公平分配模型

一、 题目：基于衰减机制的打分量化分配模型（Scoring Quantitative Allocation Model Based on Attenuation Mechanism ）二、摘要我们建立了一个基于衰减机制的打分量化分配模型来在对不同物品喜好及需求程度不同的参与分配者之间进行物资分配。

首先将物资分类，并定义物资分配的单位。

然后请参与分配者根据自己对每种物资的需求程度为每种物资打分，并标明对每种物资的需求量。

借以刻画每位参与分配者对每种物资需求程度和需求量。

引入衰减系数α(01)α<≤以保证每位参与分配者都能得到每种必需品，防止参与分配者由未得到某种必需品而陷入困境。

需确定一个最佳的衰减系数，从而得到理想的分配结果关键字：衰减系数，打分，物品效用，公平性，生存必需品，非生存必需品AbstractAiming at taking involved allocates with different preference as well as demand into consideration, we establish a Scoring Quantitative Allocation Model Based on Attenuation Mechanism.First, we classify the resource, while define the units of different resources. Then we introduce the "score"s given by allocates due to their demand and label the demand amount of every class of resource in order to represent degree and amount of every class of recourse demanded by every allocatee. A decay function is surely needed to ensure that every allocate can get every class of necessity, avoiding problematic subsistence because of lacking of necessity. However, an ideal result of allocation is determined by a proper decay function.三、项目概述：1、项目成员基本情况指导教师：贺明峰教授2、项目的选题背景、目的与意义随着物质的不断丰富，物资分配的公平性逐渐引起广泛关注，而如何在考虑公平性的同时兼顾个体的喜好及特殊情况更值得探讨。

如地震发生后，受灾群众的个体受灾情况不同，因而对救灾物资的急需程度和需求量不同，合理的分配能够保证每个受灾者的生活必要条件，同时达到物资利用效率最大化。

3、项目实施过程的人员工作分配和完成情况尉馨元：文献检索、模型建立；王宝财：模型建立及求解。

4、项目实施过程收获和体会在合作过程中，增进了团队协作意识，同时加强创新能力培养及论文写作锻炼。

五、项目预期成果完成情况和创新点取得成果：完成论文一篇，同时获得：1、获得2008年东北三省数学建模竞赛辽宁省赛区一等奖2、获第九届“挑战杯”辽宁省大学生课外学术科技作品竞赛三等奖。

创新点：1、引入经济学领域的概念“边际效用递减”来刻画人的心里，在已有的对所有人的共性的认识的基础上，更细腻地考虑每个人的个性，具体问题具体分析，更符合实际，更具有现实意义。

2、算法简单易于实现，同时又能有效地解决物资分配问题。

六、项目说明6.1模型假设1.假设受灾者对于每种物资的需求量总和大于每种救灾物资的数量，救灾物资全部分配给受灾者，没有剩余。

2.假设受灾者都是诚实的，即受灾者对于物品的打分是根据自己的实际情况进行的。

3.假设同种物品是相同的，没有差异。

4.假设受灾者必需的物资是食物和水，我们称之为“生存必需品”，其他物资称为“非生存必需品”。

5. 假设每种生存必需品的数量不少于受灾者的数量。

6.2符号说明N ：受灾人数；M ：救灾物资种数；i P ：第i 名受灾者，其中1,2i N = ； j G ：第j 种救灾物资，其中1,2j M = ； jK ：第j 种救灾物资的数量(以单位计)； 0ijS ：受灾者i P 对物资jG 所打的分数； ij T ：受灾者i P 需要物资j G 的数量(以单位计)； ijR ：受灾者i P 得到物资jG 的数量(以单位计)；W ：物品的总效用；max W ：物品的最大总效用；i W ：受灾者i P 得到的物品分数总和；F ：受灾者之间的不公平度；α：衰减系数，(0<1)α≤；6.3模型建立和求解6.3.1模型建立考虑到现实情况，合理的救灾物资分配方案应满足以下3条原则： 1. 每位受灾者得到每种“生存必需品”的数量至少为1。

2. 尽可能考虑到不同受灾者对每种物资需求量的差异。

3. 尽可能提高物资的总效用。

6..3.2.1物品总效用最大的分配模型由于各受灾者对每种物资的需求程度和需求量不同，所以我们采用打分的机制来考虑不同受灾者的不同需求，我们首先规定每个受灾者拥有100分，然后请每位受灾者根据自己对不同物资的需求程度为这M 种物资打分，分数的高低反映受灾者对这种物资的需求程度，其中0分代表不需要，分数越高代表需求程度越高。

这样，我们就完成了不同受灾者根据自身受灾情况对每种物资的需求程度的量化。

受灾者在给物资打分的同时标明自己对每种物资需求量（以单位计）。

由于我们假设受灾者都是诚实的，所以他们的打分和需求量都是与实际相符合的。

由于不同救灾物资的性质不同，故计量单位难以统一，于是，我们将每种物资以“单位”来计量。

这里“单位”的定义依据物资的可分割性：对于可分的物资，如粥，大米等，我们人为地定义现有可用的量器为一单位，如一碗粥，一千克大米等；对于不可分的物资，如矿泉水，大衣，棉被等，我们自然定义一件或一份为一单位。

将现有的N 名受灾者编号为1P ，2P ，3P ，…，N P ，并将数量有限的这M 种物资编号为1G ，2G ，3G ，…，M G ，设物资j (1,2,...,)G j M =的数量为(1,2,...,)j j K j M K =<<∞个单位，且0，这里单位的定义如上所述。

受灾者i P 对物资j G 所打的分数为00100ij ij S S ≤≤（0），受灾者i P 需要物资j G 的数量为ij T ，于是，我们得到Mj 1100ijS==∑ （1）式中，1,2i N = ,即对于特定的某个受灾者，他对每种救灾物资的打分和固定为100。

根据假设1可以得到Nijj i 1TK =>∑ （2）例1：现有1G ，2G ，3G ，4G 四种物资，有1P ，2P ，3P ，4P ，5P 五位受灾者，即5M =，4N =。

每种物资的数量见（表1），受灾者对每种物资的打分和需求量见（表2）。

（表1）每种物资的数量（表2）每位受灾者对每种物品的打分和需求量（s ，t ）表示受灾者对这种物资的打分是s ，需求量是t 。

对于每种物资我们首先考虑给打分最高的人，当打分最高人得到了这种物资他需要的数量之后，如果物资有剩余，就继续分配给打分第二高的人，依次进行下去，直到这种物资分配完。

分配结果如(表3)：（表3）物资总效用最大的分配结果所有人得分的总和1Ni i W W ==∑其中i W 表示第i 个受灾者得到物品总分数，1190W =，2250W =，3210W =，4230W =，5160W =。

1040W =。

此时W 一定是最大的，没有其他分配方法能使W 更大了，我们定义W 为物资的总效用，此时物资的总效用是最大的，即max 1040W =，也就是物资的利用率是最大的，但是这种分配方法没有考虑到受灾者之间的公平性，只是考虑的整体物资的效用，如果1G 表示的是“生存必需品”，由于2P 没有得到1G ，很可能因此生存不下去，这种情况是绝对不允许的。

我们必须要保证所有受灾者都得到每种“生存必需品”，这样才可以防止某位受灾者因为缺少某种“生存必需品”而死亡。

因此我们引进衰减系数机制，这样可以有效的防止某些受灾者得到某种“生存必需品”很多，而一些受灾者得不到某种“生存必需品”。

6.3.2.2基于衰减机制的物资分配模型对于物品j G ，受灾者P i 对它的打分为0ij S ，需要的数量为ij T ，当P i 得到K 单位物品j G 后他对此物品打的分数将变为K ij S 。

k k ij ijS S α= （α为衰减系数） （3） 物资的具体分配过程如下：1． 对所有受灾者对每种物资的打分按照从高到低排列，对于每种物资首先分配给打分最高的人，此人对此物品的需求量将减少1单位，对此物品的打分也将按照公式（3）进行衰减，如果此人对此物品的需求量减少为零，则其对这种物质的打分变为0，即不再考虑此人参与此种物品的分配。

进入步骤2。

2． 重复步骤1，直到所有救灾物资全部分配完。

以上面例1中物品 1G 为例，具体的分配过程如图1所示，设衰减系数0.7α=。

图1灰色方格表示这一步得到物品，红色箭头 表示得到此物品后打的分数将进行衰减。

受灾者P i 最终得分：110ij R Mk i ijj k W S -===∑∑（4）我们定义不公平度：,1,2,...,F i N =（5） 用它来衡量受灾者之间的公平性，F 越小公平性越大，F 越大公平性越小。

如果衰减系数合适，则可以使受灾者之间的公平性得到了很大提高，可以防止某些受灾者因为没有得到某种“生存必需品”而死亡。

因为引入衰减系数后可以防止打分高的人一直得到，而打分低的人一直得不到。

当衰减系数1α=时，就是上面提到的使物资的总效用最大的分配方案，此时没有衰减。

当衰减系数非常小，例如:0.01α=时，通常情况下此时受分配者之间的公平性将会达到最大，此时相当于平均分配，因为ij S α将会很小，此受灾者只能在其他受灾者都得到了和他同样多的这种物品后他才有可能再得到。

1α=时物资总效用最大，α很小时，受灾者之间不公平度最小，公平性最大，此时类似于平均分配。

但是不公平度并不是越小越好，因为每个受灾者对于每种物品的需求数量是不同的，所以这并不是平均分配。

我们现在要求的就是一个适合的α值，使得分配满足上面提到的3个分配原则。

仍以上面的例1来进行说明，四种物资1G ，2G ，3G ，4G ，五位受灾者1P ，2P ，3P ，4P ，5P ，每种物资的数量见（表1），每位受灾者对于每种物资的打分和需求量见（表2）。