立他们的自信心，为学生空间观念的发展、数学活动经验的积累、个性的发挥提供机会。
教学目标知识与技能：1. 掌握勾股定理，初步理解割补拼接的面积证法.通过动手实践理解勾股定理的证明过程。
2. 能利用勾股定理进行简单的几何计算 过程与方法：通过实践、猜想、拼图、证明等操作深刻感受数学知识的发生发展过程 情感、态度、价值观：通过对勾股定理的历史介绍及交流，让学生体会它的文化价值，提高学习数学的兴趣和信心。
教学重点和难点重点：掌握勾股定理的内容及其初步应用 难点：勾股定理的证明教学过程教学环节教师活动学生活动和预设学生活动 设计意图一、 设情景问题， 引入课题1.名言激趣：数学是上帝用来书写宇宙的文字。
1.1探索勾股定理(第2课时)(教案)
在学生小组讨论环节，我注意到有些小组在分享成果时，表达能力有待提高。为了提高ห้องสมุดไป่ตู้生的表达能力，我计划在今后的课堂中增加一些口语表达训练，如小组内轮流发言、总结观点等，帮助他们更加自信地展示自己的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.提升直观想象与数学建模能力：借助图形和实际案例，培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，激发直观想象力。
3.强化数学运算与数据分析能力：在勾股数的寻找与应用过程中，锻炼学生的数学运算能力，学会从数据中提炼规律，解决问题。
4.增强数学应用意识：通过拓展勾股定理的应用场景，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，提高数学素养。
最后，总结回顾环节，我觉得可以让学生更多地参与进来，让他们谈谈自己在本节课中的收获和感悟。这样既能检验学生对知识点的掌握程度，又能提高他们的自我反思能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的证明、勾股数的识别与应用。
-重点讲解：
-通过多种方法（如几何拼贴、代数计算等）证明勾股定理，强调定理的普适性和重要性。
-识别勾股数，理解其概念，并能举例说明。
探索勾股定理(2种题型) (学生版)--新八年级数学核心知识点与常见题型(暑假预习)
第01讲探索勾股定理(2种题型)【知识梳理】一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.要点诠释：(1)勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.(2)利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. (3)理解勾股定理的一些变式：a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=a+b2-2ab.二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形. 图(1)中S四边形ABCD =a+b2=c2+4×12ab，所以a2+b2=c2. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形. 图(2)中S四边形ABCD =c2=b-a2+4×12ab，所以c2=a2+b2.方法三：如图(3)所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. S四边形ABCD =a+ba+b2=2×12ab+12c2，所以a2+b2=c2.三、勾股定理的作用1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3. 利用勾股定理，作出长为n的线段.【考点剖析】题型一、勾股定理的应用1在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a=5，b=12，求c；(2)若c=26，b=24，求a．2如图所示，在多边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=45°，∠B=∠D=90°，求多边形ABCD的面积．【变式】2.1已知：如图，在△ABC，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，求AC、AB的长．3长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．【思路点拨】在折叠的过程中，BE=DE．从而设BE即可表示AE．在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．题型二、勾股定理的证明4如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，试说明AN2-BN2=AC2．5请用两种方法证明：△ABC中，若∠C=90°，则a2+b2=c26图中大正方形是由4个全等直角三角形和一个小正方形拼成的，其中每个直角三角形两直角边为a，b，斜边为c，你能通过此图验证得到勾股定理吗？请说说你的理由．7做8个全等的直角三角形，设它们的两条直线边分别为a，b，斜边为c，再做3个边长分别为a，b，c的正方形，把它们按图4，图5所示的方式拼成两个正方形．利用两个正方形的面积相等来证明勾股定理：a2+b2=c2．8如图，已知∠C=∠D=90°，D，E，C三点共线，各边长如图所示，请利用面积法证明勾股定理．【过关检测】一．选择题1(2022春•西华县期中)如图，这是用面积为18的四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”．如果大正方形的边长为9，那么小正方形的边长为()A.1B.2C.3D.42(2022春•高安市期中)勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边(a>b)，则下列说法：①a2+b2=25，②a-b=1，③ab=12，④a+b=7．正确的是()A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④二．填空题3用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”，若AB=15，AF=12，则小正方形EFGH的面积为 4(2022春•台江区期中)在△ABC中，∠C=90°，若AB=2，则AB2+BC2+AC2= ．5(2022春•长垣市期中)如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面积为2、8、5，则正方形D的面积为 ．61876年美国总统加菲尔德利用图验证了一个十分著名的定理，这个定理称为，该定理的结论其数学表达式为．7(2022春•新邵县期中)如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE ⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为．三．解答题8(2022春•巢湖市校级期中)学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．9如图所示是用硬纸板做成的四个完全相同的直角三角形和一个边长为c 的正方形，直角三角形两条直角边的长分别是a ，b ，斜边的长为c ，请你将它们拼成一个能推导勾股定理的图形．(1)画出拼成的这个图形的示意图；(2)推导勾股定理．10【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ．图中大正方形的面积可表示为(a +b )2，也可表示为c 2+4×12ab ，即(a +b )2=c 2+4×12ab ，所以a 2+b 2=c 2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE ，其中△BCA ≌△ADE ，∠C =∠D =90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ．求证：a 2c 2+a 2b 2=c 4-b 4．。
2024-2025学年北师版初中数学八年级(上)教案第一章勾股定理1.1探索勾股定理(第2课时)
第一章勾股定理1探索勾股定理第2课时勾股定理的证明及应用教学目标教学反思1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在教学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.2.通过对勾股定理的探索，在探索实践中理解并掌握勾股定理并且会运用勾股定理.教学重难点重点：会验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题.难点：经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.教学过程导入新课教师提出问题：1.勾股定理的内容是什么？（指名学生回答）2.上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形进行探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？教师：事实上，现在已经有数百种勾股定理的验证方法，这节课我们就来验证一下勾股定理.设计意图：回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度，介绍世界上一些验证方法，激发学生的学习兴趣.探究新知一、预习新知让学生自主预习课本第5页.提出问题：如下图，分别以直角三角形的三条边为边向外作正方形，你能利用这幅图说明勾股定理的正确性吗？验证，并让学生发表自己的见解，再小组讨论勾股定理是否正确.设计意图：通过让学生自己动手作图、验证不仅能锻炼学生的动手能力，还能加深对勾股定理的理解.二、合作探究验证勾股定理为了计算上图中大正方形的面积，小明对这个大正方形进行了适当割补后得到了下面两个图.问题1：你可以利用两种方法来表示图1中的大正方形的面积吗？ 学生先独立思考，再小组交流得到答案(a +b )2和2ab +c 2. 问题2：你可以得到怎样的等式？从而能得到什么？ 学生：(a +b )2 = 2ab +c 2，化简后得到a 2+b 2 = c 2. 从而利用图1验证了勾股定理，此方法称为毕达哥拉斯法.教师：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，利用整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？问题3：图2中小正方形的边长是多少？问题4：你可以利用两种方法来表示图2中的大正方形的面积吗？ 问题5：你可以得到怎样的等式？从而能得到什么？ 提出几个问题让学生根据问题独立探究，再小组交流，最后请一位同学上台讲解利用图2验证勾股定理.图2中小正方形边长是b －a ，(b －a)2和c 2－2ab 都可以表示图2中小正方形的面积，根据同一图形面积相等得到(b －a)2= c 2－2ab ，化简后得到a 2+b 2 = c 2.从而利用图2也验证了勾股定理，图2我们又称为赵爽弦图. 设计意图：教师层层设问引导学生来完成勾股定理的验证，通过两个图形让学生体会数形结合的思想并体会成功的快乐，学生先拼图从形上感知，再利用面积验证，比较容易掌握本节课的重点内容.前面已经讨论了直角三角形的三边长满足的关系，那么锐角三角形和钝角三角形是否也满足这一关系呢？观察下图，利用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a 2+b 2 2如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边长a ，b ，c 不满足a 2+b 2 = c 2，通过这个结论，学生将对直角三角形的三边关系有进一步认识.巩固练习证明：∵ S 梯形ABCD = S △ABE +S △BCE +S △EDA ，教学反思又∵ S 梯形ABCD =12(a +b )2，S △BCE = S △EDA = 12ab ，S △ABE = 12c 2，∴ 12(a +b )2 = 2×12ab +12c 2，∴ a 2+b 2= c 2，即勾股定理得证． 典型例题 【例1】作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，再作三个边长分别为a ，b ，c 的正方形，将它们如下图所示拼成两个正方形．222.a +b ，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理．【证明】由图易知，这两个正方形的边长都是a +b ， ∴ 它们的面积相等．左边大正方形面积可表示为a 2+b 2+12ab ×4， 右边大正方形面积可表示为c 2+12ab ×4. ∵ a 2+b 2+12ab ×4 = c 2+12ab ×4，∴ a 2+b 2 = c 2.【总结】根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．典型例题【例2】如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M ，O ，Q 三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本为5 000万元/km ，该沿江高速公路的造价预计是多少？【问题探索】总造价计算公式是解决此题目的关键，总造价 = 每千米造价×千米数.【解】在Rt △OMN 中，根据勾股定理得 MN 2+ON 2 = OM 2， ∴ 302+402 = OM 2， ∴ OM = 50 km. 同理O Q = 130 km ，∴ 造价为（50+130）×5 000 = 900 000（万元）. 答：造价预计是900 000万元. 【总结】解答本题的关键是先利用勾股定理求出高速公路的长度，再求总造价．教学反思课堂练习1.若等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则它的面积为()A．30 cm2B．130 cm2C．120 cm2D．60 cm22.放学以后，小丽和小红从学校出发，分别沿东南方向和西南方向回家.若小丽和小红行走的速度都是40 m/min，小丽走了15 min回到家，小红走了20 min回到家，则小丽家和小红家间的距离为()A．600 m B．800 mC．1 000 m D．不确定3.直角三角形两直角边长分别为8 cm，15cm，则斜边上的高为______.4.某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现在需要在相对的顶点间用一块木板加固，则这块木板的长为______.5.如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1 = 2 km，BB1 = 4 km，A1B1 = 8 km.现要在高速公路上A1，B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离之和．参考答案1.D2.C3.12017cm 4.2.5 m5.解：如图作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交A1B1于点P，连接BP.则AP+BP = AP+PB′ = AB′，易知点P即为到点A，B距离之和最短的点．过点A作AE⊥BB′于点E，则AE = A1B1 = 8 km，B′E = AA1+BB1 = 2+4 = 6( km)．由勾股定理，得B′A2 = AE 2+B′E 2 = 82+62，∴AB′ = 10 km，即AP+BP = AB′ = 10 km.故出口P到A，B两村庄的最短距离之和是10 km.课堂小结(学生总结，老师点评)勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.验证方法：两种证法.布置作业1.（必做题）习题1.2第1，3题2.（选做题）第4题板书设计1 探索勾股定理教学反思第2课时勾股定理的证明及应用1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.两种证明方法.。
探索勾股定理(二)演示文稿
验证方法二 验证方法二
c
1 2 2 Q ab × 4 + (b a ) = c 2
∴ a+b =c
图2
追溯历史
国内调查组报告
用图2验证勾股定理的方法 ， 用图 验证勾股定理的方法， 据 验证勾股定理的方法 载最早是 三国时期数学家赵爽在为 周髀算经》作注时给出的， 《周髀算经》作注时给出的，我国 历史上将图2弦上的正方形称为弦 历史上将图 弦上的正方形称为弦 图。 2002 年 的 数 学 家 大 会 （ ICM2002） 在北京召开 ， 这届大会会标 ） 在北京召开， 的中央图案正是经过艺术处理的弦 图 ， 这既标志着中国古代的数学成 又像一只转动的风车， 就 ，又像一只转动的风车，欢迎来 自世界各地的数学家们！ 自世界各地的数学家们！
国际调查组报告
勾股定理与第一次数学危机
约 公 元 前 500 年 ， 毕 达 哥 拉 斯 学 派 的 弟 子 希 帕 索 斯 (Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度 发现了一个惊人的事实， 发现了一个惊人的事实 是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理 勾股定理)， 按照毕达哥拉斯定理(勾股定理 是不可公度的 按照毕达哥拉斯定理 勾股定理 ，若正方形边长是 1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比， ，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比， 这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭， 这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何 线段都可公度基础上的几何学面临被推翻的威胁， 线段都可公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危 机由此爆发。据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、 机由此爆发。据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、 恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海。 恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海。 不能表示成两个整数之比的数， 世纪意大利著名画家达 世纪意大利著名画家达. 不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达 芬奇称之为“无理的数” 无理数的英文“ 芬奇称之为“ 无理的数”， 无理数的英文 “irrational”原义就是 原义就是 不可比” 第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立 “不可比”。第一次数学危机一直持续到 世纪实数的基础建立 以后才圆满解决。 以后才圆满解决。我们将在下一章学习有关实数的知识 。
北师大版八年级上册数学各章节重难点知识
1.1、探索勾股定理（一）教学目标1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2 、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
重点、难点重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
难点：勾股定理的发现。
1.1、探索勾股定理（二）教学目标1、经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动发展学生的探究意识和合作交流的习惯2、掌握勾股定理和它的简单应用。
重点难点重点：能熟练应用拼图法证明勾股定理．难点：用面积证勾股定理．1.2 能得到直角三角形吗教学目的知识与技能：掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用；教学思考：进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型．解决问题：会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论．重点、难点重点：探索并掌握直角三角形的判别条件。
难点：运用直角三角形判别条件解题1.3.蚂蚁怎样走最近教学目标教学知识点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.教学重点难点：重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题.难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.第二章实数2.1. 数怎么又不够用了（一）教学目标(一)教学知识点1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出理由.(二)能力训练要求1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力.教学重点1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.2.会判断一个数是否为有理数.教学难点1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.2.判断一个数是否为有理数.2.1、数怎么又不够用了(二)教学目标：1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.2.会判断一个数是有理数还是无理数.教学重点：1.无理数概念的探索过程.2.用计算器进行无理数的估算.3.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断.教学难点：1.无理数概念的建立及估算.2.2 平方根(一)教学目标：1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根.3.了解算术平方根的性质.教学重点：了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.教学难点：了解算术平方根的概念、性质.2.2平方根(二)教学目标：1.了解平方根的概念、开平方的概念.2.明确算术平方根与平方根的区别与联系.3.进一步明确平方与开方是互为逆运算..教学重点：1.了解平方根、开平方的概念.2.了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根.3.了解平方根与算术平方根的区别与联系.教学难点：1.平方根与算术平方根的区别与联系.2.负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算的原因.2.3 立方根教学目标：1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算.3.了解立方根的性质.4.区分立方根与平方根的不同.教学重点：立方根的概念.教学难点：1.正确理解立方根的概念.2.会求一个数的立方根.3.区分立方根与平方根的不同之处.教学方法：类比学习法.2.5 用计算器开方教学目标：1、会用计算器求平方根和立方根。
探索勾股定理(第2课时)(1个知识点+12大题型+18道强化训练)教师版24-25学年八年级数学上册
第08讲探索勾股定理（第2课时）（1个知识点+12大题型+18道强化训练）课程标准学习目标①勾股定理的应用 1. 掌握勾股定理的应用；知识点01：勾股定理的应用勾股定理的作用已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；用于解决带有平方关系的证明问题；3．与勾股定理有关的面积计算；4．勾股定理在实际生活中的应用．【即学即练1】1．如图所示的是一个长方体笔筒，底面的长、宽分别为8cm和6cm，高为10cm，将一支长为18cm的签字笔放入笔筒内，则签字笔露在笔筒外的的长度最少为（）A ．10cmB ．()18102cm -【答案】B 【分析】长方体内斜对角线是最长的，当签字笔在笔筒里对角放置的时候露在外面的长度最小，求出笔筒的对角线长度即可得签字笔露在外面的最短长度．【详解】解：由题意知：笔筒底面对角长为A ．28mB ．【答案】C 【分析】滑行的距离最短，即是沿着E 三点构成直角三角形，AE 可得出AE 的距离．12AD=米，DE=△中，在Rt ADE22121620AE=+=即滑行的最短距离为故选：C．题型01 求梯子滑落高度1．如图，将长为10m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上移动2m，则梯子底端B向左移动（）A．10m B．6m C．4m D．2m【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画出对应几何图形，求出B C¢即可求解.【详解】解：如图所示：一段距离，则下滑的距离（大于、小于或等于）1米．(1)求OA 的长度．(2)如果梯子下滑0.4m ，则梯子滑出的距离是否等于0.4m ？请通过计算来说明理由．题型02 求旗杆高度1．某兴趣小组要测量学校旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子刚好垂到地面，若紧拉绳子的末端向后退6m 后发现绳子末端到地面的距离为2m ，则旗杆的高度是（ ）A ．5mB ．10mC ．13mD ．17m 【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形．【详解】解：如图，设旗杆的高度AB 为m x ，则绳子AC 的长度为m x ，过点C 作CE AB ^于点E ，则6m EC BD ==，2m CD EB ==，在Rt AEC △中，根据勾股定理可得()22226x x -+=，解得10x =，\旗杆的高度是10m ，故选：B ．2．如图1，在综合实践小组测量旗杆高度的活动中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了1米，如图2，当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好落到点C 处，经过测量此时绳子底端C 到旗杆底部A 的距离是5米，则旗杆AB 的高度为 米【答案】12【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆的高度为x 米，则AB x =米，()1BC x =+米，在Rt ABC △中，由勾股定理得()22215x x +=+，解方程即可得到答案．【详解】解：设旗杆的高度为x 米，则AB x =米，()1BC x =+米，由题意得：5AC =米，在Rt ABC △中，由勾股定理得222AC AB BC =+ ，∴()22215x x +=+，解得12x =，∴12AB =米，∴旗杆的高度为12米，故答案为：12．3．小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图勘测，得到如下记录：①测得水平距离BC 的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB 的长为13米；③小龙牵线放风筝的手到地面的距离CD 长为1.5米．(1)求风筝到地面的距离线段AD 的长；(2)如果小龙想要风筝沿CA 方向再上升4米，BC 和CD 的长度不变，则他应该再放出_____米线．题型03 求小鸟飞行距离1．如图，有两棵树AB 和CD （都与水平地面AC 垂直），树AB 高8米，树梢D 到树AB 的水平距离DE （DE AB ^）的长度为8米，2AE CD ==米，一只小鸟从树梢D 飞到树梢B ，则它至少要飞行的长度为（ ）A ．10米B ．9米C ．8米D ．7米∵DE AB^∴90BED Ð=°∵树AB 高8米，AE =∴6BE =米，8DE =另一棵树的树梢，那么小鸟至少飞行 米．【答案】26【分析】本题考查了勾股定理与实际问题，根据题意构建模型，过点B 作BA CD ^，交CD 于点A ，由题意可得20m CD =，10m BE =，24m DE =，根据题意可证明四边形ADEB 是矩形，24AB DE m ==，10m AD BE ==，可得10m AC =，在t R BAC V 中，90BAC Ð=°，根据勾股定理得26m BC =，即可得，掌握两点之间线段最短，矩形的判定，勾股定理，根据题意构建出模型是解题的关键．【详解】解：如图所示，过点B 作BA CD ^，交CD 于点A ，由题意可得20m CD =，10m BE =，24m DE =，∵90BAD ADE DEB Ð=Ð=Ð=°，小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？题型04 求大树折断前的高度1．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一道“折竹抵地”问题；今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？大意是；“一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），中部有一处折断，竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，”问折断处离地面的高度是多少尺？（ ）A．4B．92C．9120D．10920离为1.5m，一只蜗牛从树顶端的A处出发，以20cm/min的速度沿树干向上爬行，则它爬到折断处C所需的时间为min．意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，求折断处离地面的高度．【答案】4.55尺【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺，根据勾股定理得2223(10x)x +=-，解得： 4.55x =答：折断处离地面的高度是4.55尺．题型05 解决水杯中筷子问题1．一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是6cm ，内壁高8cm ．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是5cm ，则这支铅笔的长度是（ ）cm ．A ．10B ．15C ．20D ．25【答案】B 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC 的长度．然后结合题意即可求解．此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的长度是解决问题的关键．【详解】解：如图：根据题意可得图形：△中：AC在Rt ABC∵这支铅笔在笔筒外面部分长度是∴这支铅笔的长度是故选：B．2．如图，已知钓鱼杆鱼竿AC转动到AC¢的位置，此时露在水面上的鱼线B C¢¢长度为4米，则BB¢的长为米．FG=），当筷子GE倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯壁D，筷子露出杯子外1cm（即1cm求筷子GE的长度．【答案】13cm【分析】设杯子的高度是cm x ，则筷子的高度为()1cm x +，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到答案，根据勾股定理列出方程是解题的关键．【详解】解：设杯子的高度是cm x ，则筷子的高度为()1cm x +，∵杯子的直径为10cm ，∴5cm DF =，在Rt DEF V 中，由勾股定理得：2225(1)x x +=+，解得12x =，∴筷子()12113cm EG =+=．答：筷子GE 的长度为13cm ．题型06 解决航海问题1．两只蜗牛从同一地点同时出发，一只以3m /min 的速度向北直行，一只以4m /min 的速度向东直行，1min 后两只蜗牛相距（ ）A ．5mB ．C ．D ．4.5m【答案】A【分析】本题考查勾股定理，分别计算一分钟两只蜗牛行走的路程，再根据勾股定理计算即可．【详解】解：313´=，414´=，∵一只以3m /min 的速度向北直行，一只以4m /min 的速度向东直行，∴夹角为直角，∵222345+=，∴1min 后两只蜗牛相距5m ，故选：A ．2．如图，甲、乙两船同时从港口A 出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°方向航行，2小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛，若C ，B 两岛相距100海里，乙船的速度是 海里/时．Q 60AC \=海里．35EAC Ð=°Q ，55FAB Ð=90CAB \Ð=°．100BC =Q 海里，22100AB BC AC \=-=Q 乙船也用2小时，时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海里/时的速度沿北偏东40°的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东50°的方向向B地出发，2小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离AB．题型07 求河宽1．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F 与欲到达地点E 相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程HF 比河的宽度EH 多2米，则河的宽度EH 是（ ）．A ．8米B ．12米C ．16米D ．24米【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知EFH △为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边EH 的长度．【详解】解：根据题意可知10EF =米，设EH x =，则2HF x =+，Rt EFH △中，由勾股定理得222FH EF EH =+，即()222210x x +=+，解得24x =．∴该河的宽度EH 为24米．故选：D ．2．《九章算术》是古代数学著作，书中记载：“今有开门去阃（读kǔn ，门槛）一尺，不合二寸，问：门广几何？”题目大意是如图①、图②（图②为图①的俯视示意图），今推开双门，门框上点C 和点D 到门槛AB 的距离DE 为1尺（1尺10=寸），双门间的缝隙CD 为2寸，则门宽AB 的长是 寸．【答案】1013．为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“测量隧道长度”的项目式学习活动．项目主题测量隧道的长度AB 测量工具测角仪、测距仪等测量示意图 数据说明90ACB ABC Ð+Ð=°，750BC =米，210AC =米特别说明测量过程中注意保障人身安全！请你根据以上测量结果，计算隧道的长度AB ．题型08 求台阶上地毯长度1．如图，要为一段高为5米， 长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长度至少为（ ）A ．18米B ．17 米C ．13米D ．12米∴地毯的长度至少是12517+=米．故选B．2．某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则地毯的长为m，购买这种地毯至少需要元．(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？【答案】(1)每一级台阶的高为2分米．题型09 判断汽车是否超速1．如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点A知道校车自点B处沿x轴向原点O方向匀速驶来，她立即从A处搭一辆出租车，去截汽车．若点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（8，0），汽车行驶速度与出租车相同，则小蓓最快截住汽车的坐标为（ ）A．（3，0）B．（3.5，0）C．（174，0）D．（5，0）【答案】C【分析】在D点小蓓与汽车相遇，则小蓓的行进路线为AD，设OD＝x，在直角△ACD中，AD为斜边，已知AC，CD，即可求AD，且BC＝OB﹣OC＝8，根据BD＝AD的等量关系可以求得x，即可求相遇点D的坐标．【详解】解：作出题目中给出的图形：已知AC＝3，OC＝2，OB＝8，在D点小蓓与汽车相遇，设OD＝x，则CD＝x﹣2，的C 处，过了5s 后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m ，则这辆小汽车的速度是 m /s ．建成通车，在该路段MN 限速5m/s ，为了检测车辆是否超速，在公路MN 旁设立了观测点C ，从观点C 测得一小车从点A 到达点B 行驶了10s ．若测得45CAN Ð=°，60CBN Ð=°，100m BC =．此车超速了吗？请说明理由．∴小车平均速度(5031010AB ==而()5315-<∴此车没有超速．题型10 判断是否受台风影响1．如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交会，公路PQ 上点A 距离点O 是270m ，与MN 这条铁路的距离是200m ．如果火车行驶时，周围250m 以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72km /h 的速度行驶时，点A 处受噪音影响的时间是（ ）A ．15秒B ．13.5秒C ．12.5秒D ．10秒∵公路PQ 上点A 距离点O 是270m ∴200m AC =，∵250m AB AD ==，∴由勾股定理得：2BC AB =400m BC =，500m AB =，已知距离火车250m 以内会受到噪音的影响．（1）学校C 到铁路AB 的距离是 m ．（2）火车在AB 路段行驶时，学校C 受到火车噪音影响的时间是 min ．（3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（10min t £），那么其行驶速度至少应增加到m /min ．∵300m AC =，400m BC =，AB =∴222AB AC BC =+，∴ABC V 是直角三角形，∴1122ABC S AC BC AB CD =×=×V ，即当250m CE CF ==时，正好影响学校，极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，^时，A点到B，C两点的距离分别为500km和300km，以台风中心为圆心周围250km以内为受当AC BC影响区域．(1)求BC；(2)海港C受台风影响吗？为什么？(3)若台风的速度为35km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？（3）解：当250km EC =，FC ()2270km ED EC CD =-=Q ，140km EF \=，Q 题型11 选址使两地距离相等1．如图，高速公路上有A 、B 两点相距10km ，C 、D 为两村庄，已知4DA km =，6CB km =．DA AB ^于A ，CB AB ^于B ，现要在AB 上建一个服务站E ，使得C 、D 两村庄到E 站的距离相等，则EA 的长是（ ）km ．A ．4B ．5C ．6D 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是本题的关键．根据题意设出BE 的长为xkm ，再由勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：设BE x =，则()10AE x km =-，由勾股定理得：在Rt ADE V 中，222224(10)DE AD AE x =+=+-，在Rt BCE V 中，222226CE BC BE x =+=+，由题意可知：DE CE =，所以：222264(10)x x +=+-，解得：4x km =．所以，EB 的长是4km ．所以，()1046EA km =-=．故选：C ．2．如图，在笔直的铁路上A ，B 两点相距20km ，C 、D 为两村庄，8km DA =，14km CB =，DA AB ^于点A ，CB AB ^于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，求AE = km ．8km DA =，6km CB =．现在要在公路AB 上建一个土特产产品收购站E ，使得C ，D 两商场到E 站的距离相等，(1)求E 站应建在离A 点多少km 处？(2)若某人从商场D以5km/h的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？题型12 最短路径问题、和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，1．如图是一块长、宽、高分别是6cm4cm沿着长方体的表面到长方体上和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A ．(3cm +BCD 但有三种情况：当：3AD =，4610DB =+=．22310109cm AB =+=．当4=AD ，639DB =+=．97cm AB =．此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿2cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到达内壁B 处的最短距离为 cm ．3．【问题背景】如图一条步道．为了提升公园内人与自然的和谐品质，尽量避免人类活动影响鸟类生活，现对步道进行升级改造，要求步道离小岛至少40米．为了测得步道离岛的距离，施工人员计划实施如下方案：如图2，记小岛为点P ，首先在笔直的步道1l 上找一处A （1AP l ^），一工人沿步道1l 从点A 出发直走80米到达B 处，又继续前行80米到达点C 处，接着从C 处沿与步道1l 垂直的方向行走，当到达D 处时，P 、B 、D 刚好在同一直线上，最后工人测得CD 的长为75米．请根据以上信息，回答下面的问题：【问题探究】（1）求小岛离步道1l 的垂直距离PA ．【问题拓展】（2）在第（1）问的条件下，如图3，有相邻的另一条笔直步道2l ，小岛P 到2l 的距离PM a =米，点A 到L ₂的距离()80AN a =-米，在MN 之间有一任意点E ，当PE AE +的最小值为100米时，①MN = 米（直接写出结果）．②为了避免人类活动影响鸟类生活，请问步道2l 是否符合要求？请用学过的数学知识说明原因．【方法迁移】（3）若将x ，3x -，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造适当的几何图形求代数式的最小值为 （直接写出）．过Q 作2QH l ∥交AN 的延长线于∵2PM l ^，PM MQ =即2l 垂直平分PE EQ \=，PE AE QE AE AQ \+=+³，当A 、Q 、E 三点共线时PE +即100AQ =米∵2AN l ^，2QH l ∥AN QH \^即90AHQ Ð=°，MNHQ1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 3dm 2dm 、、．A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为（ ）A B ．20dm C ．25dm D ．35dm【答案】C 【分析】本题的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm ，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ，由勾股定理得：()22222023325x éù=++´=ëû，解得：()25dm x =．故选：C ．2．如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm 的点M 处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm 的点N 处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm ，长为15cm ，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（ ）A ．5cmB ．4cmC ．D ．15cm 由题意得：2cm AM BC ==，BD =∴()1155218cm CN =+-=，而成，如图，在ABD △中，,AB AD AE BD =^，若10,6BC CD ==，则22AC AD -的值为（ ）A ．16B ．24C ．32D ．60【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平方差公式的应用，先证明DE BE =，222AD AE DE =+，222AC AE CE =+，再结合平方差公式可得答案；【详解】解：∵,AB AD AE BD =^，∴DE BE =，222AD AE DE =+，222AC AE CE =+，∴2222AC AD CE DE -=-()()CE DE CE DE =+-()CE BE CD=+×BC CD=×∵10,6BC CD ==，∴2210660AC AD ´-==；故选D4．勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B 离地的垂直高度0.8m BE =，将它往前推3m 至C 处时(即水平距离3m CD =)，踏板离地的垂直高度2.6m CF =，它的绳索始终拉直，则绳索AC 的长是（ ）A ．3.4mB ．3.6mC ．3.8mD ．4.2m【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．由题意可知， 2.6m DE CF ==，0.8m BE =，3m CD =，设m AB AC x ==，根据勾股定理列方程求解即可．【详解】解：由题意可知， 2.6m DE CF ==，0.8m BE =，3m CD =，1.8m BD \=，设m AB AC x ==，则()1.8m AD x =-，由勾股定理得：222AD CD AC +=，()2221.83x x \-+=，解得： 3.4x =，即绳索AC 的长是3.4m ，故：A ．5．如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是9cm ，内壁高为12cm ．将一根长18cm 的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为cm a ，则a 的取值范围是（ ）A ．912a <<B ．612a ££C ．39a <<D ．36a ££置时，露在水面上的鱼线B C ¢¢长为2米，则CC ¢的长为（ ）A ．1米B ．2)-米CD ．2)米走两步后的落点与出发点间的最远距离为．走两步后的落点与出发点间的最远距离的点为故答案为：25．8．如图，圆柱的底面周长是10cm之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为．【答案】13cm/13厘米【分析】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题，将圆柱体展开，利用勾股定理求出最短路径的长即可．【详解】解：把圆柱沿母线展开，点B展开后的对应点为B¢，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AB¢，如图所示：由题意，得：12cm,AC =在Rt ACB ¢△中，由勾股定理，得：故答案为：13cm ．A 的北偏东方向上，距离为13海里，岛B 和岛C 之间的距离为5海里，则岛B 在岛C 的北偏西 方向上.【答案】52°/52度【分析】本题主要考查了方向角、勾股定理的逆定理，平行线的性质，关键是根据勾股定理的逆定理得90ABC Ð=°．先根据勾股定理的逆定理得90ABC Ð=°，再根据方向角的定义和平行线的性质计算即可．【详解】解：如图，过点C 作CF EB∥12AB =Q 海里，13AC =海里，5BC =海里，222AB BC AC \+=，90ABC \Ð=°，38BAD Ð=°Q ，AD BE P ，38ABE BAD \Ð=Ð=°，52CBE \Ð=°，∵BE CF ∥，52BCF CBE \Ð=Ð=°，\岛B 在岛C 的北偏西52°方向上．故答案为：52°．10．在笔直的铁路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，10km DA =，15km CB =，DA AB ^于A ，CB AB ^于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等．则E 应建在距A km ．【答案】15【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．利用DE CE =，再结合勾股定理求出即可．【详解】解：设km AE x =，则25km ()=-BE x ，DE CE =Q ，2222AD AE BE BC \+=+，故222210(25)15x x +=-+，解得；15x =．故答案为：15．11．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 cm ．【答案】13【分析】本题考查了最短路径问题，将圆柱侧面展开，作出点A 关于EF 的对称点A ¢，根据两点之间线段最短可知A B ¢的长度即为所求，利用勾股定理求出A B ¢即可求解，利用轴对称找到蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是解题的关键．12．如图1是一种伸缩式的鞋架，它有平放和斜放两种使用方式．鞋架每侧有O ，P ，Q 为各支架的中点．鞋架平放得图2，面板BH 的长为24cm ，此时鞋架高度为54cm ，则支架AD 的长为 cm ；鞋架斜放得图3，此时调节杆AL 的端点L 正好卡在面板BH 的调节孔点G 处，13cm AL =，10cm HG =，60AOB Ð=°，则鞋架最高点H 到地面MN 的距离是cm ．\5469OK =¸=，22AO AK OK \=+22129=+15=，230AD AO \==（如图，连接AB ，过Q ALB \V 是等边三角形，60LBA \Ð=°，30RHB \Ð=°，12RB HB \=()110132=+232=，2HR HB RB \=-3RB =米），且绳索保持拉直的状态，求此时木马上升的高度．由题意得：AC△中，由勾股定理得：在Rt ACF2AF AC=-=-则BF AB即木马上升的高度为正前方60m处的C点，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100m．(1)求B，C间的距离．(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【答案】(1)梯子顶端距离地面的高度为24米(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米【分析】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键．（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度；（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离．习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE ，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD 的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．(1)求风筝的垂直高度CE ；(2)如果小明想风筝沿CD 方向下降12米，则他应该往回收线多少米？【答案】(1)风筝的高度CE 为21.6米；(2)他应该往回收线8米．【分析】本题考查了勾股定理的应用；（1）利用勾股定理求出CD 的长，再加上DE 的长度，即可求出CE 的高度；（2）根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）解：在Rt CDB △中，由勾股定理得，222222515400CD BC BD =-=-=，所以，20CD =（负值舍去），所以，20 1.621.6CE CD DE =+=+=（米)，答：风筝的高度CE 为21.6米；（2）解：由题意得，12CM =，\22BM DM BD \=+2517BC BM \-=-=\他应该往回收线8米．17．在一条东西走向的河流一侧有一村庄由C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D （,,A D B 在同一条直线上），并新修一条路CD ，测得 6.5CB =千米，6CD =千米， 2.5BD =千米．(1)求CDB Ð的度数；(2)求原来的路线AC 的长．【答案】(1)90°(2)8.45千米【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．（1）利用勾股定理的逆定理推导BCD △为直角三角形，即可获得答案；（2）设AB AC x ==，则 2.5AD x =-，在Rt ACD △中，利用勾股定理解得x 的值，即可获得答案．【详解】（1）解：根据题意，可知 6.5CB =千米，6CD =千米， 2.5BD =千米，∵22222.5642.25BD CD +=+=，226.542.25CB ==，∴222BD CD CB +=，∴BCD △为直角三角形，90CDB Ð=°；（2）由（1）可知，90CDB Ð=°，即CD AB ^，设AB AC x ==，则 2.5AD AB BD x =-=-，在Rt ACD △中，可有222AD CD AC +=，后再沿北偏西30°方向走了500米到达目的地C 点．(1)判断ABC V 的形状；(2)求A 、C 两点之间的距离；(3)确定目的地C 在营地A 的什么方向．【答案】(1)ABC V 的形状是直角三角形，(2)A 、C 两点之间的距离是1000米；(3)目的地C 在营地A 的北偏东30°方向上．【分析】（1）求出FBC Ð，根据平角的定义求出CBA Ð即可；（2）根据勾股定理求出AC 即可；（3）根据1000AC =，500BC =，求出30CAB Ð=°即可．【详解】（1）解：ABC V 的形状是直角三角形，理由是：EF AD ∥，60EBA DAB \Ð=Ð=°，Q ∴15002BG AG CG AC ====∴BCG V 是等边三角形，∴60ACB Ð=°，∴30CAB Ð=°，6030DAC DAB CAB Ð=Ð-Ð=°-即目的地C 在营地A 的北偏东【点睛】本题综合考查了勾股定理，等边三角形的判定和性质，方向角，两点之间的距离等知识点，关键。
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5.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为
6.以直角三角形的两直角边为边长向外作正方形，所作的正方形的面积分别为9和16，则直角三角形的斜边长为
7.如图所示是某机械零件的一个平面图形，尺寸如图所示，则两孔之间的距离是（ ）
(A)39（B）42 (C) 45(D) 60
新密市实验初中八年级数学导学案
年级
课题
主备人
日期
编号
八年级(上)
探索勾股定理（2）
于会霞徐丽娜
2012、8
2
教学
目标
知识与技能
1、经历运用外补、内补拼图及梯形三种方法利用面积法说明勾股定理的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。
2.掌握勾股定理和他的简单应用。
过程与方法
情 感 态 度
三、目标检测
1.如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M,O,Q三城市的沿江高速的建设成本是100万元∕千米，该沿江高速的造价是多少？
2.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？
教学过程
备注（教后记）
3.
2．动手拼图利用面积法来验证勾股定理：
（1）准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c）；
（2）你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？拼一拼试试看，那么在你拼的正方形中是否含有以斜边c为边长的正方形？
二、新课探究
利用面积法验证勾股定理的三种拼图方法：
方法一：方法二：
大正方形的面积可以表示为，大正方形的面积可以表示为，
与 价 值 观
教学目标达成
人人掌握（A）
掌握勾股定理和他的简单应用
部分人掌握(B)
运用拼图的方法说明勾股定理的过程
渗透(C)
数学建模思想、数形结合的思想
教材
分析
教学重点
能熟练运用拼图的方法证明勾股定理
教学难点
用面积法证勾股定理
相关链接
图形的割补
教学过程
备注（教后记）
一、课堂导入
1.上节课我们通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系（即勾股定理），那么勾股定理的内容是什么呢？
也可以表示为也可以表示为
方法三：
梯形的面积可以表示为，
也可以表示为
教学过程
备注（教后记）
例1：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩5000米，飞机每小时飞行多少千米？
分析：把实际问题转化为数学问题，把实物抽象为几何图形，在此题中，应把小王和飞机看成一个点，距离看成是线段，你能画出图形吗？请你写出解题过程：
8.有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将ABC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长
9、下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积
四、课堂小结
1、会用三种拼图方法利用面积法验证勾股定理；
2、应用勾股定理解决简单的实际问题。