§2.5 主理想整环

主理想整环上的有限生成模

湖北大学硕士学位论文主理想整环上的有限生成模姓名：***申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：***20040601摘要环Ｒ上的有限生成模的结构和分类是模论的中心问题之一，当Ｒ为主理想整环时（以下用Ｐ表示），有限生成模的结构与分类问题已经解决，本文利用矩阵的方法对这些结果重新进行讨论。

本文由三节组成．在第一节里，我们给出整环，主理想整环，模，有限生成模，自由模等基本概念。

在第二节里，我们讨论了秩有限的自由Ｐ．模的不变因子。

设Ｍ是秩ｎ的自由Ｐ．子模，Ｎ是Ｍ的秩ｒ的自由Ｐ．子模，‰Ｘ２…，Ｘ。

和Ｙｌ，Ｙ２…，ｙｒ分别是他们的一组基，且（Ｙ１．Ｙ２…，阶）＝（ｏｌ，Ｘ２·一．ｚ，。

）．＾靠ｘ，。

定义ｗ（Ｍ：Ｎ）＝（ｄｅｔＭ）；ｒ＝ｎ，Ｏ；ｒ＜ｎ，贝０可以证明存在ｄｌｌｄ２卜－Ｉｄｒ（ｄｉ∈Ｐ）使得ｄ１。

ｌ，ｄ２ｘ２一，４ｚ，是Ｎ的一组基，而且（ｄｌｄ２…也）＝ｇ．ｃ．如｛ｏ），其中Ｆ跑遍的极大秩ｓ的子模，ａ为”（Ｆ：ＦｎＮ）的生成元，我们称ｄ１，ｄ２…ｄ，为子模Ｎ的不变因子。

这说明不变因子是自由模自身的特性，与基底的选择无关。

在第三节里，我们得到有限生成模的结构与分类定理：每个有限生成模是某个自由模和它的扭子模的直和。

关键词：主理想整环，有限生成模，不变因子２ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅａｎｄｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎｏｆｆｉｎｉｔｅｇｅｎｅｒａｔｅｄｍｏｄｕｌｅｏｖｅｒａｒｉｎｇｉｓｏｎｅｏｆｔｈｅｃｅｎｔｒａｌｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｒｉｎｇｔｈｅｏｒｙｏｒｍｏｄｕｌｅｔｈｅｏｒｙ．ＷｈｅｎＰｉｓａｐｒｉｎｃｉｐｌｅｉｄｅａｌｄｏｍａｉｎ，ｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅａｎｄｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎｏｆＰ—ｍｏｄｕｌｅｈａｄｂｅｅｎｓｏｌｖｅｄ．Ｉｎｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓ，ｗｅｔｒｙｔｏｄｉｓｃｕｓｓｔｈｏｓｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓｆｒｏｍａｎｅｗｗａｙ．Ｔｈｅｔｈｅｓｉｓｃｏｎｓｉｓｔｓｏｆｔｈｒｅｅｓｅｃｔｉｏｎｓ．Ｉｎｔｈｅｆｉｒｓｔｓｅｃｔｉｏｎ，Ｗｅｇｉｖｅｓｏｍｅｅｌｅ—ｍｅｎｔａｒｙｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓｏｆ：ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｉｄｅａｌｄｏｍａｉｎ，ｍｏｄｕｌｅ，ｆｉｎｉｔｅｇｅｎｇｅｒａｔｅｄｒｏｏｄ—ｕｌｅ，ｆｒｅｅｍｏｄｕｌｅａｎｄＳＯｏｎ．Ｉｎｓｅｃｔｉｏｎｔｗｏ，ｗｅｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅｉｎｖａｒｉａｎｔｆａｃｔｏｒｓｏｆｆｒｅｅｍｏｄｕｌｅｗｉｔｈｆｉｎｉｔｅｒａｎｋＬｅｔＭｂｅａｆｒｅｅＰ．ｍｏｄｕｌｅｗｉｔｈｒａｎｋｎａｎｄＮｉｓｆｒｅｅＰ—ｓｕｂｍｏｄｕｌｅｏｆＭｗｉｔｈｒａｎｋａｎｄＹｌ，Ｙ２·，Ⅳｒｂｅｔｈｅｉｒｒ，。

唯一分解整环

１８４
又 a 不是 b 的因子，故 a, b 的最大公约元不能是 a ．另一方面，
( ) a = 3 2 + − 5 ，
而 3 和 2 + − 5 都是既约元，从而 a, b 的最大公约元如果存在的话，只能是 3 或 2 + − 5 ．亦
见 3 或 2 + − 5 都不是 a, b 的最大公约元，即对于 R 中这两个元 a, b 来说， (a,b)不存在．
下证
3 /| 2 + − 5 ， 3 /| 2 − − 5 ．
若
2 + − 5 = 3(x + y − 5) ，
则 3x = 2, 3y = 1 应有整数解 x, y, 这是不可能的．同样可得 3 /| 2 − − 5 ．
有了因子的概念，我们可以定义公因子、最大公因子的概念．
定义 8 设 R 为整环，对 a, b ∈ R ，存在 d ∈ R 满足
１８３
（1） d | a, d | b ；
（2）对任意 c ∈ S ，若 c | a, c | b 则， c | d ．
则 d 是 a, b 的一个最大公约元，记为 d = (a, b) ．由定义可知若 d 是 a, b 的一个最大公约元，对任意 ε ∈U , 则 dε 也是 a, b 的最大公约元．
p = ab ，
那么 a 或 b 至少有一个为单位，则 p 为 R 的一个既约元．
显然，在整数环中，既约元即为素元，所以我们在数论中并未区分两个概念的区别．在一般整环中，既约元与素元未必是两个等价的概念．二者的关系通过以下定理与例子便可知晓．
定理 3 在整环 R 中，每个素元都是既约元．证明设 p 是 R 的素元，且
a的相伴元, 记为 a ～ b ．

近世代数课件环的概念

§1 环的概念
例 3 设 n 是一个正整数.我们已经知道,集合 Ζn {[0], [1], [2], , [n 1]}
关于模 n 剩余类的加法构成一个交换群.下面进一步考察集合Ζ n . 假设 [a], [a1], [b], [b1] Z n , 并且 [a] [a1] , [b] [b1] . 于
§1 环的概念
(4)根据(2),我们有 a(b c) a(b (c)) ab a(c) ab ((ac)) ab ac .
同理可证, (b c)a ba ca .
(5-7)的证明留作练习.□
作业 p36,第 1-3 题;第 5-7 题.
谢谢！
§1 环的概念
容易验证, Z[x] , Q [x], R[x] 和 C[x] 关于多项式的加法和乘法分别构成环,依次称为整系数一元多项式环,有理系数一元多项式环,实系数一元多项式环和复系数一元多项式环,也可以依次称为 Z 上的一元多项式环,Q 上的一元多项式环,R 上的一元多项式环和 C 上的一元多项式环.
命题 1.3 设 R 是一个环.那么, (1) 0a a0 0 ; (2) (a)b a(b) ab ; (3) (a)(b) ab; (4) a(b c) ab ac , (b c)a ba ca ;
§1 环的概念
(5)
m i 1
ai
n
bj
j 1
m i 1
n j 1
例 5 设 (R, ) 是一个交换群.定义 R 上的乘法“ ” 如下:
ab 0 , a, b R . 则 (R, , ) 是一个环.这样的环称为零乘环.
§1 环的概念
定义 1.2 设 (R, , ) 是一个环. (1)若“ ”适合交换律,则称 R 是交换环;否则,称 R 是非交换环. (2)若存在 e R ,使得 ea ae a , a R ,则称 e 为环 R 的单位元,并称 R 是有单位元(的)环.

第5章主理想整环与欧氏环(2015)

作业
第三版 5-4第201页 1，2
5.3-5.4
、理想的定义、理想的构造一、主理想整环二、欧氏环
一、主理想整环
——（第五章第三节）
定义设K是一个有单位元的整环，如果K的每个理想都是Байду номын сангаас理想，则称K是一个主理想整环.
例 (1) 整数环是主理想整环. (2) 域F上的多项式环F[x]是主理想整环. (P166 习题3(1)） (3) 整数环Z上的多项式环Z[x]不是主理想整环. (因为 <2,x>不是主理想 ) 故Zn不是主理想整环. （4）当n为合数时，环Zn有零因子，定理 Gauss整环Z[i]={a+bi|a,b∈Z}是主理想整环.
二、欧氏环
——（第五章第四节）
定义设K是一个有单位元的整环.如果（1）有一个从K-{0}到非负整数集的映射存在, 使（2）对于K中任意元素a及b≠0, 存在元素q, r∈K，
a bq r , r 0, 或 ( r ) (b), 则称K关于作成一个欧氏环.
例整数环Z是一个欧氏环. 例域F上的多项式环F[x]是一个欧氏环. 定理欧氏环必是主理想整环.

近世代数第四章整环里的因式分解

第四章整环里的因式分解§1. 素元、唯一分解本讲中, 总假定为整环, 为的商域.1. 整除定义1 设D为整环, Db,, 如果存在Da∈c∈, 使得则称整除, 记作; 并称是的一个因子, 是的倍元.•整环中的整除概念是整数环中整除概念的推广, 因此有许多与整数的整除相类似的性质.•整除有下列常用的性质:(1) 如果, , 则;(2) 如果, , , 则.2.相伴定义2整环D的一个元叫做D的一个单位，假如是一个有逆元的元。

元叫做元的相伴元，假如是和一个单位的乘积：定理１两个单位的乘积也是一个单位.单位的逆元也是一个单位.例１因为整数环的单位仅有１与-１，故任一非零元有２个相伴元：与a-.例２有四个单位，１，-１，i,-i,所以任一非零元，有四个相伴元：定义3 单位以及元的相伴元叫做的平凡因子.若还有别的因子，则称为的真因子.３. 素元定义4 设D为整环，Dp∈，且既非零也非单位，如果只有平凡因子，则称为一个素元.定理２单位ε与素元的乘积也是一个素元.定理３整环中一个非零元有真因子的充分且必要条件是：，这里，都不是单位.推论设，并且有真因子：.则也是的真因子.定义5 我们称一个整环D的元在D中有唯一分解，如果以下条件被满足：(i) (为D的素元)(ii) 若同时有（为的素元）则有，并且可以调换的次序，使得（为的单位）整环的零元和单位不能有唯一的分解.所以唯一分解问题研究的对象只能是非零也非单位的元.例３给整环.那么有：(1)的单位只有.(2)适合条件的元一定是素元.首先，；又由(1),也不是单位.设为的因子：那么但不管，是何整数，或４若，则是单位.若，则而为单位.因而是的相伴元.从而只有平凡因子，故是素元.(3)没有唯一分解：我们有(A) ,,故由(2),2,都是的素元.由(1),都不是２的相伴元，因而给出了４的两种不同分解从而４没有唯一分解. 这说明并不是任意整环中的非零和非单位的元都有唯一分解.$2. 唯一分解环定理１一个唯一分解环有以下性质：若一个素元能够整除，则有整除或.定理２做定整环有如下性质：(i)的每一个非零非单位的元都有一个分解.（为的素元）(ii)的一个素元若能够整除，则有整除或，则一定是一个唯一分解环.定义6 元叫做的公因子，如果.定理３一个唯一分解环的两个元和在里一定有最大公因子.和的两个最大公因子和只能差一个单位因子：（是单位).推论一个唯一分解环的个元在里一定有最大公因子.的两个最大公因子只能差一个单位因子.定义一个唯一分解环的元称为互素的，如果它们的最大公因子是单位.$3. 主理想环引理１设是一个主理想环.若在序列里的每一个元是前一个元的真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.引理２设是一个主理想环，那么的任一素元生成一个最大理想.定理一个主理想环是一个唯一分解环.证：我们证明是一个唯一分解环.设且不是零也不是单位.若不能写成有限个元的乘积，则不是一个素元，所以由$４.１的推论，都是的真因子.的这两个真因子中至少有一个不能写成素元的乘积，否则就是素元的乘积而与假设矛盾.于是有这样的结论；若没有分解，则一定有一个真因子也没有分解.这样，在没有分解的假设之下，就得到一个无穷序列在此序列中每一个元都是前一个元的真因子.依照引理１，这是不可能的，所以一定有分解.即满足$４.２定理２中的条件(i).又设的素元能整除的元乘积，那么这就是说在剩余类环里，所代表的类与o所代表的类相同：由引理２，是最大理想，因而由$３.９的定理，是一个域.因为域没有零因子，所有由上面等式有或即有或亦即或从而或，故也满足$４.２定理２的条件(iii).因而是一个唯一分解环.$4. 欧氏环定义一个整环叫做一个欧氏环，如果(i)有一个从的非零元所作成的集合－｛０｝到全体非负整数作成的集合的映射存在；(ii)任意给定的一个非零元，的任何元都可以写成的形式，这里有或例整数环是一个欧氏环.因为：定理１是一个适合条件(i)的映射并且任意给定整数，则任何整数都可写成这里或上面定义中的映射称为欧氏映射.定理１每一个欧几里德环都是主理想整环, 因而也是唯一分解环.证明设为欧几里德环的任一理想, 为欧氏映射.(1) 如果, 则.(2) 如果, 令则非空, 且. 设, 使得为中的最小数, 下证.任给, 因为, 所以存在, 使得. 于是, .如果, 则, 与的选取矛盾. 所以, , 则, 于是. 由的任意性可知.又, 所以, 从而.这就证明了, 的任一理想都是主理想, 故为主理想整环.定理２整数环是主理想，因而是唯一分解环.定理３一个域上的一元多项式是一个欧氏环.因而是一个唯一分解环.$５. 多项式环的因子分解本章讨论唯一分解环上的一元多项式环.我们称的素元即素多项式为不可约多项式，日有真因子的多项式叫做可约多项式.定义的一个元叫做一个本原多项式，如果的系数的最大公因子是单位.我们有如下结论：(A)的单位是的仅有的单位.(B)一个本原多项式不会等于零.(C)若本原多项式可约，那么且有（表示的次数）引理1 设，那么是本原多项式的充分且必要条件是和都是本原多项式.设是的商域，那么多项式环是唯一分解环.引理2 的每一个非零多项式都可以写成的形式，这里是的本原多项式.如果也有的性质，那么，（为的单位）引理3 的一个本原多项式在里可约的充分必要条件是在里可约.引理4 的次数大于零的本原多项式在里有唯一分解.有了以上的结论，我们就有定理如果是唯一分解环，，则也是唯一分解环.$６. 因子分解与多项式的根定义整环的元叫做的多项式的一个根，如果有定理１是的一个根的充分且必要条件是整除定理２的个不同的元都是的根的充分且必要条件是整除推论若的次数为，则在中至多有个根.定义的元叫做的一个重根，如果能被整除，这里是大于1的整数.定义由多项式唯一决定的多项式叫做的导数.导数适合如下计算规则：,定理３的一个根是一个重根的充分且必要条件是整除推论设是唯一分解环.的元是的一个重根的充分且必要条件是：能整除和的最大公因子.。

第四讲：主理想整环上的模及其分解

數學傳播32卷1期,pp.25-47線性代數五講一一第四講主理想整環上的模及其分解龔昇·張德健4.1.環上的模的基本概念A.在第二講及第三講中,我們討論了向量空間及其上線性變換,在這一講及下一講中將從模的觀點來重新認識之,這是本書的主要部份,在這一講中,將介紹模的定義和基本性質,尤其是在主理想整環上的模及其分解。

若V體F上的一個向量空間,T∈L(V)。

對F[x]中任一多項式p(x),對任意 v∈V,可定義p(x) v=p(T)( v),這就是我們要討論作用在V上的線性算子。

顯然對任意r(x),s(x)∈F[x], u, v∈V有r(x)( u+ v)=r(x) u+r(x) v,(r(x)+s(x)) u=r(x) u+s(x) u,(r(x)s(x)) u=r(x)(s(x) u),1 u= u,等等。

但是F[x]不是體而是環,所以F[x]中元素對V作純量乘積,V不能成為一個向量空間。

於是引入了比向量空間更為一般的概念:模。

定義4.1.1:若R是有單位元的交換環,其元素稱為純量(scalar)。

一個R−模(R−module),或R上的一個模(a module over R)是一個非空集合M,有運算加法,記作+,對( u, v)∈M×M,有 u+ v∈M;另一個是R與M的運算是純量乘積,用毗連來表示,對(r, v)∈R×M,有r v∈M,而且有1.M對加法而言是Abel群;2.對所有r,s∈R, u, v∈M有2526數學傳播32卷1期民97年3月a.(分配律):r( u+ v)=r u+r v,(r+s) u=r u+s v;b.(結合律):(r s) u=r(s u),c.1 u= u.顯然當R為體,則模為向量空間,即體上的模就是向量空間。

當R=Z(整數環),則Z−模就是Abel群,故模也是Abel群的概念之擴充。

特別重要的是在第一講開始就說到的R=F[x],若F是體,則由定理1.2.1,F[x]是主理想整環,於是可以定義F[x]−模,這是我們今後要主要討論的對象。

主理想整环上保对称矩阵群逆的线性算子

滨
ｒｎ
几何、系统控制、理统计等领域有着广泛的实际应用背景．着对广义逆和线性保持问题的深入研究，得广义逆数随使
的保持问题有着广泛的实际应用前景．文中，是一个特征为２的町交换的主理想整环，少有４个单位．用刻在Ｒ至利画基底的形式证明了主理想整环上保持对称矩阵群逆的可逆线性算子的形式．关键词：主理想整环；性算子；逆；线群对称矩阵中图分类号：５．１Ｏ１２文献标识码：Ｏ１１２；０３０Ａ文章编号：０６７４（０７０ — ９２０１０～０３２０）８０４ — ５
ＢＵａｇｊａｇ，ＡＮＧｉｙｎ，ＪＮＧｈ—ｉＣｈｎ —ｉｎＷＧｕ—ａＩＳｉｌ
（ＣｏｌｅｆＳｃｅｃｌｇｅｏｉｎｅ，ＨａｂｎＥｎｇｎｅｉｇＵｎｉｒｉｙ，Ｈａｂｉ５００１，ｉａ）ｒｉｉｅｒｎｖｅｓｔｒｎ１０Ｃｈｎ
ｉｈｅｆｅｄｓｏｕｎｔｍｅｈｎｉｓ，ｉｆｒｎｔａｅｎｔｉｌｆｑａｕｍｃａｃｄｆｅｅｉｌｇｏｍｅｒｓｓｅｃｔｙ，ｙｔｍｏｎｔｏｌｍａｈｅａｉａｔｔｓｉｓａＯｏｎｒ，ｔｍｔｃｌｓａｉｔｃｎｄＳ．Ａｌｇｗｉｈｆｒｈｅｅｅｒｈｏｉｅｒｐｅｅｖｒｄｇｅｅａｉｅｎｅｓｓ，ｔｉｅｒｐｒｓｒｒｏｆｔｎｅ — ｏｎｔｕｔｒｒｓａｃｎｌｎａｒｓｒｅｓａｎｎｒｌｄｉｖｒｅｚｈｅｌｎａｅｅｖｅｈｅｇｅｒａｉｅｎｒｅｈｓｍａｙｐｅｉｌａｌｃｔｏ．Ｉｈｉａｅ。ｌｔＲＤ（ｉｃｐｌｉｅｌｄｌｄｉｖｅｓａｎｏｔｎｔａｐｐｉａｉｎｓｎｔｓｐｐｒｅｂｅａＰＩｐｒｎｉａｄａｏｍａｎ）。ｃｚｉｈ一２，ｈａｔｌａｔｆｕｒｕｔ．Ｕｓｎｇｔｏｒａｅｈｈａａｔｒｚｎｇｔｍａｅｂｓａｅｓｏｎｉｓｉｈｅｆｍｌｍｔｏｄｏｆｃｒｃｅｉｉｈｅｉｇｓａｏｕｔｂａｅｐｃｓｓｏｆｓａｅ，ｉｉｔｓ

主理想整环上的纯子模与有限生成模

主理想整环上的纯子模与有限生成模摘要：本文主要讨论主理想整环上纯子模与有限生成模的性质。

首先介绍主理想整环及其性质，接着给出纯子模与有限生成模的定义和性质，讨论它们之间的关系以及对每种模的分类和描述。

最后给出一些相关的例子和定理的证明。

关键词：主理想整环；纯子模；有限生成模；分类；定理正文：1. 引言主理想整环是一类非常特殊的环，在学习和研究线性代数和抽象代数中起到了很重要的作用。

纯子模和有限生成模是主理想整环上最具代表性的两种模，它们在很多领域应用广泛。

本文将介绍主理想整环、纯子模和有限生成模的定义和性质，以及它们之间的关系。

此外，本文还将对每种模的分类和描述进行讨论，并给出一些相关的例子和定理的证明。

2. 主理想整环和其性质主理想整环是指每个理想都是主理想的整环。

一个整环被称为主理想整环，当且仅当它满足以下条件：（1）它是一个整环。

（2）所有它的理想都是主理想。

（3）它有一个非零元素作为唯一基本域。

主理想整环具有如下性质：（1）每个主理想整环都是唯一分解整环。

（2）每个主理想整环都是域当且仅当它是PID（主理想整环）。

（3）每个有限生成交换整环都是主理想整环。

3. 纯子模和有限生成模3.1 纯子模设M是主理想整环R的一个左模，如果对任意的0 ≠ a∈R和任意非0元素m∈M，存在一个整数n=n(a,m) (n可能是负数)，使得am^n \in M，则称M是R的纯子模。

3.2 有限生成模设M是主理想整环R的一个左模，如果存在一个元素集{m1,m2, ..., mn} \subset M，使得M=\sum Rm_i，则称M是R的有限生成模。

4. 纯子模和有限生成模的分类和描述下面对纯子模和有限生成模根据条件进行分类和描述。

4.1 纯子模的分类和描述对于纯子模M，以下是几个可能的情况：（1）如果M ={0}，则M是零模。

（2）如果M ≠ {0}，但存在一个元素 a∈R，使得am \notin M，对于任意m\in M，则称M是零子模。