一阶电路与二阶电路PPT
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第七章 二阶电路
s1 t
i ( t ) = A1 e
(b)当 α = ω 0 ( R = 2
+ A2 e
s2 t
过阻尼
L ), s 1 = s 2 = - α , 为 二 重 实 根 ： C
i ( t ) = ( A + Bt )e − α t
(c)当 α < ω 0 ( R < 2 L ), s 1,2 = - α ± C
———— 二阶非齐次微分方程 一般形式： 一般形式：
d2y dy + a1 + a0 y = f ( t ) 2 dt dt
当电路没有输入激励时有f(t)=0，方程变为齐次方程： ，方程变为齐次方程： 当电路没有输入激励时有
d2y dy + a1 + a0 y = 0 2 dt dt
相应的解为零输入响应。 相应的解为零输入响应。
di uL (0 + ) = L dt
t = 0+
= U0
di dt
t = 0+
U0 = L
表达式代入并令t=0 将i(t)表达式代入并令 + 有： 表达式代入并令
L(A1S1+A2S2)=U0 由①②联立得： ①②联立得： 联立得
————② ②
A1 = − A2 =
U0 L ( s1 − s 2 )
di 2 − 4 i1 + + 4 i2 = 0 dt
---- ②
1 d i2 i1 = ( + 4 i2 ) 4 dt
1 d 2 i2 ′ i 1′ = ( + 4 i2 ) 2 4 dt
----③ ③ ----④ ④
d 2 i2 di 2 + 10 + 19 i 2 = 2 u s ( t ) 16 2 dt dt
i ( t ) = A1 e
(b)当 α = ω 0 ( R = 2
+ A2 e
s2 t
过阻尼
L ), s 1 = s 2 = - α , 为 二 重 实 根 ： C
i ( t ) = ( A + Bt )e − α t
(c)当 α < ω 0 ( R < 2 L ), s 1,2 = - α ± C
———— 二阶非齐次微分方程 一般形式： 一般形式：
d2y dy + a1 + a0 y = f ( t ) 2 dt dt
当电路没有输入激励时有f(t)=0，方程变为齐次方程： ，方程变为齐次方程： 当电路没有输入激励时有
d2y dy + a1 + a0 y = 0 2 dt dt
相应的解为零输入响应。 相应的解为零输入响应。
di uL (0 + ) = L dt
t = 0+
= U0
di dt
t = 0+
U0 = L
表达式代入并令t=0 将i(t)表达式代入并令 + 有： 表达式代入并令
L(A1S1+A2S2)=U0 由①②联立得： ①②联立得： 联立得
————② ②
A1 = − A2 =
U0 L ( s1 − s 2 )
di 2 − 4 i1 + + 4 i2 = 0 dt
---- ②
1 d i2 i1 = ( + 4 i2 ) 4 dt
1 d 2 i2 ′ i 1′ = ( + 4 i2 ) 2 4 dt
----③ ③ ----④ ④
d 2 i2 di 2 + 10 + 19 i 2 = 2 u s ( t ) 16 2 dt dt
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
1 阶跃响应法： 2 等效初值法：
等效初始值：
等效初始值：
难点 1. 初始值的求解； 2. 时间常数的求解； 3. 阶跃响应与冲激响应。 §7.1 动态电路的方程及其初始条件 动态电路 含有动态元件电容和电感的电路。 特点： 当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达 到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。 2. 换路 电路结构或电路参数发生突变而引起电路变化统称为换路。 意义：能量不能发生突变。 产生原因：电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时能量发生变 化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
3 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 4 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 §7.3 一阶电路的零状态响应 零状态响应：动态元件初始能量为零，由t >0电路中外加激励作用所产 生的响应。
1. RC电路： t<0，K在1，电路稳定， 有 t=0，K从1打到2，有 t>0，K在2， 有 解答形式为：
换路定律： 在换路前后电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路前后瞬间电容 电压和电感电流不能跃变。 （1）若iC 有限，则： uC ( 0+ )= uC ( 0- ) （2）若uL 有限，则： iL( 0+ )=iL( 0- )
3. 电路初始值的确定
电路初始值 独立初始值：uC (0+)、 iL(0+)； 非独立初始值：其余电量在t= 0+时的值；
应用条件：一阶电路；开关激励 时间常数计算：RC电路：；
RL电路：； 实际现象讨论：
（1） 当负载端接有大电容时，电源合闸可能会产生冲击电流。
（1）
（2）
（2） 当负载端接有大电感时，开关断开可能会产生冲击电压。
等效初始值：
等效初始值：
难点 1. 初始值的求解； 2. 时间常数的求解； 3. 阶跃响应与冲激响应。 §7.1 动态电路的方程及其初始条件 动态电路 含有动态元件电容和电感的电路。 特点： 当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达 到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。 2. 换路 电路结构或电路参数发生突变而引起电路变化统称为换路。 意义：能量不能发生突变。 产生原因：电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时能量发生变 化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
3 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 4 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 §7.3 一阶电路的零状态响应 零状态响应：动态元件初始能量为零，由t >0电路中外加激励作用所产 生的响应。
1. RC电路： t<0，K在1，电路稳定， 有 t=0，K从1打到2，有 t>0，K在2， 有 解答形式为：
换路定律： 在换路前后电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路前后瞬间电容 电压和电感电流不能跃变。 （1）若iC 有限，则： uC ( 0+ )= uC ( 0- ) （2）若uL 有限，则： iL( 0+ )=iL( 0- )
3. 电路初始值的确定
电路初始值 独立初始值：uC (0+)、 iL(0+)； 非独立初始值：其余电量在t= 0+时的值；
应用条件：一阶电路；开关激励 时间常数计算：RC电路：；
RL电路：； 实际现象讨论：
（1） 当负载端接有大电容时，电源合闸可能会产生冲击电流。
（1）
（2）
（2） 当负载端接有大电感时，开关断开可能会产生冲击电压。
RC一阶二阶电路设计
上式表明电路参数R、C与转折频率C之间的关系，它 告诉我们可以用减少RC乘积的方法来增加滤波器的带宽，
这类公式在设计实际滤波器时十分有用。
图12-10(b)所示相频特性表明该网络的移相角度在为0
到-180°之间变化。当=C时，(C)=-52.55。
图 12-11
用类似方法求出12-11(a)电路的转移电压比为
u 20 u10
2A
63.66 V
u1 (t ) [63.66 42.44cos(t ) 8.488cos(2t ) 3.638cos(3t ) ...]V
2. 对于基波，先计算转移电压比
| H ( j ) | 1 1 C
1 C 1000 2.6724 RC
假如选择C=1F，则R＝374.2，如上图所示。
例12-4 试设计转折频率C=103rad/s的低通和高通滤波电路。
解：根据前面对各种RC滤波电路特性的讨论，如果用图
12-6(a)和图12－8(a)一阶RC滤波电路，则需要使电路
参数满足条件
RC
| H ( j ) | 1 (1 R C ) 9 R C
2 2 2 2 2 2 2
(12 16)
(12 17) (12 18)
其中
3RC ( ) arctan 2 2 2 1 R C
图 12-10
该电路的幅频和相频特性曲线，如图所示。幅频曲线
(12-21) 确定电路参数值，即RC=1/0.3742C=2.672410-3s。
如果选择电容C=1F，则需要选择电阻R=2672.4。
例12-5 图12-13(a)表示工频正弦交流电经全波整流后的波 形，试设计一个RC低通滤波电路来滤除其谐波分量。
大学物理电路分析基础第6章一阶电路分析.ppt
t
iC d 1(V)
1
其波形如图6-5(c)所示。
第6章 一阶电路分析
6.1.2
通常把由导线绕成的线圈称为电感器或电感线圈。 当 线圈通过电流时, 即在线圈内外建立磁场并产生磁通Φ， 如 图6-6所示。 各线匝磁通的总和称为磁链φ(若线圈匝数为N， 则φ=NΦ )。 可见， 电感器是一种能建立磁场、 储存磁场 能量的器件。
从本例可以看出： (1) 电容电流是可以跳变的。 (2) 电容的功率也是可以跳变的，这是由于电容电流跳 变的原因。 功率值可正可负: 功率为正值， 表示电容从电 源us(t)吸收功率； 功率为负值， 表示电容释放功率且交还 电源。 (3) wC(t)总是大于或等于零，储能值可升可降， 但为连 续函数。
第6章 一阶电路分析
图6-4 例6-1波形图
第6章 一阶电路分析
例 6-2 在图6-5(a)所示电路中， is(t)的波形如图6-5(b)所 示， 已知电容C=2 F， 初始电压uC(0)=0.5 V， 试求t≥0时的 电容电压， 并画出其波形。
第6章 一阶电路分析
图6-5 例6-2题图
第6章 一阶电路分析
dq dt
和电容的定义q(t)=Cu(t)，
可得
i C du
(6-2)
dt
第6章 一阶电路分析
这就是电容元件微分形式的VCR。 若电容端电压u与电流i 参考方向不关联， 则上式右边应加负号， 即
du i C
(6-3)
dt
式(6-2)表明， 任一时刻通过电容的电流i取决于该时刻电容
两端的电压的变化率 du 。若电压恒定不变， 则虽有电压 dt
与电阻元件相类似， 若约束电容元件的q—u平面上的 曲线为通过原点的直线， 则称它为线性电容； 否则， 称为 非线性电容。 若曲线不随时间而变化， 则称为非时变电容； 否则， 称为时变电容。
第六章一阶电路
R t L R t L
di u L L RI0e dt
L 与RC电路类似，令 R 称为RL电路的时间常数。
右图所示曲线为i、 uL和uR随时间变 化的曲线。
从以上求得的RC和RL电路零输入响应进一步 分析可知，对于任意时间常数为非零有限值的一 阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且所有电 压、电流的零输入响应，都是从它的初始值按指 数规律衰减到零的。且同一电路中，所有的电压、 电流的时间常数相同。若用f (t)表示零输入响应， 用f (0+)表示其初始值，则零输入响应可用以下通 式表示为
6 iL A 3 A 2 L 2s Req
由三要素法可得：
iL [3 (2 3)e (3 0.5e
根据KCL可求得：
0.5t
1t 2
]A
)A
i I S iL (5 5e
例6-1
下图所示电路中直流电压源的电压为Uo。当电路中的 电压和电流恒定不变时，打开开关S。试求uC(0+)、iL(0+)、 ic(0+)、 uL(0+)、uR2(0+)。
解 根据t=0-时刻的电路状 态计算u (0-)和i (0-)
c
L
U 0 R2 u c (0 ) R1 R2 U0 iL (0 ) R1 R2
已知历次绕组的电阻R=0.189，电感L=0.398H， 直流电压U=35V。电压表的量程为50V，内阻 RV=5k。开关未短=断开时，电路中电流已经 恒定不变。在t=0时，断开开关。 求：（1）电阻、电 感回路的时间常数； （2）电流i的初始值 和断开开关后电流i的 最终值；（3）电流i 和电压表处电压uV； （4） 开 关 刚 断 开 时 ，电压表处电压。
《电路分析》第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析
4Ω
K(t=0) 1F + uC –
4Ω
+ 10V –
i
4Ω 1F + uC –
i
4Ω
K(t=0) C
i
+ R
uC
–
+
uR
–
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2. RL电路的零输入响应
R1
K(t=0)
i L
+
US
-
+ uL –
t >0 + uL – i L R
US iL (0 ) iL (0 ) I0 R1 di L Ri 0 t 0 R dt R Lp R 0 p R L t
0+时刻的值
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用经典法求解线性常微分方程时, 必须根据电路的初始条件 来确定解中的积分常数。
3.电路的初始条件
(1) t = 0＋与t = 0－的概念 认为换路在 t=0时刻进行。 0－ ：换路前一瞬间 0+ ： 换路后一瞬间
f (0 ) f (0 )
f(t)
f (0 ) f (0 )
K(t=0) R
R
i
C
+
-
US
+u –
uC
–
+
已知 uC (0－) ；
t=0时K闭合。 求： uC(t) ， iC(t) （t≥0）
d uC RC uC U S dt
常系数一阶线性非齐次微分方程
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K(t=0)
+
-
R
R
iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
t RC
第五章 一阶电路与二阶电路
在动态元件原始储能和独立源共同作用下，一阶电 路的响应。
以RC电路为例（RL电路结论相似）
S ( t=0 )
R
i (t )
+ uC (t )
+ US
C
uc (0 ) = U 0
5-4 一阶电路全响应
分析思路（利用叠加原理）
全响应=零输入响应+零状态响应
零输入响应
uZI (t ) = U 0 e
5-2-2 RL电路的零输入响应
电路模型 待分析量：iL(t)、uR(t)、uL(t)
iL (t )
u R (t )
I s = I0
uL (t )
5-2-2 RL电路的零输入响应
原始/初始状态：
iL (0 ) = I 0
iL (0+ ) = iL (0 ) = I 0
根据KVL列出电路方程(输入-输出方程) diL (t ) + RiL (t ) = 0 L dt 特征方程与特征根 微分方程通解
电路模型 待分析量：换路后uc(t)、i(t)及其变化规律
S ( t=0 )
R
+ US
+ u (t ) R
+ uC (t )
C
i (t )
5-3-1 RC电路的零状态响应
换路后，由KVL定律可得
duC (t ) RC + uC (t ) = U S dt
根据方程右边，令特解 代入微分方程，可得 微分方程的特征根 齐次微分方程的通解 零状态响应
Req = u (t ) / i (t ) = 100 / 6 Ω
L 3 RL电路时间常数 ： τ = = Req 100
变量初值： u (0 ) = i (0 ) R = 150 × 103 × 100 = 2.5 + + eq 6 零输入响应电压： t
以RC电路为例（RL电路结论相似）
S ( t=0 )
R
i (t )
+ uC (t )
+ US
C
uc (0 ) = U 0
5-4 一阶电路全响应
分析思路（利用叠加原理）
全响应=零输入响应+零状态响应
零输入响应
uZI (t ) = U 0 e
5-2-2 RL电路的零输入响应
电路模型 待分析量：iL(t)、uR(t)、uL(t)
iL (t )
u R (t )
I s = I0
uL (t )
5-2-2 RL电路的零输入响应
原始/初始状态：
iL (0 ) = I 0
iL (0+ ) = iL (0 ) = I 0
根据KVL列出电路方程(输入-输出方程) diL (t ) + RiL (t ) = 0 L dt 特征方程与特征根 微分方程通解
电路模型 待分析量：换路后uc(t)、i(t)及其变化规律
S ( t=0 )
R
+ US
+ u (t ) R
+ uC (t )
C
i (t )
5-3-1 RC电路的零状态响应
换路后，由KVL定律可得
duC (t ) RC + uC (t ) = U S dt
根据方程右边，令特解 代入微分方程，可得 微分方程的特征根 齐次微分方程的通解 零状态响应
Req = u (t ) / i (t ) = 100 / 6 Ω
L 3 RL电路时间常数 ： τ = = Req 100
变量初值： u (0 ) = i (0 ) R = 150 × 103 × 100 = 2.5 + + eq 6 零输入响应电压： t
阶电路和二阶电路的时域分析
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例 电阻电路
（t = 0） i
+ i R1
us
-
R2
t
0
过渡期为零
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电容电路
(t = 0) R i
(t →) R i
+
+
+
+
Us
k
-
uC C Us
–
-
uC C
–
k未动k作接前通，电电源路后处u很c于长稳时定间状，态电U：容S 充i电=新完0的毕稳,，定电状uC路态=达0
认为换路在t=0时刻进行 f(t)
0＋ 换路后一瞬间
0－0 0＋
t
注意 初始条件为 t = 0＋时u ，i 及其各阶导数的值。
返回
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下页
例 图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求开
关闭合后电容电压随时间的变化。
(t=0)
解
+
R
C uC
i－
特征根方程：
通解：
代入初始条件得：
明确 在动态电路分析中，初始条件是得到确
第7章 一阶电路和二阶电路
的时域分析
7.1 动态电路的方程及其初始条件 7.2 一阶电路的零输入响应 7.3 一阶电路的零状态响应 7.4 一阶电路的全响应 7.5 二阶电路的零输入响应 7.6 二阶电路的零状态响应和全响应
7.7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 7.8* 一阶电路和二阶电路的冲激响应 7.9* 卷积积分 7.10 状态方程 * 7.11* 动态电路时域分析中的几个问题
下页
③电感的初始条件
t = 0+时刻 当u为有限值时
iL
+
例 电阻电路
（t = 0） i
+ i R1
us
-
R2
t
0
过渡期为零
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电容电路
(t = 0) R i
(t →) R i
+
+
+
+
Us
k
-
uC C Us
–
-
uC C
–
k未动k作接前通，电电源路后处u很c于长稳时定间状，态电U：容S 充i电=新完0的毕稳,，定电状uC路态=达0
认为换路在t=0时刻进行 f(t)
0＋ 换路后一瞬间
0－0 0＋
t
注意 初始条件为 t = 0＋时u ，i 及其各阶导数的值。
返回
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例 图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求开
关闭合后电容电压随时间的变化。
(t=0)
解
+
R
C uC
i－
特征根方程：
通解：
代入初始条件得：
明确 在动态电路分析中，初始条件是得到确
第7章 一阶电路和二阶电路
的时域分析
7.1 动态电路的方程及其初始条件 7.2 一阶电路的零输入响应 7.3 一阶电路的零状态响应 7.4 一阶电路的全响应 7.5 二阶电路的零输入响应 7.6 二阶电路的零状态响应和全响应
7.7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 7.8* 一阶电路和二阶电路的冲激响应 7.9* 卷积积分 7.10 状态方程 * 7.11* 动态电路时域分析中的几个问题
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③电感的初始条件
t = 0+时刻 当u为有限值时
iL
+
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t 0
t RC
duc (t ) U 0 e dt R
t0
3.解的物理含义：uc及i的波形
从图可见，电容电压从初始值U0开始按指数规律衰减到0， 电流在换路瞬间有1个跳变，从i(0-)=0跳变到i(0+)=U0/R, 然后按指数规律衰减到0。
U0 U0 R
U0 R
图
RC 电路零输入响应 电压电流波形图
图示一阶RC电路，电容处于零状态， 求电路中的响应。
＋
ic(t) C
物理过程分析：
理论求解：
(t ) R
－
iR(t)
+ uc(t) _
1.列方程： ic (t ) iR (t ) (t )
第四章 一阶电路与二阶电路
4.1 一阶电路的零输入响应 4.2 一阶电路的阶跃响应
4.3 一阶电路的冲激响应
4.4 一阶电路对阶跃激励全响应 4.5 二阶电路的冲激响应
学 习 目 标
深刻理解零输入响应、零状态响应、暂态响 应、稳态响应的含义，并掌握它们的分析计算 方法 。 理解一阶电路阶跃响应和冲击响应的概念。 熟练掌握输入为直流信号激励下的一阶电路的 三要素分析法。 了解二阶电路的冲击响应。
L R
RC电路： RC
L RL电路： R
R多数情况下是等效电阻。
例1：求换路后的零输入响应i(t)和u0(t)：
分析： 换路前为直流电路，电容开路 S1(t=0) +uC(t) - 20 + 200 0.02uF u c (0 ) u c (0 ) 60 120V + 60 u0(t) 60 40 200V 60 80 换路后电容两端看进去的等效电阻 Req 60 80 2 100
当 t 时：
t RC
t
t≥0
uc (t ) U 0e
U 0e
t
U 0e1 0.368U 0
即每过时间 ，电容上的电压就降为初始值的0.368，这样 一般认为经过3 5 动态过程就结束了，此时电压降为
初始值的 0.05U 0 0.0068U 0 ，可见，RC电路的零输入
响应就是电容电压从非0初始值按指数规律衰减到零的过程。
二、RL电路的零输入响应 右图t=0时换路求iL(t) t≥0 1.电路方程和初始条件
diL (t ) L RiL (t ) 0 dt
iL (0 ) iL (0 ) I 0
IS=I0
iL(t） R S1(t=0) + uL(t) -
u c (0 ) u c (0 ) U 0
2.解方程：
1 S RCS 1 0 特征根： 特征方程： RC
通解： uc (t ) Ae st Ae
t RC
t 0 代入初始条件可得 A U 0
t RC
所以：
uc (t ) U 0e
i (t ) C
4.时间常数：
换路之后，电路中各电压、电流量都是从各自的初始值开 始按照指数规律衰减到0，那么衰减速率与什么有关？ a. 电容C越大，电容中存储的电荷越多，放电的时间越长
电阻R越大，放电电流越小，放电时间越长。 所以各个电量衰减速率与R和C的乘积即 RC 有关。
而不影响衰减速率。 令τ=RC，它具 有时间的量纲，即
40
i(t）
-
时间常数 ReqC 100 0.02 106 2s +uC(0)- 20 + 0.02uF 120 由下图 i (0 ) 60 u0(0) 1.2 A 60 80 100 i(0） 1 . 2 u (0 ) 60 36V 2
3.解的物理含义：iL及u的波形
从图可见，电感电流从初始值I0开始按指数规律衰减到0 电感电压在换路瞬间有1个跳变，从uL(0-)=0跳变到 uL(0+)=-I0R,然后按指数规律衰减到0。
I0
图3-6 RC 电路零输入响应 电压电流波形图
4.时间常数
a.电感L越大，电感中存储的磁能越多，放电的时间越长 b.电阻R越小，电阻上消耗的热能越小，放电时间越长。
2.解方程
特征方程： LS R 0
iL (t ) Ae st Ae 通解：
Rt L
S R 特征根： L
t 0 代入初始条件可得 A I 0
iL (t ) I 0e
Rt L
t 0
Rt diL (t ) u L (t ) L RI 0 e L RiL (t ) t 0 dt
4.1 一阶电路的零输入响应
一、RC电路的零输入响应
右图，t=0时换路，求uc(t) t≥0 物理过程分析……
一阶电路就是只含 有一个等效动态元件
S1(t=0) + U0 S2(t=0)
1.电路方程和初始条件：
duc (t ) RC uc (t ) 0 dt
R + uC(t) C i(t）
b.
越小，衰减速率越快，反之，则慢。U0只是影响瞬时值，
伏特 库仑 RC . 安培 伏特 库仑 秒 库仑 / 秒
t
故称τ为时间常数
uC uC (0 )e
t≥0 t≥0
i i(0 )e
t
uC uC (0 )e
零输入响应：
i(t ) 1.2e
0.5106 t
A t 0
u0 (t ) 36e
0.5106 t
A t 0
i (0 ) 2 A, 求 u(t ) t 0 例2：
R=3
I1 0.5U R=1 L=4H
U(t)
分析： 1.先求等效电阻Req: I1=I+0.5u 由KVL得：U=3*I+[0.5u+I] *1 →0.5U=4I →ReR 8
t t
i(t)
3.求i(t): i(t ) i(0 )e i(0 )e 2e2t
di (t ) 16e 2t 4.求u(t) u (t ) L dt
4.2 一阶电路的零状态响应:阶跃响应
4.2.1 单位阶跃电压或电流激励下的零状态响应