第5章 主理想整环与欧氏环(2015)
近世代数课件全 4 2 主理想整环欧式环 优质课件
xf ( x) ( x2 1)g( x)
2019/12/11
例5
在 Z[i] 中, a 8 38i, b 11 7i ,求
s, t 使得(a, b) as bt.
因为 (r1 ) (r2 ) , 故最后必有某个
(不妨设为 rn1 )为零.从而有
(a, b) (b, r1) (r1, r2 ) (rn1, rn ) (rn, 0) rn
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而且 rn rn2 rn1qn rn2 (rn3 rn2qn1 )qn
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做成一个欧氏环.
例1 Z 是欧氏环.
证明： ( x) | x |, x Z
a, b Z, b 0, q, r Z, st. a bq r
且 0 r | b | r 0, 或者 (r) | r | (b) | b | .
Z 是欧氏环.
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近世代数
第四章 整环里的因子分解 §2 主理想整环、欧式环
2019/12/11
一、主理想整环 定义1：如果整环R的每一个理想都是一个
主理想， 称其为主理想环. 引理1：假定R是一个主理想环，若在序列
a1,a2,a3,…,(ai∈R)里每一个元是前面一个的 真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.
引理2：假定R是一个主理想环，那么I的 一个不可约元P生成一个最大理想.
，令q a bi, r [( x a) ( y b)i] ,则 q Z[i] ,且 r q Z[i] ,而
近世代数参考答案
近世代数参考答案《近世代数》A/B 模拟练习题参考答案⼀、判断题（每题4分，共60分）1、如果循环群G=(a)中⽣成元a 的阶是⽆限的，则G 与整数加群同构。
（ √ ）2、如果群G 的⼦群H 是循环群，那么G 也是循环群。
（ × ）3、两个⼦群的交⼀定还是⼦群。
（ × ）4、若环R 满⾜左消定律，那么R 必定没有右零因⼦。
（ √ ）5、任意置换均可表⽰为若⼲个对换的乘积。
（ √ ）6、F （x)中满⾜条件p(a)=0的多项式叫做元a 在域F 上的极⼩多项式。
（ × ）7、已知H 是群G 的⼦群，则H 是群G 的正规⼦群当且仅当g G ?∈，都有 1gHg H -= （ √ ）8、唯⼀分解环必是主理想环。
( × )9、已知R 是交换环，I 是R 的理想，则I 是R 的素理想当且仅当是/R I 整环。
（ √ ）10、欧⽒环必是主理想环。
（ √ ）11、整环中，不可约元⼀定是素元。
（ √ ）12、⼦群的并集必是⼦群。
（ × ）13、任何群都同构于某个变化群。
( √ )14、交换环中可逆元与幂零元的和是可逆元。
( √ )15、集合,A Z B N ==，::2f A B nn →+是从A 到B 的映射。
（ × ）⼆、证明题（每题20分，共300分）1Q 上的最⼩多项式。
解：令=u 32==u u .于是3223323315(32-?-=+-+=u u u u u u .移项后得32152(3+-=-u u u 两边平⽅，得到3222(152)(35)5+-=-?u u u .这是u 上满⾜的Q 上6次⽅程，故[():]6≤Q u Q .⼜3(2=u ()Q u .由[]2=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ，知2|[():]Q u Q .u (()=Q u Q u .⼜[]3=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ，得3|[():]Q u Q .于是6|[():]Q u Q ，因⽽[():]6=Q u Q . 由于3222(152)(35)50+---?=u u u ，故6次多项式3222(152)5(35)+---x x x 是u 在Q 上的最⼩多项式.2、求出阶是32的循环群(a )的所有⼦群，这些⼦群是否都是不变⼦群。
高等几何讲义(第5章§2 圆环点与欧氏几何)
若 T 作用下，IJ 而 JI，则由 IJ 得
由此得
a11 a12i i a21 a22i
，
(a22 + a11) i a21 a12 0，
故 a22 a11，a21 a12．(由JI 代入可得相同结果)
反之，不难验证仿射变换(5.9)保持{I, J}不动．
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
a11 a22，a12 0．
故圆的齐次坐标方程为
a11x12 a11x22 a33x32 2a13x1x3 2a23x2x3 0． 令 b13 a13/a11，b23 a23/a11，b33 a33/a11，化为 非齐次坐标方程，即得结果．
➢ 通过一个圆环点的虚直线称为迷向直线．
坐标系．
o(1)
o(2)
➢ 建立了齐次直角坐标系的扩
大仿射平面称为扩大欧氏平 面．(如右图)
e
e(2)
e(1)
o(3)
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§2 圆环点与欧氏几何
➢2.3 保距变换与欧氏度量
➢ 在扩大欧氏平面上，有如下重要结论
➢ 定理4 在齐次直角坐标下，度量单位圆的方程为
§2 圆环点与欧氏几何
➢ 在以齐次正交坐标系的第三个基点为圆心的圆中， 指定一确定的圆，称为度量单位圆．
➢ 记度量单位圆与o(1)o(3)的交点为e(2)，与o(2)o(3) 的交点为e(1)，令e (o(1)e(1))(o(2)e(2))．
➢ 指定了度量单位圆，且如上选取单位点 e 的齐次
正交坐标系 [o(1), o(2), o(3); e ] 称为齐次直角
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
05 商环、欧氏环
n 1
作成 R x 的一个理想。 注：以上是常数项为零的多项式的集合，关于多 项式的加法与乘法。 以上两个理想显然既不是零理想也不是单位理想。
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理想的性质
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推论 域是单环。
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理想的交与和
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谢
谢
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理想的传递
设 N 是 R 的理想, I 是 N 的理想, 那么 I 不一定是 R 的理想。
x y 例.设 R z w | x , y , z , w Z M 2 ( Z ) ，
a1 , a2 2a1 a2 N | ai 2 Z 是 R 的理想,而 I | ai 2Z 是 N 的理想, a3 , a4 a3 a4
近世代数及其应用
罗守山 教授 博士生导师
北京邮电大学计算机学院
1
第5章 商环、欧氏环
群是只有一种二元运算的代数系统。第2章群 之后介绍第3章特殊子群，由正规子群引出商 群，得到群同态基本定理。 环是建立在群基础上的代数系统，有二种二元 运算。第4章环之后介绍第5章特殊子环：理想， 由理想引出商环，得到环同态基本定理。 整数环上整数相除有余数和商，推广引出欧氏 环。 学习环知识应随时与群的相应概念与理论进行 比较，即复习群的内容，又学习新的知识。
近世代数考试复习
<近世代数复习题>一、定义描述（8’）1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。
如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b）c = a （b c）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e .则称G对代数运算做成一个群。
2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有aN=Na，即aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。
3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号+ 表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca .其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。
4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。
5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。
如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。
整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。
6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在；（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。
-------------7、素理想：设R是一个交换环，P ◁R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。
显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{ 0}是R的素理想当且仅当R无零因子，亦即R是一个整环。
近世代数基础课件
第3讲 特殊的唯一分解环 1 主理想环 2 欧氏环 3 唯一分解环上的一元多项式环 4 因子分解与多项式的根
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第六章 群论补充
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第1讲 共轭元与共轭子群 1 第2讲 群的直积 第3讲 群在集合上的作用 第4讲 西罗定理
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第1讲 共轭元与共轭子群
研究群内一些特殊类型的元素和子群
1 中心和中心化子 2 共轭元和共轭子群 3 共轭子群与正规化子
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四 代数学发展的四个阶段
代数学经历了漫长的发展过程,抽象代 数(近世代数)是19世纪最后20年直到20世 纪前30年才发展起来的现代数学分支. 1 最初的文字叙述阶段 2 代数的简化文字阶段 3 符号代数阶段 4 结构代数阶段
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1 最初的文字叙述阶段
古希腊之前直到丢番图(Diophantine,公元250年)时 代,代数学处于最初的文字叙述阶段,这一阶段除古希腊 数学之外还包括古巴比伦、古埃及与古代中国的数学. 此时算术或代数尚未形成任何简化的符号表达法,代数 运算则都采用通常的语言叙述方式表达,因而代数推理 也都采用直观的方法.在中国古代则有著名的筹算法,而 在古希腊则借助于几何图形的变换方法.最典型的代表 是毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前585-497)几何数论方 法.例如通过图形的组合可以得到
}
} }
映射相关概念及举例
映射的运算 映射及其相关概念的推广
}
特殊映射
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第3讲 基本概念之代数运算适应的规则 ——运算律 运算律
1 与一种代数运算发生关系的运算律 （1）结合律 （2）交换律 （3）消去律 2 与两种代数运算发生关系的运算律 （1）第一分配律 （2）第二分配律
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第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射 同态映射 1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
第五章 惟一分解整环
定义
对于 K 中的单位 ε， aε 叫做 a 的相伴元，也称为做 a 的
平凡因子，其余的 a 的因子，叫做真因子.
K 中元素的相伴关系是一个等价关系。即 a, b 在 K 中相伴
⇔ a, b 互相整除。
例 4 因为整数环 Z 的单位仅有 1 与 -1, 故任一非零元 a 有 2 个相伴元: a 与
例 1 整数环是一个欧氏环。 其欧氏映射为: ϕ x） | x |, x ∈ Z . （ = 例 2 一个域 F 上的一元多项式环 F[x]是一个欧氏 环。
（ = 其欧氏映射为： ϕ f ( x)） ∂ ( f ( x)), f ( x) ∈ F [ x] .
二
主要结论
定理 任何欧氏环 K 一定是一个主理想环，因而一定是一个
惟一分解环。
逆命题不成立：主理想整环未必是欧氏环。
欧氏环 ⊂ 主理想整环 ⊂ 惟一分解环 ⊂ 有单位元素的环 。
作业
P240-241，习题 5.4
1，2，3
§5.5* 惟一分解整环的多Байду номын сангаас式扩张
一 基本内容
定义 个推广。 惟一分解环 K 上的多项式环 K[x]就是 K 的一个扩张。 如果环 R 是环 S 的一个子环，则称 S 是环 R 的一
−a .
例 5 Z [i ] 有 4 个单位, 1, -1,
,
.
任一非零元 a + bi (a, b ∈ Z ) 有 4 个相伴元: ± (a + bi ), ± (b − ai ) . 例 6 设 a, b ∈ K . 证明: a ∼ b 当且仅当 ( a ) = (b) . 例7 求 Gauss 整环的所有单位以及整数 5 在 Z[i]中的所有真因子。
主理想整环上的纯子模与有限生成模
主理想整环上的纯子模与有限生成模摘要：本文主要讨论主理想整环上纯子模与有限生成模的性质。
首先介绍主理想整环及其性质，接着给出纯子模与有限生成模的定义和性质，讨论它们之间的关系以及对每种模的分类和描述。
最后给出一些相关的例子和定理的证明。
关键词：主理想整环；纯子模；有限生成模；分类；定理正文：1. 引言主理想整环是一类非常特殊的环，在学习和研究线性代数和抽象代数中起到了很重要的作用。
纯子模和有限生成模是主理想整环上最具代表性的两种模，它们在很多领域应用广泛。
本文将介绍主理想整环、纯子模和有限生成模的定义和性质，以及它们之间的关系。
此外，本文还将对每种模的分类和描述进行讨论，并给出一些相关的例子和定理的证明。
2. 主理想整环和其性质主理想整环是指每个理想都是主理想的整环。
一个整环被称为主理想整环，当且仅当它满足以下条件：（1）它是一个整环。
（2）所有它的理想都是主理想。
（3）它有一个非零元素作为唯一基本域。
主理想整环具有如下性质：（1）每个主理想整环都是唯一分解整环。
（2）每个主理想整环都是域当且仅当它是PID（主理想整环）。
（3）每个有限生成交换整环都是主理想整环。
3. 纯子模和有限生成模3.1 纯子模设M是主理想整环R的一个左模，如果对任意的0 ≠ a∈R和任意非0元素m∈M，存在一个整数n=n(a,m) (n可能是负数)，使得am^n \in M，则称M是R的纯子模。
3.2 有限生成模设M是主理想整环R的一个左模，如果存在一个元素集{m1,m2, ..., mn} \subset M，使得M=\sum Rm_i，则称M是R的有限生成模。
4. 纯子模和有限生成模的分类和描述下面对纯子模和有限生成模根据条件进行分类和描述。
4.1 纯子模的分类和描述对于纯子模M，以下是几个可能的情况：（1）如果M ={0}，则M是零模。
（2）如果M ≠ {0}，但存在一个元素 a∈R，使得am \notin M，对于任意m\in M，则称M是零子模。
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作业
第三版 5-4第201页 1，2
5.3-5.4
、理想的定义 、理想的构造 一、主理想整环 二、 欧氏环
一、主理想整环
——（第五章第三节）
定义 设K是一个有单位元的整环，如果K的每个 理想都是Байду номын сангаас理想，则称K是一个主理想整环.
例 (1) 整数环是主理想整环. (2) 域F上的多项式环F[x]是主理想整环. (P166 习题3(1)） (3) 整数环Z上的多项式环Z[x]不是主理想整环. (因为 <2,x>不是主理想 ) 故Zn不是主理想整环. （4）当n为合数时，环Zn有零因子， 定理 Gauss整环Z[i]={a+bi|a,b∈Z}是主理想整环.
二、 欧氏环
——（第五章第四节）
定义 设K是一个有单位元的整环.如果 （1）有一个从K-{0}到非负整数集的映射 存在, 使 （2）对于K中任意元素a及b≠0, 存在元素q, r∈K，
a bq r , r 0, 或 ( r ) (b), 则称K关于 作成一个欧氏环.
例 整数环Z是一个欧氏环. 例 域F上的多项式环F[x]是一个欧氏环. 定理 欧氏环必是主理想整环.