幻方的制作方法
【免费下载】罗伯法幻方
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
五阶幻方Word版
幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个3×3三阶幻方的格内9根据上面的三阶幻方，用25个数构成一个五阶幻方。
（提示：如果把和相等的每一组数分别连线，这些连线段会构成一个怎样的图形？这个图形有什么样的特点？）答案:【奥数】三、四、五阶幻方的解法[ 2010-8-2 14:01:00 | By: 风飒飒雨潇潇 ]三阶幻方的解法第一种：杨辉法：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。
12 43 5 76 892 9 47 5 36 1 8第二种：九宫图也是幻方的别称，三阶幻方就是著名的洛书，他的排列是：：“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央（9在上中，1在下中。
3在左中，7在右中，2在左上，4在右上，6在左下，8在右下）第三种：罗伯法：最小的数据上行中央，依次向右上方斜填，上出框往下写，右出框往左填，排重便在下格填，右上排重一个样8 1 63 5 74 9 2四阶幻方的解法1、先把这16个数字按顺序从小到到排成一个4乘4的方阵2、内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换16 2 3 135 11 10 89 7 6 124 14 15 1另：对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。
因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。
然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
五阶幻方的解法：罗伯法：最小的数据上行中央，依次向右上方斜填，上出框往下写，右出框往左填，排重便在下格填，右上排重一个样。
17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9（在最上一行的中间填1,接着在1的右上方填2,由于1在最上一行,所以1的右上方应该是第五行的第四个,接下来在2的右上方填3,3的右上方应该是第三行第一个,所以在此填4,在4的右上方填5, 在5的下方填6,接着按前面五个数的填法依次填7,8,9,10;在10的下方填11,然后按上面的方法填,每次填五个数,直到完成.无论从上到下还是从左到右都是五排,所以每排的五个数之和为(1+2+3+4+…+25)÷5=65,因此,你可以验算一下是否每个和都是65.此法适合于一切奇阶幻方.）。
利用excel制作可变的双偶幻方
双偶幻方和excel所谓幻方，也叫纵横图，就是在n×n的方阵中，放入从某个自然数开始的n平方个自然数；在一定的布局下，其各行、各列和两条对角线上的数字之和正好都相等，这个和数就叫“幻和”。
幻方分为奇幻方（2K+1，K为非零自然数）和偶幻方，偶幻方又分为单偶幻方（4K+2，K为非零自然数）和双偶幻方（4K，K为非零自然数）。
由于幻方具有奇特性质，几千年来吸引着许多数学家和数学爱好者的兴趣，填幻方也是广大中小学生非常喜欢的一项数学游戏活动，但是由于幻方计算量大，制作繁琐，一定程度上制约给广大数学爱好者对幻方的探索。
Excel是微软公司出品的Office系列办公软件中的一个组件，是一个电子表格软件，可以用来制作电子表格、完成许多复杂的数据运算，进行数据的分析和预测并且具有强大的制作图表的功能。
excel的应用给广大中小学数学爱好者探索幻方奥秘带来了极大的方便，为进一步探索幻方提供了保障。
让我一起随着excel遨游、探索神奇的幻方世界，启迪思想、开阔视野，锻炼思维能力。
双偶幻方双偶幻方：n=4K，K为非零自然数，这样的方阵叫做双偶幻方。
双偶幻方有很多种填法，对称交换法是其中的一种填法：一个重要的概念互补：如果两个数字的和，等于幻方中最大数与最小数的和，称为互补。
当K=1时，n=4，就叫做4阶幻方，当K=2时，n=8，就叫做8阶幻方，当K=3时，n=12，就叫做12阶幻方……对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。
因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。
然后把每个小方阵的对角线上单元格内的数字，用幻方中最大数与最小数的和减这个单元格里的数，换成互补的数字，就构成幻方。
第一课时4阶幻方4阶幻方在excel中快速的填法把1至16这16个连续自然数分别填入excel中4乘4的方格中，使得第行每列每条对角线的和都相等。
●写数：将数字从左到右、从上到下按顺序填写，操作过程如下图。
幻方
线性代数一个简单的应用制作人：王德昌（1352933）,赵世雨（1352912）,秦启睿（1352915）幻方是在一个n*n的方阵中填入1到n^2这n^2个数，每个数字只用一次，使得行数字之和、列数字之和及对角线上数字之和相等的方阵。
下面我们给出一个解奇数阶方阵的办法假设一个矩阵的集合T，该集合中的元素是行数字之和、列数字之和及对角线上数字之和相等的n阶方阵。
如（e，e，e，e，e）（e=（1 1 1 1 1）的转置）就是一个T中的元素。
对于T中的任意元素A，B，有A+B∈T 且a*A∈T（a属于R）。
所以T对加法和数乘是封闭的。
进而可以验证T是线性空间。
对于1到n^2这n^2个数，每个数字可以写成x=n*q+r，其中q是x除以n的商，r是余数。
显然余数r的取值范围是0到n-1。
把这r所取得n个数值放在一行中组成一个向量b。
可以找到一个A∈T的，且A中每一行只有不重复的0到n-1，每一列只有不重复的0到n-1，对角线上只有不重复的0到n-1。
一般A的阶数不是3的倍数时可以用0到n-1依次向左移2位（移除部分放在最前面）的方法得到，如A=（01234）（34012）（12340）（40123）（23401）。
对于移位得到的A可以以（n+1）/2列为对称轴做对称变化的方法得到一个B（显然B ∈T）。
使得在A中取值相等的地方（如n个0的位置）对应于B中的位置取值不相同。
这是因为A中同一个值（如n个0的位置）的位置关于（n+1）/2列对称的位置的值是n个不同的值。
这样，对于同一个位置，我们可以把A中的数作为商，B中的数作为余数。
这样得到的线性组合n*A+B∈T，并且由0到n^2-1这n^2 个不同的整数组成. 再加上T中的全部由1组成的方阵H就得由1 到n^2个的整数组成的幻方了，及n*A+B+H为需幻方。
下面我们以一个五阶幻方作为例子说明上述过程得到A=5*A+B=。
幻方的认识和填写方法
n阶幻方幻方，亦称纵横图。
台湾称为魔术方阵。
将自然数1，2，3，……n*n排列成一个n*n方使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于n/2*(n*n+1)，这样的方阵称为幻方。
一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方，记n阶幻方的对角线上数的和为N,则例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：每行、每列、两条对角线的和是15。
n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。
n/2*(n*n+1)为幻方的变幻常数。
数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。
目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。
这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。
1、奇数阶幻方n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯方)。
填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数：(1)、每一个数放在前一个数的右上一格；(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。
这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。
2、双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义：互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：这个方阵的对角线，已经用蓝色标出。
幻方填入规律
幻方，亦称纵横图。
台湾称为魔术方阵。
将自然数1，2，3，……n*n排列成一个n*n 方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于n/2*(n*n+1)，这样的方阵称为幻方。
例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：每行、每列、两条对角线的和是15。
n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。
n/2*(n*n+1)为幻方的变幻常数。
数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。
目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。
这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。
1、奇数阶幻方n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。
填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数：(1)、每一个数放在前一个数的右上一格；(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。
这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。
2、双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义：互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：将对角线上的数字，换成与它互补的数字。
这里，n*n+1 = 4*4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。
幻方填写方法
没法，组合数学还考幻方构造。
这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。
按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：17241815235714164613202210121921311182529双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：12345678910111213141516内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
16231351110897612414151对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
(完整版)幻方解法整理归纳
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等,具有这种性质的图表,称为“幻方"。
我国古代称为“河图”、“洛书"，又叫“纵横图”。
1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例） 奇数阶幻方n 为奇数 (n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1,k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法（也有人称之为楼梯法）。
填写方法是这样: 把1（或最小的数)放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的n×n—1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格;(2）如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4）如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内;（5)如果这个数所要放的格已经有数填入,处理方法同(4）。
这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。
口诀：1居首行正中央， 依次右上莫相忘 上出格时往下放, 右出格时往左放。
排重便往自下放， 右上出格一个样图一2、单偶数阶幻方()122＋＝m n ——分区调换法（如图二:以六阶幻方为例）① 把()122＋＝m n 阶的幻方均分成4个同样的小幻方A 、B 、C 、D(如图二）图二(注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变，因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方） ② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方,同理，在B 中填入()2221a a ——＋、在C 中填入()22312aa ——＋、在D 中填入()22413a a ——＋均构成幻方(2na ＝）(如图三）图三(因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方） ③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调(如图四）：图四不管是几阶幻方,在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6＝n 时,1＝m ，所以本例中只取了一个数)④ 在A 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调。
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奇数阶幻方，偶数阶幻方，六阶幻方的制作方法
罗伯法（适合编制所有的奇阶幻方）
一居上行正中央，依次斜填切莫忘，
上出格时往下填，右出格时左边放，
排重便在下格填，角上出格一个样。
六阶幻方，具体的做是：
偶阶幻方分两类:双偶数阶幻方和单偶数阶幻方
双偶数:四阶幻方，八阶幻方，……4K阶幻方，
可用<对称交换法>，方法很简单:
1) 把自然数依次排成方阵
2) 把幻方划成4×4的小区，每个小区划对角线
3) 把这些对角线所划到的数，保持不动
4) 把没划到的数,按幻方的中心，以中心对称的方式，进行对调
幻方完成！
单偶数:六阶幻方，十阶幻方，……4K+2阶幻方
方法是很繁的,有一种称<同心方阵法>:
1) 把幻方分成两个区：一是边框一圈；二是里面一个双偶数方阵,
2) 把(3+8K)到(16K2 +8K+2)按双偶数幻方方法填入双偶数方阵
3) 把余下的数，在边上试填，调整到符合为止
六阶幻方（4×1＋2，k＝1）就是把11～26填入中间4×4方格中
传说在很久很久以前，黄河里跃起一匹龙马，马背上驮着一幅图；洛水里也浮出一只神龟，龟背上也驮着一幅图。
这两幅图上都用圆点来表示一组数字，马背上的那幅称为“河图”，龟背上的那幅称为“洛书”。
（参见图1）再后来，经过人们研究，发现图中右边的那幅“洛书”，其实是一幅纵横
图，即用1到9这9个数字组成一幅数字图，使它横的每行相加、竖的每列相加以及对角线相加，其和都等于15（参见图2）。
我们知道，纵横图就是今天所说的“幻方”，一般地，是指把从1到十的自然数排成纵横各有m 个数，并且使同行、同列及同一对角线上的n个数的和都相等的一种方阵，其中涉及的是组合数学的问题。
而前面所说的“洛书”，就是我国最早的一个三阶幻方。
图1 河图洛书图2 纵横图
长期以来，纵横图一直被看作是一种数字游戏。
一直到南宋时期的数学家杨辉，才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。
杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中，不仅搜集到了大量的各种类型的纵横图，而且对其中的部分纵横图还给出了如何构造的规则和方法，从而开创了这一组合数学研究的新领域。
杨辉给出的方形纵横图共有十三幅，它们是：洛书数（三阶幻方）一幅，四四图（四阶幻方）两幅，五五图（五阶幻方）两幅，六六图（六阶幻方）两幅，七七图（七阶幻方）两幅，六十四图（八阶幻方）两幅，九
九图（九阶幻方）一幅，百子图（十阶幻方）一幅（参见图3）。
其中还给出了“洛书数”和“四四阴图”的构造方法。
如“洛书数”的构造方法为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。
(参见图4)
图3 图4
单偶阶（10阶、6阶）幻方制作方法
单偶阶幻方：n为偶数，且不能被4整除(n=6，10，14，18，22……) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5……)。
这是奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方三种幻方里面最复杂的幻方。
以n=10为例。
这时，k=2。
（1）把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。
用罗伯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。
（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k 格。
A象限的其它行则标出最左边的k格。
将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。
（3）在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k－1列。
(注：6阶幻方由于k－1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)，将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。
下面是6阶幻方的填法：
看起来很麻烦，其实掌握了方法就很简单了。