广东省深圳市宝安区2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)

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2020-2021深圳宝安区桥兴学校高中必修一数学上期末试题及答案

2020-2021深圳宝安区桥兴学校高中必修一数学上期末试题及答案一、选择题1．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（）A ．12BC ．2D ．22．设23a log =，b =23c e =，则a b c ，，的大小关系是（） A ．a b c <⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．1eB ．eC ．21e D ．2e5．对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”，则函数33()33x x f x -=+的“上界值”为（）A ．2B ．－2C ．1D ．－16．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（） A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦7．若x 0＝cosx 0，则（）A ．x 0∈（3π，2π） B ．x 0∈（4π，3π） C ．x 0∈（6π，4π） D ．x 0∈（0，6π） 8．函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（） A ．(1)f x +B ．(1)f x -C ．()1f x +D ．()1f x -9．已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩0x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．610．偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]1,0x ∈-时，()cos 12xf x π=-，若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．()3,5B ．()2,4C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭11．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图所示，则点P 所走的图形可能是A ．B ．C ．D ．12．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．0a ≥B ．2a ≥-C ．52a ≥-D ．3a ≥-二、填空题13．若函数()(0,1)xf x a a a =>≠且在[1,2]上的最大值比最小值大2a，则a 的值为____________.14．已知函数()21311log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，()()2ln 21xg x a x x =+++()a R ∈，若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__________．15．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k 、b 为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是小时.16．对数式lg 25﹣lg 22+2lg 6﹣2lg 3＝_____． 17．已知函数()f x 满足：()()1f x f x +=-，当11x -<≤时，()x f x e =，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________. 18．若函数()121xf x a =++是奇函数，则实数a 的值是_________. 19．已知正实数a 满足8(9)aaa a =，则log (3)a a 的值为_____________. 20．已知a ＞b ＞1.若log a b+log b a=52，a b =b a ，则a= ，b= . 三、解答题21．已知函数()(2lg 1x f x x =+.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()()1210f m f m -++≤，求实数m 的取值范围.22．节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32mg/m ,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为31.94mg/m .设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为1r ,则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r ,可由函数模型()0.5001)*(5n p n r r r r p R n N +-∈⋅=-∈，给出,其中n 是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08mg/m ,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. （参考数据:取lg 20.3=）23．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（1）当[]2,4x ∈时，求该函数的值域；（2）求()f x 在区间[]2,t （2t >)上的最小值()g t .24．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同祥强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投人固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210200,040()100008019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-⎪⎩…，由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（Ⅰ）求出2020年的利润()Q x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）；（Ⅱ）2020年产量x 为多少（千部）时，企业所获利润最大?最大利润是多少? （说明：当0a >时，函数ay x x=+在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增） 25．已知全集U=R ，集合{}12A x x x =-或，{}213U B x x p x p 或=-+ð．（1）若12p =，求A B ⋂；（2）若A B B ⋂=，求实数p 的取值范围．26．若()221x x af x +=-是奇函数.（1）求a 的值；（2）若对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+,解得1=2a ，故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性．点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.2．A解析：A 【解析】【分析】根据指数幂与对数式的化简运算,结合函数图像即可比较大小. 【详解】因为23a log =,3b =,23c e = 令()2f x log x =,()g x x =函数图像如下图所示:则()2442f log ==,()442g == 所以当3x =时23log 3>,即a b <3b =23c e = 则66327b ==,626443 2.753.1c e e ⎛⎫⎪==>≈ ⎪⎝⎭所以66b c <,即b c < 综上可知, a b c << 故选:A 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数与幂函数大小的比较,因为函数值都大于1,需借助函数图像及不等式性质比较大小,属于中档题.3．A解析：A 【解析】【分析】利用函数()y f x =是(),-∞+∞上的增函数，保证每支都是增函数，还要使得两支函数在分界点1x =处的函数值大小，即()23141a a -⨯-≤，然后列不等式可解出实数a 的取值范围．【详解】由于函数()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数，则函数()34y a x a =--在(),1-∞上是增函数，所以，30a ->，即3a <；且有()23141a a -⨯-≤，即351a -≤，得25a ≥，因此，实数a 的取值范围是2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选A. 【点睛】本题考查分段函数的单调性与参数，在求解分段函数的单调性时，要注意以下两点：（1）确保每支函数的单调性和原函数的单调性一致；（2）结合图象确保各支函数在分界点处函数值的大小关系．4．A解析：A 【解析】【分析】直接利用分段函数解析式，认清自变量的范围，多重函数值的意义，从内往外求，根据自变量的范围，选择合适的式子求解即可. 【详解】因为函数2log ,0(),0xx x f x e x >⎧=⎨≤⎩，因为102>，所以211()log 122f ==-，又因为10-<，所以11(1)f ee--==，即11(())2f f e=，故选A. 【点睛】该题考查的是有关利用分段函数解析式求函数值的问题，在解题的过程中，注意自变量的取值范围，选择合适的式子，求解即可，注意内层函数的函数值充当外层函数的自变量.5．C解析：C 【解析】【分析】利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”. 【详解】令3,0x t t => 则361133t y t t -==-<++ 故函数()f x 的“上界值”是1；故选C 【点睛】本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或通过换元法求解函数的值域.6．C解析：C 【解析】分析：由题意分别确定函数f (x )的图象性质和函数h (x )图象的性质，然后数形结合得到关于k 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线()()2log 1f x x =+右移一个单位，得()21log y f x x =-=，所以g (x )=2x ，h (x -1)=h (-x -1)=h (x +1)，则函数h (x )的周期为2. 当x ∈[0,1]时，()21xh x =-，y =kf (x )-h (x )有五个零点，等价于函数y =kf (x )与函数y =h (x )的图象有五个公共点. 绘制函数图像如图所示，由图像知kf （3）<1且kf （5）>1，即：22log 41log 61k k <⎧⎨>⎩，求解不等式组可得：61log 22k <<. 即k 的取值范围是612,2log ⎛⎫ ⎪⎝⎭．本题选择C 选项.点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C 【解析】【分析】画出,cos y x y x ==的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，利用零点存在性定理，判断出()f x 零点0x 所在的区间【详解】画出,cos y x y x ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，30.5230.8660.3430662f ππ⎛⎫=-≈-=-<⎪⎝⎭，20.7850.7070.0780442f ππ⎛⎫=-≈-=> ⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知，()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.8．D解析：D 【解析】【分析】首先设出()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，求得其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，根据图象变换，得到函数()f x 的图象上的点为(,1)x y +，之后应用点在函数图象上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果. 【详解】设()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，则其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，再将点(,)y x 向左平移一个单位，得到(1,)y x +，其关于直线y x =的对称点为(,1)x y +，该点在函数()f x 的图象上，所以有1()y f x +=，所以有()1y f x =-，即()()1g x f x =-，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目.9．C解析：C 【解析】【分析】由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案. 【详解】由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =，则()1f x =- 有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解，故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.10．D解析：D 【解析】试题分析：由()()2f x f x =-，可知函数()f x 图像关于1x =对称，又因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2，要使函数()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，0111{log 31,53log 51a a a a <<>-⇒<<<-，故D 正确. 考点：函数零点【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．11．C解析：C【解析】【分析】认真观察函数图像，根据运动特点，采用排除法解决.【详解】由函数关系式可知当点P 运动到图形周长一半时O,P 两点连线的距离最大，可以排除选项A,D,对选项B 正方形的图像关于对角线对称，所以距离y 与点P 走过的路程x 的函数图像应该关于2l 对称，由图可知不满足题意故排除选项B ，故选C ．【点睛】本题考查函数图象的识别和判断，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点．考查学生分析问题的能力． 12．C解析：C【解析】【分析】【详解】210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立，则等价为a ⩾21x x--对于一切x ∈(0,1 2)成立，即a ⩾−x −1x 对于一切x ∈(0,1 2)成立，设y =−x −1x ,则函数在区间(0,1 2〕上是增函数 ∴−x −1x <−12−2=52-， ∴a ⩾52-. 故选C. 点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.二、填空题13．或【解析】【分析】【详解】若∴函数在区间上单调递减所以由题意得又故若∴函数在区间上单调递增所以由题意得又故答案：或解析：12或32【解析】【分析】【详解】若01a <<，∴函数()xf x a =在区间[1,2]上单调递减，所以2max min (),()f x a f x a ==，由题意得22a a a -=，又01a <<，故12a =．若1a >，∴函数()x f x a =在区间[1,2]上单调递增，所以2max min (),()f x a f x a ==，由题意得22a a a -=，又1a >，故32a =．答案：12或3214．【解析】【分析】若对任意的均有均有只需满足分别求出即可得出结论【详解】当当设当当当时等号成立同理当时若对任意的均有均有只需当时若若所以成立须实数的取值范围是故答案为;【点睛】本题考查不等式恒成立问题解析：3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需满足 max min ()()f x g x ≤，分别求出max min (),()f x g x ，即可得出结论.【详解】当()221121()24x f x x x k x k -<≤=-++=--++， 16()4k f x k ∴-<≤+，当()1311,log 122x x f x >=-<-+， ()()2ln 21x g x a x x =+++，设21x y x =+，当0,0x y ==，当21110,,01122x x y y x x x>==≤∴<≤++，当1x =时，等号成立同理当20x -<<时，102y -≤<， 211[,]122x y x ∴=∈-+，若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需max min ()()f x g x ≤，当2x >-时，ln(2)x R +∈，若0,2,()a x g x >→-→-∞，若0,,()a x g x <→+∞→-∞所以0a =，min 21(),()12x g x g x x ==-+， max min ()()f x g x ≤成立须，113,424k k +≤-≤-，实数k 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 故答案为;3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，注意基本不等式的应用，考查分析问题解决问题能力，属于中档题.15．24【解析】由题意得：所以时考点：函数及其应用解析：24【解析】由题意得：2211221924811{,,1924248b k k k b e e e e +=∴====，所以33x =时，331131()192248k b k b y e e e +==⋅=⨯=. 考点：函数及其应用.16．1【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了对数式的计算意在考查学生的计算能力解析：1【解析】直接利用对数计算公式计算得到答案.【详解】()()22522lg62lg3lg5lg2lg5lg2lg36lg9lg5lg2lg41lg -+=+-+-=-+=lg ﹣ 故答案为：1【点睛】本题考查了对数式的计算，意在考查学生的计算能力.17．【解析】【分析】由已知条件得出是以2为周期的函数根据函数周期性化简再代入求值即可【详解】因为所以所以是以2为周期的函数因为当时所以故答案为:【点睛】本题主要考查函数的周期性和递推关系这类题目往往是奇【解析】【分析】由已知条件，得出()f x 是以2为周期的函数，根据函数周期性，化简92f ⎛⎫⎪⎝⎭，再代入求值即可.【详解】因为()()1f x f x +=-，所以()()()21f x f x f x +=-+=，所以()f x 是以2为周期的函数，因为当11x -<≤时，()xf x e = ，所以129114222f f f e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为.【点睛】本题主要考查函数的周期性和递推关系，这类题目往往是奇偶性和周期性相结合一起运用. 18．【解析】【分析】由函数是奇函数得到即可求解得到答案【详解】由题意函数是奇函数所以解得当时函数满足所以故答案为：【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键解析：12- 【解析】【分析】由函数()f x 是奇函数，得到()010021f a =+=+，即可求解，得到答案.由题意，函数()121x f x a =++是奇函数，所以()010021f a =+=+，解得12a =-，当12a =-时，函数()11212x f x =-+满足()()f x f x -=-，所以12a =-. 故答案为：12-. 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题，其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．【解析】【分析】将已知等式两边同取以为底的对数求出利用换底公式即可求解【详解】故答案为:【点睛】本题考查指对数之间的关系考查对数的运算以及应用换底公式求值属于中档题解析：916【解析】【分析】将已知等式8(9)a aa a =，两边同取以e 为底的对数，求出ln a ，利用换底公式，即可求解.【详解】 8(9)a a a a =，8ln ,l )l n 8(ln 9(9ln n )a a a a a a a a +==，160,7ln 16ln 3,ln ln 37a a a >∴=-=-Q ， ln 3ln 39log (3)116ln 16ln 37a a a a ∴==+=-.故答案为:916. 【点睛】本题考查指对数之间的关系，考查对数的运算以及应用换底公式求值，属于中档题. 20．【解析】试题分析：设因为因此【考点】指数运算对数运算【易错点睛】在解方程时要注意若没注意到方程的根有两个由于增根导致错误解析：42【解析】试题分析：设log ,1b a t t =>则，因为21522t t a b t +=⇒=⇒=，因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒==【考点】指数运算，对数运算．【易错点睛】在解方程5log log 2a b b a +=时，要注意log 1b a >，若没注意到log 1b a >，方程5log log 2a b b a +=的根有两个，由于增根导致错误三、解答题21．（1）奇函数；（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，求出函数的定义域及()f x 与()f x -的关系，可得答案；（2）由（1）知函数()f x 是奇函数，将原不等式化简为()()121f m f m -≤--，判断出()f x 的单调性，可得关于m 的不等式，可得m 的取值范围.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域是R ，因为()(lg f x x -=-+，所以()()((lg lg lg10x x f x f x =+-=-=+，即()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数.（2）由（1）知函数()f x 是奇函数，所以()()()12121f m f m f m -≤-+=--，设lg y u =，u x =，x ∈R .因为lg y u =是增函数，由定义法可证u x =在R 上是增函数，则函数()f x 是R 上的增函数.所以121m m -≤--，解得2m ≤-，故实数m 的取值范围是(],2-∞-.【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性的综合应用，属于中档题.22．（1）()0.50.5*20.065n n r n N -=-⨯∈ （2）6次【解析】【分析】（1）先阅读题意，再解方程求出函数模型对应的解析式即可；（2）结合题意解指数不等式即可.【详解】解:（1）由题意得02r =,1 1.94r =,所以当1n =时,()0.510015p r r r r +=--⋅, 即0.51.942(2 1.94)5p +=--⋅,解得0.5p =-,所以0.50.520.065*()n n r n -=-⨯∈N , 故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N . （2）由题意可得,0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤, 整理得,0505..1950..206n -≥,即0.50.5532n -≥, 两边同时取常用对数,得lg3205055.lg .n -≥, 整理得5lg 2211lg 2n ≥⨯+-, 将lg 20.3=代入,得5lg 230211 5.31lg 27⨯+=+≈-, 又因为*n ∈N ,所以6n ≥.综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.【点睛】本题考查了函数的应用，重点考查了阅读能力及解决问题的能力，属中档题.23．（1）1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩ 【解析】【分析】(1)令4log m x =,则可利用换元法将题转化为二次函数值域问题求解;(2)根据二次函数的性质,分类讨论即可.【详解】(1)令4log m x =,则[]2,4x ∈时,1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 则()()22131()222312248f x h m m m m m m ⎛⎫⎛⎫==--=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故当34m =时,()f x 有最小值为18-,当12m =或1时,()f x 有最大值为0, ∴该函数的值域为1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦; (2)由(1)可知()2231()231248f x h m m m m ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭, []2,x t ∈Q ,41,log 2m t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦,当413log 24t <<,即2t <<,函数()h m 在41,log 2t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减, ()()()4min log g t h m h t ==2442log 3log 1t t =-+, 当43log 4t ≥,即t ≥时, 函数()h m 在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在43,log 4t ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增, ()()min 3148g t h m h ⎛⎫===- ⎪⎝⎭, 综上所述:()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩. 【点睛】本题考查对数函数综合应用,需结合二次函数相关性质答题,属于中档题.24．（Ⅰ）()210600250,040,100009200,40.x x x Q x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨--+≥⎪⎩（Ⅱ）2020年年产量为100（千部）时，企业获得的利润最大，最大利润为9000万元.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意知利润等于销售收入减去可变成本及固定成本，分类讨论即可写出解析式（Ⅱ）利用二次函数求040x <<时函数的最大值，根据对勾函数求40x ≥时函数的最大值，比较即可得函数在定义域上的最大值.【详解】（Ⅰ）当040x << 时,()()228001020025010600250Q x x x x x x =-+-=-+- ；当40x ≥时,()100001000080080194502509200Q x x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪⎝⎭. ()210600250,040,100009200,40.x x x Q x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨--+≥⎪⎩（Ⅱ）当040x <<时，()()210308750Q x x =--+， ()()max 308750Q x Q ∴==万元；当40x ≥时，()100009200Q x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，当且仅当100x =时， ()()max 1009000Q x Q ==万元.所以，2020年年产量为100（千部）时，企业获得的利润最大，最大利润为9000万元.【点睛】本题主要考查了分段函数，函数的最值，函数在实际问题中的应用，属于中档题.25．（1）722⎛⎤ ⎥⎝⎦，；（2）342p p-或．【解析】【分析】由题意可得{}213B x p x p =-≤≤+, （1）当12p =时，结合交集的定义计算交集即可；（2）由题意可知B A ⊆.分类讨论B =∅和B ≠∅两种情况即可求得实数p 的取值范围. 【详解】因为{}213U B x x p x p =-+，或ð，所以(){}213U U B B x p x p ==-≤≤+痧,（1）当12p =时，702B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，所以7=22A B ⎛⎤⋂ ⎥⎝⎦，, （2）当A B B ⋂=时，可得B A ⊆.当B =∅时，2p -1＞p +3，解得p ＞4，满足题意；当B ≠∅时，应满足21331p p p -≤+⎧⎨+<-⎩或213212p p p -≤+⎧⎨->⎩解得44p p ≤⎧⎨<-⎩或432p p ≤⎧⎪⎨>⎪⎩；即4p <-或342p <≤. 综上，实数p 的取值范围342p p-或．【点睛】本题主要考查交集的定义，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.26．（1）1a = （2）112m -≤≤ 【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，可得结果.（2）根据（1）的条件使用分离常数方法，化简函数()f x ，可知()f x 的值域，结合不等式计算，可得结果.【详解】（1）()2121a f +=-，()121112a f +-=- 因为()221x x a f x +=-是奇函数. 所以()()11f f =--，得1a =；经检验1a =满足题意（2）根据（1）可知()2121x x f x +=- 化简可得()2121x f x =+- 所以可知()2121x f x =+- 当()0,x ∈+∞时，所以()1f x > 对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-所以212m m ≥-，即112m -≤≤ 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数，还考查了恒成立问题，对存在性，恒成立问题一般转化为最值问题，细心计算，属中档题.。

2020-2021深圳宝安区新城学校高一数学上期末模拟试卷(及答案)

2020-2021深圳宝安区新城学校高一数学上期末模拟试卷(及答案)一、选择题1．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>2．设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a b c <>C ．b a c >>D ．c a b >>3．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（） A ．12B ．2C ．22D ．24．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．已知0.11.1x =， 1.10.9y =，234log 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >> B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x z y >>6．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(1)(3)0f x f x ++-=，且(1)0f ≠，若函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，则(2019)f =（）A ．1B ．-1C ．-3D ．37．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。

2022-2023学年广东省深圳市(集团)高一年级上册学期期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省深圳市（集团）高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．命题：“，”的否定是（）0x ∀>2ln 20xx +>A ．，B ．，0x ∀>2ln 20xx +<0x ∀>2ln 20xx +≤C ．，D ．，0x ∃>2ln 20xx +≤0x ∃>2ln 20xx +<【答案】C【分析】根据含有一个量词的命题的否定形式，全称命题的否定是特称命题，可得答案.【详解】命题：“，”是全称命题，0x ∀>2ln 20xx +>它的否定是特称命题：，，0x ∃>2ln 20xx +≤故选：C2．已知集合，则（）{}121log ,,2,02x A y y x x B y y x ⎧⎫==>==<⎨⎬⎩⎭∣∣A B = A ．B ．102y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣{01}<<∣yy C ．D ．112yy ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣∅【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的单调性和值域求解.【详解】因为，所以，所以，12x >11221log log 12y x =<={}1A y y =<∣因为所以，且，0x <0221x y =<=20x>所以，{}1B y y =<<∣0所以.A B = {01}<<∣yy 故选:B.3．函数的图象大致是（）()()233ln x x f x x -=+A．B ．C．D．【答案】C【分析】由题可得函数为偶函数，再利用，即得.102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭【详解】∵，定义域为，()()233ln x x f x x -=+()(),00,∞-+∞ 又，()()()()()2233ln 33ln x x x x f x x x f x ---=+-==+∴函数为偶函数，故AD 错误；()()233ln x x f x x -=+又，故B 错误.211221133ln 220f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭<⎝故选：C.4．针对“台独”分裂势力和外部势力勾结的情况，为捍卫国家主权和领土完整，维护中华民族整体利益和两岸同胞切身利益，解放军组织多种战机巡航台湾.已知海面上的大气压强是，大760mmHg 气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，P mmHg h m 760ehkP -=e 是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则当歼20战机巡航高度为，k 500m 700mmHg 1000m 歼战机的巡航高度为时，歼20战机所受的大气压强是歼16D 战机所受的大气压强的16D 1500m （）倍.A ．B ．C ．D ．0.670.921.091.5【答案】C【分析】根据题意分别列出指数等式即可求解.【详解】由题可知，，，10001760e k P -=15002760e kP -=则有，50012e kP P =又因为，所以，500700760e k-=500760e 1.09700k =≈故选:C.5．享有“数学王子”称号的德国数学家高斯，是近代数学奠基者之一，被称为“高斯函数”，[]y x =其中表示不超过的最大整数，例如：，设为函数[]R,x x ∈x ][][2.12,33, 1.52⎡⎤==-=-⎣⎦0x 的零点，则（）()lg 5f x x x =+-[]0x =A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】先根据零点存在定理确定出零点的位置，进而根据高斯函数的定义求得答案.【详解】因为函数在上单调递增，且，，()lg 5f x x x =+-()0,∞+()4lg 410f =-<()5lg 50f =>则存在唯一零点，使得，由高斯函数的定义可知，.()04,5x ∈()00f x =[]04x =故选：B.6．已知，则（）1sin 65πα⎛⎫-=⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．2325-2325725-725【答案】B【分析】利用换元法可得，结合诱导公式和二倍角的余弦公式计算即可.sin 2sin 262t ππα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】令，故，，6t πα=-1sin 5t =6tπα=-故.223sin 2sin 2cos 212sin 6225t t t ππα⎛⎫⎛⎫+=-==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B7．函数的部分图象如图所示.若，且()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭()12,0,2πx x ∈，则的值为（）()()12(0)f x f x a a ==<12x x +A ．B ．C ．D ．π32π34π38π3【答案】D【分析】根据函数的图象求出该函数的解析式，结合图象可知，点、()y f x =11ππ,66x f x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于直线对称，进而得出.22ππ,66x f x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π2x =12x x +【详解】由图象可知，，即，则，311ππ3π4632T =-=2πT =2π1T ω==此时，，()()2sin f x x ϕ=+由于，，，ππ2sin 233f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭||2ϕπ<ππ32ϕ+=所以，即.π6ϕ=()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且，12,(0,2π)x x ∈()()12(0)f x f x a a ==<由图像可知，，12323662x x +++=⨯=ππππ则.128π3x x +=故选：D.8．已知定义在上的偶函数满足，当时，单调递增，则R ()f x ()()2f x f x -=-+20x -≤≤()f x （）A ．()37π1tan 2023log 242f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()37π1tan log 2023242f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()317πlog 2023tan 224f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()317πlog tan 2023224f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【分析】由题意求出函数的周期，然后根据偶函数的性质判断出函数在[0,2]上的单调性，进而将自变量的取值转化到区间[0,2]上，利用放缩法判断出它们的大小关系，最后根据单调性求得答案.【详解】因为为偶函数，所以，()f x ()()f x f x -=又，所以，()(2)f x f x -=-+()(2)f x f x =-+所以，即是周期为4的函数，()()4f x f x =+()f x 则.(2023)(50641)(1)(1)f f f f =⨯-=-=因为，π7ππ4243<<所以，.7π1tan24<<()()3331log log 2log 22f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭30log 21<<因为为偶函数，且当时，单调递增，()f x 20x -≤≤()f x 所以当时，单调递减，故.02x ≤≤()f x 37π1tan (2023)log 242f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A.二、多选题9．下列函数中是偶函数，且在上为增函数的有（）()0,∞+A ．B ．C ．D ．cos y x =3y x=24y x =+2log y x=【答案】CD【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【详解】解：对于A ，函数为偶函数，在上不单调，故A 错误；cos y x =()0,∞+对于B ，函数为奇函数，不正确；3y x =对于C ，是偶函数，且在上为增函数，正确；24y x =+()0,∞+对于D ，函数的定义域为，，函数为偶函数，当时，{|0}x x ≠()()22log log f x x x f x -=-==0x >为增函数，满足条件，2log y x=故选：CD ．10．(多选)要得到函数的图象，只要将函数的图象（）sin(23y x π=+sin y x =A ．每一点的横坐标扩大到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度23πB ．每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度126πC ．向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)3π12D ．向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)6π12【答案】BC【分析】分别分析先伸缩后平移和先平移后伸缩两种情况下图像的变换.【详解】（1）先伸缩后平移时：每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向左12平移个单位长度，所以A 选项错误，B 选项正确．6π（2）先平移后伸缩时：向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵3π12坐标不变)，所以C 选项正确，D 选项错误．故选：BC.11．已知为锐角，角的终边上有一点，x 轴的正半轴和以坐标原点O 为圆心的θα()sin ,cos M θθ-单位圆的交点为N ，则（）A ．若，则()0,2a π∈2παθ=+B ．劣弧的长度为MN 2πθ+C ．劣弧所对的扇形的面积为是MN OMN 2αD ．sin sin 1αθ+>【答案】ABD【分析】根据题意，结合诱导公式化简整理，可判断A 的正误；根据弧长公式，可判断B 的正误；根据扇形面积公式，可判断C 的正误，根据同角三角函数的关系，可判断D 的正误，即可得答案.【详解】A ：()sin ,cos cos ,sin cos ,sin 2222ππππθθθθπθπθ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=---- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭，故，故A 正确；cos ,sin 22ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2παθ=+B ：劣弧的长度为，故B 正确；MN 1=22ππθθ⎛⎫+⨯+ ⎪⎝⎭C ：只有当时，扇形的面积为，故C 不正确；02απ<<OMN 1122S αα=⨯⨯=D ：，sin sin sin sin sin cos 2παθθθθθ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭∵为锐角，故．故D 正确.θ()222sin cos sin cos 2sin cos 1sin cos 1θθθθθθθθ+=++>⇒+>故选：ABD12．已知，则下列不等关系一定正确的是（）10a b >>>A ．B ．()log 2b ab <111a a +>+C ．D ．11a b b a->-3ln28b a ab>-【答案】ABD【分析】对，结合对数的运算性质和对数函数的单调性进行判断；A 对，根据基本不等式即可判断；B 对，取，代入计算即可判断.C 11,42b a ==对，原不等式等价于，进而构造函数，然后根据函数的单调性得D 32ln 32ln a ba b +>+2ln x y x =+到答案.【详解】对，因为，且，则，所以A log ()log log log 1b b b b ab a b a =+=+10a b >>>log log 1b b a b <=，故选项正确；log ()log 12b b ab a =+<A对，由题意，（此处等号不能成立），故选项正B 11111111a a a a +=++->-=++B 确；对，取，则，故选项错误；C 11,42b a ==1171174,22244a b b a -=-=--=-=-C 对，问题等价于，易知函数在上是D 33ln 3ln 222ln 32ln b a a b a b a b ->-⇔+>+2ln x y x =+()0,∞+增函数，而，则成立，故选项正确.30a b >>32ln 32ln a ba b +>+D 故选：.ABD 三、填空题13．__________.ln 224216log log e 39-+=【答案】1【分析】由对数换底公式以及对数恒等式、对数运算法则进行计算求得结果.【详解】.ln 224222221624231log log e log log 2log 2log 21213933342⎛⎫⎪-+=-+=⨯+=+=-+⎝=⎭故答案为：1.14．函数的图象恒过定点P ，P 在幂函数的图象上，则___________.()log 238a y x =-+()f x ()4f =【答案】64【分析】由题意可求得点，求出幂函数的解析式，从而求得.()2,8P ()f x ()4f 【详解】令，则，故点；2x =8y =()2,8P 设幂函数，()bf x x =则，28b=则；3b =故；()464f =故答案为：64.15__________.1cos80-=【答案】4-【分析】先用诱导公式转化，再对已知分式进行通分，分子化成一个三角函数，再cos8010sin =使用二倍角公式即可得到结果.【详解】.()sin sin sin 210301122041cos801010cos1sin s 22in 00--====-=故答案为：.4-四、双空题16．已知函数，则的最小正周期为__________，不等式的()()1cos cos 2f x x x =+()f x ()()12f f x >解集为__________.【答案】 2πR【分析】根据题意作出函数图象，根据函数图象即可求解.【详解】由题意可知：当时，函数；cos 0x ≥()cos f x x =当时，函数，作出函数图象，如图所示：cos 0x <()0f x=结合图形可知：函数的最小正周期为；()f x 2π令，所以，(),[0,1]f x t t =∈()()[]1cos cos cos cos1,12f t t t t =+=∈因为函数在上单调递减，所以，()f t π[0,3π1()cos1cos 32f t ≥>=则不等式的解集为，()()12f f x >R 故答案为：；.2πR 五、解答题17．已知．()()()πcos sin 2tan πf θθθθ⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭=+(1)化简,并求的值;()f θπ3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)若,且,求的值．()0,πθ∈()1225f θ=-cos sin θθ-【答案】(1)()sin cos f θθθ=(2)75-【分析】(1)先根据诱导公对进行化简,再将代入进算出结果即可;()f θπ3(2)将代入可求,根据的正负及,可判断正负,从而判断θsin cos θθsin cos θθ()0,πθ∈sin ,cos θθ正负,对平方再开方,代入即可得所求.cos sin θθ-cos sin θθ-sin cos θθ【详解】（1）解:由题知()()()πcos sin 2tan πf θθθθ⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭=+()sin sin tan θθθ-⋅-=,sin cos θθ=;πππsin cos 333f ⎛⎫∴=⋅=⎪⎝⎭（2）,,()1225f θ=-()0,πθ∈,且,12sin cos 25θθ∴=-sin 0,cos 0θθ><cos sin 0θθ∴-<cos sin θθ∴-===,75=-故.7cos sin 5θθ-=-18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，()A B A=R A B ⋂=∅A B A = 并求解下列问题：已知集合，若__________，求实数的取值范围.{}11123,14A x a x a B x x ⎧⎫=-≤≤+=<-⎨⎬-⎩⎭∣∣a 【答案】答案见解析【分析】根据所选的条件，①可以推出是的子集；②，两个集合没有()A B A=R A B R A B ⋂=∅公共元素；③可以推出.利用集合的交集、补集、并集的定义，对a 进行分类讨论，A B A = A B ⊆分别求解即可．【详解】解：由解得，所以，.1114x <--74x -<<()7,4B =-若选择①：，则是的子集，,()A B A=R A B R {}123A x a x a =-≤≤+∣，][(),74,B =-∞-⋃+∞R 当，即时，，满足题意；123a a ->+4a <-A =∅当时，或,解得，4a ≥-4237a a ≥-⎧⎨+≤-⎩414a a ≥-⎧⎨-≥⎩5a ≥综上可得，实数的取值范围是.a ()[),45,∞∞--⋃+若选择②：，A B ⋂=∅当时，即，即时，满足题意；A =∅123a a ->+4a <-当时，或，解得.4a ≥-4237a a ≥-⎧⎨+≤-⎩414a a ≥-⎧⎨-≥⎩5a ≥综上可知，实数的取值范围是.a ()[),45,∞∞--⋃+若选择③：，则，A B A = A B ⊆当，即时，，满足题意；123a a ->+4a <-A =∅当时，，解得；4a ≥-17234a a ->-⎧⎨+<⎩142a -≤<综上可知，实数的取值范围是.a 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭19．已知函数（且）.()()()log log a a f x x a a x =++-0a >1a ≠(1)判断函的奇偶性，并说明理由；()f x (2)若，且，求的取值范围.3a =()()1f x f x >-x 【答案】(1)偶函数，理由见解析(2)12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用奇偶性的定义直接判断；（2）先判断出函数在上的单调性，利用单调性解不等式即可.()f x [)0,3【详解】（1）函数的定义域为.()()()log log a a f x x a a x =++-(),a a -因为，所以，()()()log log a a f x x a a x -=-+++()()f x f x -=所以函数为偶函数.()f x （2）当时，定义域为，所以有：.①.3a =()()()log 3log 3a a f x x x =++-()3,3-33x -<<⋯⋯②.313x -<-<⋯⋯由①知函数为偶函数，所以可化为：.()f x ()()1f x f x >-()()1f x f x >-()()()()2333log 3log 3log 9f x x x x =++-=-因为为增函数，在上递减，3log y t =29t x =-[)0,3所以函数在上递减，所以.③.()f x [)0,31x x <-⋯由①②③解得：的取值范围为.x 12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭20．设函数（ω＞0），且图象的一个对称中心到最近2()sin cos f x x x x ωωω-()y f x =的对称轴的距离为．4π(1)求在上的单调区间；()f x [,0]2π-(2)若，且，求sin2x 0的值．03()5f x =0[0,]3x π∈【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为；[,212ππ--[,0]12π-.【分析】（1）化简得到，结合条件求出，再利用余弦函数的性质即得；()f x ()πcos 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ω（2）由题可得，，再利用差角公式即求.0π3cos 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭0π4sin 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】（1）∵()2sin cos f x x x x ωωω=-1cos 21sin 222x x ωω-=-，1π2sin 2cos 226x x x ωωω⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，π4又，所以，因此，0ω>2ππ424ω=⨯1ω=∴，()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，[,0]2x π∈-π5π2[,]666x π+∈-∴由，得，函数单调递增，52[,0]66x ππ+∈-[,]212x ππ∈--由，得，函数单调递减，2[0,]66x ππ+∈[,0]12x π∈-所以函数单调增区间为，单调减区间为.()f x [,]212ππ--[,0]12π-（2）∵，且， 03()5f x =0[0,]3x π∈∴，0π3cos 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又，0ππ5π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦∴，0π4sin 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴00001sin 2sin 22cos 266626x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.413525=-⨯=21．目前全球新冠疫情严重，核酸检测结果成为是否感染新型冠状病毒的重要依据，某核酸检测机构，为了快速及时地进行核酸检测，花费36万元购进核酸检测设备.若该设备预计从第1个月到第个月的检测费用和设备维护费用总计为万元，该设备每月检测收入为20万元.n ()*n ∈N ()25n n +(1)该设备投入使用后，从第几个月开始盈利？（即总收入减去成本及所有支出费用之差为正值）；(2)若该设备使用若干月后，处理方案有两种：①月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出；②盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.【答案】(1)第4个月开始盈利(2)方案①较为合算，理由见解析【分析】（1）求出利润表达式然后解不等式可得答案；（2）分别计算出两种方案的利润比较可得答案.【详解】（1）由题意得，即，()2203650n n n --+>215360n n -+<解得，∴.312n <<()*3n n >∈N ∴该设备从第4个月开始盈利.（2）该设备若干月后，处理方案有两种：①当月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出，.()22036536153n n n n n n --+⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭当且仅当时，取等号，月平均盈利达到最大，6n =∴方案①的利润为：（万元）.()2063636302038⨯--++=②当盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.，()222158120365153624y n n n n n n ⎛⎫=--+=-+-=--+ ⎪⎝⎭∴或时，盈利总额最大，7n =8n =∴方案②的利润为20+16=36（万元），∵38>36，∴方案①较为合算.22．已知函数，，与互为反函数．()2x f x =()245h x x x m =-+()x ϕ()f x (1)求的解析式；()x ϕ(2)若函数在区间内有最小值，求实数m 的取值范围；()()y h x ϕ=()32,2m m -+(3)若函数，关于方程有三个不同的实数解，求实()()401x g x x x ϕ⎛⎫=> ⎪+⎝⎭()()230g x a g x a ⎡⎤+++=⎣⎦数a 的取值范围．【答案】(1)()()2log 0x x x ϕ=>(2)44,53m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(3)73,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦【分析】（1）根据指数函数的反函数为同底数的对数函数，即得；（2）根据题意，利用对数函数和二次函数的性质及复合函数的单调性即可得到函数关于的不等m 式组，求解即得；（3）先利用对数函数和分式函数的单调性知识，结合复合函数的单调性得到函数g (x )的单调性和零点及图象，进而得到的图象，将方程有三个不同的实数解，()y g x =()()230g x a g x a ⎡⎤+++=⎣⎦转化为则有两个根，且一个在上，一个根为0；或有两个根，230t at a +++=()0,2230t at a +++=且一个在上，一个在上.进而利用二次方程根的分布思想分析讨论确定实数a 的取值范()0,2[)2,+∞围．【详解】（1）指数函数的反函数为同底数的对数函数，∴.()2x f x =()()2log 0x x x ϕ=>（2）函数在区间内有最小值，()()()22log 45y h x x x m ϕ==-+()32,2m m -+∴在内先减后增，且，()245h x x x m =-+()32,2m m -+()min 0h x >∴，∴．4032223(2)54045m m m h m m ⎧<<⎪-<<+⎧⎪⇒⎨⎨-=->⎩⎪>⎪⎩44,53m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）∵，∴，∴，0x >()4440,411x x x =-∈++()2g x <∵g (x )在时单调递增，且g =0,2441log x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭0x >13⎛⎫ ⎪⎝⎭∴的图象如下：()y g x =因为有三个不同的实数解，()()230g x a g x a +++=设，由的图象可得当或时对于一个确定的的值，对应一个的值，对()g x t =()y g x =0t =2t ≥t x 于的每一个确定的的值，对应两个不同的实数根.02t <<t x 则有两个根，且一个在上，一个根为0；230t at a +++=()0,2或有两个根，且一个在上，一个在上.230t at a +++=()0,2[)2,+∞①有两个根，且一个在上，一个根为0，230t at a +++=()0,2∴一个根为0，解得，此时，3a =-22330t at a t t +++=-=另一根，舍去；()30,2t =∉②有两个根，且一个在上，一个在上，230t at a +++=()0,2[)2,+∞令，()23k t t at a =+++（ⅰ）当一个根在上，一个在上，()0,2()2,+∞则∴∴.()()00,20.k k ⎧>⎪⎨<⎪⎩3,7,3a a >-⎧⎪⎨<-⎪⎩733a -<<-（ⅱ）当一个根在上，一个根为2，则，解得．()0,2()20k =73a =-此时的两根为，，满足题意．272033t t -+=()110,23t =∈22t =综上，a 的取值范围为．73,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦【点睛】本题关键难点在于（3）中，结合的图象，将已知方程有三个实数根的条件转化()y g x =为二次方程的根的分布问题（利用数形结合思想求解），易错点是有两个根，且一230t at a +++=个在上，一个在上的情况，要注意分两种情况讨论.()0,2[)2,+∞。

2020-2021学年广东省深圳市高一上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年广东省深圳市高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分） 1.已知集合A ={x|(x −1)2<3x +7,x ∈R}，B ={x|xx+1≤0}，则A ∩B =( )A. [−1,0]B. (−1,0)C. (−1,0]D. [−1,0)2.已知函数f(x)={lgx,x >0x +11,x ≤0，则f(f(−1)=( )A. −2B. 0C. 1D. −13.设角α的终边经过点P(−1,y)，且tanα=12，则y 等于( )A. 2B. −2C. 12D. −124.已知偶函数f(x)在区间［0，+∞)单调增加，则满足f(2x −1)<f()的x 取值范围是( )A. ()B. ［)C. ()D. ［)5. 若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为M 和m ，则M −m =A. 8B. 7C. 6D. 56.8.下列命题为真命题的是A. 已知，则“”是“”的充分不必要条件B. 已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件C. 已知两个平面，，若两条异面直线满足且//， //，则// D.，使成立7.已知函数f(x)=2|cosx|sinx +sin2x ，给出下列四个命题：①函数f(x)的图象关于直线x =π4对称； ②函数f(x)在区间[−π4,π4]上单调递增； ③函数f(x)的最小正周期为π；④函数f(x)的值域为[−2,2].其中真命题的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个8.若一个函数y =f(x)的图象关于y 轴对称，则称这个函数为偶函数，设偶函数y =f(x)的定义域为[−5,5]，若当x ∈[0,5]时，函数y =f(x)的图象如下图，则f(x)<0解集是( )A. (−2,0)∪(2,5]B. (−5,−2)∪(2,5)C. [−2,0]∪(2，5]D. [−5,−2)∪(2,5]9.sin(−1080°)=( )A. −12B. 1C. 0D. −110. 函数f(x)=(12)x −15x 的零点位于区间( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)11. 《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC =a ，BC =b ，其中a >b >0，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a+b 2>√abB. a 2+b 2>2abC. 2aba+b <√abD. a+b 2<√a2+b 2212. 下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( )A. y =x 3B. y =−|x|C. y =−x 2+1D. y =2|x|二、单空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 不等式组{sinx ≥02cosx −1>0的解集为______ ．14. 已知tanα=2，则cos2α(sinα−cosα)2=______． 15. 下列命题正确的是______ (写序号)①命题“∃x 0∈R ，x 02+1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1≤3x ”： ②函数f(x)=cos 2ax −sin 2ax 的最小正周期为“π”是“a =1”的必要不充分条件； ③x 2+2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇔(x 2+2x)min ≥(ax)max 在x ∈[1,2]上恒成立； ④在△ABC 中，“A >B ”是“sinA >sinB ”的充要条件．16. 函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f(x)=2x 2−x +1，则当x >0，f(x)= ______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知△ABC 的面积为1，且满足0<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ (Ⅰ)求θ的取值范围；(Ⅱ)求函数f(θ)=2sin 2(π4+θ)−cos(2θ+π6)的最大值及取得最大值时的θ值．18. (Ⅰ)设U =R ，A ={x|−2≤x <4}，B ={x|8−2x ≥3x −7}，求(∁U A)∩(∁U B)． (Ⅱ)已知集合A ={x|3x −4≤0}，B ={x|x −m <0}，且A ∩B =B ，求m 的取值范围．19. 已知函数f(x)=sin(ωx −π3)(ω>0)图象中相邻两个最高点的距离是π． (Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)求f(x)在区间[0,7π12]上的最大值和最小值．20. 已知函数f(x)=x 2+1x ．(1)判断f(x)的奇偶性并证明；(2)当x ∈(1,+∞)时，判断f(x)的单调性并证明；(3)在(2)的条件下，若实数m 满足f(3m)>f(5−2m)，求m 的取值范围．21. 在锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 且bcosC =√2acosB −ccosB ， (1)求角B 大小(2)设A =θ，求函数f(θ)=2sin 2(π4+θ)−√3cos2θ−2的值域．22. 已知函数f(x)=ax 2+bx −ln x(a,b ∈R)．(1)当a =8，b =−6时，求f(x)的零点的个数；(2)设a >0，且x =1是f(x)的极小值点，试比较ln a 与−2b 的大小．参考答案及解析1.答案：C解析：解：由A 中不等式变形得：x 2−5x −6<0，即(x −6)(x +1)<0，解得：−1<x <6，即A =(−1,6)，由B 中不等式变形得：x(x +1)≤0，且x +1≠0，解得：−1<x ≤0，即B =(−1,0]，则A ∩B =(−1,0]．故选：C ．求出A 中不等式的解集确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：C解析：解：∵函数f(x)={lgx,x >0x +11,x ≤0，∴f(−1)=−1+11=10， f(f(−1)=f(10)=lg10=1．故选：C ．推导出f(−1)=−1+11=10，从而f(f(−1)=f(10)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：D解析：解：∵角α的终边经过点P(−1,y)，且tanα=12， ∴y−1=12， ∴y =−12，故选：D ．由题设条件，根据三角函数终边上一点的定义即可求得正切．本题考查任意角三角函数的定义，求解的关键是熟练掌握定义中知道了终边上一点的坐标，求正切值的规律．4.答案：A解析：由题意需满足|2x−1|<，解得，故选A．5.答案：C解析：解：化目标函数z=2x+y为y=−2x+z，由图可知，当直线y=−2x+z过A(−1,−1)时目标函数有最小值为m=−3，当直线y=−2x+z过B(2,−1)时目标函数有最大值为M=2×2−1=3.∴M−m=6．故选：C．6.答案：C解析：故答案为C．7.答案：C解析：解：对于①，函数f(x)=2|cosx|sinx+sin2x，由于f(−π4)=−2，f(3π4)=0，∴f(−π4)≠f(3π4)，故f(x)的图象不关于直线x=π4对称，故①错误．对于②，区间[−π4,π4]上，f(x)=2|cosx|sinx+sin2x=2sin2x单调递增，故②正确．对于③，函数f(π3)=√3，f(4π3)=0，∴f(π3)≠f(4π3)，故函数f(x)的最小正周期不是π，故③错误．对于④，当cosx≥0时，f(x)=2|cosx|sinx+sin2x=2sinxcosx+sin2x=2sin2x，故它的最大值为2，最小值为−2；当cosx<0时，f(x)=2|cosx|sinx+sin2x=−2sinxcosx+sin2x=0，综合可得，函数f(x)的最大值为2，最小值为−2，故④正确．故选：C．利用三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，属于中档题．8.答案：D解析：解：∵函数y=f(x)的图象关于y轴对称，当x∈[0,5]时，若函数y=f(x)<0，则x∈(2,5]，故当x∈[−5,0]时，若函数y=f(x)<0，则x∈[−5,−2)，综上f(x)<0的解集是[−5,−2)∪(2,5]，故选：D由当x∈[0,5]时，函数y=f(x)的图象，先求出当x∈[0,5]时，f(x)<0的解集，再根据函数图象的对称性，求出当x∈[−5,0]时，f(x)<0的解集，综合讨论结果，可得答案．本题考查的知识点是奇偶函数图象的对称性，难度不大，属于基础题．9.答案：C解析：本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．利用诱导公式即可求解．解：sin(−1080°)=−sin(3×360°+0°)=0．故选：C．10.答案：B解析：本题考查函数零点存在性定理的运用，属于基础题．由f(1)⋅f(2)<0结合零点存在性定理即可得解．解：函数f(x)在R上为减函数，其图象为一条不间断的曲线，又f(1)=12−15=310>0,f(2)=14−25=−320<0，∴f(1)⋅f(2)<0，由零点存在性定理可知，函数f(x)的零点位于区间(1,2)．故选：B．11.答案：D解析：解：由图形可知，OF=a+b2，OC=AC−OA=a−a+b2=a−b2，(a>b>0)，所以CF=√OF2+OC2=√(a+b2)2−(a−b2)2=√a2+b22，Rt△ACF中，由OF<CF可得，a+b2<√a2+b22．故选：D．计算出CF，OF，由OF<CF即可求解．本题主要考查利用几何关系得出不等式，考查推理能力，属于基础题．12.答案：D解析：解：对于A，函数y=x3在(0,+∞)上单调递增，是奇函数，不满足条件；对于B，函数y=−|x|是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，不满足条件；对于C，函数y=−x2+1是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，不满足条件；对于D，函数y=2|x|是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，满足条件．故选：D．根据基本初等函数的单调性奇偶性，分析选项中四个函数在(0,+∞)上的单调性和奇偶性，即可得出答案．本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，熟练掌握常见的基本初等函数的性质是解题的关键．13.答案：{x|2kπ≤x ≤2kπ+π3,k ∈Z}解析：解：因为{sinx ≥02cosx −1>0，可得{sinx ≥0cosx >12，在单位圆中分别表示出满足以上不等式的角的集合，如图所示，由三角函数线，可得{2kπ≤x ≤2kπ+π, k ∈Z,2kπ−π3<x <2kπ+π3,k ∈Z,解集恰好为图中阴影重叠的部分，故原不等式的解集为{x|2kπ≤x <2kπ+π3,k ∈Z}.故答案为：{x|2kπ≤x <2kπ+π3,k ∈Z}.原不等式组可化为{sinx ≥0cosx >12，在单位圆中分别表示出满足以上不等式的角的集合，由三角函数线，可得{2kπ≤x ≤2kπ+π, k ∈Z,2kπ−π3<x <2kπ+π3,k ∈Z,解集为图中阴影重叠的部分，即可得解原不等式的解集．本题主要考查了不等式组的解法，考查了正弦函数，余弦函数的图像和性质，考查了数形结合思想，属于基础题．14.答案：−3解析：解：tanα=2，则cos2α(sinα−cosα)2=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α −2sinαcosα=1−tan 2αtan 2α+1 −2tanα=1−44+1−4=−3．故答案为：−3．利用二倍角的余弦函数化简所求表达式，弦切互化，得到正切函数的形式，求解即可．本题考查二倍角公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．15.答案：①②④解析：解：对于①：先将量词变为∀x ∈R ，结论x 02+1>3x 0变成x 2+1≤3x ，可见①为真命题；对于②：f(x)=cos2ax，其最小正周期的计算方法是2π|ω|，故本题最小正周期为π时，a=±1，此时不一定有a=1成立，而反之，a=1必有a=≠±1成立，故前者是后者的必要而不充分条件，故②为真命题．对于③：x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔x2+2x−ax≥0在[1,2]上恒成立，所以③为假命题；对于④：由正弦定理知asinA =bsinB=2R，∵sinA>sinB，∴a>b，∴A>B．反之，∵A>B，∴a>b，∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA>sinB，故④是真命题．故答案为：①②④．对于①：根据特称命题的否定方法判断；对于②：先将f(x)=cos2ax−sin2ax化成：f(x)=cos2ax，再结合周期计算公式进行判断；对于③：x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立，前后是同一个变量，因此应作差后，再将差函数的最值求出来即可；对于④：由正弦定理知asinA =bsinB，由sinA>sinB，知a>b，所以A>B，反之亦然，故可得结论．本题中的②是容易出错的，学生往往记成T=2πω，而忽视了绝对值，对于第四个，属于常考的易错题，需引起重视．16.答案：−2x2−x−1解析：解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，x<0时，f(x)=2x2−x+1，∴x>0时，−x<0；∴f(−x)=2(−x)2−(−x)+1=2x2+x+1，又f(−x)=−f(x)，∴f(x)=−f(−x)=−(2x2+x+1)=−2x2−x−1；故答案为：−2x2−x−1由x<0时f(x)的解析式，结合函数的奇偶性求出x>0时f(x)的解析式．本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，难度不大，属于基础题．17.答案：解：(Ⅰ)设△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，∵△ABC 的面积为1，且满足0<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ， ∴12bcsinθ=1，即bc =2sinθ，0<bccosθ≤2， ∴0<2tanθ≤2，即tanθ≥1，∵θ∈(0,π)，∴θ∈[π4,π2)；(Ⅱ)f(θ)=[1−cos(π2+2θ)]−[√32cos2θ−12sin2θ] =1+sin2θ−√32cos2θ+12sin2θ=√3sin(2θ−π6)+1， ∵θ∈[π4,π2)，2θ−π6∈[π3,5π6) ∴当θ=π3时，f(θ)max =√3+1．解析：(Ⅰ)设△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，利用三角形的面积公式表示出面积，令面积为1列出关系式12bcsinθ=1，表示出bc ，且得到bccosθ的范围，将表示出的bc 代入求出的范围中，利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后求出tanθ的范围，由θ∈(0,π)，利用正切函数的图象与性质即可求出θ的范围；(Ⅱ)将函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由第一问求出的θ的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的定义域与值域即可求出函数的最大值及取得最大值时的θ值．此题考查了三角函数的恒等变换及化简求值，以及平面向量的数量积运算，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，正切函数的图象与性质，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键． 18.答案：解：(Ⅰ)B ={x|8−2x ≥3x −7}={x|x ≤3}，则∁U B ={x|x >3}．∵A ={x|−2≤x <4}，∴∁U A ={x|x <−2或x ≥4}．∴(∁U A)∩(∁U B)={x|x ≥4}；(Ⅱ)A ={x|x ≤43},B ={x|x <m}，∵A ∩B =B ，∴B ⊆A ，∴m ≤43．解析：(Ⅰ)求解一次不等式化简集合B，然后分别求出∁U A和∁U B，取交集得答案；(Ⅱ)分别求解一元一次不等式化简两集合，由A∩B=B得B⊆A，再结合两集合端点值间的关系得答案．本题考查交、并、补集的混合运算，考查了集合间的关系的判断与运用，是基础题．19.答案：解：(Ⅰ)∵函数f(x)=sin(ωx−π3)(ω>0)图象中相邻两个最高点的距离是π，∴T=2πω=2，即ω=2，(Ⅱ)∵0≤x7π12，∴−π3≤2x−π3≤5π6，当2x−π3=−π3，即x=0时，f(x)有最小值−√32，当2x−π3=π2，即x=5π12时，f(x)有最小值1．解析：(Ⅰ)根据图象中相邻两个最高点的距离是π，利用T=2πω=2；即可求出(Ⅱ)根据三角函数的单调性即可求出函数的最值．本题主要考查三角函数的图象和性质，属于基础题．20.答案：证明：(1)f(x)=x2+1x为奇函数，利用如下：f(−x)=(−x)2+1−x =−1+x2x=−f(x)，故f(x)为奇函数，(2)x∈(1,+∞)时，f(x)的单调性递增，利用如下：设1<x1<x2，f(x)=x+1x，则f(x1)−f(x2)=x1+1x1−x2−1x2=(x1−x2)+x2−x1x1x2，=(x1−x2)(1−1x1x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1,+∞)上单调递增，(3)解：由f(3m)>f(5−2m)可得3m>5−2m>1，解得，1<m<2．故m的范围(1,2)解析：(1)检验f(−x)与f(x)的关系即可判断，(2)先设1<x1<x2，然后利用作差法比较f(x1)与f(x2)的大小即可判断，(3)结合函数的单调性及奇偶性即可求解．本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断及利用单调性及奇偶性求解不等式，属于中档试题．21.答案：解：(1)∵bcosC=√2acosB−ccosB，∴由正弦定理得，sinBcosC=√2sinAcosB−sinCcosB，则sin(B+C)=√2sinAcosB，又sin(B+C)=sinA≠0，∴cosB=√22，由0<B<π得，B=π4；(2)由(1)得，C=π−A−B=3π4−θ，∵△ABC是锐角三角形，∴{0<3π4−θ<π20<θ<π2，解得π4<θ<π2，∵f(θ)=2sin2(π4+θ)−√3cos2θ−2=1−cos(π2+2θ)−√3cos2θ−2=sin2θ−√3cos2θ−1=2sin(2θ−π3)−1，由π4<θ<π2得，π6<2θ−π3<2π3，∴12<sin(2θ−π3)≤1，则0<2sin(2θ−π3)−1≤1，即函数f(x)的值域是(0,1]．解析：(1)由正弦定理化简已知的式子，由两角和的正弦公式、诱导公式化简后求出cosB的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；(2)由(1)和内角和定理求出C，根据△ABC是锐角三角形列出不等式求出θ的范围，由二倍角公式及变形、两角差的正弦公式化简后，由正弦函数的性质求出函数的值域．本题考查了正弦定理，两角和(差)的正弦公式、诱导公式，三角形的面积公式，以及正弦函数的性质的综合应用，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)∵a=8，b=−6，∴f ′(x)=(2x −1)(8x +1)x (x >0) 当0<x <12时，f′(x)<0，当x >12时，f′(x)>0，故f(x)在(0,12)递减，在(12,+∞)递增，故f(x)的极小值是f(12)，又∵f(12)=−1+ln2<0，∴f(x)有两个零点；(Ⅱ)依题有f′(1)=0，∴2a +b =1即b =1−2a ，∴lna −(−2b)=lna +2−4a ，令g(a)=lna +2−4a ，(a >0)则g′(a)=1a −4=1−4a a ，当0<a <14时，g′(a)>0，g(a)单调递增；当a >14时，g′(a)<0，g(a)单调递减．因此g(a)<g(14)=1−ln4<0，故lna <−2b ．解析：(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的极小值小于0，从而判断出函数的零点个数；(Ⅱ)求出b =1−2a ，作差lna −(−2b)=lna +2−4a ，根据函数的单调性求出g(a)的最大值，从而判断出lna 和−2b 的大小即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道偏难题．。

2020-2021深圳市高一数学上期末试卷(及答案)

2020-2021深圳市高一数学上期末试卷(及答案)一、选择题1．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能2．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c <⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,+∞B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8)4．已知函数2()2log x f x x =+，2()2log x g x x -=+，2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）．A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a b c <<5．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．函数ln x y x=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（） A ．(1)(2)(0)f f f -<成立，则实数m 的取值范围是（）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞，9．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（） A ．10B ．9C ．8D ．510．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( )A ．13B ．14C ．3D ．411．函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f （2）=0，则使f （x ）<0的x 的取值范围（） A ．（－∞，2）B ．（2，+∞）C ．（－∞，-2）∪（2，+∞）D ．（－2，2） 12．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则不等式f （x ）≥0的解集是___． 14．若155325a b c ===，则111a b c+-=__________． 15．已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______16．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，11()42xx f x =-+，则此函数的值域为__________. 17．已知函数12()log f x x a =+，2()2g x x x =-，对任意的11[,2]4x ∈，总存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是______________．18．函数()()25sin f x x g x x =--=，,若1202n x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，……，，,使得()()12f x f x ++…()()()()()()1121n n n n f x g x g x g x g x f x --++=++++…,则正整数n 的最大值为___________.19．若函数()()()()22,0,0x x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()()1f g -=________． 20．若集合{||1|2}A x x =-<，2|04x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =______. 三、解答题21．已知函数f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， (1)求g (x )的解析式及定义域； (2)求函数g (x )的最大值和最小值．22．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--(0a >，1a ≠)，且()31f =. (1)求a 的值，并判定()f x 在定义域内的单调性，请说明理由； (2)对于[]2,6x ∈，()()()log 17amf x x x >--恒成立，求实数m 的取值范围.23．已知集合{}24A x x =-≤≤，函数()()2log 31xf x =-的定义域为集合B .(1)求A B ；(2)若集合{}21C x m x m =-≤≤+，且()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围. 24．计算或化简：（1）112320412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）6log 3332log 27log 2log 36lg 2lg 5-⋅---.25．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）．（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值． 26．记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．（1）若，求集合；（2）若且，求的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】因为f (x ) 在R 上的单调增,所以由x 2＋x 1>0，得x 2>-x 1,所以21121()()()()()0f x f x f x f x f x >-=-⇒+>同理得2313()()0,()()0,f x f x f x f x +>+> 即f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0,选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行2．A解析：A 【解析】【分析】【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.3．D解析：D 【解析】【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.4．D解析：D 【解析】【分析】函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，再通过数形结合得到a ，b ，c 的大小关系. 【详解】令2()2log 0x f x x =+=，则2log 2x x =-．令12()2log 0xg x x -=-=，则2log 2x x -=-．令2()2log 10x x h x =-=，则22log 1x x =,21log 22xx x -==．所以函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log y x =与函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，如图所示，可知01a b <<<，1c >， ∴a b c <<．故选:D ．本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．B解析：B 【解析】【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．6．C解析：C 【解析】分析：讨论函数ln x y x=性质，即可得到正确答案.详解：函数ln x y x=的定义域为{|0}x x ≠ ，ln ln x x f x f x xxx--==-=-（）（），当0x >时，2ln ln 1-ln ,,x x xy y xx x ===' 函数在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，故排除A,D ，故选C ．点睛：本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用．7．C解析：C 【解析】【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案【详解】()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数()()11f f -=,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．8．D解析：D 【解析】试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围．详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0；∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1；即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]．故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.9．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。

广东省深圳市高级中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题

广东省深圳市高级中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集U =R ，{}220A x x x =-<，{}10B x x =-≥，则A B =（）．A ．{}1x x ≥B ．{}1x x ≤C ．{}01x x <≤D ．{}12x x ≤<2．已知角α的终边过点()sin1,cos1P ，则α是第（）象限角． A ．一 B ．二C ．三D ．四3．“6x π=”是“1sin 2x =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知12sin cos 25αα=-，π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则cos sin αα-=（）．A ．15-B ．15C ．75-D ．755．已知函数()f x 是定义在[)2,∞+的单调递增函数，若()()222544f a a f a a -+<++，则实数a 的取值范围是（）．A ．()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．[)2,6C ．[)10,2,62⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦D ．()0,66．素数也叫质数，部分素数可写成“21n -”的形式（n 是素数），法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“21n -”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数．2018年底发现的第51个梅森素数是8258993321P =-，它是目前最大的梅森素数．已知第8个梅森素数为3121P =-，第9个梅森素数为6121Q =-，则lg QP约等于（参考：在Q ，P 很大的条件下11Q Q P P +≈+；lg 20.3≈）（）． A ．7B ．8C ．9D ．107．已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的最大值为A ．12B ．1C ．2D ．48．对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x ---是函数() f x 的一对“隐对称点”．若函数22,0 ()2,0x x x f x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩的图象存在“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（）A ．[2-B ．(,2-∞-C ．(,2-∞+D ．(0,2+二、多选题9．下列选项中，与11sin 6π⎛⎫-⎪⎝⎭的值相等的是（） A ．2sin15sin 75︒︒ B ．cos18cos42sin18sin 42︒︒-︒︒ C ．22cos 151︒-D ．2tan 22.51tan 22.5︒-︒10．关于函数()sin 2cos 2f x x x =-，下列命题中为真命题的是（）． A ．函数()y f x =的最小正周期为π B ．直线π4x =是()y f x =的一条对称轴 C ．点π,08⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =的图象的一个对称中心D ．()y f x =11．下列说法正确的是（）A ．若,0x y >，满足2x y +=，则22x y +的最大值为4；B ．若12x <，则函数1221y x x =+-的最小值为3 C ．若,0x y >，满足3x y xy ++=，则x y +的最小值为2 D ．函数2214sin cos y x x=+的最小值为9 12．已知函数()22cos 22f x x =-，下列命题中的真命题有（）A ．R β∃∈，()f x β+为奇函数B ．30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()()2f x f x α=+对x R ∈恒成立 C ．1x ∀，2x R ∈，若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为4π D ．1x ∀，2x R ∈，若()()120f x f x ==，则()12x x k k Z π-=∈三、填空题13．函数lg(2)y x =-的定义域是______．14．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是__________． 15．()ππtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调区间是__________．16．已知函数()4,44,4x x f x x x -≥⎧=⎨-+<⎩．若存在正实数k ，使得方程()kf x x =有三个互不相等的实根1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围是__________．四、解答题 17．已知2sin cos 33sin 2cos 8θθθθ-=+．（1）求tan θ的值；（2）求222sin cos sin cos θθθθ-的值．18．已知函数()()121x f x m m =+∈+R 是奇函数．（1）求实数m 的值；（2）判断()f x 的单调性（不用证明）；（3）求不等式()()220f x x f -+-<的解集．19．已知tan )ααβ=-=且0.2πβα<<<（1）求sin α和cos α；（2）求β的值.20．已知某观光海域AB 段的长度为3百公里，一超级快艇在AB 段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q （单位：万元）与速度v （单位：百公里／小时）（0≤v ≤3）的以下数据：为描述该超级快艇每小时航行费用Q 与速度v 的关系，现有以下三种函数模型供选择：Q ＝av 3＋bv 2＋cv ，Q ＝0．5v ＋a ，Q ＝klogav ＋b ．（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB 段的航行费用最少？并求出最少航行费用． 2160的扇形的弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点N ，M 在OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y ．（1）设PN x =，将y 表示成x 的函数关系式；（2）设POB θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式；并求出y 的最大值． 22．已知定义在区间()0,∞+上的函数()45f x x x=+-．（1）求函数()f x 的零点；（2）若方程()()0f x m m =>有四个不等实根1x ，2x ，3x ，4x ，证明123416x x x x ⋅⋅⋅=；（3）在区间[]1,4上是否存在实数(),a b a b <，使得函数()f x 在区间[],a b 上单调，且()f x 的值域为[],ma mb ，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案：1．C【解析】化简集合A,B ，根据交集运算求解.【详解】因为{}()2200,2A x x x =-<=，{}10(,1]B x x =-≥=-∞，所以A B ={}01x x <≤ 故选：C 2．A【解析】分析()sin1,cos1P 横纵坐标的符号即可求解. 【详解】因为角α的终边过点()sin1,cos1P ，且sin10,cos10>>，所以α是第一象限角. 故选：A 3．A 【分析】若6x π=，则1sin 2x =成立，逆命题不成立，可得出结论. 【详解】当6x π=时，1sin 2x =，所以“6x π=”是“1sin 2x =”的充分条件，当1sin 2x =时，26x k ππ=+或526x k ππ=+，Z k ∈，所以“6x π=”是“1sin 2x =”的不必要条件，即“6x π=”是“1sin 2x =”的充分不必要条件，故选：A. 4．D【解析】求出()2cos sin 4925αα-=，根据π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭判断cos sin 0αα->，从而可得答案.【详解】因为π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以cos 0,sin 0αα><，则cos sin 0αα->，又因为12sin cos 25αα=-，所以()2cos sin 121249sin cos 122525αααα⎛⎫=-⨯-= ⎪=-⎭-⎝，所以cos sin αα-=75，故选：D. 5．C【解析】根据函数的定义域以及单调性可得22222542422544a a a a a a a a ⎧-+≥⎪++≥⎨⎪-+<++⎩，解不等式组即可．【详解】因为函数()f x 是定义在[)2,∞+的单调递增函数，且()()222544f a a f a a -+<++，所以2222122542242254406a a a a a a a R a a a a a ⎧≤≥⎪⎧-+≥⎪⎪++≥⇒∈⎨⎨⎪⎪-+<++<<⎩⎪⎩或，解得102a <≤或26a ≤<．故选：C ． 6．C【解析】由Q P的值约等于613031222≈，令302k =，化指数式为对数式求解即可．【详解】因为3121P =-， 6121Q =-，P ，Q 两数远远大于1，所以Q P 的值约等于613122，设613122k =，则302k =，即30lg 2lg k =，因此有30lg 2lg k =，因为lg 20.3≈，以lg 9k ≈，即lg QP约等于9．故选：C ． 7．C【分析】由0,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得,4484x ππππωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，利用842πππω+≤可得结果.【详解】当0,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,4484x ππππωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，正弦函数在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，所以可得842πππω+≤，解得2ω≤，即ω的最大值为2，故选C ．【点睛】本题主要考查正弦函数单调性的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 8．B【分析】由隐对称点的定义可知函数()f x 图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程222(0)mx x x x +=-+>的零点问题，再结合基本不等式得出实数m 的取值范围．【详解】解：由隐对称点的定义可知函数()f x 图象上存在关于原点对称的点设()g x 的图象与函数22y x x =+，0x <的图象关于原点对称令0x >，则0x -<，22()()2()2f x x x x x ∴-=-+-=-2()2g x x x ∴=-+故原题义等价于方程222(0)mx x x x +=-+>有零点，解得22m x x=--+又因为2222xx --+≤-=-x(,2m ∞∴∈--．故选：B ． 9．ABD【解析】求出11sin 6π⎛⎫-⎪⎝⎭的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A ；利用两角和的余弦求值判断B ；利用二倍角的余弦求值判断C ；利用两角和的正切求值判断D.【详解】111sin sin 2sin 6662ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于A ，12sin15sin 752sin15cos15sin 302︒︒=︒︒=︒=；对于B ，()cos18cos 42sin18sin 42cos 1842︒︒-︒︒=︒+︒1cos602=︒=；对于C ，22cos 151cos30︒-=︒=对于D ，因为22tan 22.5tan 4511tan 22.5︒︒==-︒，可得2tan 22.511tan 22.52︒=-︒.∴与11sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值相等的是ABD.故选：ABD. 10．ACD【分析】化简()24f x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据正弦函数的周期公式判断A ；根据正弦函数的对称性判断BC ，根据三角函数的有界性判断D ．【详解】()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以最小正22T ππ==，故A 为真命题；当4x π=时，14f π⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭4x π=不是()y f x =的一条对称轴，故B 为假命题；当8x π=时，08f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故点π,08⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =的图象的一个对称中心，故C 为真命题；()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=-=-≤ ⎪⎝⎭()y f x =D 为真命题；故选：ACD ．【点睛】方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查三角函数的周期性、对称性以及三角函数的有界性，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 11．CD【解析】A ，22x y +没有最大值，故A 错误；B ，函数12111121y x x =-++-=--…，故B 错误； C ，x y +的最小值为2，故C 正确；D ，22149sin cos y x x=+≥，当且仅当222sin cos x x =时等号成立，故D 正确.【详解】A ，若x ，0y >，2x y +=，则22224x y +⨯=…，当且仅当1x y ==时等号成立，没有最大值，故A 错误；B ，若12x <，即210x -<，则函数12111121y x x =-++-=--…，当且仅当0x =等号成立，故B 错误；C ，若x ，0y >，2()3(),4x y xy x y +=-+≤所以2()4()120x y x y +++-≥，所以(6)(2)0x y x y +++-≥，所以2x y +≥，（当且仅当1x y ==时取等），所以x y +的最小值为2. 故C 正确；D ，222222222222141444(sin cos )()559sin cos cos x sin x x sin x y x x x x sin x cos x sin x cos x x cos x=+=++=+++=…，当且仅当222sin cos x x =时等号成立，故D 正确；故选：CD【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12．BC【分析】先化简函数()22cos 22cos 41f x x x =-=-；作出函数()cos41f x x =-的图象，再逐项判断，；由函数()f x β+的图象是()f x 的图象向左或向右平移β个单位，它不会是奇函数的，故A 错误；由()()2f x f x α=+，得()co s 41c o s 481x x α-=+-，82k απ=，4k πα=，Z k ∈；又30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，取4πα=或2π时成立B 正确；由()()1212cos 4cos 42f x f x x x -=-=时，得 12x x -的最小值为22244T ππ==⨯，所以C 正确；当()()120f x f x ==时， ()12242k x x kT k k Z ππ-==⋅=∈，所以D 错误. 【详解】由题意()22cos 22cos 41f x x x =-=-；∵()cos41f x x =-的图象如图所示；函数()f x β+的图象是()f x 的图象向左或向右平移β个单位，它不会是奇函数的，故A 错误；若 ()()2f x f x α=+， ∴()cos 41cos 481x x α-=+-， ∴82k απ=， ∴4k πα=，Z k ∈；又30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，∴取4πα=或2π时， ∴()()2f x f x α=+对x R ∈恒成立，故B 正确； ()()1212cos 4cos 42f x f x x x -=-=时，12x x -的最小值为22244T ππ==⨯，故C 正确；当()()120f x f x ==时， ()12242k x x kT k k Z ππ-==⋅=∈ 故D 错误；故选:BC.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 13．(,2)-∞【详解】由题设有20x ->，解得2x <，故函数的定义域为(),2∞-，填(),2∞-．14．πsin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，先放缩变换，再平移变换，从而可得答案．【详解】将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数1sin 2y x =的图象；再将1sin 2y x =的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是1sin sin 2326x y x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故答案为：πsin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．15．512,233k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z【解析】根据正切函数的单调性求解即可.【详解】()ππtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,∴令ππ,2232Z k x k k ππππ-<+<+∈，解得1,35232k x k k Z -+<<+∈,所以函数的单调递增区间为512,233k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z .故答案为：512,233k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z16．(8,6+【解析】分离参数可得()k xf x =，做出()y xf x =的函数图象，根据二次函数的对称性求出12x x +的值，并求出3x 的范围即可得出答案．【详解】由()0kf x x -=可看到()224,44,40x x x k xf x x x x x ⎧-==⎨-+<≠⎩且…，令()224,44,40x x x g x x x x x ⎧-=⎨-+<≠⎩且…，作出()y g x =的函数图象如图所示：()0kf x x-=有三个不相等的实数根1x ，2x ，3x ， ∴直线y k =与()y g x =的图象有三个交点，设三个交点的横坐标从小到大分别为1x ，2x ，3x ，由二次函数的对称性可知124x x +=，令244x x -=可得2x =+2x =-)，342x ∴<<+12386x x x ∴<++<+即123x x x ++的取值范围是(8,6+，故答案为：(8,6+．【点睛】结论点睛：函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.17．（1）2；（2）43.【解析】（1）原式分子分母同时除以cos θ可得关于tan θ的方程，解方程即可得答案；（2）原式分子分母同时除以2cos θ，可得关于tan θ的代数式，再将tan θ的值代入即可. 【详解】（1）因为2sin cos 33sin 2cos 8θθθθ-=+所以2tan 13tan 23tan 28θθθ-=⇒=+．（2）222sin cos sin cos θθθθ-22tan 224tan 1413θθ⨯===--． 18．（1）12m =-；（2）()f x 在(),-∞+∞上为减函数；（3）()(),12,-∞-+∞.【解析】（1）由()1002f m =+=，可得12m =-，再验证()11212x f x =-+是奇函数即可；（2）由21x +为增函数，可得121x +为减函数，进而可得结论．（3）由奇偶性可得()()22f x x f -<，再由单调性可得22x x ->，进而可得答案.【详解】（1）因为()()121x f x m m =+∈+R 是奇函数，且()121x f x m =++的定义域为(),-∞+∞，所以()1002f m =+=，可得12m =-．此时()11212x f x =-+，()1121212212x x x f x --=-=-++()211121211221x x x f x =-=-++=--+，所以()11212xf x =-+是奇函数， 12m =-符合题意．∴12m =-．（2）由2x 为增函数，所以21x +为增函数，且211x +>，所以121x +为减函数，可得()11212xf x =-+在(),-∞+∞上为减函数．（3）由()()220f x x f -+-<，可得()()22f x x f -<--，即()()22f x x f -<，因为()11212xf x =-+在(),-∞+∞上为减函数，所以22x x ->，即220x x -->，所以1x <-或2x >，故解集为()(),12,-∞-+∞．【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由()()+0f x f x -= 恒成立求解，（2）偶函数由()()0f x f x --= 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由()00f = 求解，偶函数一般由()()110f f --=求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.19．(1) sin α=,1cos 7α= (2) 3πβ=【解析】（1）由02πα<<，则s i n 0α>，cos 0α>，根据tan α=sin αα=，结合平方关系可求解.(2)先求出cos()αβ-，然后由()βααβ=--，求出cos β的值，可得答案. 【详解】(1)由02πα<<，则sin 0α>，cos 0α>由tan α=sin cos αα= 即sin αα= 由2221sin cos 49cos ααα=+=，则1cos 7α=，所以sin αα==（2）sin()αβ-0.2πβα<<<所以02παβ<-<，所以13cos(),14αβ-=()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ=--=-+-⎡⎤⎣⎦11317142=⨯= 又02βπ<<，所以3πβ=【点睛】关键点睛：本题考查已知三角函数值求三角函数值和求角，解答本题的关键是弄清楚角的范围，在利用平方关系求正弦和余弦时的符号，利用角的变换关系()βααβ=--得到()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ=--=-+-⎡⎤⎣⎦，从而求出cos β的值，属于中档题.20．（1）选择函数模型32Q av bv cv =++，函数解析式为320.10.20.8(03)Q v v v v =-+≤≤；（2）以1百公里/小时航行时可使AB 段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元.【分析】（1）对题中所给的三个函数解析式进行分析，对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式，得出结果；（2）根据题意，列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果. 【详解】（1）若选择函数模型0.5v Q a =+，则该函数在[0,3]v ∈上为单调减函数，这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型．若选择函数模型log a Q k v b =+，须0v >，这与试验数据在0v =时有意义矛盾，所以不选择该函数模型．从而只能选择函数模型32Q av bv cv =++，由试验数据得，0.7,842 1.6,2793 3.3,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，即0.7,420.8,93 1.1,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得0.1,0.2,0.8,a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 故所求函数解析式为：320.10.20.8(03)Q v v v v =-+≤≤．（2）设超级快艇在AB 段的航行费用为y （万元），则所需时间为3v（小时），其中03v <≤，结合（1）知，()3230.10.20.8y v v v v=-+ ()20.317v ⎡⎤=-+⎣⎦所以当1v =时，min 2.1y =．答：当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB 段的航行费用最少，且最少航行费用为2．1万元．【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有函数模型的正确选择，等量关系式的建立，配方法求二次式的最值，属于简单题目. 21．（1）2302y x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭；（2）π2)63y πθθ⎛⎫+<< ⎪⎝⎭，max y =【分析】（1）将MN 用x 加以表示，再利用矩形的面积公式可求得y 表示成x 的函数关系式；（2）将PN 、MN 利用θ加以表示，并利用三角恒等变换思想化简函数解析式，由π0θ3<<求出26πθ+的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得y 的最大值.【详解】（1）因为QM PN x ==，由tan3QMOM π==OM ∴=，由勾股定理可得ON所以MN ON OM =-=所以2302y MN PN x x ⎛⎫=⋅=<< ⎪⎝⎭；（2）当POB θ∠=时，QM PN θ==，则sin tan3QM OM θπ==，又ON θ，所以sin MN ON OM θθ=--，所以)21cos 233sin cos sin 222y MN PN θθθθθ-=⋅==-3sin 2220263ππθθθθ⎛⎫⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 03πθ<<Q ，则52666πππθ<+<，故当262ππθ+=时，即当6πθ=时，函数26y πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭max y =【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.22．（1）1x =或4x =；（2）证明见解析；（3）存在，1919,,325216⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.【解析】（1）令()0f x =，求x 的值；（2）如有画出函数()y f x =的图象，()f x m =有四个根，则01m <<，设()45g x x x=+-，由()g x m =或()g x m =-，化简后，分别求两根之积；（3）由函数图象可得分[][],1,2a b ⊆时，()()f a f b m a b==，变形后求m 的取值范围，或[][],2,4a b ⊆时，()f a mb =，()f b ma =可得5a b +=，由()f a m b=求m 的取值范围.【详解】解：（1）令()0f x =，解得1x =或4x =．（2）如图，要使()f x m =有四个根，则01m <<，令()45g x x x=+-，当()g x m =，则()2540x m x -++=，∴144x x ⋅=，当()g x m =-，则()2540x m x --+=，∴234x x ⋅=，∴123416x x x x ⋅⋅⋅=．（3）当[][],1,2a b ⊆时，()45f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()45f a a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()45f b b b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由()()f a f b m a b==得，4455b ab ab a ab a b --=--，即()540ab a b -+=，∴454ab a =-，由(]1,2b ∈，解得443a ≤<，由[)1,2a ∈，423a ≤<， ∵b a >，∴85a <，∴4835a ≤<，由()245451a f a a m aa a a--===-+-，可得19216m ≤<． ②当[][],2,4a b ⊆，()45f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由()f a mb =，()f b ma =可得5a b +=，再由()f a mb =，得254a a m ab --=，把5b a =-代入得2415m a a =--，∵24a ≤<，24b <≤且b a >，∴522a ≤<，∴19,325m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，综上，m 的范围是1919,,325216⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭．【点睛】关键点点睛：本题主要考查对勾函数的图象和性质应用，体现了数形结合和转化的数学思想，属于难题，本题的第三问的关键是分类讨论，得到a 与b 的关系，然后再代入()f a m a =或()f a m b=求取值范围.。

广东省深圳市宝安区高一数学上学期期末试卷(含解析)

广东省深圳市宝安区2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合U=R，A={x∈N|x≤3}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则（∁U A）∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣2，﹣1} C．{1，2} D．{0，1，2}2．（5分）已知m=0.91.1，n=1.10.9，p=log0.91.1，则m、n、p的大小关系（）A．m＜n＜p．B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m3．（5分）cos600°=（）A．B．﹣C．D．﹣4．（5分）下列函数中，是偶函数且在（0，1）上单调递减的是（）A．y=x﹣2B．y=x4C．y=D．y=﹣5．（5分）在（0，2π）内使sinx＞cosx成立的x的取值范围是（）A．（，）∪（π，）B．（，π）C．（，π）∪（，）D．（，）6．（5分）函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）7．（5分）将函数的图象上各点的横坐标长到原来的3倍，纵坐标不变，再把所得函数图象向右平行移动个单位长度，得到的函数图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．8．（5分）已知3x﹣3﹣y≥5﹣x﹣5y成立，则下列正确的是（）A．x+y≤0B．x+y≥0C．x﹣y≥0D．x﹣y≤0二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上．9．（5分）计算100（lg9﹣lg2）﹣log98•log4=．10．（5分）已知sinα=﹣，cos（α+β）=0，则sin（α+2β）=．11．（5分）设函数y=sin（x+），若对任意x∈R，存在x1，x2使f（x1）≤f（x）≤f（x2）恒成立，则|x1﹣x2|的最小值是．12．（5分）在平面直角坐标系中，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，平面内三点A、B、C满足，．若A、B、C三点构成直角三角形，则实数m的值为．13．（5分）如果f（x）=atanx+bsin3x﹣5，并且f（1）=2，那么f（﹣1）=．14．（5分）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T﹣T a=（T0﹣T a）•，其中T a称为环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降到40℃需要20分钟，那么此杯咖啡从40℃降温到32℃时，还需要分钟．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．15．（12分）已知sinθ=﹣，θ∈（﹣，0）．（1）求cosθ和tanθ的值；（2）求的值．16．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB=120°，D、E为边AB的两个三等分点，=3，=2，||=||=1，试用，表示、，并求||．17．（14分）若函数f（x）=﹣x2+2|x|（1）判断函数的奇偶性；（2）在直角坐标系画出函数图象、写出函数的单调区间，求出函数值域．18．（14分）已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ），（1）若θ=0，x∈，求f（x）的值域；（2）若f（x）的图象关于原点对称，且θ∈（0，π），求θ的值．19．（14分）已知函数 f（x）=（1）判断函数的奇偶性；（2）求该函数的值域；（3）解关于x的不等式f（2x﹣1）＜．20．（14分）已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f （x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间⊆D，使函数f（x）在区间上的值域为，那么称y=f（x），x∈D为闭函数；请解答以下问题（1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间；（2）判断函数f（x）=x+（x∈（0，+∞））是否为闭函数？并说明理由；（3）若y=k+是闭函数，求实数k的取值范围．广东省深圳市宝安区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合U=R，A={x∈N|x≤3}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则（∁U A）∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣2，﹣1} C．{1，2} D．{0，1，2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题；集合．分析：由题意先求A={0，1，2，3}，再求∁U A，最后求（∁U A）∩B．解答：解：A={x∈N|x≤3}={0，1，2，3}，故∁U A={x|x≠0且x≠1，且x≠2，且x≠3}；故（∁U A）∩B={﹣2，﹣1}；故选B．点评：本题考查了集合的运算，属于基础题．2．（5分）已知m=0.91.1，n=1.10.9，p=log0.91.1，则m、n、p的大小关系（）A．m＜n＜p．B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵0＜m=0.91.1＜1，n=1.10.9＞1，p=log0.91.1＜0，∴n＞m＞p．故选：C．点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．3．（5分）cos600°=（）A．B．﹣C．D．﹣考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式把要求的式子化为﹣cos60°，从而求得结果．解答：解：cos600°=cos（360°+240°）=cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣，故选：B．点评：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．4．（5分）下列函数中，是偶函数且在（0，1）上单调递减的是（）A．y=x﹣2B．y=x4C．y=D．y=﹣考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：对四个选项利用奇偶函数的定义以及单调性矩形分析解答．解答：解：选项A，（﹣x）﹣2=x﹣2，是偶函数；并且在（0，1）上单调递减；选项B，（﹣x）4=x4，是偶函数，但是在（0，1）上单调递增；选项C，定义域为是非奇非偶的函数，在（0，1）上单调递增；选项D，是奇函数，在（0，1）上单调递增；所以满足偶函数且在（0，1）上单调递减的是A；故选：A．点评：本题考查了函数的奇偶性以及单调性；明确基本初等函数的性质是解答的关键．5．（5分）在（0，2π）内使sinx＞cosx成立的x的取值范围是（）A．（，）∪（π，）B．（，π）C．（，π）∪（，）D．（，）考点：两角和与差的正弦函数；三角函数线．专题：计算题；三角函数的求值．分析：转化sinx＞cosx为一个角的一个三角函数的形式，得到自变量的范围，又知自变量在（0，2π）内，写出结果．解答：解：∵sinx＞cosx，∴sin（x﹣）＞0，∴2kπ＜x﹣＜2kπ+π （k∈Z），∵在（0，2π）内，∴x∈（，），故选D．点评：本题考查两角和与差的三角函数，正弦函数的图象与性质，考查计算能力．6．（5分）函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．解答：解：因为f（）=＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（）上，故选C．点评：本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．7．（5分）将函数的图象上各点的横坐标长到原来的3倍，纵坐标不变，再把所得函数图象向右平行移动个单位长度，得到的函数图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的对称性．专题：规律型．分析：由题意根据伸缩变换、平移变换求出函数的解析式，然后求出函数的一个对称中心即可．解答：解：将函数的图象上各点的横坐标长到原来的3倍，可得函数解析式为y=sin（2x+）（x系数变为原来的），函数的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin=sin2x令2x=kπ（k∈Z），则x=∴函数的对称中心坐标为（，0）（k∈Z）．当k=1时，函数的一个对称中心坐标为故选A．点评：本题考查三角函数图象的伸缩、平移变换，函数的对称中心坐标问题，属于基础题．8．（5分）已知3x﹣3﹣y≥5﹣x﹣5y成立，则下列正确的是（）A．x+y≤0B．x+y≥0C．x﹣y≥0D．x﹣y≤0考点：不等式比较大小．专题：转化思想．分析：构造函数f（x）=3x﹣5﹣x，根据函数单调性的性质结合指数函数的单调性，我们可以判断出函数f（x）=3x﹣5﹣x为增函数，由3x﹣3﹣y≥5﹣x﹣5y成立，我们易根据单调性的定义得到一个关于x，y的不等式，进而得到答案．解答：解：构造函数f（x）=3x﹣5﹣x，∵y=3x为增函数，y=5﹣x为减函数，由函数单调性的性质“增”﹣“减”=“增”得到函数f（x）=3x﹣5﹣x为增函数又∵3x﹣3﹣y≥5﹣x﹣5y，即3x﹣5﹣x≥3﹣y﹣5y，故x≥﹣y即x+y≥0故选B点评：本题的考查的知识点是不等式比较大小，其中构造函数f（x）=3x﹣5﹣x，将已知中的不等关系转化为函数单调性的应用，是解答本题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上．9．（5分）计算100（lg9﹣lg2）﹣log98•log4=2．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数幂和对数的运算性质化简计算即可．解答：解：100（lg9﹣lg2）﹣log98•log4=10lg9÷10lg4﹣•=﹣•=﹣=2．故答案为：2点评：本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题．10．（5分）已知sinα=﹣，cos（α+β）=0，则sin（α+2β）=﹣．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角公式易得cos（2α+2β）=﹣1，sin（2α+2β）=0，代入sin（α+2β）=sin=sin（2α+2β）cosα﹣cos（2α+2β）sinα，计算可得．解答：解：∵sinα=﹣，cos（α+β）=0，∴cos（2α+2β）=2cos2（α+β）﹣1=﹣1，∴sin（2α+2β）=2sin（α+β）cos（α+β）=0，∴sin（α+2β）=sin=sin（2α+2β）cosα﹣cos（2α+2β）sinα=﹣（﹣1）×（﹣）=﹣故答案为：﹣．点评：本题考查两角和与差的三角函数以及二倍角公式，属基础题．11．（5分）设函数y=sin（x+），若对任意x∈R，存在x1，x2使f（x1）≤f（x）≤f（x2）恒成立，则|x1﹣x2|的最小值是2．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：由已知可知f（x1）是f（x）中最小值，f（x2）是值域中的最大值，它们分别在最高和最低点取得，它们的横坐标最少相差半个周期，由三角函数式知周期的值，结果是周期的值的一半．解答：解：∵对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），∴f（x1）和f（x2）分别是函数的最大值和最小值，∴|x1﹣x2|的最小值为函数的半个周期，∵T==4，∴|x1﹣x2|的最小值为2，故答案为：2．点评：本题是对函数图象的考查，只有熟悉三角函数的图象，才能解决好这类问题，同时，其他的性质也要借助三角函数的图象解决，本章是数形结合的典型．12．（5分）在平面直角坐标系中，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，平面内三点A、B、C满足，．若A、B、C三点构成直角三角形，则实数m的值为﹣2或0．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：根据△ABC有一个内角为直角，进行分类讨论，根据两向量垂直则两向量的数量积为零建立方程，分别求出各种情形下的m的值即可．解答：解：当∠ACB为直角时，即（2i+mj）=2+m（m﹣1）=0，无解；当∠CAB为直角时，即（i+j）（2i+mj）=2+m=0，解得m=﹣2；当∠CBA为直角时，即（i+j）=1+m﹣1=0，m=0；m可取的值：﹣2或0；故答案为：﹣2或0．点评：本题主要考查了单位向量，以及向量在几何中的应用和分类讨论的数学思想，属于基础题．13．（5分）如果f（x）=atanx+bsin3x﹣5，并且f（1）=2，那么f（﹣1）=﹣12．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用函数的奇偶性求解函数值即可．解答：解：f（x）=atanx+bsin3x﹣5，f（1）=2，可得：atan1+bsin31﹣5=2，即atan1+bsin31=7f（﹣1）=﹣atan1﹣bsin31﹣5=﹣7﹣5=﹣12．故答案为：﹣12；点评：本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力．14．（5分）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T﹣T a=（T0﹣T a）•，其中T a称为环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降到40℃需要20分钟，那么此杯咖啡从40℃降温到32℃时，还需要10分钟．考点：根据实际问题选择函数类型．专题：函数的性质及应用．分析：由题意直接利用已知条件求解函数的解析式，然后求解即可．解答：解：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T﹣T a=（T0﹣T a）•，其中T a称为环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降到40℃需要20分钟，可得T a=24，T0=88，T=40，可得：40﹣24=（88﹣24），解得h=10，此杯咖啡从40℃降温到32℃时，可得：32﹣24=（40﹣24），解得t=10．故答案为：10．点评：本题考查函数的值的求法，函数与方程的应用，考查计算能力．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．15．（12分）已知sinθ=﹣，θ∈（﹣，0）．（1）求cosθ和tanθ的值；（2）求的值．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：（1）直接利用同角三角函数的基本关系式求解即可．（2）利用诱导公式化简所求的表达式，代入cosθ的值求解即可．解答：解：（1）sinθ=﹣，θ∈（﹣，0）．cosθ==∴；tanθ=﹣2…（5分）（2）…（5分）点评：本题考查三角函数化简求值，诱导公式的应用，考查计算能力．16．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB=120°，D、E为边AB的两个三等分点，=3，=2，||=||=1，试用，表示、，并求||．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用D、E为边AB的两个三等分点=3，=2，||=||=1，根据向量的线性运算，即可得到结论．解答：解：，，===，∴|CD|=．点评：本题考查向量的线性运算，考查学生的计算能力，属于基础题17．（14分）若函数f（x）=﹣x2+2|x|（1）判断函数的奇偶性；（2）在直角坐标系画出函数图象、写出函数的单调区间，求出函数值域．考点：二次函数的性质；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）先求出函数f（﹣x），利用f（﹣x）与f（x）的关系，判断函数的奇偶性．（2）利用函数的奇偶性作出函数的图象，并结合图象写出函数的单调区间和函数的值域．解答：解：（1）因为f（x）=﹣x2+2|x|，所以f（﹣x）=﹣（﹣x）2+2|﹣x|=﹣x2+2|x|=f （x），所以函数f（x）是偶函数．（2）作出函数f（x）=﹣x2+2|x|=的图象：由图象可知函数的单调增区间：（﹣∞，﹣1]，．减区间：，，点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及利用函数的奇偶性研究函数的图象和性质．18．（14分）已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ），（1）若θ=0，x∈，求f（x）的值域；（2）若f（x）的图象关于原点对称，且θ∈（0，π），求θ的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：化简可得f（x）=，（1）当θ=0时，，由x的范围和三角函数的性质可得f（x）的值域；（2）要满足题意只需，结合θ∈（0，π）可得．解答：解：化简可得=（1）当θ=0时，，∵，∴，∴由正弦函数的单调性知，∴f（x）的值域为；（2）若f（x）的图象关于原点对称，则只需将f（x）的图象做适当平移，使得其过原点即可．∴，又θ∈（0，π），则．点评：本题考查三角函数的图象和性质，属基础题．19．（14分）已知函数 f（x）=（1）判断函数的奇偶性；（2）求该函数的值域；（3）解关于x的不等式f（2x﹣1）＜．考点：其他不等式的解法；函数的值域；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数奇偶的定义即可判断函数的奇偶性；（2）根据方式函数的性质即可求该函数的值域；（3）结合函数奇偶性和单调性之间的关系即可解不等式f（2x﹣1）＜．解答：解：（1）∵f（﹣x）==﹣f（x），∴函数是奇函数；（2）f（x）===1，∵2x+1＞1，∴0＜＜2，0＞﹣＞﹣2，1＞1﹣＞﹣1，即﹣1＜y＜1，该函数的值域（﹣1，1）；（3）f（x）===1，∵y=2x+1为增函数，∴y=为减函数，y=﹣＞为增函数，∴y=1为增函数，∵f（1）=．∴不等式f（2x﹣1）＜等价为f（2x﹣1）＜f（1），∵函数f（x）为增函数，∴不等式等价为2x﹣1＜1．即2x＜2，解得x＜1，故不等式的解集为（﹣∞，1）．点评：本题主要考查指数型函数的性质，根据函数奇偶性的定义以及指数函数的性质是解决本题的关键．20．（14分）已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f （x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间⊆D，使函数f（x）在区间上的值域为，那么称y=f（x），x∈D为闭函数；请解答以下问题（1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间；（2）判断函数f（x）=x+（x∈（0，+∞））是否为闭函数？并说明理由；（3）若y=k+是闭函数，求实数k的取值范围．考点：函数奇偶性的性质；函数奇偶性的判断．专题：新定义；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．分析：（1）根据“闭函数”的定义，结合y=﹣x3的单调性，列出方程组，求出a、b的值；（2）根据f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数，得出f（x）在（0，+∞）上不是“闭函数”；（3）先判断g（x）=k+在定义域上是“闭函数”，则，且a＜b，解得；所以满足条件的区间为；（2）由f（x）=x+（x∈（0，+∞）得，所以f（x）在（0，+∞）上不是单调函数，不符合“闭函数”定义，所以f（x）=x+在x∈（0，+∞）上不是“闭函数”；（3）设g（x）=k+，则g（x）的定义域为所以g（x1）＜g（x2），所以g（x）是增函数．设符合条件的区间为，则有g（a）=a，g（b）=b，即，所以a、b是方程x﹣﹣k=0的两根；所以问题转化为h（x）=x2﹣x﹣k有两个非负零点，即方程x2﹣x﹣k=0在[0，+∞）内有两个不同实数根；所以，解得﹣＜k≤0，所以，实数k的取值范围是．点评：本题考查了新定义的问题，考查了函数的性质与应用问题，考查了方程思想与转化思想的应用问题，是综合性题目．。

广东省深圳市宝安区2019年高一上学期期末考试数学试题(含答案)

点得
F
是
BC
的中点，所以��⃗⃗��⃗⃗��⃗��
=
1 2
��⃗⃗��⃗⃗��⃗��，
所以��⃗⃗��⃗⃗��⃗�� = ��⃗⃗��⃗⃗��⃗�� + ��⃗⃗��⃗⃗��⃗�� = 1 ��⃗⃗��⃗⃗��⃗�� − 1 ��⃗⃗��⃗⃗⃗��⃗��，
2
2
故选：D．
由题意点 E，F 分别是 DC，BC 的中点，求出��⃗⃗��⃗⃗��⃗��，��⃗⃗��⃗⃗��⃗��，然后求出向量��⃗⃗��⃗⃗��⃗��即得．
5. 若将函数�� = 2sin2��的图象向左平移1��2个单位长度，则平移后的图象的对称轴为( )
26
故选：B．
利用函数�� = ��sin(�� + ��)(�� > 0, �� > 0)的图象的变换及正弦函数的对称性可得答
案．已知函数��(��) = �� + log2(��2 + ��)(�� > 0)的最小值为 8，则( )
2. 化简cos 15∘cos 45∘ − sin15∘sin 45∘的值为( )
A.
−1
2
B. √3 2
C.
1 2
D. − √3 2
【答案】C
【解析】解：cos
15∘cos
45∘
−
sin15∘sin
45∘
=
cos(15∘
+
45∘)
=

2020-2021学年广东省深圳市宝安区高一上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年广东省深圳市宝安区高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知集合A={x||x|≤2}，B={x|−3<x<1}，则A∩B=()A. {x|−3<x≤2}B. {x|−3≤x≤2}C. {x|−2≤x<1}D. {x|−2≤x≤1}2.已知f(x)在R上是奇函数，且f(x)在R上的最大值为m，则函数F(x)=f(x)+3在R上的最大值与最小值之和为()A. 2m+3B. 2m+6C. 6D. 6−2m3.对于集合{a1,a2,…,a n}和常数a0，定义：w=sin(a1−a0)2+sin(a2−a0)2+⋯+sin(a n−a0)2n为集合{a1,a2,…,a n}相对于a0的“正弦方差”，则集合{π2,5π6,7π6}相对a0的“正弦方差”为()A. 13B. 12C. a04D. a034.如图所示，函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=−32x2+12x+1上，则f(x)=()A. f(x)=sin(16x+π3) B. f(x)=sin(12x+π3)C. f(x)=sin(π2x+π3) D. f(x)=sin(π2x+π6)5.已知两个非零向量a⃗、b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则a⃗与b⃗ 的关系是()A. 共线B. 不共线且不垂直C. 垂直D. 共线且方向相反6.满足不等式1x<1的x的取值范围是()A. x>1B. x<0或x>1C. x<0D. 0<x<17.已知函数f(x)=sin(2x +φ)(0<φ<π)，若将函数y =f(x)的图象向左平移π6个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则实数φ=( )A. 5π6B. 2π3C. π3D. π68.已知，则所在的象限是( )A. 第一象限B. 第三象限C. 第一或第三象限D. 第二或第四象限9.下列关于向量的说法中正确的是( )A. 向量a ⃗ =λb⃗ (λ≠0)且b ⃗ ≠0⃗ ，则向量a ⃗ 与b ⃗ 的方向相同或相反 B. 若|a ⃗ |<|b ⃗ |，则a ⃗ b >cB. c >a >bC. a >c >bD. b >a >c二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）11. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)+f(−x)=0，f(x +6)=−f(x)，且∀x 1，x 2∈[−3,0]，当x 1≠x 2时，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)<x 1f(x 2)+x 2f(x 1)，则以下判断正确的是( )A. f(x)是奇函数B. 函数f(x)在[−9,−6]单调递增C. x =3是函数f(x)的对称轴D. 函数f(x)的最小正周期是612. 已知函数f(x)=(12)x2−|x|−2，下列关于函数f(x)的说法正确的是( )A. 函数f(x)是关于y 轴对称的偶函数B. 函数f(x)为非奇非偶函数C. 函数f(x)的最大值为4√24D. 函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−12)∪(0,12)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 不等式|2x −1−log 3(x −1)|<|2x −1|+|log 3(x −1)|的解集是______ ．14. 向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k = ______ ．15.定义：如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(a<x0<b)，满足f(x0)=f(b)−f(a)b−a，则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是[−1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f(x)=x3+mx是区间[−1,1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是______．16.已知命题p1：函数y=lntanx与y=12ln1−cos2x1+cos2x是同一函数；p2：已知x0是函数f(x)=11−x+2x的一个零点，若1<x1<x0<x2，则f(x1)<0<f(x2)，则在以下命题：①p1∨p2；②(￢p1)∧(￢p2)；③(￢p1)∧p2；④p1∨(￢p2)中，真命题是______ (写出所有正确命题的序号)．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数().(1)判断的奇偶性；(2)当时，求证：函数在区间上是单调递减函数，在区间上是单调递增函数；(3)若正实数满足，，求的最小值．18. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+4x(1)求函数f(x)，x∈R的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−2ax+2，x∈[1,4]，记函数g(x)的最大值为ℎ(a)，求函数ℎ(a)的解析式，并写出函数ℎ(a)的值域．19. 如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点Q(1,0)，当α≠2kπ+β(k∈Z)时，以x轴非负半轴为始边作角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cosα,sinα)，Q1(cosβ,sinβ)．(1)叙述并利用如图证明两角差的余弦公式；(2)利用两角差的余弦公式与诱导公式.证明：sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ．(附：平面上任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)间的距离公式P1P2=√(x2−x1)2+(y2−y1)2).20. 已知函数f(x)=x+a2x(其中a为常数)．(1)判断函数y=f(2x)的奇偶性；(2)若不等式f(2x)<2x+12x+4在x∈[0,1]时有解，求实数a的取值范围；(3)设g(x)=1−x1+x ，是否存在正数a，使得对于区间[0,12]上的任意三个实数m，n，p，都存在以f[g(m],f[g(n)],f[g(p)]为边长的三角形？若存在，试求出这样的a的取值范围；若不存在，请说明理由．21. 设函数(1)求的最小正周期及其图像的对称轴方程；(2)将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，求在区间的值域．22. 如图，互相垂直的两条公路AP、AQ旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园AMN，要求点M在射线AP上，点N在射线AQ上，且直线MN过点C，其中AB=20米，AD=30米．记三角形花园AMN的面积为S．(1)问：DN取何值时，S取得最小值，并求出最小值；(2)若S不超过1350平方米，求DN长的取值范围．参考答案及解析1.答案：C解析：解：∵A ={x|−2≤x ≤2}，B ={x|−3<x <1}， ∴A ∩B ={x|−2≤x <1}．故选：C ．可求出集合A ，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法的定义，绝对值不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：本题考查函数的奇偶性的性质的应用，是基础题．利用函数的奇偶性的性质求解即可．解：f(x)在R 上是奇函数，且f(x)在R 上的最大值为m ，则最小值为：−m ，最大值与最小值之和为0，函数F(x)=f(x)+3，是函数f(x)的图象向上平移3个单位，并不改变最大最小值所取的点对应的x 的值，所以F(x)=f(x)+3最大值最小值之和为6，故选：C ．3.答案：B解析：解：根据新定义：w=sin(a 1−a 0)2+sin(a 2−a 0)2+⋯+sin(a n −a 0)2为集合{a 1,a 2,…,a n }相对于a 0的“正弦方差” ∴集合{π2,5π6,7π6}相对a 0的“正弦方差”为：w =sin 2(π2−a 0)+sin 2(5π6−a 0)+sin 2(7π6−a 0)3=3+cos2a 0−cos(5π3−2a 0)−cos(7π3−2a 0)6=12．故选B ．根据新定义，将a1=π2，a2=5π6，a3=7π6，n=3代入计算可得结论．本题考察了对新定义的理解和运用能力，同时考察了二倍角的化简计算能力．属于中档题题．4.答案：C解析：解：根据题意，函数f(x)离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=−32x2+12x+1上，令y=0，得−32x2+12x+1=0，解得x=−23或x=1；∴点(−23,0)在函数f(x)的图象上，∴−23ω+φ=0，即φ=23ω①；又令ωx+φ=π2，得ωx=π2−φ②；把①代入②得，x=π2ω−23③；令y=1，得−32x2+12x+1=1，解得x=0或x=13；即π2ω−23=13，解得ω=12π，∴φ=23ω=π3，∴f(x)=sin(π2x+π3).故选：C．根据题意，令y=0，求出点(−23,0)在函数f(x)的图象上，再令y=1，求出点(13,1)在函数f(x)的图象上，从而求出φ与ω的值，即可得出f(x)的解析式．本题考查了解函数y=sin(ωx+φ)以及二次函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．5.答案：C解析：解：∵两个非零向量a⃗、b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，∴(a⃗+b⃗ )2=(a⃗−b⃗ )2，展开得到，a⃗⋅b⃗ =0，故选C．根据两个非零向量a⃗、b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，可得(a⃗+b⃗ )2=(a⃗−b⃗ )2，展开即可．本题考查了向量的模和数量积运算，属于基础题．6.答案：B解析：解：1x <1，即1x−1<0，即1−xx<0，即x(x−1)>0，解得x<0或x>1，故选：B．解不等式1x<1，即可得出x的取值范围．本题考查了求一元二次不等式的解集问题，解题时应按照解一元二次不等式的步骤解答即可，是容易题．7.答案：D解析：本题主要考查三角函数的平移以及三角函数的性质，解决此问题时要注意数形结合思想的运用，属于中档题．函数y=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π6个单位后可得y=sin[2(x+π6)+φ](0<φ<π)，再依据它是偶函数得2×π6+φ=π2+kπ,k∈Z，从而求出φ的值．解：∵函数y=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π6个单位后可得y=sin[2(x+π6)+φ](0<φ<π)，∵得到的函数是偶函数，∴2×π6+φ=π2+kπ，k∈Z即φ=π6+kπ，k∈Z，∵0<φ<π，∴φ的值π6．故选D．8.答案：C解析：试题分析：因为所以为第二象限角，即，则的集合为，当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角，故选C．考点：本题考查的知识点是象限角的定义以及判断三角函数值得符号的方法．9.答案：A解析：解：对于A，向量a⃗=λb⃗ (λ≠0)且b⃗ ≠0，则λ>0时，向量a⃗与b⃗ 的方向相同，λ<0时，向量a⃗与b⃗ 的方向相反，∴A正确；对于B，当|a⃗|<|b⃗ |时，不能得出a⃗<b⃗ ，因为向量是矢量，不能比较大小，∴B错误；对于C，当|a⃗|=|b⃗ |时，向量a⃗与b⃗ 的长度相等，但不能得出方向相同或相反，如单位向量模长相等，但方向可以是任意的，∴C错误；对于D，当a⃗//b⃗ ，且b⃗ //c⃗时，不能得出a⃗//c⃗，如b⃗ =0⃗时，它的方向是任意的，∴D错误．故选：A．A，由平面向量的共线定理得出λ>0时，方向相同，λ<0时，方向相反；B，向量是矢量，不能比较大小；C，当|a⃗|=|b⃗ |时，不能得出向量a⃗与b⃗ 方向相同或相反；D，a⃗//b⃗ ，且b⃗ //c⃗时，不能得出a⃗//c⃗．本题考查了平面向量的基本概念应用问题，是基础题．10.答案：B解析：解：对于g(x)=x，构造F(x)=g(x)−g′(x)=x−1，依题意，函数F(x)的零点就是函数g(x)的“新驻点”，得a=1；，对于ℎ(x)=ln(x+1)，构造G(x)=ℎ(x)−ℎ′(x)=ln(x+1)−1x+1>0，∴G(x)的零点b∈(0,1)；G(x)单调递增，且G(0)=−1<0，G(1)=ln2−12对于t(x)=x3−1，构造H(x)=t(x)−t′(x)=x3−3x2−1，H′(x)=3x2−6x=3x(x−2)，当x∈(−∞,0)∪(2,+∞)上，H′(x)>0；当x∈(0,2)上，H′(x)<0．∴H(x)的增区间为(−∞,0)，(2,+∞)；减区间为(0,2)．∵H(0)=−1<0，∴H(x)只有1个零点，∵H(3)=−1<0，H(4)=15>0，∴H(x)的零点c∈(3,4)．综上可得，c>a>b，故选：B．通过构造函数F(x)=f(x)−f′(x)，f(x)的“新驻点”就是函数F(x)的零点，再依次确定a，b，c的范围得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查零点存在定理的应用，属于中档题．11.答案：ABC解析：解：∵f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=−f(x)，∴函数为奇函数，故A正确；=3，故∵f(x+6)=−f(x)，而f(−x)=−f(x)，∴f(x+6)=f(−x)，得函数的对称轴为x=6+02C正确；∵f(x+6)=−f(x)，∴f(x+12)=−f(x+6)=f(x)，即f(x+12)=f(x)，∴f(x)的最小正周期是12，故D错误；对任意的x1，x2∈[−3,0]，当x1≠x2时，都有x1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1)，由x1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1)化简得(x1−x2)⋅(f(x1)−f(x2))<0，∴x∈[−3,0]时，f(x)为减函数，∵函数为奇函数，∴x∈[0,3]时，f(x)为减函数，又∵函数f(x)关于x=3对称，∴x∈[3,6]时，f(x)为增函数．∵f(x)的最小正周期是12，∴x∈[−9,−6]的单调性与x∈[3,6]时的单调性相同，故x∈[−9,−6]时，f(x)单调递增，故B正确．故选：ABC．由函数奇偶性的定义判断A；直接求出函数的对称轴与正周期判断C与D；把已知不等式变形，结合函数的周期性与对称性可得函数f(x)在[−9,−6]上的单调性判断B．本题考查抽象函数的性质，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．12.答案：ACD解析：直接利用函数的性质：函数的奇偶性，复合函数的单调性、函数的最值判断A、B、C、D的结论即可．本题考查的知识要点：函数的奇偶性，复合函数的单调性，函数最值的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属中档题．)x2−|x|−2，满足f(−x)=f(x)，所以函数为偶函数，故A正确，B错误．解：对于A：函数f(x)=(12对于C ：函数f(x)=(12)x2−|x|−2，令u =x 2−|x |−2，则y =(12)u，是单调递减的函数，在(0,+∞)上u =x 2−x −2，当x =12时,u min =−94，所以f(x)的最大值为f(12)=4√24，故C 正确；对于D ：结合C 可得函数f(x)的在(0,12)单调递增，函数在(12,+∞)单调递减，因为函数f(x)为偶函数，所以递增区间为(−∞,−12)和(0,12)，故D 正确．故选：ACD ．13.答案：(2,+∞)解析：解：∵|2x −1−log 3(x −1)|<|2x −1|+|log 3(x −1)|等价于2 x −1与log 3 (x −1)同号 ∴{2x −1>0log 3(x −1)>0，解得x >2；或{2x −1<0log 3(x −1)<0，x ∈⌀， ∴不等式|2x −1−log 3(x −1)|<|2x −1|+|log 3(x −1)|的解集是(2,+∞)．故答案为：(2,+∞)．由|2x −1−log 3(x −1)|<|2x −1|+|log 3(x −1)|⇒2x −1与log 3(x −1)同号，从而可求得其解集．本题考查绝对值不等式，关键在于分析出2x −1与log 3(x −1)同号，也是难点所在，属于中档题．14.答案：36解析：解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−k,4)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2k,9)； ∵A ，B ，C 三点共线；∴存在实数λ，使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，带入坐标得： {4−k =−2λk 4=9λ，解得，k =36．故答案是：36．根据共线向量基本定理，存在实数λ，使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，带入坐标即可求出k ．对共线向量基本定理掌握熟练了，解这道题是比较简单的．15.答案：−3<m ≤−34解析：解：函数f(x)=x 3+mx 是区间[−1,1]上的平均值函数，故有x 3+mx =f(1)−f(−1)1−(−1)在(−1,1)内有实数根．由x 3+mx =f(1)−f(−1)1−(−1)⇒x 3+mx −m −1=0，解得x 2+m +1+x =0或x =1．又1∉(−1,1)∴x 2+m +1+x =0的解为：−1±√−3−4m2，必为均值点，即−1<−1+√−3−4m2<1⇒−3<m ≤−34．−1<−1−√−3−4m 2<1⇒−12<m ≤−34∴所求实数m 的取值范围是−3<m ≤−34．故答案为：−3<m ≤−34．函数f(x)=x 3+mx 是区间[−1,1]上的平均值函数，故有x 3+mx =f(1)−f(−1)1−(−1)在(−1,1)内有实数根，求出方程的根，让其在(−1,1)内，即可求出实数m 的取值范围．本题主要是在新定义下考查方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义解答．16.答案：①③解析：先判断出命题p 1，p 2的真假，从而判断出复合命题的真假即可．本题考查了三角函数、对数函数的性质、考查函数的零点问题，考查复合命题的判断，是一道中档题．解：关于命题p 1：函数y =lntanx 与y =12ln 1−cos2x1+cos2x 是同一函数；对于函数y =12ln 1−cos2x1+cos2x =12lntan 2x =ln√tan 2x ，要求tanx ≠0，而函数y =lntanx 则要求tanx >0，故命题p 1是假命题，￢p 1是真命题；关于命题p 2：已知x 0是函数f(x)=11−x +2x 的一个零点，令f(x)=0，得：2x =1x−1，令g(x)=2x ，ℎ(x)=1x−1，画出函数g(x)和ℎ(x)的图象，如图示：由图象得：若1<x1<x0<x2，则f(x1)<0<f(x2)，故命题p2是真命题，￢p2是假命题；所以①p1∨p2,③(￢p1)∧p2是真命题，②(￢p1)∧(￢p2)，④p1∨(￢p2)是假命题．故答案为①③．17.答案：(1)①当时，函数是偶函数；②当时，是非奇非偶函数；(2)略；(3)。

2022-2023学年广东省深圳市第二外国语学校高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022—2023 学年度（高一年级）第一学期期末考试数学学科试题命题人：石雪峰审题人：廖金龙说明：1.全卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，考生必须按要求填写自己的姓名、学号、班级等信息.3.客观题、主观题答案均填写在答题卡上.一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1. 已知集合，集合，则（）{}2430A x Z x x =∈-+≤{}0,2,4B =A B ⋃=A. B. {}2{}0,1,3C.D.{}0,1,2,3{}0,1,2,3,4【答案】D 【解析】【分析】先根据基本不等式的解法求出集合，然后根据集合并集的运算法则求解.A 【详解】解：，{}{}24301,2,3A x Z x x =∈-+≤= {}0,2,4B =∴{}0,1,2,3,4A B = 故选：D ．2. 已知命题：，，则命题的否定是（）p x ∃∈R 20x +≤p A. ， B. ，x ∃∈R 20x +>x ∀∈R 20x +≤C. ， D. ，x ∀∈R 20x +>x ∃∈R 20x +≥【答案】C 【解析】【分析】由特称命题的否定改写规则可得答案.【详解】因命题：，，则其否定为：.p x ∃∈R 20x +≤20R，x x ∀∈+>故选：C3. 设，，则,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3sin 5α=()tan -=p aA. B. C. D. 3434-4343-【答案】A 【解析】【分析】由平方关系得出，再结合诱导公式以及商数关系得出答案.cos α【详解】4cos 5α==-sin 353tan()tan cos 544απααα⎛⎫-=-=-=-⨯-= ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及诱导公式，属于中档题.4. 方程的解为，若，则3log 3x x +=0x 0(,1),x n n n N ∈+∈n =A. B. C. D. 0123【答案】C 【解析】【详解】令，()3log 3f x x x =+-∵,.()()311320,22log 20f f =-=-<=-+<()3 3log 310f ==>∴函数在区间上有零点．()f x ()2,3∴．选C ．2n =5. 已知函数，，则的值为()533f x ax bx cx =-+-()37f -=()3f A .13B. C. 7D. 13-7-【答案】B 【解析】【详解】试题解析：设，函数为奇函数()53()3g x f x ax bx cx=+=-+∴()()()(3)(3)33330313g g f f f +-=++-+=⇒=-考点：本题考查函数性质点评：解决本题的关键是利用函数奇偶性解题6. 函数在单调递增，求a 的取值范围（）()()2ln 3f x x ax =--()1,+∞A. B. C. D. 2a ≤2a <2a ≤-2a <-【答案】C 【解析】【分析】分析单调性和定义域可得，解不等式组即得解.11220a a ⎧≤⎪⎨⎪--≥⎩【详解】解：令，二次函数抛物线的对称轴方程为，()23t x x ax =--12x a =由复合函数的单调性可知，.112a ≤又在上恒成立，所以，即，230x ax -->()1,+∞130a --≥20a --≥所以，解可得，．11220a a ⎧≤⎪⎨⎪--≥⎩2a ≤-故选：C 7. 已知，，则的大小关系为（）50.56,2a log b log ==0.20.5c =,,a b c A. B. a c b <<a b c <<C. D. b<c<a c<a<b【答案】C 【解析】【分析】易知，，，根据的范围即可比较出结果.1a >0b <01c <<,,a b c 【详解】解：易知，，，所以.561a log =>0.520b log =<0.200.51c <=<b<c<a 故选C.【点睛】本题考查指数、对数大小的比较，找中间值是比较大小常用的一种方法，属于基础题.8. 如图所示的韦恩图中是非空集合，定义集合A*B 为阴影部分表示的集合．若,A B ,则A*B （）{{},,|,3,0x x y R A x y B y y x ∈=====A. B. {}|02x x <<{}|12x x <≤C.D.{}|012x x x ≤≤≥或{}012x x x ≤≤或【答案】D 【解析】【详解】{{}|[0,2],|3,0(1,)x A x y B y y x =====>=+∞A*B ，选D.={}012x x x ≤≤或二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分.有错误选项得0分，对而不全得2分）9. 下列函数中，满足的是（）(2)2()f x f x =A. B. ()|2|f x x =()f x x =C.D. ()f x =()||f x x x =-【答案】ABD 【解析】【分析】利用已知条件，代入选项函数的解析式，验证即可.【详解】解：对于A 选项，，，，所以A 正确；()2f x x=()24f x x=2()4f x x=对于B 选项，，满足，所以B 正确；()f x x =()22()f x f x =对于C 选项，，，，所以C 不正确；()f x =()2f x =2()f x =()22()f x f x =对于D 选项，，，，所以D 正确；()f x x x=-()222fx x x=-2()22f x x x=-故选：ABD .10. 下列计算正确的是（）A. B.tan151tan151︒+=︒-44cos 22.5sin 22.5︒-︒=C.D. sin15sin 45sin 75︒︒︒=tan 37tan 2337tan 231︒+︒︒︒=【答案】ABC 【解析】【分析】根据两角和的正切公式、二倍角公式、诱导公式求得正确答案.【详解】因为A 正确；tan151tan15tan 45tan 60tan1511tan15tan 45︒+︒+︒=-=-︒=︒--︒︒B 正确；()()442222cos 22.5sin 22.5cos 22.5sin 22.5cos 22.5sin 22.5cos 45︒-︒=︒+︒︒-︒=︒=C 正确；1sin15sin 45sin 75sin15cos15sin 45sin 30sin 452︒︒︒=︒︒︒=︒︒=因为，()tan 37tan 23tan 60tan 37231tan 37tan 23︒+︒︒=︒+︒==-︒︒所以，故D 错误．tan 37tan 23tan 37tan 23︒+︒+︒︒=故选：ABC11. 设a >1，b >1且ab －(a ＋b )＝1，那么（）A. a ＋b 有最小值2＋B. a ＋b有最大值2＋C. ab有最小值3＋ D. ab有最大值1＋【答案】AC 【解析】【分析】由基本不等式得ab ＝1＋(a ＋b )≤，ab －1＝a ＋ba ＋b >2、ab >1，应用一元二2()2a b +次不等式的解法，即可求a ＋b 、ab 的最值.【详解】ab ＝1＋(a ＋b )≤(当且仅当a ＝b >1时取等号)，即(a ＋b )2－4(a ＋b )－4≥0且a＋b >2，解得2()2a b +a ＋b ≥2＋，∴a ＋b 有最小值2＋，知A 正确，B 错误；由ab －(a ＋b )＝1，得ab －1＝a ＋b(当且仅当a ＝b>1时取等号)，即ab －－1≥0且ab >1，解ab ≥3＋，1≥∴ab 有最小值3＋，知C 正确，D 错误.故选：AC.12. 若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的()f x x ()()0f x f x +-=任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数是1x 2x 12x x ≠()()12120f x f x x x -<-()f x “理想函数”的是（）A.B.()2f x x =()3f x x =-C.D.()1f x x x=-()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩【答案】BD 【解析】【分析】满足（1）可得，是奇函数，满足（2）可得，在定义域内是减函数，问题转化为判断以下函()f x ()f x 数是否满足这两个性质；根据选项，逐项判断函数奇偶性与单调性，即可得出结果.【详解】由（1）对于定义域内的任意，恒有，即，所以是奇x ()()0f x f x +-=()()f x f x -=-()f x 函数；由（2）对于定义域内的任意，，当时，恒有，所以或1x 2x 12x x ≠()()12120f x f x x x -<-()()1212x x f x f x <⎧⎨>⎩，则在定义域内是减函数；()()1212x x f x f x >⎧⎨<⎩()f x 对于A ：由可得，所以是偶函数，故不是“理想函数”；()2f x x =()()()22f x x x f x -=-==()2f x x =对于B ：由得，所以是奇函数，又在上()3f x x =-()()()33f x x x f x -=--==-()3f x x =-3y x =R 是增函数，所以在上是减函数，所以是“理想函数”；()3f x x =-R 对于C ：由得，所以是奇函数；又()1f x x x =-()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭()1f x x x =-在定义域上增函数，在和上是减函数，所以在和y x =1y x =(),0∞-()0,∞+()1f x x x =-(),0∞-上都是增函数，故不是“理想函数”；()0,∞+对于D ：，，所以是奇函数；()22,0,0x x f x x x x x ⎧-≥==-⎨<⎩()||()f x x x f x -==-()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩根据二次函数的单调性，易知在和都是减函数，且在处连续，所以()f x (,0)-∞(0,)+∞0x =在上是减函数，所以是“理想函数”.()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩R 故选：BD.【点睛】思路点睛：求解函数新定义问题时，一般根据函数的新定义，结合函数基本性质（单调性、奇偶性、对称性等），确定新定义下的函数的性质，即可求解.三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.____________23log (log 9)=【答案】1.【解析】【分析】利用对数运算公式，化简求得所求表达式的值.【详解】依题意，原式.()2232log log 3log 21===故答案为：1【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.14. 函数（且）的图象必过定点，则定点坐标为_______.1()2x f x a +=+0a >1a ≠【答案】(1,3)-【解析】【分析】由可得当时，，可得答案.01a ==1x -11(1)21+2=3f a -+-=+=【详解】由有当时，.1a ==1x -011x aa +==所以当时，=1x -11(1)21+2=3f a -+-=+=所以恒有，即得图像必过点()f x (1)3f -=()f x ()13-，故答案为：()13-，【点睛】本题考查指数函数的图像性质，属于基础题.15. 已知，则______.sin cos 1sin cos 2αααα-=+tan α=【答案】3【解析】【分析】利用同角的三角函数关系，结合正余弦齐次式法求值，即得答案.【详解】由可得，sin cos 1sin cos 2αααα-=+cos 0α≠故，解得，sin cos tan 11sin cos tan 12αααααα--==++tan 3α=故答案为：316. 已知函数，若且，则的取值范围为___________.()lg f x x=0a b <<()()=f a f b 2+a b 【答案】()3,+∞【解析】【分析】作出函数的图象，可得出，利用双勾函数的单调性可求得的取值()f x ()101b a a =<<2+a b 范围.【详解】画出的图象如图：()lg f x x=∵，且，0a b <<()()=f a f b ∴且，，lg lg =a b01a <<1b >∴，即，∴，，lg lg a b -=1ab =22=+=+y a b a a ()0,1a ∈由图象得在上为减函数，2y a a =+()0,1∴，123>+=y ∴的取值范围是.2+a b ()3,+∞故答案为：.()3,+∞四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18到22题每题12分，共70分.）17. 求值：（1）()()22sin 120cos180tan 45cos 330sin 210︒︒︒︒︒++--+-（2）13788⎛⎫-++ ⎪⎝⎭【答案】（1）12（2）π【解析】【分析】(1)利用诱导公式即可求解；(2)根据指数幂的性质即可求解.【小问1详解】()()22sin 120cos180tan 45cos 330sin 210︒︒︒︒︒++--+-22s 611sin 0cos 30in 30︒︒︒+-+-=221112=-+-+12=【小问2详解】13788⎛⎫-++ ⎪⎝⎭1331(2)3π=++-12π3=++-π=18. 已知，．{}|13A x x =-<≤{}|1B x m x m =<<+（1）当时，求；1m =A B ⋃（2）若，求实数m 的取值范围．R B A ⊆ 【答案】（1）；(]1,3-（2）﹒(][),23,∞∞--⋃+【解析】【分析】(1)求出B 即可，求A 与B 并集即可；(2)求出，由列出关于m 的不等式组，解出m 即可﹒R A R B A ⊆ 【小问1详解】，；()1,2B =(]1,3A B ⋃=-【小问2详解】∵，∴．1m m +>B ≠∅(](),13,R A ∞∞=--⋃+ ∵，R B A ⊆ ∴或，故m 的取值范围为：﹒11m +≤-3m ≥(][),23,∞∞--⋃+19. 已知.1sin cos 5αα+=-（1）求的值.sin cos αα⋅（2）若，求的值.2απ<<π11sin cos αα-【答案】（1）；（2）.1225-3512【解析】【分析】（1）把平方即得解；1sin cos 5αα+=-（2）求出，即得解.cos sin αα-【详解】解：（1），21(sin cos )12sin cos 25αααα+==+∴.12sin cos 25αα=-（2），11cos sin sin cos sin cos αααααα--=∵，21249(cos sin )12sin cos 122525αααα⎛⎫-=-=-⋅-=⎪⎝⎭又∵，∴，，，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0α<sin 0α>cos sin 0αα-<∴，7cos sin 5αα-=-∴原式.7355121225-==-【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断的符号，要结合的范围判断.cos sin αα-α20.已知函数.2()cos 2cos 1f x x x x =+-（1）求在区间的最小值；()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，求的单调递减区间.()f x 6π()y g x =()g x 【答案】（1）-1；（2），.,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦Z k ∈【解析】【分析】(1)根据正余弦的倍角公式、辅助角公式化简，确定它在内的最值，即可求得最小值；(2)根据()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦图象的平移得到，由于为增函数，根据复合函数的单调性及余弦函数的性质有()2cos 2g x x =2y x =在上单调递减，即可求得递减区间()g x 222k x k πππ≤≤+【详解】（1）解：，()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当时，，有0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦72666x πππ≤+≤12sin 226x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭∴当时，在区间的最小值为-1.2x π=()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）由题意知：()6g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴，()2sin 22sin 22cos 2662g x x x xπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由，解得，.222k x k πππ≤≤+Z k ∈2k x k πππ≤≤+Z k ∈因此，函数的单调递减区间为，()g x ,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦Z k ∈【点睛】本题考查了三角函数，根据二倍角的正余弦公式、辅助角公式化简函数式，并求区间最值，由函数图象平移得到新函数解析式，结合复合函数的单调性求单调区间21. 某医药研究所研发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量与服药后的时间之间近似满足如图所示的曲线．其中是线段，曲线段是函数(g)y μ(h)t OA AB （，k ，a 是常数）的图象，且．t y k a =⋅1,0t a ≥>(1,8),(7,1)A B（1）写出服药后每毫升血液中含药量y 关于时间t 的函数关系式；（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保2(g)μ持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过，该病人每毫升血液中含药量为多3h 少？（精确到）g μ0.1g μ【答案】（1）()8,(01),1t t t y t ≤<⎧⎪=⎨≥⎪⎩（2）上午11：00服药（3）4.7g μ【解析】【分析】（1）根据函数图象求解函数解析式；（2）根据题意列出不等式，求解出答案；（3）分别求解出第每毫升血液中含第一次和第二次服药后的剩余量，相加即为结果.【小问1详解】当时，；01t ≤<8y t =当时，把代入（，k ，a 是常数），得，解得，1t ≥(1,8)(7,1)A B 、ty k a =⋅1,0t a ≥>781ka ka =⎧⎨=⎩a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩故()8,(01),1t t t y t ≤<⎧⎪=⎨≥⎪⎩【小问2详解】设第一次服药后最迟过t 小时服第二次药，则，解得：，即第一次服药后后服12tt ≥⎧⎪⎨=⎪⎩5t =5h 第二次药，也即上午11：00服药；【小问3详解】第二次服药后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：3h 81y g ==每毫升血液中含第二次服药后剩余量为：324y gμ==4 4.7g μ+≈故该病人每毫升血液中的含药量为4.7g μ22. 设函数；()()()lg f x x m m R =+∈（1）当时，解不等式；2m =11f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭（2）若，且在闭区间上有实数解，求实数的范围；()01f =()xf x λ=+[]2,3λ（3）如果函数的图象过点，且不等式对任意均成立，求实数()f x ()98,2()cos 2lg 2nf x ⎡⎤<⎣⎦n N ∈的取值集合．x 【答案】（1）（2）（3），，1|08x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭1lg12,lg132⎡--⎢⎣32222,22n n k k ππππ⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭N k ∈n N∈【解析】【分析】（1）根据对数的运算解不等式即可；（2）根据可得的解析式，由分离变量可得，()01f =()f x ()x f x λ=+()lg 10xx λ=+-令，它在闭区间上的值域即为的范围；()()lg 10xF x x =+-[]2,3λ（3）函数的图象过点，求的解析式，可得，则不等式()f x ()98,2()f x ()()lg 2f x x =+转化为，求解，又∵，即，，讨论()cos 2lg 2n f x ⎡⎤<⎣⎦()()lg 2cos 212nx g +<x 20x +>2x >-n N ∈的范围可得答案．k 【详解】解：函数；()()()lg f x x m m R =+∈（1）当时，，2m =()()lg 2f x x =+那么：不等式；即，11f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭1lg 2lg10x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭可得：，且，1210x +>120x +>解得：，108x <<∴不等式的解集为；1|08x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）∵，可得，()01f =10m =∴，()()lg 10f x x =+，即在闭区间上有实数解，()xf x λ=+()lg 10xx λ+=+[]2,3可得，()lg 10xx λ=+-令，求在闭区间上的值域，()()lg 10x F x x =+-[]2,3根据指数和对数的性质可知：是增函数，()F x ∴在闭区间上的值域为，()Fx []2,31lg12,lg132⎡-⎢⎣故得实数的范围是；λ1lg12,lg132⎡-⎢⎣（3）∵函数的图象过点，()f x ()98,2则有：，()2lg 98m =+∴，2m =故，()()lg 2f x x =+那么：不等式转化为，()cos 2lg 2n f x ⎡⎤<⎣⎦()()lg 2cos 212nx g +<即，()()2cos 20cos 20n n x x ⎧+>⎪⎨<⎪⎩∴，，322222n x k k ππππ+<<+n N ∈解得：，，3222222nn k k x ππππ++<<n N ∈又∵，即，20x +>2x >-∴，，2222nk ππ+≥-n N ∈解得：，14k ≥-∵，Z k ∈∴，0k ≥故得任意均成立，实数的取值集合为，，．n N ∈x 32222,22n n k k ππππ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭N k ∈n N ∈【点睛】本题考查了对数的性质及其运算以及不等式恒成立的问题在对数与三角函数中的运用，考查推理能力与计算能力，属于难题．。

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广东省深圳市宝安区2020学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知集合0，1，，，则A. B. C. 0， D. 1，【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【详解】解：，0，1，；．故选：A．【点睛】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2.化简的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】根据两角和的余弦公式可得：，故答案为C.3.函数的定义域是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【详解】解：要使函数有意义，则，得，即，即函数的定义域为故选：A．【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：一个是分数的分母不能为零，二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零.4.如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为点是的中点，所以，点是的中点，所以，所以，故选D.5.若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．【详解】解：将函数的图象向左平移个单位长度，得到，由得：，即平移后的图象的对称轴方程为，故选：B．【点睛】本题考查函数的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题．6.已知函数（）的最小值为8，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为在上单调递减，在上单调递增，所以，令，则在上单调递增，又，，所以存在零点.故选A.7.已知为三角形内角，且，若，则关于的形状的判断，正确的是A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 三种形状都有可能【答案】C【解析】【分析】利用同角平方关系可得，，结合可得，从而可得的取值范围，进而可判断三角形的形状．【详解】解：，，为三角形内角，，为钝角，即三角形为钝角三角形故选：C．【点睛】本题主要考查了利用同角平方关系的应用，其关键是变形之后从的符号中判断的取值范围，属于三角函数基本技巧的运用．8.(2020高考新课标III，理3)已知向量 ,则ABC=A. 30B. 45C. 60D. 120【答案】A【解析】试题分析：由题意，得，所以，故选A．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．9.函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】是奇函数，故；又是增函数，，即则有，解得，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.10.已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为A. B. C. D.【答案】C【解析】由图可知,，，当时，，该对称中心为时，，当时，，所以对称中点为，故选C.【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用利用图像先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求使解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点，用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点) 时；“第二点”(即图象的“峰点”) 时；“第三点”(即图象下降时与轴的交点) 时；“第四点”(即图象的“谷点”) 时；“第五点”时.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.函数的值域为，则实数a的取值范围是______．【答案】.【解析】∵函数的值域为，∴，解得或，则实数a的取值范围是，故答案为.12.设函数的图象关于y轴对称,且其定义域为,则函数在上的值域为________.【答案】【解析】∵函数的图象关于y轴对称，且其定义域为∴，即，且为偶函数∴，即∴∴函数在上单调递增∴，∴函数在上的值域为故答案为点睛：此题主要考查函数二次函数图象对称的性质以及二次函数的值域的求法，求解的关键是熟练掌握二次函数的性质，本题理解对称性很关键．13.已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程根的个数，由图象可得答案．【详解】解：由题意作出函数的图象，关于x的方程有两个不同的实根等价于函数与有两个不同的公共点，由图象可知当时，满足题意，故答案为：．【点睛】本题考查方程根的个数，数形结合是解决问题的关键，属基础题．14.已知函数，正实数m，n满足，且，若在区间上的最大值为2，则______．【答案】【解析】【分析】由正实数满足，且，可知且,再由在区间上的最大值为2，可得出求出、，从而可得的值.【详解】，正实数满足，且，由对数函数的性质知，，可得，所以，又函数在区间上的最大值为2 ,由于，故可得，即，即，即，可得，则，故答案为.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及对数函数的图象、值域与最值，意在考查对基本性质掌握的熟练程度以及综合应用所学知识解答问题的能力，求解本题的关键是根据对数函数的性质判断出，以及，本题属于难题.三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知集合=R.(1)求;(2)求(A);(3)如果非空集合,且A,求的取值范围.【答案】(1)(2)(3).【解析】试题分析：（1）化简集合、，根据并集的定义写出；（2）根据补集与交集的定义写出；（3）根据非空集合与，得出关于的不等式，求出解集即可．试题解析：(1)∵===∴(2)∵A=∴ A)(3)非空集合∴，即∵A∴ 或即或∴16.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.【答案】【解析】试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，（或），所以.【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.17.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处，第一种是从A沿直线步行到C，第二种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到某旅客选择第二种方式下山，山路AC 长为1260m，从索道步行下山到时C处经测量，，，求索道AB的长．【答案】索道AB的长为1040m．【解析】【分析】利用两角和差的正弦公式求出，结合正弦定理求AB即可【详解】解：在中，，，，，则，由正弦定理得得，则索道AB的长为1040m．【点睛】本题主要考查三角函数的应用问题，根据两角和差的正弦公式以及正弦定理进行求解是解决本题的关键．18.已知函数，，且．求实数m的值；作出函数的图象并直接写出单调减区间．若不等式在时都成立，求m的取值范围．【答案】（1）（2）详见解析，单调减区间为：；（3）【解析】【分析】由，代入可得m值；分类讨论，去绝对值符号后根据二次函数表达式，画出图象．由题意得在时都成立，可得在时都成立，解得即可【详解】解：，由得即解得：；由得，即则函数的图象如图所示；单调减区间为：；由题意得在时都成立，即在时都成立，即在时都成立，在时，，．【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求法，零点分段法，分段函数，由图象分析函数的值域，其中利用零点分段法，求函数的解析式是解答的关键．19.已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为．Ⅰ求和的值；Ⅱ若，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由两个相邻的最高点的距离可求得周期，则，函数为，由函数关于直线对称，可知，结合可求得的值；（2）对进行三角恒等变换，可求得的值，又为锐角，可求得，再利用三角恒等变换求得值.试题解析：（1）由题意可得函数的最小正周期为，再根据图象关于直线对称，可得结合，可得（2）再根据考点：三角函数的周期与初相，三角恒等变换.20.设函数且是奇函数．求常数k的值；若，试判断函数的单调性，并加以证明；若已知，且函数在区间上的最小值为，求实数m的值．【答案】（1）；（2）在上为单调增函数；（3）．【解析】试题分析：（1）根据奇函数的定义，恒成立，可得值，也可用奇函数的必要条件求出值，然后用奇函数定义检验；（2）判断单调性，一般由单调性定义，设，判断的正负（因式分解后判别），可得结论；（3）首先由，得，这样就有，这种函数的最值求法是用换元法，即设，把函数转化为二次函数的问题，注意在换元过程中“新元”的取值范围．试题解析：（1）函数的定义域为函数（且）是奇函数，（2）设、为上两任意实数，且，，，，即函数在上为单调增函数．（3），，解得或且，（）令（），则当时，，解得，舍去当时，，解得考点：函数的奇偶性、单调性，函数的最值．。