灾区物资分配模型

《数学模型》课程结业论文灾区物资分配模型任务书[要求]1、将所给的问题翻译成汉语；2、给论文起个题目（名字或标题）3、根据任务来完成数学模型论文；4、论文书写格式要求按给定要求书写；5、态度要认真，要独立思考，独立完成任务；6、论文上交时间：6月1日前（要求交纸质论文和电子文档）。

7、严禁抄袭行为，若发现抄袭，则成绩记为“不及格”。

[任务]某一灾区有N名受灾群众，现有一批救灾物资要发放给这些受灾者。

物资共有M种，每种物资的数量有限；各受灾者的灾情不同，对每种物资的急需程度和需求量不同。

(1)你作为一名物资分配者，请制定分配原则并给出合理的分配方法。

(2)试给出一个符合题意的数值算例。

成绩评定单评语：成绩任课教师签字年月日摘要摘要在各种各样的抢险救灾行动中，应急物资的合理分配在降低灾害的影响方面体现出重要作用。

我们通过对问题的深入理解和分析，将问题归结为非线性规划问题。

我们首先确立了通过合理优化救灾物资的分配使其能最大限度降低灾害的影响为根本分配原则。

接着我们根据不同物资在维持灾民正常生活中所起到的作用大小不同划定了各物资的优先级，给定了适当的权重；接着综合考虑各个灾民所缺物资的数量、种类、供给量及物资的权重，确定了不同灾民受灾程度的判定标准；随后对受灾情况和物质分配情况进行了矩阵描述。

在此基础上我们用救灾效果表示整个救灾过程使灾情降低的程度，并假设每分配出一个最小单位的救灾物资就相应产生一定量的救灾效果，最终整体救灾效果为它们之和。

我们又进一步假设每个最小单位救灾物资产生的救灾效果与分配物资的权重、分配给的灾民受灾程度正相关，得到了基本的数学模型：单位物资救灾效果 = 该物资权重×分配给灾民的受灾程度最终救灾效果 = 单位物资救灾效果求和模型的约束条件由各种物资的数量有限得到。

我们以最大限度减小灾害影响为分配原则，即最大限度增强最终救灾效果，在此抽象为求解最终救灾效果在约束条件下的最大值。

其对应的最优解即为最佳分配方案。

在模型求解中，我们本着最大程度地发挥各种物资效用的原则，按照物资的优先级从高到低逐一对物资进行了分配。

在具体分配某一物资时，首先求得分配结果与产生的救灾效果的函数，继而简化为有约束的多元函数最值问题，并分别采用了MATLAB程序解法和拉格朗日乘数法。

紧接着我们给出了一个具体灾情，并用量化后的模型求出最优解，通过对结果的分析研究讨论了模型的合理性。

最后，我们对模型的优缺点进行了讨论，并提出了模型的改进方案，并且对模型的实际应用做了推广。

关键词：物资分配；灾情应急;应急物资；最优分配。

目录一、问题提出 (1)二、模型建设 (1)三、模型建立 (1)四、模型求解 (4)五、结果 (8)六、结果分析与检验 (9)七、优缺点分析 (9)参考文献 (10)附录 (11)一、问题提出某一灾区有N名受灾群众，现有一批救灾物资要发放给这些受灾者。

物资共有M种，每种物资的数量有限；各受灾者的灾情不同，对每种物资的急需程度和需求量不同。

(1)你作为一名物资分配者，请制定分配原则并给出合理的分配方法。

(2)试给出一个符合题意的数值算例。

二、模型建设(1)所有物资对降低灾害的贡献取决于每单位物资贡献之和。

(2)每单位物资对降低灾害的贡献与该物资的作用大小正相关。

(3)每单位物资对降低灾害的贡献与得到该物资灾民的灾情大小正相关。

(4)每种物资的供给均小于需求。

三、模型建立3.1物资需求状况的描述：某地区遭受灾害的一种表现形式为该地区灾民的各种生活物资出现了不同程度的短缺。

为了描述灾情即各个灾民缺少各种物资的量，我们建立了N×M型矩阵A：11121211M N NM t t t t A t t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………………………，其中ij t 表示灾民i p 缺少物资j M的量。

A 中数据由物资分配者通过对灾情的调查得到，均为非负常数。

其中A 的行向量i a 表示灾民i p 对不同物资的需求量。

A 的列向量j b 表示整个灾区对物资j M 的需求量情况。

3.2物资权重的说明：由于不同物资在维持灾民正常生活中的作用不同，相同量的不同物资在减轻灾害的效用上不同。

为表征物资的这一特性，我们首先将物资化分为四大类，并为其评定了优先级。

根据物资j M 所属大类及其优先级，按优先级与权重正相关的原则，给于物资j M 合理的权重j π，规定1>j π>0。

3.3受灾程度的评定：为表征不同灾民受灾严重程度的大小不同，引入函数i J 表示灾民i p 的受灾程度。

受灾程度取决于短缺物资的种类和数量，同时受灾程度也与供给物资总量有关，当物资充足，受灾程度就相应较小。

假设某一时刻灾民i p 已分到各物资的量为12i i im x x x 、……， 我们定义这一时刻i J 为：1()Mi j ij ij j J t x λ==-∑ ， (/)j j j S λπ=3.4分配方案的描述：为了说明某一时刻分配出去物资的情况，建立了N ×M 型矩阵B ：11121211M ij N NM x x x x B x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦………………………这里ij x 表示该时刻已分配给灾民i p 物资jM的数量。

其中B 的行向量i c 表示该时刻灾民i p 已分配到各种物资的数量，B 的列向量j d 表示该时刻已分配出物资j M 的情况。

3.5目标函数说明：设函数y 表示最终救灾效果，则目标函数为 max y ，（1）设物资j M 的第k 个单位量分配给灾民i p 之后产生的救灾效果为,,i j k y 。

则由假设2和3可得(),,11i j k j i y J k λ=⨯⨯-。

（2）当物资j M 分配该灾民i p 的数量为ij x 时，物资j M 在灾民i p 上产生的救灾效果之和为,,,,1ijx i j i j kk y y ==∑。

（3）物资j M 全部分完后在所有灾民中产生的救灾效果之和为(),,,111111ijijx x N NNj i j i j k j i i i k i k y y y J k λ========⨯⨯∑∑∑∑∑（4）所有种物资分配完后，得到最终救灾效果为：1Mj j y y ==∑从而()11111ijx MNj I j i k y J k λ====⨯⨯-∑∑∑目标函数进一步表示为：()111max 11ijx M Nj I j i k J k λ===⨯⨯-∑∑∑3.6约束条件：本题约束条件为：各种物资的数量有限，即物资j M 的分配总量不大于其给供给总量i S ，通过3.4中矩阵B 的列向量j d ，可将约束条件表述为:1Nijj i xS =≤∑同时附加一约束条件：灾民i p 得到物资j M 的量不大于其需求总量ij t ，即：ijx ≤ij t 。

四、模型求解根据不同物资的优先级，对物资进行排序。

考虑到实际救灾中必须优先对关键性物资进行分配，我们按物资的优先级从大到小进行排序，之后再逐一对每种物资进行分配。

不妨设排序后物资先后顺序为12M M M M 、……按排序后的物资12M M M M 、……的顺序逐种进行分配，假设已分配了1j -种，现给出第种j 物资的分配方法：（1）设前1j -种物资分配情况为矩阵B ’：111,1212,11,1''00''0'''00j j N N j x x x x B x x ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦……………………0?…………0?…………0?……… 用A ’表示此时各种灾民物资短缺情况则有111112211,11,11,1,121212,12,12,2,1'''''''j j jj j j j j t x t x t x t t t x t x t t A A B --+--+---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………………………………………………………………… （2）设对j M 的分配方案为12Tj jjNj d x x x ⎡⎤=⎣⎦…，即灾民i p 分到物资j M 的数量为ij x 。

未分j M 时，灾民i p 的受灾程度为：()()()()()()111222,1,11,,11,1,,,,11,1,,,110'''i i i i i i j i j j i j j i j j i M Mj Mi k i k k i k ki j jk k j i j jj M i k i k k i k k k k j J t x t x tx t t t t x tt a t a t x t λπλλλλλλλλλλλ---++-==+-==+=-+-++-++++=-++=+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑…………当灾民i p 得到1个单位物资j M 时，产生救灾效果为：2,,11(0)()i j i j j ij j j j ijy J a t a t πππππ=⨯⨯=+=+此时，由于i p 得到一个单位j M ，i J 发生变化；当i p 再得到一个单位j M 时，产生救灾效果为：2,,21(1)[(1)](1)i j i j j ij j j j ij y J a t a t πππππ=⨯⨯=+-=+-以此类推，当得到第ij x 个单位jM时，产生救灾效果为：2,,,,(1)ij i j x j j i j i j y a t x ππ=+-+综上，当i p 分到j M 的数量为ij x 时，产生的救灾效果之和为：2,,,,11[(1)]ijijx x i j i j k j j ij k k y y a t k ππ====++-∑∑222()(1)/2ij j j ij j j ij ij x a t x x λλλλ=++-+所以最终,1Nj i j i y y ==∑ 。

即当只针对j M 进行分配时目标函数为：1max max Nj ij i y y ==∑约束条件为：1Nijji x S =≤∑（3）MATLAB 程序直接求解在分物资j M 时，目标函数为关于1,2,1,,,......j j i j i j x x x x -的N 元二次函数，约束条件为1Nijji x S =≤∑。

此时可直接利用MATLAB 程序求出最优解。

（4）利用拉个朗日乘数法继续化简 引入变量λ，对方程22211()(1)/2()0NNij jj ijjj ijij ij j i i x a t x x x S λλλλλ==++-++-=∑∑两边分别对1,2,1,,,......,j j i j i j x x x x λ-求导，得到由i+1个一次方程组成的方程组。